Wie viele rechte Winkel kann ein Dreieck haben

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Nach zehn Folgen Arithmetik und Algebra kommen wir nun zu einem neuen Themenbereich, der Geometrie. Das Wort Geometrie kommt aus der griechischen Sprache und bedeutet soviel wie Landmessung. Für uns ist die Geometrie ein Teilgebiet der Mathematik, für das man traditionellerweise Geodreieck und Zirkel benutzt. Aber in dieser Folge wird es vor allem um die rechnerische Bestimmung von Seitenlängen und Winkelmaßen von Vielecken gehen. Und hier ganz speziell von Dreiecken.

Was ist rechtwinkliges Dreieck? Ein Dreieck, bei dem ein Innenwinkel das Winkelmaß 90 Grad besitzt, heißt rechtwinkliges Dreieck. Der 90-Grad-Winkel, der rechter Winkel heißt, wird durch einen Punkt im Viertelkreis gekennzeichnet. Er kann am Eckpunkt A anliegen, aber auch am Eckpunkt B oder am Eckpunkt C. Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite heißt Hypotenuse. Die beiden anderen Seiten, die die Schenkel des 90-Gradwinkels bilden, tragen jede die Bezeichnung Kathete.

Die Innenwinkelsumme eines jeden Dreiecks beträgt 180 Grad. Das bedeutet, dass im rechtwinkligen Dreieck der rechte Winkel immer der größte Winkel dieses Dreiecks ist.

Jetzt zu zwei wichtigen Teilstrecken der Hypotenuse: Die Höhe h eines rechtwinkligen Dreiecks teilt die Hypotenuse in zwei Hypotenusenabschnitte, hier bezeichnet mit p und q. p ist der Hypotenusenabschnitt, der an der Kathete a anliegt, q der an der Seite b anliegende Hypotenusenabschnitt.

Gibt es eine Beziehung zwischen den drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? Dazu betrachten wir die Flächeninhalte der Quadrate, die sich über den Seiten bilden lassen.

Der Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse c ist c hoch zwei. Der Flächeninhalt über der Kathete a ist a hoch zwei und der über der Kathete b ist b hoch zwei.

Jetzt wollen wir das Zusammenspiel dieser Flächen genauer betrachten. Nehmen wir als erstes die beiden Flächen über den Katheten.

Ergänzt man die Fläche zu einem Quadrat, hat dieses Quadrat die Seitenlänge a plus b. Die Ergänzungsflächen bestehen aus vier deckungsgleichen rechtwinkligen Dreiecken mit den Katheten a und b.Das Gleiche machen wir mit dem Quadrat über der Hypotenuse. Hier kann das rechtwinklige Dreieck ABC an jeder Quadratseite angesetzt werden und es entsteht wieder ein Quadrat mit der Seitenlänge a plus b.

Wenn man von beiden Zeichnungen, die ja ein gleich großes Quadrat darstellen, die vier deckungsgleichen Dreiecke entnimmt, müssen die Restflächen gleiche Größe haben.

Und schon haben wir eine Beziehung zwischen den drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Den Sachverhalt haben aber nicht wir entdeckt - obwohl auch uns das gelungen wäre, wie wir es gesehen haben - sondern bereits vor 2.500 Jahren hat Herr Pythagoras bei Spielchen im Sand diesen Zusammenhang gefunden. Daher trägt er auch seinen Namen und bildet den bekannten Satz von Pythagoras.

Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck, das einen 90°-Winkel, also einen rechten Winkel besitzt. Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite ist die längste Seite des Dreiecks und wird Hypotenuse genannt. Die beiden anderen Seiten heißen Katheten.

Kann ein Dreieck 3 rechte Winkel haben?

Nein, zumindest nicht in der "üblichen" (sog. euklidischen) Geometrie - da sind Dreiecke als Gebilde aus drei geraden Linien definiert und haben grundsätzlich eine Winkelsumme von 180° - bei zwei Winkeln von je 90° blieben noch 0° für den dritten Winkel, und ein Winkel von 0° ist keiner ...

