Dicas de matematica raiz quadrada

A raiz quadrada é uma operação básica e importante da Matemática. Se trata da operação inversa da potenciação. Assim, calcular a raiz quadrada de um número n é descobrir qual número elevado ao quadrado resulta em n. Por exemplo, a raiz quadrada de 9 é igual a 3, pois, 3² é 9. Uma raiz quadrada pode ser exata, gerando um número chamado de quadrado perfeito, ou pode ser não exata.

Leia também: Expressões numéricas — o conjunto de operações fundamentais a serem calculadas

Resumo sobre raiz quadrada

• A raiz quadrada é uma radiciação que possui o índice igual a 2.

• Ela é a operação inversa de uma potência de expoente 2.

• Seus elementos fundamentais são: índice, radical, radicando e raiz.

• A raiz quadrada de um número a é representada por √a.

• Pode ser exata ou não exata.

Videoaula sobre raiz quadrada

A radiciação é uma das operações básicas da Matemática, sendo a operação inversa da potência. Existem vários tipos de raiz, como a raiz cúbica e a raiz quarta, mas a mais utilizada é a raiz quadrada.

Quando calculamos, por exemplo, a raiz quadrada de um número a, o resultado dessa operação será o número que, ao elevarmos ao quadrado, resultará em a. Os outros casos de radiciação seguem o mesmo raciocínio. A raiz cúbica de um número x é o número cujo cubo é igual a x. Dizemos, por exemplo, que a raiz cúbica de 27 é 3, pois 3³ = 27. De forma semelhante, dizemos que a raiz quadrada de 81 é 9, pois 9² = 81.

O que é raiz quadrada?

A raiz quadrada é um caso particular da radiciação, sendo o mais comum deles. Conhecemos como raiz quadrada a radiciação com índice igual a 2. A raiz quadrada é a operação inversa da potência com o expoente 2, pois quando calculamos a raiz quadrada de um número a, estamos procurando qual número ao quadrado é igual a a. Quando o radical não apresenta número no índice, calcula-se a raiz quadrada do radicando.

Exemplos:

√4 = 2, pois 2² = 4

√9 = 3, pois 3² = 9

√16 = 4, pois 4² = 16

√25 = 5, pois 5² = 25

Como calcular a raiz quadrada?

Para calcular a raiz quadrada de um número, geralmente recorremos à tabuada. Entretanto, quando o número é maior que 100, é possível utilizar o processo de fatoração para calcular a raiz quadrada exata.

Ao realizar uma fatoração, agrupamos os fatores de dois em dois, já que é a raiz quadrada exata que estamos buscando. Já quando estamos calculando uma raiz quadrada não exata, utilizamos aproximações.

Saiba também: Propriedades dos radicais — simplificam e resolvem raízes de qualquer índice

A raiz quadrada exata ocorre quando o resultado da operação é um número racional. Os exemplos supracitados são casos de raiz quadrada exata. Por exemplo, a √16 é exata porque o seu resultado é 4, que é um número racional. Quando há no radicando um número com raiz quadrada desconhecida, utilizamos fatoração para calcular uma raiz exata.

Exemplo:

Calcule o valor da √324.

Resolução:

Para encontrar a √324, inicialmente fatoraremos esse número:

Dessa forma, calcula-se:

√0 = 0

√1 = 1

√4 = 2

√9 = 3

√16 = 4

√25 = 5

√36 = 6

√49 = 7

√64 = 8

√81 = 9

√100 = 10

Os números que possuem raiz quadrada exata são conhecidos como quadrados perfeitos.

Em muitos casos, o número pode não possuir uma raiz quadrada exata, ou seja, a solução da raiz quadrada é um número irracional. Para calcular uma raiz quadrada não exata, utilizamos aproximações, ou seja, números que quando elevamos ao quadrado chegam bem próximo do resultado desejado.

Exemplo:

Calcule o valor da √60.

Resolução:

Sabemos que essa raiz não é exata, então, primeiramente, identificaremos qual é o número anterior a 60 que possui raiz exata, que é 49, e também o número posterior a 60 que possui raiz exata, que é 64.

√49 < √60 < √64

Calculando as raízes de 49 e 64:

7 < √60 < 8

Note que 60 está próximo de 64, então a √60 estará próxima de 8. Calcularemos, assim, o quadrado dos números próximos a 8.

7,9² = 62,41

7,8² = 60,84

7,7² = 59,29

Descobrimos que a √60 está entre 7,7 e 7,8.

Portanto, dizemos que a √60 = 7,7 por falta ou que a √60 = 7,8 por excesso.

Exercícios resolvidos sobre raiz quadrada

Questão 1

(Ethos concursos) A raiz quadrada de um número é uma importante operação matemática, assim como a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. Somente alguns números possuem raiz quadrada, aqueles considerados quadrados perfeitos. Sendo assim, calcule a raiz quadrada de 625 e assinale a alternativa CORRETA.

