Contoh soal deret geometri tak hingga dalam kehidupan sehari-hari

Edumatik.Net – Deret geometri tak hingga adalah suatu deret geometri dengan banyak suku-sukunya tak hingga. Adapun bentuk umumnya sebagai berikut:

\(S_{\infty} = a + ar + … + ar^{n-1} + ar^{n} + …\)

atau

\(S_{\infty} = U_{1} + U_{2} + … + U_{n} + U_{n+1} + …\)

Nah sekarang akan dibahas cara mencari rumus deret geometri tak hingga agar Kamu paham asal-usul rumus tersebut, pembuktian rumus deret geometri tak hingga sebenarnya dibuktikan dengan menggunakan rumus deret geometri berhingga, yaitu \(S_{n} = \frac{a \left( 1-r^{n} \right)}{1-r}\)

Bagaimana cara mencari rumusnya? Simaklah pembahasan berikut:

\(S_{n} = \frac{a \left( 1-r^{n} \right)}{1-r}\)

\(S_{n} = \frac{a-ar^{n}}{1-r}\)

\(S_{n} = \left( \frac{a}{1-r} \right) – \left( \frac{ar^{n}}{1-r} \right)\)

Lihat rumusan tersebut!
Kira-kira apa yang akan terjadi jika n mendekati tak hingga?

Untuk \(r > 1\)

\(S_{\infty} = \left( \frac{a}{1-r} \right) – \left( \frac{ar^{\infty}}{1-r} \right)\)

\(S_{\infty} = \left( \frac{a}{1-r} \right) – \left( \frac{\infty}{1-r} \right)\)

\(S_{\infty} = \left( \frac{a}{1-r} \right) – \left( – \infty \right)\), sebab \(1-r\) menghasilkan negatif.

\(S_{\infty} = \left( \frac{a}{1-r} \right) + \left( \infty \right)\)

\(S_{\infty} = \infty\)

Untuk \(r < -1\)

\(S_{\infty} = \left( \frac{a}{1-r} \right) – \left( \frac{ar^{\infty}}{1-r} \right)\)

\(S_{\infty} = \left( \frac{a}{1-r} \right) – \left( \frac{\infty}{1-r} \right)\)

\(S_{\infty} = \left( \frac{a}{1-r} \right) – \left( \infty \right)\), sebab \(1-r\) menghasilkan positif.

\(S_{\infty} = \left( \frac{a}{1-r} \right) – \left( \infty \right)\)

\(S_{\infty} = – \infty\)

Untuk \(-1 < r < 1\)
Artinya \(r\) merupakan merupakan sebuah pecahan. Sekarang coba lihat apa yang akan terjadi jika sebuah pecahan pangkatnya semakin besar.

Misalkan \( r = \frac{1}{2}\)

Misalkan \( r = \frac{2}{3}\)

Uraian diatas menjelaskan bahwa jika suatu pecahan semakin besar pangkatnya maka nilainya akan semakin mendekati 0 (nol). Paham kan?

Oke sekarang Kita kembali ke rumus!
Ingat, r adalah pecahan. Artinya dia akan mendekati nilai nol.

\(S_{\infty} = \left( \frac{a}{1-r} \right) – \left( \frac{ar^{\infty}}{1-r} \right)\)

\(S_{\infty} = \left( \frac{a}{1-r} \right) – \left( \frac{0}{1-r} \right)\)

\(S_{\infty} = \left( \frac{a}{1-r} \right) – \left( 0\right)\)

\(S_{\infty} = \frac{a}{1-r}\)

Dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa rumus untuk mencari deret geometri tak hingga adalah sebagai berikut:

Deret geometri tak hingga untuk \(r > 1\) dan \(r < -1\) disebut deret divergen, artinya jika dijumlahkan sampai tak hingga memberikan hasil \(+ \infty\) atau \(– \infty\).

Sedangkan deret geometri tak hingga untuk \(-1 < r < 1\) disebut deret konvergen, artinya jika dijumlahkan sampai tak hingga memberikan suatu nilai tertentu.

Nah berikut ini adalah contoh soal deret geometri tak hingga beserta jawabannya.

1). Tentukan jumlah tak hingga dari deret berikut:

a). \(2, 4, 8, 18, . . .\)

b). \((-3), 9, (-27), 81, . . .\)

c). \(16, 8, 4, 2, . . .\)

Jawab:

a). Rasionya adalah \(\frac{4}{2} = 2\). Dikarenakan rasionya lebih dari satu, maka maka hasilnya positif tak hingga. \(S_{\infty} = {\infty}\)

b). Rasionya adalah \(\frac{9}{-3} = -3\). Dikarenakan rasionya kurang dari negatif satu, maka hasilnya negatif tak hingga. \(S_{\infty} = {- \infty}\)

c). Diketahui rasionya adalah \(\frac{8}{16} = \frac{1}{2}\), \(n = \infty\) dan \(a=16\)

\(S_{\infty} = \frac{a}{1-r}\)

\(S_{\infty} = \frac{16}{1-\frac{1}{2}}\)

\(S_{\infty} = \frac{16}{\frac{1}{2}}\)

\(S_{\infty} = 16 \times 2\)

\(S_{\infty} = 32\)

2). Diketahui jumlah tak hingga suatu deret geometri adalah 4 dan suku pertamanya adalah 3. Tentukanlah nilai rasionya!

