Penyelesaian persamaan 2 sin x = 1 untuk 0 ≤ x ≤ 360 x yang memenuhi adalah

You're Reading a Free Preview
Pages 8 to 13 are not shown in this preview.

You're Reading a Free Preview
Pages 18 to 27 are not shown in this preview.

Himpunan penyelesaian dari persamaan 2 sin 3x = 1 untuk 0° ≤ x ≤ 360°adalah {10°, 50°, 130°, 170°, 250° dan 290°}. [E]

Bentuk umum persamaan trigonometri sebagai berikut.

1. Persamaan trigonometri sin x = sin a°

Himpunan penyelesaian untuk bentuk sin x = sin a° adalah

x = a° + k . 360° atau x = [180° - a°] + k . 360°

x = a° + k . 2π atau x = [ - a°] + k . 2π

2. Persamaan trigonometri cos x = cos a°

Himpunan penyelesaian untuk bentuk cos x = cos a° adalah

x = a° + k . 360° atau x = -a° + k . 360°

x = a° + k . 2π atau x = -a° + k . 2π

3. Persamaan trigonometri tan x = tan a°

Himpunan penyelesaian untuk bentuk tan x = tan a° adalah

2 sin 3x = 1 , 0° ≤ x ≤ 360°

himpunan penyelesaian....?

2 sin 3x = 1 , 0° ≤ x ≤ 360°

Himpunan penyelesaian bentuk sin x = sin a°

------------------------- bagi 3

k = 0 ⇒ x = 10° + 0 . 120°

k = 1 ⇒ x = 10° + 1 . 120°

k = 2 ⇒ x = 10° + 2 . 120°

k = 3 ⇒ x = 10° + 3 . 120°

x = 370° [tidak memenuhi karena diluar interval 0° ≤ x ≤ 360°]

3x = [180° - 30°] + k . 360°

--------------------------- bagi 3

k = 0 ⇒ x = 50° + 0 . 120°

k = 1 ⇒ x = 50° + 1 . 120°

k = 2 ⇒ x = 50° + 2 . 120°

k = 3 ⇒ x = 50° + 3 . 120°

x = 410° [tidak memenuhi karena diluar interval 0° ≤ x ≤ 360°]

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan 2 sin 3x = 1 adalah {10°, 50°, 130°, 170°, 250° dan 290°}.

Mentok ngerjain soal? Foto aja pake aplikasi CoLearn. Anti ribet ✅Cobain, yuk!

wk pake rumus kurang paham soalnya makasih :*

Elastisitas tarik atau kecendrungan suatu bahan untuk berubah bentuk, dan digunakan sebagai ukuran kekakuan suatu bahan yang elastis. Hal ini dikemuka … kan oleh….

tentukan turunan darif[x] = [tex] \frac{x^{4} \sqrt{x} }{ {x}^{2} - 4} [/tex]

hai kak boleh bantu aku ngak cariin berita yang ada data median modus mean kuartil dan jawabannya makasihhh

Sebuah pegas bertambah panjang 15 cm ketika pegas tersebut ditarik dengan gaya 30 N. Tetapan gaya pegas tersebut adalah….

tolong dibantu ya dikumpulkan hari ini

Data transaksi yang terjadi pada toko Murah Rajaki selama bulan September 2020 [sebagian] sebagai berikut. Sep 1 Sebagai modal awal, pak Sugeng menyet … orkan uang sebesar Rp 40.000.000,00 kepada toko Murah Rajaki yang baru dirintisnya . 3 Menjual barang dagang kepada bu Safitri sebesar Rp 2.400.000,00, secara tunai. 4 Membeli peralatan toko dari toko Jaya mas Rp 6.000.000,00 dengan syarat 2/15, n/30 6 Membeli barang dagang dari UD Rejeki Rp 5.300.000,00 dengan syarat 2/10, n/30 Berdasarkan data keuangan toko Murah Rajaki [sebagian], catatlah transaksi tersebut kedalam buku jurnal yang diperlukan.

Tiga buah pegas identic yang mempunyai kostanta 60 N/m, disusun seperti pada gambar. Konstanta gabungan pegas adalah….

Rumus luas daerah yang diarsir pada gambar adalah ....

