1 – Definição Entenderemos por progressão geométrica - PG - como qualquer sequência de números reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão.
Exemplos: (2,-6,18,-54,162, ...) PG de razão -3 2 - Fórmula do termo geral
Seja a PG genérica: (a1, a2, a3, a4, ... , a n, ... ) , onde a1 é o primeiro termo, e an é o n-ésimo termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos escrever:
Infere-se (deduz-se) que: an = a1 . qn-1 , que é denominada fórmula do termo geral da PG. Exemplos:
a) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo.
b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão desta PG?
Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa como: 3 - Propriedades principais
P1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anterior e posterior.
P2 - o produto dos termos equidistantes dos extremos de uma PG é constante. 4 - Soma dos n primeiros termos de uma PG
Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn , vamos considerar o que segue:
Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
Logo, conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão acima como:
Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem: Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:
 Se substituirmos a n = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:
Exemplo:
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)
Observe que neste caso a1 = 1. 5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:
Exemplo: Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100 Ora, o primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:
Daí, vem: x = 100 . 1/2 = 50 6 – Exercícios resolvidos e propostos 6.1 - Se a soma dos tres primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu produto é 729 , então sendo a, b e c os tres primeiros termos , pede-se calcular o valor de a2 + b2 + c2 .
Solução: x3 = 729 = 36 = 33 . 33 = 93 , logo, x = 9. Portanto a PG é do tipo: 9/q, 9, 9q É dado que a soma dos 3 termos vale 39, logo: 9/q + 9 + 9q = 39 de onde vem: 9/q + 9q – 30 = 0
Multiplicando ambos os membros por q, fica:
Dividindo por 3 e ordenando, fica: Como é dito que a PG é decrescente, devemos considerar apenas o valor q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente. Portanto, a PG é: 9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9, 3.
O problema pede a soma dos quadrados, logo:
6.2 - Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9 onde a última parcela contém n algarismos. Nestas condições, o valor de 10n+1 - 9(S + n) é: E) -10
Solução: resultando em n(-1) = - n.
Logo, poderemos escrever:
Vamos calcular a soma Sn = 10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n , que é uma PG de primeiro termo a1 = 10, razão q = 10 e último termo an = 10n . Teremos: S = [(10n+1 – 10) / 9] – n
Deseja-se calcular o valor de 10n+1 - 9(S + n)
Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica: 6.3 - O limite da expressão E) 1978x
Solução:
O expoente é a soma dos termos de uma PG infinita de primeiro termo a1 = 1 /2 e
6.4 - UEFS - Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero, estão em progressão geométrica de razão 2. Um desses ângulos mede:
Seja x o menor ângulo interno do quadrilátero em questão. Como os ângulos estão em Progressão Geométrica de razão 2, podemos escrever a PG de 4 termos: x + 2x + 4x + 8x = 360º 15.x = 360º Portanto, x = 24º . Os ângulos do quadrilátero são, portanto: 24º, 48º, 96º e 192º. O problema pede um dos ângulos. Logo, alternativa D. Agora resolva este:
Calcular a razão de uma PG crescente, sabendo-se que o seu primeiro termo é o dobro da razão e que a soma dos dois primeiros termos é 24. Page 2
Suas ideias são importantes para nós, aproveite o espaço que o Algo Sobre disponibiliza para você professor, jornalista ou estudante divulgar seu trabalho com publicações no site. Enviar agora Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência de números na qual, a partir do segundo, todo termo é igual ao produto do anterior com uma constante, chamada de razão da PG e representada pela letra q. É possível encontrar o termo geral da PG, somar os termos de uma PG finita ou infinita e encontrar o produto dos termos da PG finita por meio de fórmulas, todas obtidas de maneira simples a partir de algumas propriedades da Matemática. A fórmula usada para determinar o produto dos termos de uma PG finita é a seguinte: Nessa fórmula, Pn é o resultado encontrado, ou seja, o produto dos termos de uma PG que possui n termos, a1 é o primeiro termo da PG, “q” é sua razão e “n” seu número de termos. Para demonstrar essa fórmula, é preciso discutir o que acontece com cada termo da PG quando tentamos escrevê-lo em função do primeiro. Para fazer isso, escreveremos a decomposição em fatores primos de cada termo. