Como resolver jm polinômio sem raiz quadrada

Rosimar Gouveia

Professora de Matemática e Física

Fatoração é um processo utilizado na matemática que consiste em representar um número ou uma expressão como produto de fatores.

Ao escrever um polinômio como a multiplicação de outros polinômios, frequentemente conseguimos simplificar a expressão.

Confira abaixo os tipos de fatoração de polinômios:

Fator Comum em Evidência

Usamos esse tipo de fatoração quando existe um fator que se repete em todos os termos do polinômio.

Esse fator, que pode conter número e letras, será colocado na frente dos parênteses.

Dentro dos parênteses ficará o resultado da divisão de cada termo do polinômio pelo fator comum.

Na prática, vamos fazer os seguintes passos:

1º) Identificar se existe algum número que divide todos os coeficientes do polinômio e letras que se repetem em todos os termos. 2º) Colocar os fatores comuns (número e letras) na frente dos parênteses (em evidência).

3º) Colocar dentro dos parênteses o resultado da divisão de cada fator do polinômio pelo fator que está em evidência. No caso das letras, usamos a regra da divisão de potências de mesma base.

Exemplos

a) Qual é a forma fatorada do polinômio 12x + 6y - 9z?

Primeiro, identificamos que o número 3 divide todos os coeficientes e que não existe nenhuma letra que se repete.

Colocamos o número 3 na frente dos parênteses, dividimos todos os termos por três e o resultado iremos colocar dentro dos parênteses:

12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z)

b) Fatore 2a2b + 3a3c - a4.

Como não existe número que divide ao mesmo tempo 2, 3 e 1, não iremos colocar nenhum número na frente dos parênteses.

A letra a se repete em todos os termos. O fator comum será o a2, que é o menor expoente do a na expressão.

Dividimos cada termo do polinômio por a2:

2a2 b : a2 = 2a2 - 2 b = 2b

3a3c : a2 = 3a3 - 2 c = 3ac

a4 : a2 = a2

Colocamos o a2 na frente dos parênteses e os resultados das divisões dentro dos parênteses:

2a2b + 3a3c - a4 = a2 (2b + 3ac - a2)

Agrupamento

No polinômio que não exista um fator que se repita em todos os termos, podemos usar a fatoração por agrupamento.

Para isso, devemos identificar os termos que podem ser agrupados por fatores comuns.

Nesse tipo de fatoração, colocamos os fatores comuns dos agrupamentos em evidência.

Exemplo

Fatore o polinômio mx + 3nx + my + 3ny

Os termos mx e 3nx tem como fator comum o x. Já os termos my e 3ny possuem como fator comum o y.

Colocando esses fatores em evidência:

x (m + 3n) + y (m + 3n)

Note que o (m + 3n) agora também se repete nos dois termos.

Colocando novamente em evidência, encontramos a forma fatorada do polinômio:

mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) (x + y)

Trinômio Quadrado Perfeito

Trinômios são polinômios com 3 termos.

Os trinômios quadrados perfeitos a2 + 2ab + b2 e a2 - 2ab + b2 resultam do produto notável do tipo (a + b)2 e (a - b)2.

Assim, a fatoração do trinômio quadrado perfeito será:

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (quadrado da soma de dois termos)

a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 (quadrado da diferença de dois termos)

Para saber se realmente um trinômio é quadrado perfeito, fazemos o seguinte:

1º) Calcular a raiz quadrada dos termos que aparecem ao quadrado. 2º) Multiplicar os valores encontrados por 2.

3º) Comparar o valor encontrado com o termo que não apresenta quadrados. Se forem iguais, é um quadrado perfeito.

Exemplos

a) Fatorar o polinômio x2 + 6x + 9

Primeiro, temos que testar se o polinômio é quadrado perfeito.

√x2 = x e √9 = 3

Multiplicando por 2, encontramos: 2 . 3 . x = 6x

Como o valor encontrado é igual ao termo que não está ao quadrado, o polinômio é quadrado perfeito.

Assim, a fatoração será:

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

b) Fatorar o polinômio x2 - 8xy + 9y2

Testando se é trinômio quadrado perfeito:

√x2 = x e √9y2 = 3y

Fazendo a multiplicação: 2 . x . 3y = 6xy

O valor encontrado não coincide com o termo do polinômio (8xy ≠ 6xy).

Como não é um trinômio quadrado perfeito, não podemos usar esse tipo de fatoração.

Diferença de Dois Quadrados

Para fatorar polinômios do tipo a2 - b2 usamos o produto notável da soma pela diferença.

Assim, a fatoração de polinômios desse tipo será:

a2 - b2 = (a + b) . (a - b)

Para fatorar, devemos calcular a raiz quadrada dos dois termos.

Depois, escrever o produto da soma dos valores encontrados pela diferença desses valores.

Exemplo

Fatorar o binômio 9x2 - 25.

Primeiro, encontrar a raiz quadrada dos termos:

√9x2 = 3x e √25 = 5

Escrever esses valores como produto da soma pela diferença:

9x2 - 25 = (3x + 5) . (3x - 5)

Cubo Perfeito

Os polinômios a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 e a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 resultam do produto notável do tipo (a + b)3 ou (a - b)3.

Assim, a forma fatorada do cubo perfeito é:

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3

Para fatorar polinômios desse tipo, devemos calcular a raiz cúbica dos termos ao cubo.

Depois, é necessário confirmar se o polinômio é cubo perfeito.

Se for, elevamos ao cubo a soma ou a subtração dos valores das raízes cúbicas encontradas.