A) 35

B) 24

C) 25

D) 17

E) 49

Resolução:

Alternativa C

Inicialmente, realizaremos a fatoração do número:

Dessa forma, temos:

√625 = √54

√625 = 5²

√625 = 25

Questão 2

Sobre a raiz quadrada, julgue as afirmativas a seguir:

I → É possível calcular a raiz quadrada de número negativo.

II → Os números 0, 1, 4, 9 e 16 são todos quadrados perfeitos menores que 20.

III → A raiz quadrada de 6 é igual a 3.

As afirmativas são, respectivamente:

A) V, V e V.

B) F, F e F.

C) F, F e V.

D) F, V e F.

E) V, F e V.

Resolução:

Alternativa D

I → Falsa

A potência de dois possui resultado somente positivo, logo, não é possível calcular a raiz quadrada de um número negativo.

II → Verdadeira

Os números listados são os únicos que possuem raiz exata menores que 30.

III → Falsa

3² = 9, logo, a raiz quadrada de 9 é 3, e não a de 6.

Raiz quadrada de um número x é a operação matemática que define um número que, multiplicado por si próprio, resulta no número x. Por exemplo, as raízes de 4 podem ser 2 ou -2, pois tanto 2 × 2 quanto -2 × -2 dão 4.

Todavia, o símbolo “√”, comumente utilizado, não significa simplesmente raiz quadrada. Ele expressa, na verdade, a raiz quadrada não negativa, também chamada de raiz quadrada principal. No caso, portanto, tem-se que √4 = 2.

Essa operação é importante para a resolução de uma série de problemas algébricos, como as equações do segundo grau e as funções matemáticas. Por isso, a matéria é obrigatória para a prova de Matemática no Enem. Neste post, você encontra diversas dicas detalhadas sobre o tema. Continue a ler para dominar os conhecimentos da raiz quadrada!

Conheça os elementos da raiz quadrada

A raiz quadrada é uma especialidade da radiciação, uma forma mais geral para se obter raízes numéricas. Embora o assunto pareça complicado, para utilizá-lo com fluência basta compreender os termos básicos e treinar suas técnicas. Tomemos como exemplo a expressão √n = x.

O primeiro elemento da raiz quadrada é o símbolo “√”, conhecido como radical. Conta-se que ele se origina da letra ج, utilizada pelos árabes, que são protagonistas fundamentais na história da Matemática. Uma hipótese alternativa é que ele vem da letra r, por causa do termo radix, de origem latina.

O segundo elemento da radiciação é o índice, porém, ele fica omitido no caso da raiz quadrada. O índice é esse número que fica contido na dobra do radical, por exemplo, na raiz cúbica de x tem-se ³√n.

Uma curiosidade é que, em radiciação, cada índice demanda uma nomenclatura, na seguinte ordem:

• raiz quadrada: índice 2 (o índice não precisa ser escrito);
• raiz cúbica: índice 3;
• raiz quarta: índice 4;
• raiz quinta: índice 5 (e assim por diante).

O terceiro elemento de uma expressão de raiz é o radicando, isto é, o número n do qual se deseja obter a raiz. Por fim, o quarto elemento é a raiz propriamente dita, x, que é o resultado da operação. A seguir, cada elemento será abordado separadamente.

 Índice

O índice, portanto, é o elemento que caracteriza a operação da radiciação, definindo o tipo de raiz desejada. Para se ter uma ideia de como ele modifica a expressão, um bom exemplo é a diferença entre a raiz quadrada e a raiz quarta do número 81.

No primeiro caso, com índice 2, tem-se √81 = x. Como 92 = 81, isto é, 9 × 9 = 81, a resposta para a raiz quadrada desejada será simplesmente 9.

No segundo caso, com índice 4, as coisas mudam. Para encontrar o resultado de 4√81 = x, deve-se descobrir um número que, elevado à quarta potência, resulta em 81. No caso, esse número será 3, pois 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81, dado que 3 × 3 = 9 × 3 = 27 × 3 = 81.

Uma boa dica para dominar os diferentes índices é lembrar que ele sempre traz uma consequência exponencial para a operação solicitada. Em outras palavras, a expressão √n = x equivale a dizer que x2 = n. Do mesmo modo, considerando que o índice seja um número y inteiro, a expressão y√n = x equivale a dizer que xy = n.

Radical

Em relação ao radical, basta saber que ele é o símbolo que convoca a operação de radiciação. Onde houver o “√” presente, deve-se utilizar os conhecimentos matemáticos para encontrar a raiz solicitada.

