Identifikasi unsur unsur fungsi kuadrat berikut

Table of Contents Show

Unsur-unsur grafik fungsi kuadrat
Pengertian dan Bentuk/Rumus Fungsi Kuadrat
Fungsi Kuadrat dengan Tabel, Persamaan, dan Grafik
Hubungan antara Koefisien dengan Grafik Fungsi Kuadrat
Hubungan antara Diskriminan dengan Grafik Fungsi Kuadrat
Contoh Soal dan Pembahasan
Video yang berhubungan

Pada materi grafik fungsi kuadrat telah disinggung bahwa jika digambarkan pada bidang koordinat, grafik fungsi kuadrat akan berbentuk sebuah parabola dengan karakteristik tergantung dari koefisien-koefisien fungsi kuadrat tersebut.

Berikut beberapa karakteristik yang perlu diperhatikan dalam mensketsa grafik fungsi kuadrat.1. a > 0 : parabola terbuka ke atas2. a < 0 : parabola terbuka ke bawah3. D > 0 : memotong sumbu-x di dua titik4. D = 0 : menyinggung sumbu-x

5. D < 0 : tidak memotong sumbu-x

Dari karakteristik diatas, kita akan memperoleh gambaran kasar tentang grafik fungsi kuadrat tersebut, yang tentu saja akan memudahkan dalam mensketsa nantinya.

Unsur-unsur grafik fungsi kuadrat

Diberikan fungsi kuadrat $\mathrm{y=f(x)=ax^{2}+bx+c}$

1. Titik potong sumbu-X

Titik potong sumbu-x diperoleh pada saat $\mathrm{y = 0}$. $$\mathrm{\left ( x_{1},0 \right )\;dan\;\left ( x_{2},0 \right )}$$ Dengan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0

Titik potong sumbu-y diperoleh pada saat $\mathrm{x = 0}$.
y = f(0) = a(0)2 + b(0) + c = c $$\mathrm{\left ( 0,c \right )}$$

3. Persamaan sumbu simetri

Persamaan sumbu simetri adalah garis yang membagi parabola menjadi 2 bagian yang simetris. $$\mathrm{x=\frac{-b}{2a}}$$

Nilai ekstrim disebut juga nilai maksimum atau minimum fungsi. Jika nilai ekstrim dinyatakan dengan y, maka : $$\mathrm{y=\frac{-D}{4a}}$$

Titik puncak atau titik balik adalah titik dimana fungsi tersebut mencapai nilai maksimum atau minimum. $$\mathrm{P \left (\frac{-b}{2a} ,\frac{-D}{4a} \right )}$$

Catatan :

Jika D = 0, maka titik potong sumbu-x dan titik puncak berada pada titik yang sama, sehingga cukup dicari salah satunya saja.
Jika D < 0, grafik tidak mempunyai titik potong sumbu-x.
Jika b = 0, maka titik potong sumbu-y dan titik puncak berada pada titik yang sama, sehingga cukup dicari salah satunya saja.

Contoh 1
Sketsalah grafik fungsi kuadrat $\mathrm{f(x)=x^{2}-4x+3}$

Jawab :a = 1 > 0 (parabola terbuka ke atas)b = −4

c = 3

D = b2 − 4ac
D = (−4)2 − 4.1.3 = 4D = 4

Karena D > 0, maka parabola memotong sumbu-x di dua titik.

Titik potong sumbu-x ⇒ y = 0
x2 − 4x + 3 = 0(x − 1)(x − 3) = 0x = 1 atau x = 3

⇒ (1, 0) dan (3, 0)

Titik potong sumbu-y ⇒ x = 0
(0, c) ⇒ (0, 3)

Persamaan sumbu simetrix = $\mathrm{\frac{-b}{2a}}$ = $\mathrm{\frac{-(-4)}{2.1}}$ = 2

x = 2

Nilai ekstrimy = $\mathrm{\frac{-D}{4a}}$ = $\mathrm{\frac{-4}{4.1}}$ = −1

y = −1

Titik puncak
$\mathrm{P\left ( \frac{-b}{2a},\frac{-D}{4a} \right )}$ ⇒ (2, −1)

Lukis titik-titik yang diperoleh pada bidang koordinat, kemudian hubungkan sehingga membentuk sebuah parabola.

Contoh 2
Gambarlah grafik fungsi kuadrat $\mathrm{f(x)=-x^{2}-4x-4}$

Jawab :a = −1 < 0 (parabola terbuka ke bawah)b = −4

c = −4

D = b2 − 4ac
D = (−4)2 − 4.(−1).(−4)D = 0

Karena D = 0, maka parabola menyinggung sumbu-x, menyebabkan titik potong sumbu-x dan titik puncak berada pada titik yang sama.