Dua buah cermin membentuk sudut 4 derajat, maka bayangan yang terbentuk sebanyak…bayangan

1. Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x = 1/2

2. Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari cos x = 1/2

3. Untuk 0° ≤ x ≤ 720° tentukan himpunan penyelesaian dari sin [x − 30] = 1/2 √3

B. {90°, 150°, 450°, 510°}

4. Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari cos [x − 30°] = 1/2 √2

5. Himpunan penyelesaian persamaan: cos 2x + sin x = 0 untuk 0 < x ≤ 2π adalah.....

6. Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + 5 sin x + 2 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah…

7. Himpunan penyelesaian persamaan 2cos 2x − 3 cos x + 1 = 0 untuk 0 < x < 2π adalah…

8. Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x + 3 sin 2x = −1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah…

9. Himpunan penyelesaian dari 2 sin2 x − 3 sin x + 1 = 0 dengan 0° ≤ x ≤ 360° adalah....

10. Untuk 0 ≤ x ≤ 360 tentukan himpunan penyelesaian dari sin 3x = ½

A. {15o, 50o, 130o, 170o, 250o, 290o}

B. {10o, 50o, 160o, 170o, 250o, 290o}

C. {10o, 50o, 130o, 170o, 250o, 290o}

D. {10o, 60o, 130o, 170o, 250o, 290o}

E. {10o, 50o, 130o, 170o, 250o, 340o}

11. Untuk 0o ≤ x ≤ 180o tentukan himpunan penyelesaian dari cos 5x = 1/2 √2

A. {10o, 63o, 81o, 135o, 153o}

B. {9o, 63o, 91o, 135o, }

C. {9o, 63o, 81o, 135o, 153o}

12. Himpunan penyelesaian dari persamaan tan 4x = √3 0 ≤ x ≤ 360 adalah ….

A. {15o, 60o,145o,150o,195o,240o,285o,330o}

B. {15o, 60o,105o,150o,185o,240o,285o,330o}

C. {25o, 60o,105o,150o,195o,240o,285o,330o}

D. {15o, 60o,105o,150o,195o,240o,285o,330o}

E. {15o, 60o,105o,150o,195o,240o,285o,340o}

13. Himpunan penyelesaian dari persamaan sin 3x = cos 2x dengan 0o ≤ x ≤ 360o adalah …

A. {30o, 90o, 162o, 234o, 306o}

B. {18o, 120o, 162o, 234o, 306o}

C. {18o, 90o, 162o, 244o, 306o}

D. {28o, 90o, 192o, 234o, 306o}

E. {18o, 90o, 162o, 234o, 306o}

14. Diketahui persamaan sin 5x + sin 3x = cos x dengan 0o ≤ x ≤ 360o . Himpunan penyelesaiannya adalah …

A. {15o, 30o, 90o, 105o, 120o, 195o, 210o, 270o, 285o, 300o}

B. {15o, 30o, 90o, 115o, 120o, 195o, 210o, 270o, 285o, 320o}

C. {25o, 30o, 90o, 105o, 120o, 195o, 240o, 270o, 285o, 300o}

D. {15o, 30o, 80o, 105o, 150o, 195o, 210o, 270o, 285o, 300o}

E. {15o, 30o, 90o, 105o, 120o, 195o, 210o, 270o, 285o, 340o}

15. Nilai x yang memenuhi persamaan 2 cos⁡[2x − 60] = √3 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah ….

A. 20° B. 30° C. 45° D. 60°

E. 90°

16. Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + cos x = 0, 0° ≤ x ≤ 180° adalah ….

A. {45°, 120°} B. {45°, 135°} C. {60°, 135°} D. {60°, 120°}

E. {60°, 180°}

17. Himpunan penyelesaian dari persamaan cos ⁡2x − 3 cos⁡ x + 2 = 0 pada interval 0° ≤ x ≤ 360° adalah ….

A. {0°, 60°, 120°} B. {60°, 120°, 180°} C. {60°, 180°, 360°} D. {0°, 60°, 120°, 180°}

E. {0°, 60°, 300°, 360°}

18. Nilai x yang memenuhi persamaan cos⁡ 2x − sin ⁡x = 0 untuk 0° < x < 360° adalah ....

A. {30°, 150°} B. {30°, 270°} C. {30°, 150°, 180°} D. {60°, 120°, 300°}

E. {30°, 150°, 270°}

19. Himpunan penyelesaian dari persamaan cos⁡ 4x + 3 sin ⁡2x = −1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah

A. {120°, 105°} B. {105°, 165°} C. {30°, 105°} D. {30°, 165°}

E. {15°, 105°}

20. Diketahui persamaan trigonometri √2 sin x + 1 = 0. Himpunan penyelesaian untuk 0 ≤ x ≤ 2π

21.Nilai dari cos²15° + cos²35° + cos²55° + cos²75° adalah...

