Kedudukan Garis terhadap Lingkaran Misalkan diketahui garis $g:\ ax+by+c=0$ dan lingkaran $L:\ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ Kedudukan garis $g$ terhadap lingkaran $L$ ditentukan oleh nilai diskriminan $D=b^{2}-4ac$, yaitu: $1)$ Jika $D>0$ maka garis $g$ memotong lingkaran di dua titik yang berlainan $2)$ Jika $D=0$ maka garis $g$ menyinggung lingkaran $3)$ Jika $D<0$ maka garis $g$ tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran Berikut ini contoh soal kedudukan garis terhadap lingkaran beserta pembahasannya. Tentukan kedudukan garis $x+y=1$ terhadap lingkaran $x^{2}+y^{2}=16$ Diketahui persamaan garis $x+y=1 \rightarrow y=1-x $ Selanjutnya, substitusi persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran. Sehingga diperoleh $\begin{aligned} x^{2}+y^{2}&=16 \\ x^{2}+(1-x)^{2}&=16 \\ x^{2}+1-2x +x^{2}&=16 \\ 2x^{2}-2x-15&=0 \\ a=2,\ b=-2,\ c&=-15 \end{aligned}$ $\begin{aligned} D&=b^{2}-4ac \\ &= (-2)^{2}-4(2)(-15) \\ &= 4+120 \\ &= 124 \end{aligned}$ Karena $D>0$ maka garis $x+y=1$ memotong lingkaran $x^{2}+y^{2}=16$ di dua titik yang berlainan. Tentukan nilai $m$ sehingga garis $g:\ y=mx+5$ menyinggung lingkaran $L:\ x^{2}+y^{2}=5$ Substitusi persamaan garis $g$ ke dalam persamaan lingkaran $L$. Sehingga diperoleh $\begin{aligned} x^{2}+y^{2}&=5\\ x^{2}+(mx+5)^{2}&=5\\ x^{2}+m^{2}x^{2}+10mx+25&=5\\ (1+m^{2})x^{2}+10mx+20&=0 \\ a=1+m^{2},\ b=10m,\ c&=20 \end{aligned}$ $\begin{aligned} D&=b^{2}-4ac \\ &= (10m)^{2}-4(1+m^{2})(20)\\ &= 20m^{2}-80 \end{aligned}$ Agar garis $g$ menyinggung lingkaran $L$ maka haruslah $D=0$ $\begin{aligned} D&=0\\ 20m^{2}-80&=0\\ m^{2}&=4\\ m&=\sqrt{4}\\ m&=\pm 2 \end{aligned}$ Jadi, nilai $m$ yang memenuhi adalah $m= \pm 2$ dan persamaan garisnya adalah garis $g:\ y=2x+5$ atau garis $g:\ y=-2x+5$ Tunjukkan bahwa kedudukan garis $g:\ y=-x+3$ memotong lingkaran $L:\ x^{2}+y^{2}=9$ di dua titik yang berlainan dan tentukanlah titik potongnya. Substitusi persamaan garis $g$ ke dalam persamaan lingkaran $L$. Sehingga diperoleh $\begin{aligned} x^{2}+y^{2}&=9\\ x^{2}+(-x+3)^{2}&=9\\ x^{2}+x^{2}-6x+9&=9\\ 2x^{2}-6x&=0 \\ a=2,\ b=-6,\ c&=0 \end{aligned}$ Akan ditunjukkan bahwa garis $g$ memotong lingkaran $L$ di dua titik yang berlainan maka haruslah $D>0$ $\begin{aligned} D&>0\\ b^{2}-4ac&>0\\ (-6)^{2}-4(2)(0)&>0\\ 36&>0\ \text{terbukti} \end{aligned}$ Menentukan titik potong garis dan lingkaran $\begin{aligned} 2x^{2}-6x&=0\\ 2x(x-3)&=0\\ x=0 \vee x&=3 \end{aligned}$ $\bullet$ untuk $x=0 \rightarrow y=0+3=3$ $\bullet$ untuk $x=3 \rightarrow y=-3+3=0$ Jadi, titik potong garis dan lingkaran adalah $(0,3)$ dan $(3,0)$ Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi kedudukan garis terhadap lingkaran. Semoga bermanfaat. Djumanta, Wahyudin dan R. Sudrajat. 2008. Mahir Mengembangkan Matematika 2:untuk Kelas XI mengengah Atas / Madrasah Aliyah. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2014. Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI Semester 2. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran
Dalam kasus ini yaitu kedudukan suatu titik terhadap lingkaran dapat dibedakan menjadi tiga kondisi,yaitu titik terletak di dalam lingkaran, titik terletak pada lingkaran,dan titik di luar lingkaran.
a. Kedudukan titik terhadap lingkaran dengan persamaan $x^{2} + y^{2}=r^{2}$
Misalkan titik $P(x_{1},y_{1})$,maka kedudukan titik $P$ terhadap lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ adalah sebagai betikut.