Raiz

A raiz, por sua vez, é o resultado da operação de radiciação realizada. Na expressão √n = x, a raiz é o número x que, elevado ao quadrado (ou multiplicado por ele mesmo) será igual a n. Em outras palavras, se a raiz for x e o radicando for n, teremos que x2 = n.

Radicando

O radicando, portanto, é o número a partir do qual se deseja extrair a raiz. Ele é representado pelo n na expressão √n = x. O quadrado de x, portanto, deverá ser exatamente igual ao radicando n, de modo que x2 = n.

Entenda quais são os principais tipos

Como dissemos, a operação de raiz quadrada resulta em um número x que, multiplicado por ele mesmo, é igual a outro número n. Dependendo do valor obtido, porém, a raiz quadrada pode ser classificada em dois tipos, o quadrado perfeito ou o quadrado imperfeito. Eles serão mais bem explicados a seguir.

Cabe lembrar, em todo caso, que a raiz quadrada é apenas um dos tipos da operação mais geral da radiciação. Diferentes índices podem ser usados para se obter raízes cúbicas, raízes quartas, raízes quintas etc.

Quadrado perfeito

O primeiro tipo de raiz quadrada ocorre quando o resultado obtido é um número sem casas decimais. Por exemplo, em √25 = 5, o valor encontrado corresponde a um inteiro. Nesse caso, a raiz será denominada quadrado perfeito, podendo ser chamada de raiz quadrada exata também.

Quadrado imperfeito

O segundo tipo de raiz quadrada ocorre quando o resultado obtido não é um número inteiro. Nesse caso, a raiz será denominada quadrado imperfeito, e pode ser chamada de raiz quadrada não exata também.

Em qualquer situação de quadrado imperfeito, os valores encontrados estarão incluídos nos números irracionais, apresentando casas decimais infinitas. Por esse motivo, para calcular a resposta, deve ser usado um método de aproximação.

Saiba como calcular

Embora possa parecer complicado, calcular a raiz quadrada é algo simples. Basta encontrar o número x que, multiplicado por ele mesmo, resulta no número n, o radicando. Repetindo, x2 = n.

Essa operação não apresenta grandes dificuldades no caso de raiz quadrada exata. Porém, quando se trata de raiz quadrada não exata, é importante conhecer o passo a passo e inclui-lo com atenção no plano de estudos. Essa diferença vai ficar mais clara com os exemplos a seguir.

Raiz quadrada exata

Aqui, trata-se apenas uma questão de prática, para que os números inteiros sejam assimilados aos seus quadrados correspondentes. Um método que ajuda é trabalhar com limites superior e inferior.

Por exemplo, deseja-se encontrar √324, pressupondo que o resultado seja um número inteiro. Como 172 = 289 e 192 = 361, a resposta deverá estar entre esses dois números. Logo, tem-se que 182 = 18 × 18 = 324.

Raiz quadrada não exata

Para a raiz quadrada não exata, a situação é similar à dos limites inferior e superior, porém com a dificuldade extra dos números decimais. Porém, não é nada para se preocupar, pois tudo pode ser resolvido de maneira tranquila seguindo o método adequado.

O ponto central é fazer uma projeção entre as raízes próximas do número desejado. Nesse método, opera-se por aproximação, adicionando uma ou mais casas decimais ao número inteiro.

Por exemplo, para se obter √70, parte-se do número 8, pois √64 = 8. Assim:

8,1 × 8,1 = 65,61

8,2 × 8,2 = 67,24

8,3 × 8,3 = 68,89

8,4 × 8,4 = 70,56

Logo, o resultado por aproximação, com uma casa decimal, é 8,4. Para se obter maior precisão, é possível adicionar mais casas decimais, seguindo o mesmo método.

Treine os cálculos de forma constante

Se ainda parece difícil, fique tranquilo. Como qualquer conteúdo relacionado à Matemática e suas Tecnologias, dominar a técnica da raiz quadrada exige prática e treinamento constantes. Continue a exercitar para ficar cada vez melhor na resolução dos problemas.

Ocasionalmente, é interessante realizar um simulado de vestibular. Além disso, os recursos do Trilha do Enem permitem testar conhecimentos e criar planos de estudos personalizados. A plataforma pode ajudar a alcançar êxito no vestibular tradicional e também no vestibular online.

Acima de tudo, é indispensável continuar desenvolvendo as aptidões em Matemática, com especial atenção para as questões mais importantes que podem ser cobradas na prova. Por isso, não deixe de assistir ao vídeo a seguir, que contém mais dicas preciosas.

Gostou de relembrar os principais aspectos da raiz quadrada? As coisas ficam mais simples quando se tem em mãos um roteiro apropriado, feito por profissionais qualificados, concorda?

Então, aproveite as dicas da nossa planilha e descubra todos os segredos sobre como organizar os estudos para o Enem!