22. Jika sin[x-600]° = cos[x-450]° maka nilai dari tanx adalah...

23. Diketahui sinx + cosx = -1/5. Maka nilai dari sin2x adalah...

24. Nilai tanx dari persamaan cos2x - 3sinx - 1 = 0 adalah...

25.Bentuk sederhana dari bentuk trigonometri [1 + cot2 β] / [cot β . sec2 β] adalah...

26. nilai dari [sin α - cos α]2 + 2 sin α cos α adalah....

27. Bentuk sederhana dari bentuk trigonometri 1 - cos2 β adalah...

28. Bentuk sederhana dari bentuk trigonometri sin2 α - cos2 α adalah...

29. Bentuk sederhana dari bentuk trigonometri tan2 α - 1adalah...

30. Bentuk sederhana dari bentuk trigonometri sin2 α - 2 sin α cos α + cos2 α adalah...

1. Diberikan persamaan trigonometri 2 cos [3x + 30]^o = √3. Himpunan penyelesaian untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah...

2. Diketahui persamaan trigonometri tan [2x - 40] - cot 50 = 0. Himpunan penyelesaian untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah...

3. Diketahui persamaan trigonometri sin [2x + 120] - sin [2x + 240] = - 3/2. Himpunan penyelesaian untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah..

4. Diketahui sistem persamaan sin x + sin y = 1 dan x + y = 60 Himpunan penyelesaian umum untuk

5. Himpunan penyelesaian dari persamaan cos ⁡2x − 3 cos⁡ x + 2 = 0 pada interval 0° ≤ x ≤ 360° adalah

6. Buktikan identitas trigonometri 1/3 sin2 α + 1/3 cos2 α = 1/3 adalah

7. Buktikan identitas trigonometri 3 cos2 α - 2 = 1 - 3 sin2 α adalah

8. Buktikan identitas trigonometri 3 + 5 sin2 α = 8 - 5 cos2 α adalah

9. Dengan menggunakan rumus sin2 α + cos2 α = 1, buktikan bahwa 1 + tan2 α = sec2 α.

10. Dari rumus sin2 α + cos2 α = 1, tunjukkan bahwa 1 + cot2 α = cosec2 α

Soal No. 1

Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x = 1/2

Pembahasan

Dari:

sin x = 1/2

Untuk harga awal, sudut yang nilai sin nya 1/2 adalah 30°.

Sehingga

sin x = 1/2

sin x = sin 30° Dengan pola rumus yang pertama di atas: ⋅

360 k = 0 → x = 30 + 0 = 30 ° k = 1 → x = 30 + 360 = 390 °

[ii] x = [180 − 30] + k

⋅360
x = 120 + k⋅360

x = 150 + k⋅

360 k = 0 → x = 150 + 0 = 150 ° k = 1 → x = 150 + 360 = 510 ° Dari penggabungan hasil [i] dan hasil [ii], dengan batas permintaan 0° ≤ x ≤ 360°, yang diambil sebagai himpunan penyelesaiannya adalah: HP = {30°, 150°}

Soal No. 2
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari cos x = 1/2

Pembahasan

1/2 adalah nilai cosinus dari 60°. Sehingga cos x = cos 60° ⋅

360° k = 0 → x = 60 + 0 = 60 ° k = 1 → x = 60 + 360 = 420°

[ii] x = −60° + k

⋅360
x = −60 + k⋅

360 k = 0 → x = −60 + 0 = −60° k = 1 → x = −60 + 360° = 300° Himpunan penyelesaian yang diambil adalah: HP = {60°, 300°}

Soal No. 3

Untuk 0° ≤ x ≤ 720° tentukan himpunan penyelesaian dari sin [x − 30] = 1/2 √3

Pembahasan

1/2 √3 miliknya sin 60° Sehingga

sin [x − 30] = sin 60°

Untuk 0° ≤ x ≤ 720°, HP = {90°, 150°, 450°, 510°}

Soal No. 4

Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari

cos [x − 30°] = 1/2 √2

Pembahasan

Harga awal untuk 1/2 √2 adalah 45°

HP = {75°, 345°}

Soal No. 5

Himpunan penyelesaian persamaan:

cos 2x + sin x = 0

untuk 0 < x ≤ 2π adalah..... A. {π/2, 4π/3, 5π/3} B. {π/2, 7π/6, 4π/3} C. {π/2, 7π/6, 5π/3} D. {π/2, 7π/6, 11π/6} E. {π/2, 5π/3, 11π/6}

