Matematika123.com- Contoh soal dan pembahasan tentang persamaan garis lurus dan gradien. Menentukan gradien dari sebuah garis hingga menentukan garis-garis yang sejajar atau saling tegak lurus satu sama lain dan menentukan titik potong dari dua garis. Soal No. 1Perhatikan gambar berikut ini!
Blog Koma - Persamaan garis singgung lingkaran merupakan suatu garis yang menyinggung suatu lingkaran. Untuk memudahkan dalam mempelajari persamaan garis singgung lingkaran, sebaiknya baca dulu materi "persamaan lingkaran". Ada tiga jenis yang diketahui dalam menentukan persamaan garis singgung lingkaran, yaitu : Garis Singgung yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran, Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran, dan garis singgung lingkaran yang diketahui gradien garisnya.
Persamaan Garis Singgung (PGS) yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran Persamaan Garis Singgung yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran maksudnya titik yang dilalui oleh garis ada pada ingkaran. Berikut penjabarannya masing-masing i). Persamaan Garis Singgung di Titik P($x_1, y_1$) pada Lingkaran $x^2 + y^2 = r^2 $ Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} x_1.x + y_1.y = r^2 \end{align} $ ii). Persamaan Garis Singgung di Titik P($x_1, y_1$) pada Lingkaran $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $ Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y-b) = r^2 \end{align} $ iii). Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Q($x_1, y_1$) pada Lingkaran $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ Persamaan garis singgungnya : $ x_1.x + y_1.y + A. \frac{(x_1+x)}{2} + B\frac{(y_1+y)}{2} + C = 0 $ Catatan : Cara ini dinamakan cara BAGI ADIL. Untuk pembuktian rumus di atas, silahkan baca materi "Pembuktian Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran".
Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran
Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran maksudnya titik yang dilalui oleh garis singgung ada di luar lingkaran. Misalkan titik yang dilalui adalah titik A($x_1,y_1$). Dari titik yang dilalui tersebut bisa ditarik dua garis singgung melalui titik pada lingkaran misalnya B($x_2,y_2$) dan titik C($x_3,y_3$). Ada dua cara menentukan persamaan garis singgungnya, yaitu : $\clubsuit \, $ 1). Persamaan garis singgung melalui titik A($x_1,y_1$) diluar lingkaran, Langkah-langkah penyelesaian : i). Misalkan garis singggungnya $ y = mx + n $ , ii). Substitusi titik A($x_1,y_1$) ke garis $ y = mx + n $ , dan tentukan nilai $ n \, $ dalam bentuk $ m $ kemudian substitusi nilai $ n \, $ ke garis $ y = mx + n $ . iii). Substitusi garis yang baru ke persamaan lingkaran, lalu tentukan nilai diskriminannya ($D$). iv). Tentukan nilai $ m \, $ dengan syarat garis menyinggung lingkaran : $ D = 0 $ . v). Substitusi nilai $ m $ yang diperoleh ke garis baru yang terbentuk. $\clubsuit \, $ 2). Menggunakan garis kutub (polar). Jika melalui titik A($x_1, y_1$) di luar lingkaran ditarik dua buah garis singgung pada lingkaran dengan titik singgungnya B($x_2, y_2$) dan C($x_3, y_3$), maka persamaan garis BC adalah $x_1.x + y_1.y = r^2$ disebut garis kutub pada lingkaran dan titik A($x_1, y_1$) disebut titik kutub. Langkah-langkah penyelesaian : i). Membuat persamaan garis kutub dari titik A($x_1, y_1$) terhadap lingkaran. ii). Substitusi garis kutub yang terbentuk ke persamaan lingkaran, lalu selesaikan untuk menentukan nilai $ x \, $ . iii). Substitusi nilai $ x \, $ atau $ y \, $ yang diperoleh ke persamaan garis kutub untuk menentukan titik B dan C. iv). Titik B dan C adalah titik pada lingkaran yang dilalui oleh garis singgung, selanjutnya gunakan cara BAGI ADIL.