$(a)$ Titik $P(x_{1},y_{1})$ bearada di dalam lingkaran $x^{2} + y^{2}=r^{2}$ jika:
$x_{2}^{2}+y_{1}^{2}<r^{2}$
$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=r^{2}$
$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}>r^{2}$ Letak ketiga titik tersebut seperti ditunjukkan oleh gambar berikut.
b. Kedudukan titik terhadap lingkaran dengan persamaan $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ Misalkan titik $P(x_{1},y_{1})$, maka kedudukan titik $P$ terhadap lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ adalah sebagai berikut.
$(a)$ Titik $P(x_{1},y_{1})$ terletak di dalam lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ jika:
$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+Ax_{1}+By_{1}+C<0$
$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+Ax_{1}+By_{1}+C=0$
$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+Ax_{1}+By_{1}+C>0$
Perhatikanlah beberapa contoh soal berikut.
Tentukan kedudukan (posisi) titik-titik berikut terhadap lingkaran $x^{2}+y^{2}=25$ a. $(3,1)$ b. $(4,-3)$ c. $(-2,-5)$
Jawab
Karena $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}<25$, maka titik $(3,1)$ terletak di dalam lingkaran $x^{2}+y^{2}=25$. $\begin{align*} \textrm{b}.\;(4,-3)\;&\Leftrightarrow \; x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=(4)^{2}+(-3)^{2} \\ &\Leftrightarrow x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=25 \end{align*}$ Karena $\begin{align*} x_{1}^{2}+y_{1}^{2}>25 \end{align*}$ , maka titik $(4,-3)$ terletak pada lingkaran $x^{2}+y^{2}=25$ $\begin{align*} \textrm{C}.\;(-2,-5)\;&\Leftrightarrow \; x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=(-2)^{2}+(-5)^{2} \\ &\Leftrightarrow x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=29 \end{align*}$ Karena $\begin{align*} x_{1}^{2}+y_{1}^{2}>25 \end{align*}$ , maka titik $(-2,-5)$ terletak di luar lingkaran $x^{2}+y^{2}=25$
Tentukan kedudukan (posisi) titik $(-2,9)$ terhadap lingkaran$x^{2}+y^{2}+4x-8y-5=0$. Jawab Substitusi titik $(-2,9)$ ke dalam persamaan lingkaran. $\begin{align*} &x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+4x-8y-5\\ &=(-2)^{2}+(9)^{2}+4(-2)-8(9)-5 \\ &=4+81-8-72-5\\ &=0 \end{align*}$ Karena$\begin{align*} x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+Ax_{1}+By_{1}+C=0 \end{align*}$,maka titik $(-2,9)$ terletak pada lingkaran $x^{2}+y^{2}+4x-8y-5=0$.
Tentukanlah nilai $m$ agar titik $(-5,m)$ terletak pada lingkaran$x^{2}+y^{2}+2x-5y-21=0$. Jawab Misalkan $P(-5,m)$ maka $x_{1}=-5$ dan $y_{1}=m$. Agar titik $P$ terletak pada lingkaran tersebut maka syarat yang harus dipenuhi adalah:$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+Ax_{1}+By_{1}+C=0$ $\begin{align*}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+Ax_{1}+By_{1}+C&=0\\(-5)^{2}+(m)^{2}+2(-5)-5(m)-21&=0\\25+m^{2}-10-5m-21&=0\\m^{2}-5m-6&=0\\(m+1)(m-6)&=0\\m=-1\;\;atau\;\;m&=6\end{align*}$ Jadi, nilai $m=-1$ dan $m=6$.
Tentukanlah persamaan lingkaran yang pusatnya $(4,3)$ dan melalui titik $(2,-2)$. Jawab Misalkan persamaan lingkaran tersebut $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=0$ Substitusi titik $(4,3)$ dan $(2,-2)$ ke persamaan diperoleh: $\begin{align*}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\(2-4)^{2}+(-2-3)^{2}&=r^{2}\\4+25&=r^{2}\\29&=r^{2}\end{align*}$ Persamaan lingkaran dengan pusat $(4,3)$ dapat ditentukan. $\begin{align*}(x-4)^{2}+(y-3)^{2}&=r^{2}\\x^{2}-8x+16+y^{2}-6y+9&=29\\x^{2}+y^{2}-8x-6y-4&=0\end{align*}$Jadi,persamaan lingkarannya $x^{2}+y^{2}-8x-6y-4=0$.