Pembahasan

Dari rumus sudut rangkap dari pelajaran sebelumnya:

cos 2x = cos2 x − sin2x
cos 2x = 2 cos2 x − 1
cos 2x = 1 − 2 sin2 x

cos 2x + sin x = 0

1 − 2 sin2 x + sin x = 0

− 2 sin2 x + sin x + 1 = 0

2 sin2 x − sin x − 1 = 0 Faktorkan: [2sin x + 1][sin x − 1] = 0 2sin x + 1 = 0 2sin x = −1

sin x = −1/2

x = 210° dan x = 330° atau sin x − 1 = 0 sin x = 1 x = 90° Sehingga: HP = {90°, 210°, 330°} dalam satuan derajat. HP = {π/2, 7π/6, 11π/6} dalam satuan radian.

Jawaban : D.

Soal No. 6

Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + 5 sin x + 2 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah… A. {2π/3,4π/3} B. {4π/3, 5π/3} C. {5π/6, 7π/6} D. {5π/6, 11π/6} E. {7π/6, 11π/6}

Pembahasan

Persamaan trigonometri:

Misalkan sin x sebagai P dan juga cos 2x = 1 − 2sin2 x

Soal No. 7

Himpunan penyelesaian persamaan 2cos 2x − 3 cos x + 1 = 0 untuk 0 < x < 2π adalah… A. {π/6, 5π/6} B. {π/6, 11π/6} C. {π/3, 2π/3} D. {π/3, 5π/3} E. {2π/3, 4π/3}

Pembahasan

2cos 2x − 3 cos x + 1 = 0 Faktorkan: [2cos x − 1][cos x − 1] = 0 [2cos x − 1] = 0 2cos x = 1 cos x = 1/2 x = 60° = π/3 dan x = 300° = 5π/3 atau [cos x − 1] = 0 cos x = 1 x = 0° dan x = 360° = 2π [Tidak diambil, karena diminta 0 < x < 2π] Jadi HP = {π/3, 5π/3} Jawaban: D

Soal No. 8

Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x + 3 sin 2x = −1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah… A. {150°,165°} B. {120°,150°} C. {105°,165°} D. {30°,165°} E. [15°,105°]

Pembahasan

Ubah ke bentuk sin semua, dengan rumus sudut rangkap, kemudian faktorkan:

cos 4x + 3 sin 2x = −1

Tidak Memenuhi, lanjut ke faktor

Jadi HP = {105°,165°}

Soal No. 9

Himpunan penyelesaian dari 2 sin2 x − 3 sin x + 1 = 0 dengan 0° ≤ x ≤ 360° adalah.... A. {30°, 90°, 150°} B. {30°, 120°, 240°} C. {30°, 120°, 300°} D. {30°, 150°, 270°} E. {60°, 120°, 270°}

[UN Matematika SMA IPA 2014]

Pembahasan

Soal ini akan coba diselesaikan dengan cara coba-coba. Ambil salah satu sudut dari pilihan jawaban yang ada, untuk mengeliminir pilihan lainnya. Dari yang mudah yaitu 30° atau 90°. Nilai sin 30° adalah 1/2, jika sudut ini termasuk jawaban maka akan sama dengan nol seperti permintaan soal. Persamaan di soal:

2 sin2 x − 3 sin x + 1 = ?

30° → 2 sin2 [30°] − 3 sin [30°] + 1 = ? = 2 [1/2]2 − 3 [1/2] + 1

= 0 [Benar, jadi jawaban harus memuat angka 30°, pilihan E salah karena tidak memuat 30 derajad.] Berikutnya coba 90°, tentunya sudah tahu sin 90° = 1

2 sin2 x − 3 sin x + 1 = ?

90° → 2 sin2 90° − 3 sin 90° + 1 = ?