Jawab:

Diketahui \(S_{\infty} = 4\), dan \(a=3\)

\(S_{\infty} = \frac{a}{1-r}\)

\(4 = \frac{3}{1-r}\)

\(4 (1-r) = 3\)

\(4 – 4r = 3\)

\(-4r = 3 – 4\)

\(-4r = -1\)

\(r= \frac{-1}{-4}\)

\(r= \frac{1}{4}\)

3). Jumlah deret geometri tak hingga \(a, 1, \frac{1}{a}, \frac{1}{a^{2}}\) adalah \(4a\). Tentukanlah nilai \(a\)!

Jawab:

Diketahui \(S_{\infty} = 4a\), suku pertamanya adalah \(a\), dan rasionya adalah \(\frac{1}{a}\).

\(S_{\infty} = \frac{a}{1-r}\)

\(4a = \frac{a}{1-\frac{1}{a}}\)

\(4a = \frac{a}{\frac{a-1}{a}}\)

\(4a = \frac{a^{2}}{a-1}\)

\(4a (a-1) = a^{2}\)

\(4a^{2} – 4a = a^{2}\)

\(4a^{2} – a^{2} – 4a = 0\)

\(3a^{2} – 4a = 0\)

\(a (3a – 4) = 0\)

\(a=0\) atau \(a = \frac{4}{3}\)

\(a=0\) (tidak mungkin), karena rasionya \(\frac{1}{a}\). Jika \(a=0\) maka rasionya tidak ada, sehingga kesimpulannya adalah \(a = \frac{4}{3}\)

Itulah pembahasan mengenai pembuktian rumus deret geometri tak hingga, selanjutnya Kita akan belajar contoh soal deret geometri tak hingga dalam kehidupan sehari-hari. Jika kamu menganggap tulisan ini sangat bermanfaat silahkan share sebanyak-banyaknya. See you, bye!

Edumatik.Net – Pada tulisan kali ini kita akan belajar seperti apa sih penerapan deret geometri tak hingga dalam kehidupan sehari-hari? Nah, salah satu penerapan deret tak hingga yaitu untuk menghitung panjang lintasan bola yang jatuh.

Selain itu, aplikasi deret tak hingga dapat pula digunakan untuk menghitung pertumbuhan sebuah bakteri tertentu. Lebih jelasnya lagi mengenai contoh soal cerita deret geometri tak hingga akan kita bahas setelah kita mencari rumusannya.

Nah berikut ini akan dicari rumusan yang dapat kita gunakan dalam memahami aplikasi deret tak hingga dalam kehidupan sehari-hari. Kita akan mulai dari sebuah cerita yaa.

Sebuah bola dilemparkan keatas ataupun langsung dijatuhkan dari ketinggian tertentu, kemudian bola tersebut menghantam lantai dan memantul kembali ke atas. Kejadian tersebut berlangsung terus-menerus hingga akhirnya bola tersebut berhenti memantul.

Dapatkah Kamu menentukan formula untuk menghitung panjang lintasan yang dilalui bola hingga berhenti? Nah itulah yang akan Kita pelajari disini. Siap? Kita mulai!

Ada beberapa kasus dalam menentukan rumus panjang lintasan bola yang memantul. Berikut penjelasan lengkapnya:

Bola Dilemparkan ke Atas

Ketika sebuah bola dilemparkan ke atas maka terbentuk lintasan-lintasan yang dilalui bola, seperti ilustrasi dibawah ini.

Coba perhatikan baik-baik!
Lintasan yang dilalui oleh bola ada bagian yang naik dan ada bagian yang turun. Panjang lintasan naik \(PLN\) yaitu \(S_{\infty}\) dan panjang lintasan turun \(PLT\) yaitu \(S_{\infty}\), sehingga total panjang lintasan \(PL\) sama dengan panjang lintasan naik ditambah panjang lintasan turun.

\(PL = PLN + PLT\)

\(PL = S_{\infty} + S_{\infty}\)

\(PL = 2 S_{\infty}\)

\(PL = 2 \left( \frac{a}{1-r} \right)\)

Bola Dijatuhkan ke Bawah

Hampir sama kasusnya seperti yang dilemparkan keatas, yang membedakan adalah lintasan awal yang naik dihilangkan sebab bola langsung dijatuhkan dari atas.

