A raiz cúbica é a operação de radiciação que possui índice igual a 3. Calcular a raiz cúbica de um número n é encontrar qual número elevado a 3 resulta em n, isto é, \(\sqrt[3]{a}=b\rightarrow b^3=a\). Sendo assim, a raiz cúbica é um caso particular de radiciação. Show Saiba mais: Raiz quadrada — como calcular? Representação da raiz cúbica de um númeroConhecemos como raiz cúbica a operação de radiciação de um número n quando o índice é igual a 3. De modo geral, a raiz cúbica de n é representada por: \(\sqrt[3]{n}=b\)
Como calcular a raiz cúbica?Sabemos que a raiz cúbica é uma radiciação com índice igual 3, então calcular a raiz cúbica de um número n é procurar qual número multiplicado por ele mesmo três vezes é igual a n. Ou seja, procuramos um número b tal que b³ = n. Para calcular a raiz cúbica de um número grande, podemos realizar a fatoração do número e agrupar as fatorações como potências de expoente igual a 3 para que seja possível simplificar a raiz cúbica. Calcule \(\sqrt[3]{8}\). Resolução: Sabemos que \(\sqrt[3]{8}=2\), pois 2³ = 8. Calcule: \(\sqrt[3]{1728}.\) Resolução: Para calcular a raiz cúbica de 1728, primeiramente faremos a fatoração de 1728. Então, temos que: \(\sqrt[3]{1728}=\sqrt[3]{2^3\cdot2^3\cdot3^3}\) \(\sqrt[3]{1728}=2\cdot2\cdot3\) \(\sqrt[3]{1728}=12\) Calcule o valor de \(\sqrt[3]{42875}\). Resolução: Para encontrar o valor da raiz cúbica de 42875, é necessário fatorar esse número: Então, temos que: \(\sqrt[3]{42875}=\sqrt[3]{5^3\cdot7^3}\) \(\sqrt[3]{42875}=5\cdot7\) \(\sqrt[3]{42875}=35\) Lista com as raízes cúbicas exatas
Importante: O número que possui raiz cúbica exata é conhecido como um cubo perfeito. Logo, os cubos perfeitos são 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216 etc. Cálculo da raiz cúbica por aproximaçãoQuando a raiz cúbica não é exata, podemos utilizar a aproximação para encontrar o valor decimal que representa a raiz. Para isso, é necessário descobrir entre quais cubos perfeitos o número se encontra. Determinamos, então, o intervalo em que a raiz cúbica está, e, por fim, descobriremos a parte decimal por tentativa, analisando a variabilidade da parte decimal. Calcule \(\sqrt[3]{50}\). Resolução: Inicialmente, encontraremos entre quais cubos perfeitos o número 50 se encontra: 27 < 50 < 64 Calculando a raiz cúbica dos três números: \(\sqrt[3]{27}<\sqrt[3]{50}<\sqrt[3]{64}\) \(3<\sqrt[3]{50}<4\) A parte inteira da raiz cúbica de 50 é 3 e está entre 3,1 e 3,9. Logo, analisaremos o cubo de cada um desses números decimais, até passar de 50. 3,1³ = 29,791 3,2³ = 32,768 3,3³ = 35,937 3,4³ = 39,304 3,5³ = 42,875 3,6³ = 46,656 3,7³ = 50,653 Então, temos que: \(\sqrt[3]{50}\approx3,6\) por falta. \(\sqrt[3]{50}\approx3,7\) por excesso. Saiba também: Cálculo de raízes não exatas — como fazer? Exercícios resolvidos sobre raiz cúbica(IBFC 2016) O resultado da raiz cúbica do número 4 ao quadrado é um número entre: A) 1 e 2 B) 3 e 4 C) 2 e 3 D) 1,5 e 2,3 Resolução: Alternativa C Sabemos que 4² = 16, então queremos calcular \(\sqrt[3]{16}\). Os cubos perfeitos que conhecemos próximos a 16 são 8 e 27: \(8<16<27\) \(\sqrt[3]{8}<\sqrt[3]{16}<\sqrt[3]{27}\) \(2<\sqrt[3]{16}<3\) Assim, a raiz cúbica de 4 ao quadrado está entre 2 e 3. Questão 2 A raiz cúbica de 17576 é igual a: A) 8 B) 14 C) 16 D) 24 E) 26 Resolução: Alternativa E Fatorando 17576, temos que: Portanto: \(\sqrt[3]{17576}=\sqrt[3]{2^3\cdot{13}^3}\) \(\sqrt[3]{17576}=2\cdot13\) \(\sqrt[3]{17576}=26\) Por Raul Rodrigues de Oliveira
 A radiciação é a operação que usamos para encontrar um número que multiplicado por ele mesmo um determinado número de vezes, é igual a um valor conhecido. Aproveite os exercícios resolvidos e comentados para tirar suas dúvidas sobre essa operação matemática. Questão 1Fatore o radicando de
Resposta correta: 12. 1º passo: fatorar o número 144
2º passo: escrever 144 na forma de potência
Observe que 24 pode ser escrito como 22.22, pois 22+2= 24 Portanto, 3º passo: substituir o radicando 144 pela potência encontrada Neste caso temos uma raiz quadrada, ou seja, raiz de índice 2. Logo, como uma das propriedades da radiciação é podemos eliminar a raiz e resolver a operação.
