Pembuat nol dari fungsi kuadrat y pembuat nol dari fungsi kuadrat y

4. FUNGSI KUADRAT Pengalaman BelajarMasalah

Pada permainan bola basket pemain berusaha memasukkan bola ke basket atau keranjang berjaring yang tersedia. Tentu saja pelemparannya tidak lurus ke arah sasaran. Biasanya bola dilemparkan ke atas melampaui tinggi tempat jaringnya, menuju ke jaring. Lintasan bolanya berbentuk bagian dari parabola. a. Kedua benda berbentuk lingkaran. Yang kedua jari-jarinya 1,5 kali yang pertama. Jika bahan pertama memerlukan bahan seberat 4 kg dan bahan kedua ketebalannya sama dengan yang pertama, berapa berat bahan yang diperlukan untuk membuat barang yang kedua? Berapa pula jika benda serupa dibuat yang jari-jarinya 2 kali, tiga kali, 4 kali … k kali yang pertama? b. Bagaimana menentukan ukuran lipatan talang terbuka dari gulungn seng yang tersedia agar talangnya dapat mengalirkan air sebanyak mungkin? Ketiga masalah menyangkut penggunaan fungsi, khususnya fungsi kuadrat. Fungsi kuadrat dirumuskan dengan fx = a 1 x 2 + a 1 x + a atau lebih umum ditulis fx = ax 2 + bx + c, a ≠ 0. Untuk selanjutnya jika tidak disebutkan lain fungsi kuadrat f yang dibahas disini adalah fungsi f : R → R yang didefinisikan oleh fx = ax 2 + bx + c, dengan a ≠ 0. Jika grafiknya digambar terjadi kurva berbentuk parabol yang persamaannya y = ax 2 + bx + c. Dalam beberapa hal dan dalam persoalan-persoalan tertentu, daerah asal maupun daerah kawannya mungkin himpunan bagian R, meskipun rumus umum pendefinisian fungsinya sama seperti disebutkan di atas.

a. Pembuat Nol Fungsi f

Pembuat nol fungsi f : x → fx = ax 2 + bx + c adalah nilai-nilai pengganti x sedemikian sehingga fx = ax 2 + bx + c bernilai 0, sehingga sama dengan akar-akar persamaan fx = ax 2 + bx + c = 0, yaitu x = a 2 ac 4 b b 2 − ± − . Ada tidaknya pembuat nol sama dengan ada tidaknya akar-akar persamaan kuadrat, tergantung nilai diskriminannya. Pembuat nol f merupakan absis titik potong grafik fungsi f dengan sumbu X. Berarti : D 0 ⇔ ada dua pembuat nol berbeda ⇔ grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X pada dua titik berbeda D = 0 ⇔ ada dua pembuat nol yang sama atau sebuah pembuat nol ⇔ grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X D 0 ⇔ tidak ada dua pembuat nol ⇔ grafik fungsi kuadrat tidak mempunyai titik persekutuan dengan sumbu X Titik potong grafik fungsi tersebut dengan sumbu Y adalah titik 0, c.

b. Sumbu simetri dan titik balik

Fungsi f : x → fx = ax 2 + bx + c dapat diubah dalam bentuk yang ekuivalen sebagai berikut: fx = ax 2 + bx + c Alkris: Aljabar SLTP-01 22 =       + + a c x a b 2 a a = 2 a 2 b . a a c . a 2 a 2 b x b 2 x a − = + +       a = a 4 ac 4 b 2 a 2 b x 2 − − +       + a = a 4 D 2 a 2 b x − +       + a Jika p a 2 b + − = x maka a 4 ac 4 b a a 2 b 2 − − + × =      − f . Jika p a 2 b x + − = maka nilai fungsinya adalah a 4 ac 4 b 2 ap 2 − − = . Demikian juga jika p a 2 b x − − = nilai fungsinya juga a 4 ac 4 b 2 ap 2 − − = . Ini berarti untuk setiap nilai x + p dan x – p, nilai fungsinya sama. Dalam hal grafik fungsi, ordinat titik pada grafik sejauh p di sebelah kiri dan p di sebelah kanan garis yang persamaannya a 2 b x − = sama besar. Dikatakan bahwa garis dengan persamaan a 2 b x − = adalah sumbu simetri grafik fungsi itu. Semakin besar p yang merupakan selisih nilainya dengan nilai pada a 2 b x − = , maka p 2 semakin besar. Jika a 0, maka 2 a 2 b x       + a bernilai positif atau 0. Jika a 2 b x = + atau a 2 b x − = maka 2 a 2 b x       + a berniali 0, sehingga nilai fungsinya = a 4 ac 4 b 2 − − . Nilai ini merupakan nilai terkecil f x. Jika ditinjau grafiknya, ditelusuri dari kiri ke kanan, nilainya mengecil, sampai terkecil a 4 ac 4 b 2 − − kemudian balik membesar lebih dari a 4 ac 4 b 2 − − . 1 a 0 2 a 0 2 X Y O Sumbu simetri Titik itu dinamakan titik balik minimum. Nilai fungsinya dinamakan nilai balik minimum. Jika a 0, maka 2 a 2 b x       + a bernilai negatif atau 0 nol. Jika a 2 b x = + atau a 2 b x − = maka 2 a 2 b x a       + bernilai 0, sehingga nilai fungsinya a 4 ac 4 b 2 − − . Dengan demikian maka nilai ini merupakan nilai fx terbesar. Jika ditinjau grafiknya, disebelah kiri dan kanan titik terjadi maksimum nilainya kurang dari a 4 ac 4 b 2 − − . Jika grafik fungsi f : x → f x = ax 2 + bx + c berupa parabol yang berpuncak di titik         − − − a 4 ac 4 2 b , a 2 b P atau       − − a 4 D , a 2 b P . Seperti penalaran pada butir 1, titik terjadinya pembalikan nilai tersebut dinamakan titik balik maksimum. Nilai fungsinya dinamakan nilai balik maksimum. Nilai balik maksimum atau minimum itu dikenal sebagai nilai ekstrem fx. Seperti disebutkan di atas grafik fungsi kuadrat itu berbentuk parabol. Titik baliknya dinamakan puncak parabol dan sumbu fungsi itu merupakan sumbu simetri parabol. Secara sederhana, Alkris: Aljabar SLTP-01 23 1 Jika fx = ax 2 + bx + c dapat diubah menjadi fx = a x – x 1 x – x 2 maka grafik fx memotong sumbu X di x 1 , 0 dan x 2 , 0 dan persamaan sumbu simetri x = 2 x x 2 1+ 2 Jika fx = ax 2 + bx + c diubah menjadi fx = a x – h 2 + k, nilai fungsi f mencapai nilai ekstrem = k dan terjadi pada x = h; ⇔ koordinat titik balik grafik fx adalah h, k. Nilai ekstrem itu merupakan nilai balik maksimum bila dan hanya bila a 0, atau nilai balik minimum bila dan hanya bila a 0. ⇔ puncak parabol merupakan titik tertinggi bila dan hanya bila a 0, atau merupakan titik terendah bila dan hanya bila a 0.