Persamaan lingkaran yang berpusat di 0, 0 dan berjari jari √ 7 adalah

Home / Matematika / Soal

Newer Posts Older Posts

Home / Matematika / Soal IPA

Tentukan persamaan lingkaran dengan ketentuan:
a.   berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari 9
b.   berpusat di O(0, 0)  dan berjari-jari 2√3

Jawab:

----------------#----------------

Jangan lupa komentar & sarannya

Email:

Kunjungi terus: masdayat.net OK! :)

Newer Posts Older Posts

• Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA116

  pusat lingkaran diskriminan posisi titik posisi garis garis kutub gradien

  sejajar tegak lurus persamaan lingkaran

  Lingkaran

  Persamaan Lingkaran Persamaan garis singgung Lingkaran

  Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dan (a, b)

  Kedudukan titik dan garis terhadap

  lingkaran

  Menentukan pusat dan jari-jari

  lingkaran yang persamaannya

  diketahui

  Merumuskan persamaan garis singgung yang

  melalui suatu titik pada lingkaran

  Merumuskan persamaan garis singgung yang

  gradiennya diketahui

  Melukis garis yang menyinggung lingkaran dan menentukan sifat-

  sifatnya

  Persamaan garissinggung lingkaran

  LINGKARAN

• 117Lingkaran

  A Persamaan Lingkaran

  1. Pengertian Lingkaran

  Lingkaran adalah tempat kedudukan atauhimpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatutitik yang tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakanpusat lingkaran dan jarak yang tetap tersebut dinamakanjari-jari lingkaran.

  Dari gambar di samping, titik O adalah pusatlingkaran. Titik A, B, C, D terletak pada lingkaran, makaOA = OB = OC = OD adalah jari-jari lingkaran = r.

  2. Persamaan Lingkaran Berpusat di O(0, 0) dan (a, b)

  a. Persamaan Lingkaran dengan Pusat di O(0, 0)

  Jika titik A(xA , yA) terletak pada lingkaran yang berpusat di O, maka berlakuOA = jari-jari lingkaran. Dengan menggunakan rumus jarak titik O(0, 0) ke titikA(xA , yA) diperoleh:

  OA = r = 2 2( 0) ( 0)A Ax y +

  r2 = (xA 0)2 + (yA 0)

  2

  r2 = xA2 + yA

  2

  Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0)dan berjari-jari r adalah:

  x2 + y2 = r2

  Untuk lebih memahami tentang cara menentukanpersamaan lingkaran berpusat di O(0, 0), pelajarilahcontoh soal berikut.Contoh soalTentukan persamaan lingkaran jika diketahui:1. pusatnya O(0, 0) dan berjari-jari 12;2. pusatnya O(0, 0) dan melalui (7, 24).Penyelesaian1. Lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan r = 12, maka persamaannya:

  x2 + y2 = r2

  x2 + y2 = 122

  x2 + y2 = 144Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat di O(0, 0) dan r = 12 adalahx2 + y2 = 144.

  A D

  C B

  O

  rr

  rr

  Ingat!!

  OA2 = OB2 + BA2 r2 = x2 + y2ataux2 + y2 = r2

  O

• Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA118

  2. Lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan melalui (7, 24).

  Maka jari-jari r = 2 2x y+ = 2 27 ( 24)+ = 49 576 625+ = = 25

  Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat di O(0, 0) dan melalui (7, 24) adalahx2 + y2 = 625.

  b. Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik A(a, b)

  Jika titik A(a, b) adalah pusat lingkaran dan titikB(x, y) terletak pada lingkaran, maka jari-jarilingkaran r sama dengan jarak dari A ke B.

  r = jarak A ke Br2 = (AB)2

  = (xB xA)2 + (yB yA)

  2

  = (x a)2 + (y b)2

  Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b)dan berjari-jari r adalah:

  (x a)2 + (y b)2 = r2

  Untuk memahami tentang persamaan lingkaran berpusat di titik A (a, b), perhatikancontoh soal berikut.Contoh soalTentukan persamaan lingkaran jika diketahui:1. pusatnya (2, 3) dan berjari-jari 5;2. pusatnya (5, 2) dan melalui (4, 1);3. pusatnya (4, 5) dan menyinggung sumbu X.Penyelesaian1. Pusat (2, 3), r = 5

  Persamaan lingkaran: (x (2))2 + (y 3)2 = 52 (x + 2)2 + (y 3)2 = 25

  x2 + 4x + 4 + y2 6y + 9 = 25 x2 + y2 + 4x 6y + 13 = 25 x2 + y2 + 4x 6y 12 = 0

  2. Pusat (5, 2) dan melalui (4, 1)

  r = 2 2(5 ( 4)) (2 1) +

  = 2 2(5 4) (2 1)+ +

  = 2 29 1 81 1 82+ = + =

  Ingat!!