Kann ein Dreieck 2 rechte Winkel haben?

Es Dreieck kann max. 1 rechtwinkligen Winkel besitzen und dann ist es ein rechtwinkliges Dreieck. Euklidische Geomtrie: Einen. ... Bei 2 rechten Winkeln (2*90 grad=180 grad) würde es ja dann nur zwei Winkel geben, da kannst Du selber sehen, dass es kein Sinn macht, deshalb nur EINEN rechten Winkel!

Welche Eigenschaften gelten für jedes Parallelogramm?

Eigenschaften

• Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und keine zwei gegenüberliegende Seiten schneiden sich (kein überschlagenes Viereck, sogenanntes Antiparallelogramm).
• Zwei Seiten sind parallel und gleich lang.
• Gegenüber liegende Winkel sind gleich groß.
• Je zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°.

Zwischen den Winkeln und Seiten in einem Dreieck gelten zahlreiche Zusammenhänge.So besteht zwischen den Winkeln eines Dreiecks folgende Beziehung:Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180° (Innenwinkelsummensatz).Für die Seiten eines Dreiecks gilt folgende Beziehung:Die Summe der Längen zweier Seiten ist stets größer als die Länge der dritten Seite (Dreiecksungleichung).Zwischen den Seiten und Winkeln in einem Dreieck gilt folgende Beziehung:

Der längeren von zwei Seiten liegt stets der größere der entsprechenden Innenwinkel gegenüber.

In diesen Erklärungen erfährst du, welche Dreiecke es gibt, welche Eigenschaften sie haben und welche speziellen Linien im Dreieck existieren. Weiter erfährst du, wie du den Umfang und den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen kannst.

Jedes Dreieck hat drei Eckpunkte, drei Seiten und drei Winkel.Für die Beschriftung der Eckpunkte eines Dreiecks verwendest du große Buchstaben in alphabetischer Reihenfolge (zum Beispiel A, B und C). Die Beschriftung erfolgt üblicherweise gegen den Uhrzeigersinn.Die Seiten werden mit kleinen Buchstaben (zum Beispiel a, b und c) beschriftet. Dabei liegt die Seite a dem Eckpunkt A gegenüber und verbindet die Punkte B und C. Nach dem gleichen Prinzip werden die beiden anderen Seiten beschriftet.Für Winkel werden kleine griechische Buchstaben verwendet (zum Beispiel α, β und γ). Dabei ist α der Winkel am Eckpunkt A, β liegt am Eckpunkt B und γ am Eckpunkt C.Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180 ° .

Winkelsumme: α + β + γ = 180 °

Winkelsumme im Dreieck

Es gibt verschiedene Dreiecksarten. Du kannst diese nach der Größe ihrer Winkel und nach der Länge ihrer Seiten einteilen:Winkelgröße:

Spitzwinkliges DreieckIn einem spitzwinkligen Dreieck sind alle Winkel kleiner als 90 ° .

Rechtwinkliges DreieckIn einem rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel genau 90 ° groß.

Stumpfwinkliges DreieckIn einem stumpfwinkligen Dreieck ist ein Winkel größer als 90 ° .

Gleichschenkliges DreieckIn einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten (die beiden Schenkel) gleich lang. Der Schnittpunkt der beiden Seiten heißt Spitze. Die dritte Seite wird Basis genannt, und die beiden an der Basis anliegenden Winkel sind die Basiswinkel.

Spezielle gleichschenklige Dreiecke

Gleichseitiges DreieckIn einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleichgroß ( 60 ° ).

Eine Figur, die an einer Geraden g auf sich selbst gespiegelt werden kann, heißt achsensymmetrisch zur Geraden g. Diese Gerade heißt Symmetrieachse.

