(1) 1. Ruas garis berarah AB = b – a 2. Sudut antara dua vektor adalah 3. Bila AP : PB = m : n, maka: B. Vektor Secara Aljabar 1. Komponen dan panjang vektor: a = 3 2 1 a a a = a1i + a2j + a3k; |a| = a12 a22 a23 2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real: a b = 3 2 1 a a a 3 2 1 b b b = 3 3 2 2 1 1 b a b a b a ; ka = k 3 2 1 a a a = 3 2 1 ka ka ka C. Dot Product Apabila diketahui a = 3 2 1 a a a dan b = 3 2 1 b b b , maka: 1. a · b = |a| |b| cos = a1b1 + a2b2 + a3b3 2. a · a = |a|2 = a1a1 + a2a2 + a3a3 3. |a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2|a||b| cos = |a|2 + |b|2 + 2 a · b 4. |a – b|2 = |a|2 + |b|2– 2|a||b| cos = |a|2 + |b|2– 2 a · b 5. Dua vektor saling tegak lurus jika a · b = 0 D. Proyeksi Vektor 1. Proyeksi skalar ortogonal Panjang vektor proyeksi b pada a b a 2. Vektor proyeksi ortogonal : vektor proyeksi b pada a b a (2) 1. UN 2004 Diketahui a = i + 2j + 3k, b = – 3i – 2j – k, dan c = i – 2j + 3k, maka 2a + b – c = … a. 2i – 4j + 2k b. 2i + 4j – 2k c. –2i + 4j – 2k d. 2i + 4j + 2k e. –2i + 4j + 2k Jawab : e 2. UN 2005 Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –3, 4), B(5, 0, 1), dan C(4, 2, 5). Titik P membagi AB sehingga AP : AB = 2 : 3. Panjang vektor PC adalah … a. 10 b. 13 c. 15 d. 3 2 e. 9 2 Jawab : d 3. EBTANAS 2002 Diketahui a + b = i – j + 4k dan | a – b | = 14 . Hasil dari a · b = … a. 4 b. 2 c. 1 d. 2 1 e. 0 Jawab : c 4. EBTANAS 2002 Jika | a | = 2, | b | = 3, dan sudut (a, b) = 120º. Maka | 3a + 2b | = … a. 5 b. 6 c. 10 d. 12 e. 13 Jawab : b (3) Jika vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus vektor b = 2xi + 2xj – 3k, maka nilai x yang memenuhi adalah … a. –2 atau 6 b. –3 atau 4 c. –4 atau 3 d. –6 atau 2 e. 2 atau 6 Jawab : a 6. UN 2006 Diketahui vektor a = 6xi + 2xj – 8k, b = –4i + 8j + 10k dan c = –2i + 3j – 5k. Jika vektor a tegak lurus b maka vektor a – c = … a. –58i – 20j –3k b. –58i – 23j –3k c. –62i – 20j –3k d. –62i – 23j –3k e. –62i – 23j –3k Jawab : b 7. UN 2012/A13 Diketahui vektor ; 6 3 4 ; 1 2 b p a dan 3 1 2 c . Jika a tegak lurus b,maka hasil dari (a2b)·( c3) adalah… A. 171 D. –111 B. 63 E. –171 C. –63 Jawab : E 8. UN 2012/B25 Diketahui vektor ai2jxk, k j i b3 2 , dan c2i j2k. Jika a tegak lurus c , maka ( a + b )· ( a – c ) adalah ... A. –4 B. –2 C. 0 D. 2 (4) 9. UN 2012/D49 Diketahui vektor a ixj3k, , 2i j k b dan ci3j2k. Jika a tegak lurus b maka 2 a·(bc) adalah…. A. – 20 B. – 12 C. – 10 D. – 8 E. – 1 Jawab : A 10. UAN 2003 Diberikan vektor a = 2 2 2 p dengan p Real dan vektor b = 2 1 1 . Jika a dan b membentuk sudut 60º, maka kosinus sudut antara vektor a dan a + b adalah … a. 7 4 12 b. 7 2 5 c. 7 4 5 d. 7 14 5 e. 7 7 2 Jawab : d 11. UN 2012/A13 Diketahui vektor a4i2j2k dan j i b33. Besar sudut antara vektor a dan b adalah….A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 E. 120 Jawab : A (5) Diketahui vektor 3 3 2 a dan 