Tentukanlah persamaan lingkaran yang melalui titik-titik $K(2,7)$, $L(-5,6)$ dan $M(3,0)$. Jawab Misalkan persamaan lingkaran yang diminta adalah $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$. Karena $K$, $L$, dan $M$ terletak (melalui) lingkaran maka koordinat ketiga titik tersebut haruslah memenuhi persamaan lingkaran. Substitusi ketiga titik tersebut ke persamaan pemisalan. Titik $K(2,7)$ $\begin{align*}2^{2}+7^{2}+A(2)+B(7)+C&=0\\2A+7B+C&=-53\;\;\;\;\;...(1)\end{align*}$ Titik $L(-5,6)$ $\begin{align*}(-5)^{2}+6^{2}+A(-5)+B(6)+C &=0\\-5A+6B+C &=0\;\;\;....(2)\end{align*}$ Titik $L(3,0)$ $\begin{align*}3^{2}+0^{2}+A(2)+B(0)+C&=0\\3A+C&=0\;\;\;\;\;....(3)\end{align*}$Dengan menyelesaikan ketiga persamaan yang di atas,diperoleh nilai $A=2$, $B=-6$, dan $C=-15$. Jika nilai-nilai ini dimasukkan kembali ke persamaan semula akan diperoleh persamaan lingkaran yang dicari,yaiti: $x^{2}+y^{2}+2x-6y-15=0$.
Tentukanlah persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu$-X$,mempunyai pusat pada garis $x+y-7=0$,melalui titik $(5,4)$. Jawab Misalkan titik pusat lingkaran yang dicari adalah $(a,b)$ dan berjari-jari $r$ maka persamaan lingkaran tersebut berbentuk:$\begin{align*}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\;\;\;\;....(1)\end{align*}$ Karena lingkaran menyinggung sumbu$-X$,maka:$\begin{align*}r=b\;\;\;\;\;.....(2)\end{align*}$ Karena titik pusat lingkaran $(a,b)$ terletak garis $x+y-7=0$ maka koordinat titik pusat lingkaran haruslah memenuhi persamaan garis,sehingga:$\begin{align*}x+y-7&=0\\a+b&=7\;\;\;\;....(3)\end{align*}$ Karena titik $(5,4)$ melalui lingkaran maka diperoleh persamaan: $\begin{align*}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\(5-a)^{2}+(4-b)^{2}&=b^{2}\\a^{2}-10a-8b+41&=0\;\;\;\;....(4)\end{align*}$ Persamaan $(3)$ ekuivalen dengan $b=7-a$, subatitusi ke persamaan $(4)$ diperoleh: $\begin{align*}a^{2}-10a-8b+41&=0\\a^{2}-8a-8(7-a)+41&=0\\a^{2}-10a-56+8a+41&=0\\a^{2}-2a-15&=0\\(a-5)(a+3)&=0\\a=5\;\;\;\;atau\;\;\;a&=-3\end{align*}$ Untuk $a=5\rightarrow b=2\rightarrow r=2$ Untuk $a=-3\rightarrow b=10\rightarrow=10$ Dengan demikian ada dua kemungkinan persamaan lingkaran yang dimaksud. Persamaan lingkaran I Untuk $a=5$, $b=2$, dan $r=2$: $\begin{align*}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\(x-5)^{2}+(y-2)^{2}&=2^{2}\\x^{2}-10x+25+y^{2}-4y+4&=4\\x^{2}+y^{2}-10x-4y+25&=0\end{align*}$ Persamaan lingkaran II Untuk $a=-3$, $b=10$, dan $r=10$: $\begin{align*}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=0\\(x+3)^{2}+(y-10)^{2}&=10^{2}\\x^{2}+6x+9+y^{2}-20y+100&=100\\x^{2}+y^{2}+6x-20y+9&=0\end{align*}$ Jadi, persamaan lingkaran yang dicari adalah $x^{2}+y^{2}-10x-4y+25=0$ dan $x^{2}+y^{2}+6x-20y+9=0$ dan terlihat seperti gambar berikut.
Demikianlah pembahasan materi tentang Kedudukan Titik terhadap Lingkaran. Apabila ditemukan keselahan baik itu jawaban maupun pengetikan silakan dikonetari pada kolom komentar di bawah. Semoga bermanfaat. |