Gleichschenkliges Dreieck

Gleichseitiges Dreieck

Im Dreieck gibt es spezielle Linien, auch Transversalen genannt, die den Eckpunkten oder Seiten des Dreiecks zugeordnet sind:- Höhe- Mittelsenkrechte- Seitenhalbierende- WinkelhalbierendeJede Höhe eines Dreiecks ist eine Strecke, geht durch einen Eckpunkt und steht senkrecht auf der gegenüberliegenden Dreiecksseite oder deren Verlängerung.Höhen sind wichtig für die Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks.

Jede Mittelsenkrechte eines Dreiecks ist eine Gerade und verläuft senkrecht durch den Mittelpunkt einer der Dreiecksseiten.

Jede Seitenhalbierende eines Dreiecks ist eine Strecke und verbindet einen Eckpunkt des Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite.

Jede Winkelhalbierende eines Dreiecks ist eine Halbgerade und teilt den dazugehörigen Winkel in zwei gleich große Winkel.

Höhen in einem stumpfwinkligen Dreieck

Mittelsenkrechten in einem stumpfwinkligen Dreieck

Spezielle Linien im gleichseitigen Dreieck

Den Umfang U eines Dreiecks berechnest du, indem du alle Seitenlängen addierst. Werden die Seitenlängen eines Dreiecks mit a, b und c bezeichnet, dann berechnest du den Umfang mit folgender Formel: U = a + b + c

Den Flächeninhalt eines Dreiecks (A) berechnest du, indem du die Länge der Grundseite g mit der zugehörigen Höhe h multiplizierst und das Produkt durch 2 dividierst: A = 1 2 g · h Da es drei verschiedene Grundseiten und die jeweiligen zugehörigen Höhen im Dreieck gibt, gibt es drei verschiedene Möglichkeiten den Flächeninhalt zu berechnen: A = 1 2 a · h a , wobei a die Länge einer Seite und h a die zugehörige Höhe bezeichnet. A = 1 2 b · h b , wobei b die Länge einer Seite und h b die zugehörige Höhe bezeichnet. A = 1 2 c · h c , wobei c die Länge einer Seite und h c die zugehörige Höhe bezeichnet.Den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks (A) berechnest du, indem du die Längen der Seiten, die den rechten Winkel einschließen, multiplizierst: A = 1 2 a · b , wobei a und b die Längen der Seiten, die den rechten Winkel einschließen, bezeichnen.

Umfang eines Dreiecks: U = a + b + c

Flächeninhalt eines Dreiecks: A = 1 2 a · h a = 1 2 b · h b = 1 2 c · h c

Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreieck: A = 1 2 a · b

Woher kommt die Formel zur Flächeninhaltsberechnung eines Dreiecks?

Flächeninhalt eines DreiecksBerechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

Flächeninhalt berechnen

A = 3026 cm 2

Flächeninhalt eines rechtwinkligen DreiecksBerechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

Flächeninhalt berechnen

A = 403 cm 2

Berechnung einer Seitenlänge im DreieckVon einem Dreieck sind der Umfang U = 19 cm und zwei Seitenlängen a = 6 cm und b = 3 cm gegeben. Berechne die Länge der dritten Seite c.

Seitenlänge berechnen

c = 10 cm

Berechnung einer Höhe im DreieckVon einem Dreieck sind der Flächeninhalt A = 42 m 2 und die Seitenlänge a = 12 m gegeben. Berechne die zugehörige Höhe.

Höhe berechnen

h a = 7 m

Die Dreiecksungleichung besagt:In jedem Dreieck ist eine Seitenlänge immer kleiner als die Summe der beiden anderen Seitenlängen.Mit Hilfe der Dreiecksungleichung kannst du überprüfen, ob ein Dreieck konstruierbar ist. Umgekehrt gilt, dass jedes Dreieck die Dreiecksungleichung erfüllt.

Beispiel für ein konstruierbares Dreieck Mit den Seitenlängen a = 4.5 cm , b = 6 cm und c = 7.5 cm ist ein Dreieck konstruierbar.

Beispiel für ein nicht konstruierbares DreieckMit den Seitenlängen a = 3 cm , b = 5 cm und c = 10 cm ist kein Dreieck konstruierbar.