Titik potong sumbu-x ⇒ y = 0
−x2 − 4x − 4 = 0
x2 + 4x + 4 = 0(x + 2)(x + 2) = 0x = −2

⇒ (−2, 0)

Karena titik potong sumbu-x dan titik puncak sama, yaitu (−2, 0), maka diperoleh :Persamaan sumbu simetri : x = −2

Nilai ekstrim : y = 0

Titik potong sumbu-y ⇒ x = 0
(0, c) ⇒ (0, −4)

Karena untuk menggambar parabola minimal diperlukan tiga buah titik, untuk itu kita dapat menentukan titik-titik bantu disekitar sumbu simetri (x = −2).

Untuk x = −1
y = f(−1) = −(−1)2 − 4(−1) − 4 = −1
⇒ (−1, −1)

Untuk x = −3
y = f(−3) = −(−3)2 − 4(−3) − 4 = −1
⇒ (−3, −1)

Lukis titik-titik yang diperoleh pada bidang koordinat, kemudian hubungkan sehingga membentuk sebuah parabola.

Contoh 3
Gambarlah grafik fungsi kuadrat $\mathrm{f(x)=x^{2}+1}$

Jawab :a = 1 > 0 (parabola terbuka ke atas)b = 0 (titik potong sumbu-y = titik puncak)

c = 1

D = b2 − 4ac
D = (0)2 − 4.1.1\D = −4

Karena D < 0 maka parabola tidak mempunyai titik potong sumbu-x.

Titik potong sumbu-y
(0, c) ⇒ (0, 1)

Karena titik potong sumbu-y dan titik puncak sama yaitu : (0, 1), maka diperoleh :Persamaan sumbu simetri : x = 0

Nilai ekstrim : y = 1

Titik-titik bantu :

Untuk x = 1
y = f(1) = (1)2 + 1 = 2
⇒ (1, 2)

Untuk x = 2
y = f(2) = (2)2 + 1 = 5
⇒ (2, 5)

Untuk x = −1
y = f(−1) = (−1)2 + 1 = 2
⇒ (−1, 2)

Untuk x = −2
y = f(−2) = (−2)2 + 1 = 5
⇒ (−2, 5)

Catatan :
Dengan mencerminkan titik-titik (1, 2) dan (2, 5) ke sumbu simetri (x = 0), maka akan diperoleh titik-titik (−1, 2) dan (−2, 5). Jadi tidak harus dicari satu per satu seperti cara diatas.

Selanjutnya, dengan menghubungkan titik-titik yang diperoleh pada bidang koordinat, maka akan terbentuk sebuah parabola sebagai berikut :

Grafik fungsi diatas merupakan salah satu contoh grafik fungsi definit positif, dimana grafiknya tidak memotong sumbu-x dan untuk setiap nilai x, grafiknya selalu berada diatas sumbu-x.

Halo, Sobat Zenius! Lagi bingung tentang materi yang satu ini, ya? Tepat banget, nih, karena gue mau ngajak elo semua buat ngebahas materi fungsi kuadrat beserta contoh soal dan grafiknya!

Pembahasan rumus fungsi kuadrat dalam artikel ini akan dibatasi untuk materi SMP saja, ya, guys. Kenapa demikian? Karena materi kita kali ini masih satu pembahasan atau berkaitan dengan persamaan kuadrat.

Materi ini bisa dikatakan sebagai pengantar untuk materi fungsi kuadrat yang lebih luas pada saat Sobat Zenius memasuki jenjang SMA nanti.

Nah, sebelum masuk ke pembahasan rumus dan contoh fungsi kuadrat, kita mau ngomongin dulu, nih, mengenai pengertiannya. Check it out!

Pengertian dan Bentuk/Rumus Fungsi Kuadrat

Ilustrasi rumus-rumus Matematika (Dok. Pixabay)

Sebelum melangkah lebih jauh, mungkin Sobat Zenius masih belum paham apa yang dimaksud dengan fungsi kuadrat.

Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang memiliki variabel dengan pangkat tertinggi dua. Bentuk umum dari fungsi kuadrat menyerupai bentuk persamaan kuadrat.

Apakah Sobat Zenius masih ingat bagaimana bentuk persamaan kuadrat? Bentuknya seperti ini, guys, ax² + bx + c = 0. Nah, kalau bentuk umum fungsi kuadrat bagaimana? Hanya berbeda sedikit saja, nih, Sobat Zenius. Perhatikan di bawah ini.

f(x) = ax² + bx + c

f(x) = fungsi kuadrat

x = variabel

a, b = koefisien

c = konstanta

a ≠ 0

Fungsi Kuadrat dengan Tabel, Persamaan, dan Grafik

Diagram Cartesius

Pada submateri ini, kita akan membahas tentang bagaimana bentuk-bentuk dari fungsi kuadrat. Langsung saja, guys. Misal kita punya fungsi kuadrat y = x² dan ingin menggambar fungsi tersebut, kita akan membuat tabelnya terlebih dahulu.

Kita ambil contoh nilai-nilainya seperti pada contoh di bawah ini. Kemudian, tandai titik-titik potongnya dan kita dapati grafik fungsi kuadratnya. Catatan yang perlu diketahui Sobat Zenius, garis pada grafik tidak boleh tegak lurus karena akan membedakan nilai-nilai yang memenuhinya.