  Jarak antara titik A(x1, y1) danB(x2, y2) adalah:

  AB = 2 21 2 1 2( ) ( )x x y y +

• 119Lingkaran

  Persamaan lingkaran: (x 5)2 + (y 2)2 = ( 82 )2

  x2 10x + 25 + y2 4y + 4 = 82 x2 + y2 10x 4y + 29 = 82 x2 + y2 10x 4y 53 = 0

  3. Pusat (4, 5) dan menyinggung sumbu X jari-jari lingkaran = 5Persamaan lingkaran: (x 4)2 + (y 5)2 = 52

  x2 8x + 16 + y2 10y + 25 = 25 x2 + y2 8x 10y + 41 = 25 x2 + y2 8x 10y + 16 = 0

  3. Menentukan Pusat dan Jari-Jari Lingkaran yang PersamaannyaDiketahui

  Berdasarkan persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan berjari-jari r adalah:(x a)2 + (y b)2 = r2x2 2ax + a2 + y2 2by + b2 = r2x2 + y2 2ax 2by + a2 + b2 = r2x2 + y2 2ax 2by + a2 + b2 r2 = 0

  Jika 2a = 2A, 2b = 2B dan a2 + b2 r2 = C, maka diperoleh bentuk umum persamaanlingkaran:

  x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0, di mana pusatnya (A, B) dan jari-

  jari lingkaran (r) = 2 2 2a b C+ atau r = 2 2A B C+

  Untuk lebih memahaminya, pelajarilah contoh soal berikut ini.Contoh soal1. Tentukan koordinat pusat dan panjang jari-jari lingkaran apabila diketahui persamaan

  lingkaran sebagai berikut.a. x2 + y2 2x 6y 15 = 0b. 2x2 + 2y2 4x + 3y = 0c. 3x2 + 3y2 + 30x + 72 = 0Penyelesaiana. x2 + y2 2x 6y 15 = 0

  x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0Maka diperoleh:2A = 2 2B = 6 C = 15 A = 1 B = 3

• Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA120

  r = 2 2A B C+

  = ( )22( 1) 3 ( 15) +

  = 1 9 15 25+ + = = 5Jadi, pusat lingkaran (1, 3) dan jari-jari lingkaran = 5.

  b. 2x2 + 2y2 4x + 3y = 0

  x2 + y2 2x + 1 21 y = 0

  x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0Maka diperoleh:

  2A = 2 2B = 11 2 C = 0

  A = 1 B = 34

  r = 2 2A B C+

  = ( )22 3( 1) 04 + = 91 16+

  = 2516 = 54

  Jadi, pusat lingkaran (1, 43 ) dan jari-jari lingkaran = 4

  5 .

  c. 3x2 + 3y2 + 30x + 72 = 0x2 + y2 + 10x + 24 = 0x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0Maka diperoleh: 2A = 10 2B = 0 C = 24 A = 5 B = 0

  r = 2 2A B C+

  = 2 25 0 24+

  = 25 24 1 = = 1Jadi, pusat lingkaran (5, 0) dan jari-jari lingkaran = 1.

  2. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (3, 1), (5, 3), dan (6, 2) kemudiantentukan pula pusat dan jari-jari lingkaran.

• 121Lingkaran

  PenyelesaianPersamaan lingkaran adalah x2 + y2 + ax + by + c = 0

  Melalui (3, 1) maka:x2 + y2 + ax + by + c = 0

  32 + (1)2 + a 3 + b (1) + c = 0 9 + 1 + 3a b + c = 0

  3a b + c + 10 = 0 (1)

  Melalui (5, 3), maka:x2 + y2 + ax + by + c = 0

  52 + 32 + a 5 + b 3 + c = 025 + 9 + 5a + 3b + c = 0 5a + 3b + c + 34 = 0 (2)

  Melalui (6, 2) maka:x2 + y2 + ax + by + c = 062 + 22 + 6a + 2b + c = 0 36 + 4 + 6a + 2b + c = 0