= 2 [1]2 − 3 [1] + 1 = 2 − 3 + 1

= 0 [Benar, Jawaban harus memuat 90° jadi B, C, D, dan E salah, A dipastikan benar tanpa dilakukan pengecekan pada 150°]

Untuk 0o ≤ x ≤ 360o tentukan himpunan penyelesaian dari
sin 3x = 1/2

Jawab :

sin 3x = 1/2

sin 3x = sin 30

3x = 30o + n.360o
x = 10o + n.120o
untuk n = 0 maka x = 10o
untuk n = 1 maka x =130o
untuk n = 2 maka x =250o

3x = 180o – 30o + n.360o
x = 50o + n.120o
untuk n = 0 maka x = 50o
untuk n = 1 maka x = 170o
untuk n = 2 maka x = 290o

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{10o, 50o, 130o, 170o, 250o, 290o}

Untuk 0o ≤ x ≤ 180o tentukan himpunan penyelesaian dari
cos 5x = 1/2 √2

Jawab :

cos 5x = 1/2 √2

cos 5x = cos 45

5x = 45o + n.360o
x = 9o + n.72o
untuk n = 0 maka x =9o
untuk n = 1 maka x =81o
untuk n = 2 maka x =153o

5x = -45o + n.360o
x = -9o + n.72o
untuk n = 1 maka x = 63o
untuk n = 2 maka x = 135o

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{9o, 63o, 81o, 135o, 153o}

Himpunan penyelesaian dari persamaan
tan 4x = √3 0o ≤ x ≤ 360o
adalah ….

tan 4x = √3
tan 4x = tan 60o
4x = 60o + n.180o
x = 15o + n.45o
untuk n = 0 maka x = 15o
untuk n = 1 maka x = 60o
untuk n = 2 maka x = 105o
untuk n = 3 maka x = 150o
untuk n = 4 maka x = 195o
untuk n = 5 maka x = 240o
untuk n = 6 maka x = 285o
untuk n = 7 maka x = 330o

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{15o, 60o, 105o, 150o, 195o, 240o, 285o, 330o}

Himpunan penyelesaian dari persamaan sin 3x = cos 2x

dengan 0

o ≤ x ≤ 360o adalah …

sin 3x = cos 2x
sin 3x = sin [90o – 2x]

3x = 90o – 2x + n.360o
5x = 90o + n.360o
x = 18o + n.72o
untuk n = 0 maka x = 18o
untuk n = 1 maka x = 90o
untuk n = 2 maka x = 162o
untuk n = 3 maka x = 234o
untuk n = 4 maka x = 306o

3x = 180o – [90o – 2x] + n.360o
3x = 90o + 2x + n.360o
x = 90o + n.360o
untuk n = 0 maka x = 90o

Jadi, himpunan penyelesaiannya adakah
{18o, 90o, 162o, 234o, 306o}

Diketahui persamaan sin 5x + sin 3x = cos x
dengan 0o ≤ x ≤ 360o . Himpunan penyelesaiannya adalah …

sin 5x + sin 3x = √3 cos x 2 sin 1/2 [5x + 3x] cos 1/2 [5x – 3x] = √3 cos x 2 sin 4x cos x = √3 cos x 2 sin 4x cos x – √3 cos x = 0 cos x [ 2 sin 4x – √3] = 0

cos x = 0 atau sin 4x = 1/2 √3

cos x = 0
cos x = cos 90o

x = 90o + n.360o
untuk n = 0 maka x = 90o

x = -90o + n.360o
untuk n = 1 maka x = 270o

sin 4x = 1/2 √3
sin 4x = sin 60o

4x = 60o + n.360o
x = 15o + n.90o
untuk n = 0 maka x = 15o
untuk n = 1 maka x = 105o
untuk n = 2 maka x = 195o
untuk n = 3 maka x = 285o

4x = 180o – 60o + n.360o
4x = 120o + n.360o
x = 30o + n.90o
untuk n = 0 maka x = 30o
untuk n = 1 maka x = 120o
untuk n = 2 maka x = 210o
untuk n = 3 maka x = 300o

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah

{15o, 30o, 90o, 105o, 120o, 195o, 210o, 270o, 285o, 300o}

Langkah pertama, kita pindah konstanta 2 ke ruas kanan.

2 cos

⁡[2x − 60] = √3
cos⁡

[2x − 60] = ½√3

Pada interval 0° ≤ x ≤ 180° atau kuadran I dan II, kita cukup memanfaatkan sudut-susut istimewa.

cos

⁡[2x − 60°] = cos⁡ 30°

2x − 60° = 30° 2x = 90° x = 45°

Jadi, nilai x dari persamaan trigonometri tersebut adalah 45°

2 cos^2x -1 + cos x = 0 2 cos^2x + cos x - 1 = 0 Difaktorkan ... [2 cos x - 1 ][cos x + 1] = 0 2 cos x = 1 atau cos x = -1 cos x = 1/2 atau cos x = -1 cos x = 1/2 ..

x = [

60o180o]
Himpunan penyelesaian dari x :

Soal ini mirip dengan soal sebelumnya. Yang perlu diperhatikan adalah interval 0° ≤ x ≤ 360°. Interval ini meliputi semua kuadran.