Qual o valor de x na igualdade ? a) 4 b) 6 c) 8 d) 12
Resposta correta: c) 8. Observando o expoente dos radicandos, 8 e 4, podemos perceber que 4 é a metade de 8. Portanto, o número 2 é o divisor comum entre eles e isso é útil para descobrir o valor de x, pois segundo uma das propriedades da radiciação . Dividindo o índice do radical (16) e o expoente do radicando (8), descobrimos o valor de x da seguinte forma:
Logo, x = 16 : 2 = 8. Questão 3Simplifique o radical .
Resposta correta: . Para simplificar a expressão, podemos retirar da raiz os fatores que possuem expoente igual ao índice do radical. Para isso, devemos reescrever o radicando de maneira que o número 2 apareça na expressão, já que temos uma raiz quadrada.
Substituindo os valores anteriores no radicando, temos:
Como , simplificamos a expressão. Questão 4Sabendo que todas as expressões são definidas no conjunto dos números reais, determine o resultado para: a) b) c) d)
Resposta correta: a) pode ser escrito como Sabendo que 8 = 2.2.2 = 23 substituímos o valor de 8 no radicando pela potência 23.
b)
c)
d)
Questão 5Reescreva os radicais ; e de forma que os três apresentem o mesmo índice.
Resposta correta: . Para reescrever os radicais com o mesmo índice, precisamos encontrar o mínimo múltiplo comum entre eles.
MMC = 2.2.3 = 12 Portanto, o índice dos radicais deve ser 12. Entretanto, para modificar os radicais precisamos seguir a propriedade . Para mudar o índice do radical devemos utilizar p = 6, pois 6 . 2 = 12
Para mudar o índice do radical devemos utilizar p = 4, pois 4 . 3 = 12
Para mudar o índice do radical devemos utilizar p = 3, pois 3 . 4 = 12
Questão 6Qual o resultado da expressão ? a) b) c) d)
Resposta correta: d) . Pela propriedade dos radicais , podemos resolver a expressão da seguinte forma:
Racionalize o denominador da expressão .
Resposta correta: . Para retirar o radical do denominador do quociente devemos multiplicar os dois termos da fração por um fator racionalizante, que é calculado subtraindo o índice do radical pelo expoente do radicando: Sendo assim, para racionalizar o denominador o primeiro passo é calcular o fator.
Agora, multiplicamos os termos do quociente pelo fator e resolvemos a expressão. Portanto, racionalizando a expressão temos como resultado . Questão 8Determine o diâmetro de uma esfera com volume igual a cm³.
Resposta: o diâmetro será de 6 cm. O volume de uma esfera é calculado segundo a seguinte equação:
Em que R é o raio da esfera e, portanto, o diâmetro é igual a 2R. R deve estar isolado em um membro da equação, de forma que:
Substituindo o valor de V, temos:
Para determinar o valor de R, aplicamos uma raiz cúbica nos dois membros da equação.
Portanto, o diâmetro da esfera será de 2R = 2.3 = 6 cm. Questão 9Sendo e determine o valor de .
Resposta: Substituindo os valores de a e b na equação, temos: Embora os índices das raízes sejam iguais, os radicando são diferentes. Devemos fatorar o 3 125. Como o índice da raiz é 4, é conveniente escrever 3 125 na forma fatorada como ao invés de . Isto irá ajudar a simplificação. Substituindo o 3 125 por sua forma fatorada no radicando, a expressão ficará: Como dentro da raiz há um produto, podemos desmembrá-lo,
Cancelando o índice e o expoente igual e multiplicando 2 por 5,
Questão 10Simplifique a expressão utilizando propriedades das raízes.
Resposta: No numerador, as raízes possuem índices diferentes. Podemos multiplicar pelo mesmo fator tanto o índice quanto o expoente do radicando, afim de igualar os índices.
Ao multiplicar índice e expoente do radicando pelo mesmo fator, não alteramos a raiz. Aplicando na expressão da questão:
Agora os índices são iguais e podemos multiplicar as raízes,
Devemos racionalizar a fração para não deixar um número irracional no denominador. Para isto, basta multiplicar tanto o denominador quanto o numerador pela raiz quadrada de três.
Repetindo o processo, podemos utilizar a mesma propriedade na raiz de três para igualar os índices das raízes.