Exemplos

a) Fatorar o polinômio x3 + 6x2 + 12x + 8

Primeiro, vamos calcular a raiz cúbica dos termos ao cubo:

3√ x3 = x e 3√ 8 = 2

Depois, confirmar se é cubo perfeito:

3 . x2 . 2 = 6x2

3 . x . 22 = 12x

Como os termos encontrados são iguais aos termos do polinômio, então é um cubo perfeito.

Assim, a fatoração será:

x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3

b) Fatorar o polinômio a3 - 9a2 + 27a - 27

Primeiro vamos calcular a raiz cúbica dos termos ao cubo:

3√ a3 = a e 3√ - 27 = - 3

Depois confirmar se é cubo perfeito:

3 . a2 . (- 3) = - 9a2

3 . a . (- 3)2 = 27a

Como os termos encontrados são iguais aos termos do polinômio, então é um cubo perfeito.

Assim, a fatoração será:

a3 - 9a2 + 27a - 27 = (a - 3)3

Leia também:

• Potenciação
• Polinômios
• Função Polinomial
• Números Primos

Exercícios Resolvidos

Fatore os seguintes polinômios:

a) 33x + 22y – 55z b) 6nx – 6ny c) 4x – 8c + mx – 2mc

d) 49 – a2

Veja também:

Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.

Determinar as raízes ou zero de uma função do 2º grau consiste em determinar os pontos de intersecção da parábola com o eixo das abscissas no plano cartesiano. Dada a função f(x) = ax² + bx + c, podemos determinar sua raiz considerando f(x) = 0, dessa forma obtemos a equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, que pode ser resolvida pelo método resolutivo de Bháskara.

O propósito de resolver uma equação do 2º grau é calcular os possíveis valores de x, que satisfazem a equação. Os possíveis resultados da equação consistem na solução ou raiz da função. O número de raízes de uma equação do 2º grau depende do valor do discriminante (?), observe as condições a seguir:

? > 0 → a função do 2º grau possui duas raízes reais distintas. ? = 0 → a função do 2º grau possui apenas uma raiz real.

? < 0 → a função do 2º grau não possui nenhuma raiz real.

Exemplos 1 x² – 5x + 6 = 0 ? = b² – 4ac ? = (– 5)² – 4 * 1 * 6 ? = 25 – 24 ? = 1 Possui duas raízes reais e distintas, isto é, a parábola intersecta o eixo x em dois pontos.

Exemplo 2 x² – 4x + 4 = 0 ? = b² – 4ac ? = (– 4)² – 4 * 1 * 4 ? = 16 – 16 ? = 0 Possui apenas uma raiz real, a parábola intersecta o eixo x em um único ponto.

Exemplo 3 x² + 2x + 2 = 0 ? = b² – 4ac ? = (2)² – 4 * 1 * 2 ? = 4 – 8 ? = – 4 Não possui raiz real, a parábola não intersecta o eixo x.

Publicado por Marcos Noé Pedro da Silva

Ao resolver uma equação polinomial p(x) = 0, podemos identificar várias raízes e, dentre elas, destacam-se as raízes complexas. Se um número complexo z é raiz de uma equação polinomial de grau n (n > 1, n

Antes de vermos alguns exemplos de raízes complexas, vamos relembrar alguns conceitos dos números complexos. Um número complexo z é escrito na forma z = a + b.i e seu conjugado z é representado na forma z = a – b.i. Devemos ter cuidado ao realizar operações com os números complexos, veja alguns exemplos:

Adição e Subtração:

Nas operações de adição e subtração, devemos operar a parte real de um complexo com a parte real de outro, enquanto a parte imaginária de um só é operada com a parte imaginária do outro. Considere os números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di:

z1 + z2 = (a + c) + (b + d).i
z1 – z2 = (a – c) + (b – d).i

Multiplicação:

Devemos aplicar a propriedade distributiva para todos os elementos dos complexos:

z1 . z2 = ac – bd + (ad + bc).i

Operações com Conjugados:

Como encontrar raízes complexas em uma equação polinomial?

Vamos resolver a seguinte equação polinomial: x4 – 2x2 + 16x – 15 = 0, sabendo que z = 1 + 2i é solução da equação.

Se z = 1 + 2i é solução da equação, então seu conjugado z = 1 – 2i também é solução. Sendo assim, o produto (x – z).(x – z) divide o polinômio p(x) = x4 – 2x2 + 16x – 15:

(x – z).(x – z) = [x – (1 + 2i )] [x – (1 – 2i)]

(x – z).(x – z) = (x – 1 – 2i).(x – 1 + 2i)

(x – z).(x – z) = x² – x + 2xi – x + 1 – 2i – 2xi + 2i – (2.i)²

(x – z).(x – z) = x² – 2x + 1 – 4.(√– 1)²

(x – z).(x – z) = x² – 2x + 5

Dividindo o polinômio x4 – 2x2 + 16x – 15 por x² – 2x + 5, obtemos a equação polinomial: x² + 2x – 3 = 0. Já essa equação pode ser facilmente resolvida através da fórmula de Bhaskara:

Δ = b² – 4.a.c

Δ = 2² – 4.1.(– 3)

Δ = 4 + 12

Δ = 16

x = – b ± √Δ
       2.a

x = – 2 ± √16
        2.1

x = – 2 ± 4
        2

x1 = – 2 + 4
         2

x1 = 2
       2

x1 = 1

x2 = – 2 – 4
        2

x2 = – 6
        2

x2 = – 3

Portanto, o conjunto solução da equação polinomial x4 – 2x2 + 16x – 15 = 0 é S = {– 3, 1, 1 + 2i, 1 – 2i}.