cos

⁡2x − 3 cos⁡ x + 2 = 0
2 cos2⁡x − 1 − 3 cos ⁡x + 2 = 0
      2 cos2⁡x − 3 cos⁡ x + 1 = 0
   [2 cos⁡ x − 1][cos ⁡x − 1] = 0
      cos⁡ x = ½ atau cos ⁡x

= 1

Pada interval 0° ≤ x ≤ 360°, kosinus bernilai positif terjadi pada kuadran I dan IV.

cos

⁡x = ½
cos⁡ x = cos⁡ 60°
K. I :

x = 60°
K. IV : x = 360° − 60° = 300°

cos

⁡ x = 1
cos⁡ x = cos⁡ 0°
K.I :

x = 0°
K.IV : x = 360° − 0° = 360°

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan trigonometri di atas adalah {0°, 60°, 300°, 360°} [E].

Soal ini agak sedikit berbeda dengan soal sebelumnya. Suku keduanya berbentuk sinus. Sehingga cos⁡

2x harus diubah seperti rumus II.

cos

⁡ 2x − sin ⁡x = 0
      1 − 2 sin2⁡x − sin ⁡x = 0
   −2 sin2⁡x sin⁡ x + 1 = 0
      2 sin2⁡x + sin ⁡x − 1 = 0
[2 sin⁡ x − 1][sin⁡ x + 1] = 0
   sin ⁡x = ½ atau sin ⁡x

= −1 Nilai sinus positif terjadi di kuadran I dan II.

sin

⁡ x = ½
sin⁡

x = sin 30° K. I : x = 30°

K. II : x = 180° − 30° = 150° Sedangkan nilai sinus negatif di kuadran III dan IV.

sin

⁡x = −1
sin⁡

x = −sin 90°
K.III : x = 180° + 90° = 270°

K.IV : x = 360° − 90°

= 270°

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan trigonometri di atas adalah {30°, 150°, 270°} [E].

Untuk menyelesaikan soal di atas, perhatikan analogi rumus berikut ini!

cos

⁡ 2x = 1 − 2 sin2⁡⁡ 1x
cos ⁡4x = 1 − 2 sin2⁡

2x Berdasarkan analogi rumus tersebut diperoleh:

cos

⁡ 4x + 3 sin ⁡2x = −1
1 − 2 sin2 ⁡2x + 3 sin ⁡2x = −1
−2 sin2⁡ 2x + 3 sin ⁡2x + 2 = 0
2 sin2⁡ 2x − 3 sin⁡ 2x − 2 = 0
[2 sin⁡ 2x + 1][sin ⁡2x − 2] = 0
sin⁡ 2x = −½ atau sin⁡

x = 2 [TM] TM artinya tidak memenuhi karena nilai maksimum dari sinus adalah 1.

Meskipun interval pada soal di atas adalah 0° ≤ x ≤180°, namun kita harus jeli. Sudut pada persamaan trigonometri di atas adalah 2x. Sehingga intervalnya sama dengan 0° ≤ 2x ≤360°.

Nilai sinus negatif terjadi di kuadran III dan IV.

sin

⁡ 2x = −½
sin⁡

2x = −sin 30°
K.III : 2x = 180° + 30° = 210°

x = 105°

K.IV : 2x = 360° − 30° = 330°

x = 165°

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan trigonometri tersebut adalah {105, 165°}

sin x = - 1/√2 = - 1/2 √2

x = 5π/4 + k . 2π atau x = [π - 5π/4] + k . 2π

x = 5π/4 + k . 2π atau x = - π/4 + k . 2π

k = 0 maka x = 5π/4 + 0 . 2π = 5π/4 dan x = - π/4 + 0 . 2π = - π/4

k = 1 maka x =13π/4 dan x = 7π/4

Jadi himpunan penyelesaiannya {5π/4, 7π/4}

[-π/4 dan 13π/4 tidak masuk himpunan penyelesaian karena diluar 0 ≤ x ≤ 2π]

Nilai dari cos²15° + cos²35° + cos²55° + cos²75° adalah...

cos²15° + cos²35° + cos²55° + cos²75°

= cos²15° + cos²75° + cos²35° + cos²55°

= cos²[90-75]° + cos²75° + cos²[90-55]° + cos²55°

= sin²75° + cos²75° + sin²55° + cos²55°

= 1 + 1 = 2 -------> [identitas trigonometri sin²α + cos²α = 1]

Jika sin[x-600]° = cos[x-450]° maka nilai dari tanx adalah...

sin[x-600]° = cos[x-450]°

sin[x-600]° = sin[90 - [x-450]]°

sin[x-600]° = sin[540 - x]°

= tan [360 + 210]° = tan 210°

= tan [180 + 30]° -----> Kuadran III

Diketahui sinx + cosx = -1/5. Maka nilai dari sin2x adalah...