Com os índices iguais, é possível multiplicar as raízes no numerador,
(IFSC - 2018) Analise as afirmações seguintes: I. II. III. Efetuando-se , obtém-se um número múltiplo de 2. Assinale a alternativa CORRETA. a) Todas são verdadeiras. b) Apenas I e III são verdadeiras. c) Todas são falsas. d) Apenas uma das afirmações é verdadeira. e) Apenas II e III são verdadeiras.
Alternativa correta: b) Apenas I e III são verdadeiras. Vamos resolver cada uma das expressões para verificar quais são verdadeiras. I. Temos uma expressão numérica envolvendo várias operações. Neste tipo de expressão, é importante lembrar que existe uma prioridade para efetuar os cálculos. Assim, devemos começar com a radiciação e potenciação, depois a multiplicação e divisão e, por último, a soma e subtração. Outra observação importante é com relação ao - 52. Se houvesse parênteses, o resultado seria +25, mas sem os parênteses o sinal de menos é da expressão e não do número. Portanto, a afirmação é verdadeira. II. Para resolver essa expressão, iremos considerar as mesmas observações feitas no item anterior, adicionando que resolvemos primeiro as operações dentro dos parênteses. Neste caso, a afirmação é falsa. III. Podemos resolver a expressão utilizando a propriedade distributiva da multiplicação ou o produto notável da soma pela diferença de dois termos. Assim, temos:
Como o número 4 é um múltiplo de 2, essa afirmação também é verdadeira. Questão 12(CEFET/MG - 2018) Se , então o valor da expressão x2 + 2xy +y2 – z2 é a) d) 0
Alternativa correta: c) 3. Vamos começar a questão simplificando a raiz da primeira equação. Para isso, passaremos o 9 para a forma de potência e dividiremos o índice e o radicando da raiz por 2:
Considerando as equações, temos:
Como as duas expressões, antes do sinal de igual, são iguais, concluímos que:
Resolvendo essa equação, encontraremos o valor do z:
Substituindo esse valor na primeira equação:
Antes de substituir esses valores na expressão proposta, vamos simplificá-la. Note que: x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 Assim, temos:
Questão 13(Aprendiz de Marinheiro - 2018) Se , então o valor de A2 é: a) 1 b) 2 c) 6 d) 36
Alternativa correta: b) 2 Como a operação entre as duas raízes é a multiplicação, podemos escrever a expressão em um único radical, ou seja:
Agora, vamos elevar o A ao quadrado:
Como o índice da raiz é 2 (raiz quadrada) e está elevado ao quadrado, podemos retirar a raiz. Assim:
Para multiplicar, usaremos a propriedade distributiva da multiplicação: Questão 14(Aprendiz de Marinheiro - 2017) Sabendo que a fração é proporcional à fração , é correto afirmar que y é igual a: a) 1 - 2
Alternativa correta: e) Sendo as frações proporcionais, temos a seguinte igualdade:
Passando o 4 para o outro lado multiplicando, encontramos:
Simplificando todos os termos por 2, temos:
Agora, vamos racionalizar o denominador, multiplicando em cima e embaixo pelo conjugado de :
Questão 15(CEFET/RJ - 2015) Seja m a média aritmética dos números 1, 2, 3, 4 e 5. Qual é a opção que mais se aproxima do resultado da expressão abaixo?
a) 1,1 b) 1,2 c) 1,3 d) 1,4
Alternativa correta: d) 1,4 Para começar, iremos calcular a média aritmética entre os números indicados:
Substituindo esse valor e resolvendo as operações, encontramos:
Questão 16(IFCE - 2017) Aproximando os valores de até a segunda casa decimal, obtemos 2,23 e 1,73, respectivamente. Aproximando o valor de até a segunda casa decimal, obtemos a) 1,98. b) 0,96. c) 3,96. d) 0,48. e) 0,25.
Alternativa correta: e) 0,25 Para encontrar o valor da expressão, iremos racionalizar o denominador, multiplicando pelo conjugado. Assim: Resolvendo a multiplicação:
Substituindo os valores da raízes pelos valores informados no enunciado do problema, temos:
Questão 17(CEFET/RJ - 2014) Por qual número devemos multiplicar o número 0,75 de modo que a raiz quadrada do produto obtido seja igual a 45? a) 2700 b) 2800 c) 2900 d) 3000
Alternativa correta: a) 2700 Primeiro, vamos escrever 0,75 na forma de fração irredutível:
Iremos chamar de x o número procurado e escrever a seguinte equação:
Elevando ao quadrado ambos os membros da equação, temos: Questão 18(EPCAR - 2015) O valor da soma é um número a) natural menor que 10 b) natural maior que 10 c) racional não inteiro d) irracional.
Alternativa correta: b) natural maior que 10. Vamos começar racionalizando cada parcela da soma. Para isso, iremos multiplicar o numerador e o denominador das frações pelo conjugado do denominador, conforme indicado abaixo: Para efetuar a multiplicação dos denominadores, podemos aplicar o produto notável da soma pela diferença de dois termos.
S = 2 - 1 + 14 = 15 Você também pode se interessar por: |
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