4 2 3 b . Sudut antar vektor a danb adalah … A. 135 B. 120 C. 90 D. 60 E. 45 Jawab : C 13. UN 2012/E52 Diketahui titik A (1, 0, –2), B(2, 1, –1), C (2, 0, –3). Sudut antara vektor ABdengan AC adalah…. A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 E. 120 Jawab : D 14. UN 2011 PAKET 46 Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika u mewakili ABdan v mewakili AC, maka sudut yang dibentuk oleh vector u dan v adalah … a. 30 b. 45 c. 60 d. 90 e. 120 Jawab : b 15. UN 2010 PAKET A Diberikan vektor–vektor a = 4i – 2j + 2k dan b = i + j + 2k. Besar sudut yang dibentuk vektor a dan bsama dengan … a. 30º b. 45º c. 60º d. 90º (6) 16. UN 2009 PAKET A/B Diketahui balok ABCD EFGH dengan AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm. Jika AC wakil vektor u dan wakil DH adalah vektor v, maka sudut antara vektor u dan v adalah … a. 0 b. 30 c. 45 d. 60 e. 90 Jawab : e 17. UN 2011 PAKET 12 Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1), dan C(4, 2, –4). Besar sudut ABC = … A. D. 6 B. 2 E. 0 C. 3 Jawab : B 18. UN 2008 PAKET A/B Jika vektor a = –3i – j + xk dan vektor b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 5, maka nilai x = … a. –7 b. –6 c. 5 d. 6 e. 7 Jawab : e 19. UN 2004 Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan q = xi + j + 4k. Jika panjang proyeksi q pada p adalah 2, maka x adalah … a. 6 5 b. 2 3 c. 2 13 d. 6 43 e. 6 53 Jawab : c (7) Diketahui a5i6jk dan k j i b 2 2 . Proyeksi orthogonal vektor a pada b adalah….A. i2j2k B. i2j2k C. i2j2k D. i2j2k E. 2i2jk Jawab : D 21. UN 2012/B25 Diketahui vektor a9i2j4k dan k j i b2 2 . Proyeksi orthogonal vektor a pada b adalah ... A. 4i4j2k B. 2i2j4k C. 4i4j2k D. 8i8j4k E. 18i4j8k Jawab : C 22. UN 2012/E52 Proyeksi orthogonal vektor a = 4 i + j+ 3 k pada b = 2 i + j+ 3 k adalah…. A. 14 13 (2 i +j+3 k ) B. 14 15 (2 i +j+3 k ) C. 7 8 (2 i +j+3 k ) D. 7 9 (2 i +j+3 k ) E. 4 i +2 j+6 k Jawab : D 23. UN 2011 PAKET 12 Diketahui vector a = 4i– 2j + 2k dan vector b = 2i– 6j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector badalah … a. i–j + k b. i– 3j + 2k c. i– 4j + 4k d. 2 – + (8) 24. UN 2011 PAKET 46 Diketahui vector a = 2i– 4j– 6k dan vector b = 2i– 2j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector badalah … a. –4i + 8j + 12k b. –4i + 4j– 8k c. –2i + 2j– 4k d. –i + 2j + 3k e. –i + j– 2k Jawab : e 25. UN 2010 PAKET A Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7, 8, –1), dan C(1, 0, 7). Jika ABwakil vector u, AC wakil vektor v, maka proyeksi u pada v adalah … a. 3i –56j + 5 12 k b. 3 5i – 5 6 j + 5 12 k c. 5 9(5i – 2j + 4k) d. 4527(5i – 2j + 4k) e. 559 (5i – 2j + 4k) Jawab : d 26. UN 2010 PAKET B Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3). Proyeksi vektor ABpada AC adalah … a. 4 1(3i + j – 2k) b. 14 3 (3i + j – 2k) c. 7 1 (3i + j – 2k) d.143 (3i + j – 2k) e.73(3i + j – 2k) Jawab : c27. UN 2009 PAKET