[sinx + cosx]² = [-1/5]² -----> [Kuadratkan kedua ruas.]

sin²x + 2sinxcosx + cos²x = 1/25

sin²x + cos²x + 2sinxcosx = 1/25

1 + 2sinxcosx = 1/25 -----> [Identitas trigonometri sin²α + cos²α = 1]

[aturan sudut rangkap sin 2x = 2 sin x cos x].

Nilai tanx dari persamaan cos2x - 3sinx - 1 = 0 adalah...

[mengubah cos2x yang sesuai dengan -3sinx sehingga persamaan dapat dikerjakan karena bervariabel sama yakni sinx].

sinx = 0 atau -2sinx - 3 = 0

sin x = 0 atau sinx = -3/2

[sinx = -3/2 tidak memenuhi]

maka nilai tan x = tan 0° = 0

Dari pecahan [1 + cot2 β] / [cot β . sec2 β], sederhanakan masing-masing penyebut dan pembilangnya.

cot β . sec2 β = [cos β/ sinβ] . sec2 β

⇒ cot β . sec2 β = [cos β/ sin β].[1/cos2 β]

⇒ cot β . sec2 β = cos β / sin β.cos2 β

Setelah digabung kembali diperoleh :

[1 + cot2 β] / [cot β . sec2 β] = [1/sin2 β] / [cos β / sinβ.cos2 β]

⇒ [1 + cot2 β] / [cot β . sec2 β] = [1/sin2 β] . [sin β.cos2 β / cos β]

⇒ [1 + cot2 β] / [cot β . sec2 β] = sin β.cos2 β / sin2 β.cos β

⇒ [1 + cot2 β] / [cot β . sec2 β] = cos β / sin β

⇒ [1 + cot2 β] / [cot β . sec2 β] = cot β

Jadi, [1 + cot2 β] / [cot β . sec2 β] = cot β.

Karena keterbatasan ruang dan pengkodean, jadi soal di atas dikerjakan masing-masing agar tidak terlalu panjang.

[sin α - cos α]2 = sin2 α - 2 sin α. cos α + cos2 α

⇒ [sin α - cos α]2 = sin2 α + cos2 α - 2 sin α. cos α

⇒ [sin α - cos α]2 = 1 - 2 sin α. cos α

[sin α - cos α]2 + 2 sin α cos α = 1 - 2 sin α. cos α + 2 sin α cos α

⇒ [sin α - cos α]2 + 2 sin α cos α = 1

Jadi, [sin α - cos α]2 + 2 sin α cos α = 1.

Dari identitas sin2 β + cos2 β = 1, maka diperoleh :
⇒ 1 - cos2 β = sin2 β
Jadi, 1 - cos2 β = sin2 β.

Dari identitas sin2 α + cos2 α = 1, maka sin2 α = 1 - cos2 α.
⇒ sin2 α - cos2 α = 1 - cos2 α - cos2 α
⇒

sin2 α - cos2 α = 1 - 2 cos2 α Karena 2 cos2 α - 1 = cos 2α, maka 1 - 2 cos2 α = - cos 2α.

⇒ sin2 α - cos2 α = -cos 2α
Jadi, sin2 α - cos2 α = -cos 2α.

Dari identitas 1 + tan2 α = sec2 α, maka tan2 α = sec2 α - 1
⇒ tan2 α - 1 = sec2 α - 1 – 1

⇒ tan2 α – 1 = sec2 α - 2

Sin2 α – 2 sin α cos α + sin2 α = sin2 α + cos2 α – 2 sin α cos α

⇒ sin2 α- 2 sin α cos α + cos2 α = 1 -2 sin α cos α

⇒ sin2 α – 2 sin α cos α + cos2 α = 1 – sin 2 α
Jadi, sin2 α -2 sin α cos α + cos2 α = 1 –sin 2 α

cos [3x + 30] = 1/2 √3cos [3x + 30] = cos 30

3x + 30 = ±30 + k . 360 : 3

x = k . 120 atau x = - 20 + k . 120

k = 0 maka x = 0 dan x = - 20

k = 1 maka x = 120 dan x = 100

k = 2 maka x = 240 dan x = 220

k = 3 maka x = 360 dan x = 340

Jadi himpunan penyelesaiannya {0, 100, 120, 220, 240, 340, 360}

2. tan [2x - 40] - cot 50 = 0

tan [2x - 40] = cot [90 - 40]