Grafik Fungsi Kuadrat

Sebelumnya kita sudah lihat grafik berdasarkan tabel, sekarang kita akan melihat grafik dari persamaan. Persamaan akan memudahkan menggambar titik potong x dan y.

Misalnya, kita punya persamaan y = x² + 2x +1, kita cari titik potong terhadap sumbunya.

Titik potong terhadap sumbu y

x = 0

y = 0² + 2(0) +1

y = 1

Titik potong (0, 1)

Titik potong terhadap sumbu x

x² + 2x +1 = 0

(x + 1)(x + 1) = 0

x = -1

Titik potong (-1, 0)

Setelah mengetahui nialinya, kita coba gambar grafiknya.

Grafik Fungsi Kuadrat

Hubungan antara Koefisien dengan Grafik Fungsi Kuadrat

Lanjut ke pembahasan selanjutnya yaitu mengenai materi grafik fungsi kuadrat dan hubungannya dengan koefisien.

Kita akan mencari tahu hubungan antara koefisien (a, b, dan c) dengan grafik.

Koefisien A

Langsung kita bahas koefisien a atau koefisien kuadrat. Misalnya kita punya y = x² + 1, y = -x² + 1, dan y = ½ x² + 1, maka grafiknya akan seperti pada berikut.

Kesimpulannya:

Jika a > 0, grafik terbuka ke atas
Jika a < 0, grafik terbuka ke bawah
Semakin besar nilai a, bentuk grafik semakin sempit

Koefisien B

Pada materi ini, diperlukan pengetahuan Sobat Zenius tentang melengkapkan kuadrat sempurna, ya.

Koefisien B disebut juga koefisien linear. Langsung saja, misalnya kita punya contoh persamaan y = x² + 2x + 4.

Kemudian, bentuk tersebut jika dilengkapi kuadrat sempurnanya akan menjadi (x + 1)² + 5, selanjutnya 1 kita sebut c dan 5 kita sebut d. Sebelumnya perlu elo ketahui dulu tentang ini.

Jika c positif, maka sumbu simetri x = -c, titik puncak (-c, d)
Jika c negatif, maka sumbu simetri x = c, titik puncak (c, d)

Kira-kira, grafiknya akan seperti berikut.

Konstanta C

Sekarang, kita bahas konstanta c terhadap grafik fungsi kuadrat. Konstanta c berpengaruh pada titik potong sumbu y.

Jika c semakin besar, semakin berada di atas
Jika c semakin kecil, semakin berada di bawah

Perhatikan grafik di bawah

Hubungan antara Diskriminan dengan Grafik Fungsi Kuadrat

Singkatnya, diskriminan adalah nilai yang dapat digunakan untuk menentukan banyaknya solusi persamaan kuadrat. Hubungannya apa dengan grafik fungsi kuadrat? Simak terus agar elo paham hubungan diskriminan dengan grafik fungsi kuadrat, ya.

Jika D > 0, akan ada 2 solusi real, atau grafik akan 2 kali menyentuh sumbu x.
Jika D = 0, akan ada 1 solusi real, atau grafik akan sekali menyentuh sumbu x.
Jika D < 0, tidak ada solusi real, atau grafik tidak akan menyentuh sumbu x.

Contohnya, kita punya fungsi y = 3x² + x + 1, berapa nilai diskriminannya?

D = b² – 4ac = 1² – 4(3)(1)= -11, berarti nilai D < 0, maka grafiknya seperti berikut.

Contoh Soal dan Pembahasan

Soal 1

Jika f(x) = x² – 4x, berapakah nilai dari f(2)?

Jawab:

f(2) = 2² – 4(2) = 4 – 8 = -4

Soal 2

Fungsi kuadrat yang memotong sumbu x di titik (3, 0) dan (-3, 0) melalui titik (0, -9) adalah …

Jawab

y = a(x – x₁)(x – x₂)

y = a(x + 3)(x – 3)

melalui titik (0, -9)

-9 = a(0 + 3)(0 – 3)

-9 = -9a

a = 1

y = 1(x + 3)(x – 3)

y = -9 + x²

Jadi, fungsi kuadrat tersebut adalah y = -9 + x².

Itu dia penjelasan singkat mengenai materi fungsi kuadrat dan grafiknya beserta contoh soal dan rumus-rumus dalam menyelesaikannya.

Jika Sobat Zenius ingin mendapatkan contoh soal yang lebih banyak lagi tentang fungsi kuadrat ataupun materi-materi TPS yang lainnya, elo bisa langsung klik banner di bawah ini!

Di sana, elo bisa belajar sepuasnya sampai yakin kalau udah siap menghadapi UTBK! Terus belajar dan berlatih agar dapat menguasai konsep dan materi kita kali ini. Jangan lupa untuk terus ikuti keseruan lainnya dari Zenius di YouTube!