Persamaan Garis Singgung (PGS) Lingkaran dengan gradien $ m $ Persamaan Garis Singgung (PGS) Lingkaran dengan gradien $ m $ kita bagi menjadi tiga berdasarkan jenis persamaan lingkarannya, yaitu : i). Persamaan Garis Singgung dengan Gradien $ m $ terhadap Lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 $ Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} y = mx \pm r \sqrt{1 + m^2} \end{align} $ ii). Persamaan Garis Singgung dengan Gradien $ m $ terhadap Lingkaran $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $ Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} y - b = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} \end{align} $ iii). Persamaan Garis Singgung dengan Gradien $ m $ terhadap Lingkaran $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $ Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} y - b = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} \end{align} $ Untuk menentukan pusat dan jari-jarinya, silahkan baca materi "Persamaan Lingkaran" Karena ada kaitannya dengan gradien, maka biasanya juga melibatkan hubungan antara dua garis. Silahkan baca materi "Hubungan Dua Garis". *). Dua garis sejajar, maka gradiennya sama : $ m_1 = m_2 $ *). Dua garis tegak lurus : $ m_1 . m_2 = -1 $Untuk pembuktian rumus di atas, silahkan baca materi "Pembuktian Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran". Contoh : 1). Tentukan persamaan garis singgung dengan gradien $ \sqrt{8} \, $ pada lingkaran $ x^2 + y^2 = 16 $ ! Penyelesaian : *). Menentukan unsur-unsur lingkaran : $ x^2 + y^2 = 16, \, $ jari-jari : $ r^2 = 16 \rightarrow r = 4 $ *). Menentukan PGS dengan gradien $ m = \sqrt{8} $ $\begin{align} y & = mx \pm r \sqrt{1 + m^2} \\ y & = \sqrt{8}x \pm 4 \sqrt{1 + (\sqrt{8})^2} \\ y & = \sqrt{8}x \pm 4 \sqrt{1 + 8} \\ y & = \sqrt{8}x \pm 4 . 3 \\ y & = \sqrt{8}x \pm 12 \end{align} $ Jadi, PGS nya adalah $ y = \sqrt{8}x + 12 \, $ dan $ y = \sqrt{8}x - 12 $ 2). Tentukan persamaan garis singgung yang sejajar dengan garis $ y = 2x - 3 \, $ pada lingkaran $ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 1 $ ! Penyelesaian : *). Menentukan unsur-unsur lingkaran : $ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 1, \, $ jari-jari : $ r^2 = 1 \rightarrow r = 1 $ Pusatnya : $ (a,b) = (2, -1) $ *). Menentukan gradien garis singgungnya Garis $ y = 2x - 3 \rightarrow m_1 = 2 $ Karena sejajar, maka gradiennya sama, sehingga $ m = 2 $ *). Menentukan PGS dengan gradien $ m = 2 $ $\begin{align} y - b & = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} \\ y - (-1) & = 2(x - 2) \pm 1. \sqrt{1 + 2^2} \\ y + 1 & = 2x - 4 \pm \sqrt{5} \\ y & = 2x - 4 - 1 \pm \sqrt{5} \\ y & = 2x - 5 \pm \sqrt{5} \end{align} $ Jadi, PGS nya adalah $ y = 2x - 5 + \sqrt{5} \, $ dan $ y = 2x - 5 - \sqrt{5} $ 3). Tentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus dengan garis $ -3x + 4y - 1 = 0, \, $ pada lingkaran $ x^2 + y^2 + 4x - 2y + 1 = 0 $ ! Penyelesaian : *). Menentukan unsur-unsur lingkaran : $ x^2 + y^2 + 4x - 2y + 1 = 0, \rightarrow A = 4, B = -2, C = 1 $ Pusatnya : $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2} , - \frac{B}{2} \right) = \left( -\frac{4}{2} , - \frac{-2}{2} \right) = (-2,1) $ Jari-jari : $ r = \sqrt{a^2 + b^2 - C} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 - 1} = 2 $ *). Menentukan gradien garis singgungnya Garis $ -3x + 4y - 1 = 0 \rightarrow m_1 = -\frac{-3}{4} = \frac{3}{4} $ Karena tegak lurus, maka $ m.m_1 = -1 \rightarrow m . \frac{3}{4} = -1 \rightarrow m = - \frac{4}{3} $ *). Menentukan PGS dengan gradien $ m = - \frac{4}{3} $ $\begin{align} y - b & = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} \\ y - 1 & = - \frac{4}{3}.(x - (-2)) \pm 2. \sqrt{1 + (- \frac{4}{3})^2} \\ y - 1 & = - \frac{4}{3}.(x + 2) \pm 2 \sqrt{1 + \frac{16}{9}} \\ y - 1 & = - \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \pm 2 \sqrt{ \frac{25}{9}} \\ y - 1 & = - \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \pm 2 . \frac{5}{3} \\ y - 1 & = - \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \pm \frac{10}{3} \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 3y - 3 & = - 4x - 8 \pm 10 \\ 3y & = - 4x - 8 + 3 \pm 10 \\ 3y & = - 4x - 5 \pm 10 \\ \text{(PGS I) } : 3y & = - 4x - 5 + 10 \\ 3y & = -4x + 5 \\ 4x + 3y & = 5 \\ \text{(PGS II) } : 3y & = - 4x - 5 - 10 \\ 3y & = -4x - 15 \\ 4x + 3y & = -15 \end{align} $Jadi, PGS nya adalah $ 4x + 3y = 5 \, $ dan $ 4x + 3y = -15 $ |