A/B Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan C(0,3,2). Jika AB wakil vektor u dan BC wakil vektor v, maka proyeksi orthogonal vektor u pada v adalah … a. –3i – 6j – 9k b. i + 2j + 3k c. 31i + 32j + k d. –9i – 18j – 27k e. 3i + 6j + 9k Jawab : a (9) Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, – 3, –2). Proyeksi vektor AB pada ACadalah … a. –12i + 12j – 6k b. –6i + 4j – 16k c. –4i + 4j – 2k d. –6i – 4j + 16k e. 12i – 12j + 6k Jawab : c 29. UN 2007 PAKET B Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0). Proyeksi vektor AB terhadap ACadalah … a. 2i – 4j + 2k b. 2i – 4j – 2k c. 2i + 4j – 2k d. i – 2j – k e. i + 2j – k Jawab : b 30. UN 2007 PAKET A Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2). Proyeksi vektor AB pada ACadalah … a. –12i + 12j – 6k b. –6i + 4j – 16k c. –4i + 4j – 2k d. –6i – 4j + 16k e. 12i – 12j + 6k Jawab : c 31. UN 2007 PAKET B Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0). Proyeksi vektor AB terhadap ACadalah … a. 2i – 4j + 2k b. 2i – 4j – 2k c. 2i + 4j – 2k d. i – 2j – k e. i + 2j – k (10) 32. UAN 2003 Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal dari vektor v = 4 3 2 terhadap vektor u = 1 2 1 , maka w = … A. 3 1 1 D. 2 4 2 B. 2 1 0 E. 2 4 2 C. 2 1 0 Jawab : d 33. EBTANAS 2002 Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada u = (4 2 2) adalah … A. – 3 4(2 1 1) D. ( 3 4 1 1) B. –(2 1 1) E. (2 1 1) C. 3 (1) Diketahui vektor 3 3 2 a dan 4 2 3 b . Sudut antar vektor adanbadalah … A. 135 B. 120 C. 90 D. 60 E. 45 Jawab : C13. UN 2012/E52 Diketahui titik A (1, 0, –2), B(2, 1, –1), C (2, 0, –3). Sudut antara vektor ABdengan AC adalah…. A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 E. 120 Jawab : D 14. UN 2011 PAKET 46 Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika u mewakili ABdan v mewakili AC, maka sudut yang dibentuk oleh vector u dan v adalah … a. 30 b. 45 c. 60 d. 90 e. 120 Jawab : b 15. UN 2010 PAKET A Diberikan vektor–vektor a = 4i – 2j + 2k dan b = i + j + 2k. Besar sudut yang dibentuk vektor a dan bsama dengan … a. 30º b. 45º c. 60º d. 90º e. 120º Jawab : c (2) 16. UN 2009 PAKET A/B Diketahui balok ABCD EFGH dengan AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm. Jika ACwakil vektor u dan wakilDHadalah vektor v, maka sudut antara vektor u dan vadalah … a. 0 b. 30 c. 45 d. 60 e. 90 Jawab : e 17. UN 2011 PAKET 12 Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1), dan C(4, 2, –4). Besar sudut ABC = … A. D. 6 B. 2 E. 0 C. 3 Jawab : B 18. UN 2008 PAKET A/B Jika vektor a = –3i – j + xk dan vektor b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 5, maka nilai x = … a. –7 b. –6 c. 5 d. 6 e. 7 Jawab : e 19. UN 2004 Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan q = xi + j + 4k. Jika panjang proyeksi q pada p adalah 2, maka x adalah … a. 6 5 b. 2 3 c. 2 13 d. 6 43 e. 6 53 (3) Diketahui a5i6jk dan k j i b 2 