Sehingga formula untuk mencari panjang lintasannya adalah sebagai berikut:

\(PL = 2 S_{\infty} – a\)

\(PL = 2 \left( \frac{a}{1-r} \right) – a\)

\(PL = \frac{2a}{1-r} – a\)

Panjang Lintasan Setelah Pantulan ke-\(k\)

Pada kasus ini bola dilemparkan ke atas ataupun dijatuhkan ke bawah hasilnya akan selalu sama, karena perhitungan dimulai setelah bola memantul. Sekarang coba perhatikan ilustrasi dibawah ini!

Setelah pantulan ke-1 suku pertamanya \(U_2\)

Setelah pantulan ke-2 suku pertamanya \(U_3\)

Setelah pantulan ke-3 suku pertamanya \(U_4\), dan seterusnya sampai

Setelah pantulan ke-\(k\) suku pertamanya \(U_{k+1}\)

Mencari suku ke-\(n\) masih tetap menggunakan \(U_n = ar^{n-1}\). Nah sekarang Kita kaitkan dengan panjang lintasan.

Panjang lintasan setelah pantulan ke-1

Panjang lintasan setelah pantulan ke-2

Panjang lintasan setelah pantulan ke-3

Panjang lintasan setelah pantulan ke-\(k\)

Jadi dapat disimpulkan bahwa rumus untuk mencari panjang lintasan setelah pantulan ke-\(k\) adalah sebagai berikut

1). Sebuah bola dilemparkan keatas mencapai ketinggian \(6\) m, bola tersebut jatuh dan memantul kembali dengan ketinggian \(\frac{1}{2}\) dari tinggi sebelumnya. berapakah panjang lintasan yang dilalui bola sampai berhenti?

Jawab:

Diketahui \(a = 6, r = \frac{1}{2}\)

Bola dilempar keatas, artinya menggunakan rumus \(PL = 2 \left( \frac{a}{1-r} \right)\)

\(PL = 2 \left( \frac{a}{1-r} \right)\)

\(PL = 2 \left( \frac{6}{1- \frac{1}{2}} \right)\)

\(PL = 2 \left( \frac{6}{\frac{1}{2}} \right)\)

\(PL = 2 \left( 6 \times \frac{2}{1} \right)\)

\(PL = 2 \times 12\)

\(PL = 24\) m

2). Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian \(5\) m, dan memantul kembali dengan ketinggian \(\frac{3}{5}\) dari tinggi sebelumnya. berapakah panjang lintasan bola sampai berhenti?

Jawab:

Diketahui \(a = 5, r = \frac{3}{5}\)

Bola dijatuhkan kebawah, artinya menggunakan rumus \(PL = \frac{2a}{1-r} – a\)

\(PL = \frac{2a}{1-r} – a\)

\(PL = \frac{2 . 5}{1-\frac{3}{5}} – 5\)

\(PL = \frac{10}{\frac{5}{5}-\frac{3}{5}} – 5\)

\(PL = \frac{10}{\frac{2}{5}} – 5\)

\(PL = 10 \times \frac{5}{2} – 5\)

\(PL = 5 . 5 – 5\)

\(PL = 25 – 5\)

\(PL = 20\) m

3). Sebuah bola jatuh dari ketinggian \(4\) m dan memantul kembali menjadi \(\frac{2}{3}\) tinggi sebelumnya. Tentukan panjang lintasan setelah pantulan ke-2 sampai bola tersebut berhenti!

Jawab:

Diketahui \(a = 4, r = \frac{2}{3}, k = 2\)

Ditanyakan panjang lintasan setelah pantulan ke 2, artinya menggunakan rumus \(PL = 2 \left( \frac{ar^{k}}{1-r} \right)\)

\(PL = 2 \left( \frac{ar^{k}}{1-r} \right)\)

\(PL = 2 \left( \frac{4 \left( \frac{2}{3} \right)^{2}}{1-\frac{2}{3}} \right)\)

\(PL = 2 \left( \frac{4 \left( \frac{4}{9} \right)}{\frac{1}{3}} \right)\)

\(PL = 2 \left( \frac{\frac{16}{9}}{\frac{1}{3}} \right)\)

\(PL = 2 \left( \frac{16}{9} \times \frac{3}{1} \right)\)

\(PL = 2 \left( \frac{16}{3} \right)\)

\(PL = \frac{32}{3}\)

Itulah pembahasan tentang aplikasi deret tak hingga dalam kehidupan sehari-hari, semoga aplikasi deret tak hingga ini dapat membuat kamu lebih paham lagi tentang materi deret geometri tak hingga. Jika tulisan ini bermanfaat silahkan share yaa! Sampai ketemu lagi di tulisan berikutnya, bye.