Jadi himpunan penyelesaiannya {40, 130, 220, 310}

3. Sin [A + B] - sin [A - B] = 2 cos A . cos B

sin [2x + 120] - sin [2x + 240] = 2 cos 1/2 [2x + 120 + 2x + 240] sin 1/2 92x + 120 - 2x - 240]

2 cos [2x + 180] sin [-60] = - 3/2

2 cos [2x + 180] . - 1/2 √3 = - 3/2

cos [2x + 180] = 3/2√3 = 1/2 √3

x = - 75 + k . 180 atau x = -105 + k . 180

k = 0 maka x = - 75 dan x = - 105

k = 1 maka x = 105 dan x = 75

k = 2 maka x = 285 dan x = 255

Jadi himpunan penyelesaiannya {75, 105, 255, 285}

4. Sin A + sin B = 2 sin 1/2 [A + B] cos 1/2 [A - B]

sin x + sin y = 2 sin 1/2 [x + y] cos 1/2 [x - y] = 1

2 sin 1/2 . 60 cos 1/2 [x - y] = 1

2 sin 30 cos 1/2 [x - y] = 1

2 . 1/2 cos 1/2 [x - y] = 1

Jadi himpunan penyelesaiannya {30 + k . 360, 30 - k . 360}

5. cos ⁡2x − 3 cos⁡ x + 2 = 0
2 cos2⁡x − 1 − 3 cos ⁡x + 2 = 0
      2 cos2⁡x − 3 cos⁡ x + 1 = 0
   [2 cos⁡ x − 1][cos ⁡x − 1] = 0
      cos⁡ x = ½ atau cos ⁡x

= 1 Pada interval 0° ≤ x ≤ 360°, kosinus bernilai positif terjadi pada kuadran I dan IV.

cos

⁡x = ½
cos⁡ x = cos⁡ 60°

K. I : x = 60°

K. IV : x = 360° − 60° = 300°

cos

⁡ x = 1
cos⁡ x = cos⁡ 0°

K.I : x = 0°

K.IV : x = 360° − 0° = 360°

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan trigonometri di atas adalah {0°, 60°, 300°, 360°}

6. 1/3 sin2 α + 1/3 cos2 α = 1/3

⇒ 1/3 [sin2 α + cos2 α] = 1/3
⇒ 1/3 [1] = 1/3
⇒ 1/3 = 1/3
Terbukti.

7. 3 cos2 α - 2 = 1 - 3 sin2 α

Ingat bahwa sin2 α + cos2 α = 1, maka 3 sin2 α + 3 cos2 α = 3.
Dari 3 sin2 α + 3 cos2 α = 3, maka 3 cos2 α = 3 - 3 sin2 α.

⇒ 3 cos2 α - 2 = 1 - 3 sin2 α
⇒ 3 - 3 sin2 α - 2 = 1 - 3 sin2 α
⇒ 1 - 3 sin2 α = 1 - 3 sin2 α.
Terbukti.

8. 3 + 5 sin2 α = 8 - 5 cos2 α

Dari 5 sin2 α + 5 cos2 α = 5, maka 5 sin2 α = 5 - 5 cos2 α.
⇒ 3 + 5 sin2 α = 8 - 5 cos2 α
⇒ 3 + 5 - 5 cos2 α = 8 - 5 cos2 α
⇒ 8 - 5 cos2 α = 8 - 5 cos2 α.
Terbukti.

9. Dari rumus tan α = sin α / cos α, diperoleh sin α = tan α . cos α.

⇒ [tan α . cos α]2 + cos2 α = 1

⇒ tan2 α . cos2 α + cos2 α = 1

⇒ [tan2 α + 1] cos2 α = 1

Ingat bahwa 1/cos α = sec α, sehingga :

⇒ tan2 α + 1 = sec2 α ⇒ 1 + tan2 α = sec2 α

10. Dari rumus cot α = cos α / sin α, diperoleh cos α = cot α . sin α.

⇒ sin2 α + [cot α . sin α]2 = 1

Ingat bahwa 1/sin α = cosec α, sehingga :

⇒ 1 + cot2 α = cosec2 α Terbukti.

Sekian dan trimakasih, bila ada kesalahan mohon maaf