2 . Proyeksi orthogonal vektor apadabadalah….A. i2j2k B. i2j2k C. i2j2k D. i2j2k E. 2i2jk Jawab : D 21. UN 2012/B25 Diketahui vektor a9i2j4k dan k j i b2 2 . Proyeksi orthogonal vektor a pada b adalah ... A. 4i4j2k B. 2i2j4k C. 4i4j2k D. 8i8j4k E. 18i4j8k Jawab : C 22. UN 2012/E52 Proyeksi orthogonal vektor a = 4 i + j+ 3 k pada b = 2 i + j+ 3 k adalah…. A. 14 13 (2 i +j+3 k ) B. 14 15 (2 i +j+3 k ) C. 7 8 (2 i +j+3 k ) D. 7 9 (2 i +j+3 k ) E. 4 i +2 j+6 k Jawab : D 23. UN 2011 PAKET 12 Diketahui vector a = 4i– 2j + 2k dan vector b = 2i– 6j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector badalah … a. i–j + k b. i– 3j + 2k c. i– 4j + 4k d. 2i–j + k e. 6i– 8j + 6k Jawab : b (4) 24. UN 2011 PAKET 46 Diketahui vector a = 2i– 4j– 6k dan vector b = 2i– 2j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector badalah … a. –4i + 8j + 12k b. –4i + 4j– 8k c. –2i + 2j– 4k d. –i + 2j + 3k e. –i + j– 2k Jawab : e 25. UN 2010 PAKET A Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7, 8, –1), dan C(1, 0, 7). Jika ABwakil vector u, AC wakil vektor v, maka proyeksi u pada v adalah … a. 3i –56j + 5 12 k b. 3 5i – 5 6 j + 5 12 k c. 5 9(5i – 2j + 4k) d. 4527(5i – 2j + 4k) e. 559 (5i – 2j + 4k) Jawab : d 26. UN 2010 PAKET B Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3). Proyeksi vektor ABpada AC adalah … a. 4 1(3i + j – 2k) b. 14 3 (3i + j – 2k) c. 7 1 (3i + j – 2k) d.143 (3i + j – 2k) e.73(3i + j – 2k) Jawab : c27. UN 2009 PAKET A/B Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan C(0,3,2). Jika AB wakil vektor u dan BC wakil vektor v, maka proyeksi orthogonal vektor u pada v adalah … a. –3i – 6j – 9k b. i + 2j + 3k c. 31i + 32j + k d. –9i – 18j – 27k e. 3i + 6j + 9k Jawab : a (5) Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, – 3, –2). Proyeksi vektor AB pada ACadalah … a. –12i + 12j – 6k b. –6i + 4j – 16k c. –4i + 4j – 2k d. –6i – 4j + 16k e. 12i – 12j + 6k Jawab : c 29. UN 2007 PAKET B Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0). Proyeksi vektor AB terhadap ACadalah … a. 2i – 4j + 2k b. 2i – 4j – 2k c. 2i + 4j – 2k d. i – 2j – k e. i + 2j – k Jawab : b 30. UN 2007 PAKET A Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2). Proyeksi vektor AB pada ACadalah … a. –12i + 12j – 6k b. –6i + 4j – 16k c. –4i + 4j – 2k d. –6i – 4j + 16k e. 12i – 12j + 6k Jawab : c 31. UN 2007 PAKET B Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0). Proyeksi vektor AB terhadap ACadalah … a. 2i – 4j + 2k b. 2i – 4j – 2k c. 2i + 4j – 2k d. i – 2j – k e. i + 2j – k Jawab : b (6) 32. UAN 2003 Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal dari vektor v = 4 3 2 terhadap vektor u = 1 2 1 , maka w = … A. 3 1 1 D. 2 4 2 B. 2 1 0 E. 2 4 2 C. 2 1 0 Jawab : d 33. EBTANAS 2002 Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada u = (4 2 2) adalah … A. – 3 4(2 1 1) D. ( 3 4 1 1) B. –(2 1 1) E. (2 1 1) C. 3 |