  6a + 2b + c + 40 = 0 (3)

  Dari persamaan (1) dan (2): Dari persamaan (2) dan (3):3a b + c + 10 = 0 5a + 3b + c + 34 = 0

  5a + 3b + c + 34 = 0 _ 6a + 2b + c + 40 = 0 _ 2a 4b + 0 24 = 0 a + b 6 = 0

  a + 2b + 12 = 0 (4) a b + 6 = 0 (5)

  Dari persamaan (4) dan (5):a + 2b + 12 = 0 a b + 6 = 0 _ 3b + 6 = 0

  b = 2

  b = 2 disubstitusikan ke persamaan (5):a b + 6 = 0a + 2 + 6 = 0

  a + 8 = 0 a = 8

  a = 8, b = 2 disubstitusikan ke persamaan (1): 3a b + c + 10 = 0

  3(8) (2) + c + 10 = 024 + 2 + c + 10 = 0

  c = 12

• Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA122

  Jadi persamaan lingkaran adalah:x2 + y2 + ax + by + c = 0

  x2 + y2 8x 2y + 12 = 0

  Maka diperoleh:2A = 8 2B = 2 C = 12 A = 4 B = 1

  r = 2 2A B C+

  = 2 2( 4) ( 1) 12 +

  = 16 1 12 5+ =

  Jadi, pusat (A, B) = (4, 1) dan jari-jari r = 5 .

  Buatlah kelasmu menjadi kelompok-kelompok kemudian kerjakan soal berikut.

  1. Jika persamaan lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0, apa yang kami ketahuijika A2 + B2 C = 0?

  2. Apakah sebuah titik juga merupakan lingkaran?Cocokkan dengan kelompok lain, adakan tanya jawab materi yang sedangdiberikan.

  4.1Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan benar.

  1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan melalui titik:a. (3, 4) c. (5, 2)b. (7, 24) d. (8, 6)

  2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan diketahui:a. berjari-jari 5 c. menyinggung garis x = 3b. berjari-jari 7 d. menyinggung garis y = 4

  3. Tentukan persamaan lingkaran berikut yang diketahui hal-hal berikut.a. Berpusat di (1, 2) dan berjari-jari 5.b. Berpusat di (3, 4) dan berjari-jari 7.c. Berpusat di (5, 2) dan berjari-jari 3 .d. Berpusat di (4, 5) dan berjari-jari 6 .

• 123Lingkaran

  4. Kedudukan Titik dan Garis terhadap Lingkaran

  a. Posisi Titik P(x1, y1) terhadap Lingkaran x2 + y2 = r2

  1) Titik P(x1, y1) terletak di dalam lingkaran, jika berlaku x12 + y1

  2 < r2.2) Titik P(x1, y1) terletak pada lingkaran, jika berlaku x1

  2 + y12 = r2.

  3) Titik P(x1, y1) terletak di luar lingkaran, jika berlaku x12 + y1

  2 > r2.Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.Contoh soalTentukan posisi titik-titik berikut terhadap lingkaran x2 + y2 = 251. A(3, 1)2. B(3, 4)3. C(5, 6)Penyelesaian1. A(3, 1) x2 + y2 = 32 + 12 = 9 + 1

  = 10 < 25Jadi A(3, 1) terletak di dalam lingkaran x2 + y2 = 25.

  2. B(3, 4) x2 + y2 = (3)2 + 42 = 9 + 16= 25 = 25

  Jadi B(3, 4) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 25.

  4. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat dan melalui salah satu titik yangdiketahui hal-hal berikut.a. Pusat (3, 4) dan melalui titik (5, 5).b. Pusat (2, 3) dan melalui titik (3, 4).c. Pusat (4, 6) dan melalui titik (1, 2).d. Pusat (5, 6) dan melalui titik (3, 1).

  5. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan lingkaran berikut.a. x2 + y2 4x 6y 12 = 0b. x2 + y2 2x 6y 15 = 0c. x2 + y2 4x + 8y 29 = 0d. 2x2 + 2y2 4x + 16y + 2 = 0

  6. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik berikut dan tentukan pulapusat dan jari-jari lingkarannya.a. (2, 0), (6, 0), dan (5, 7) c. (2, 1), (1, 2), dan (1, 0)b. (5, 5), (2, 6), dan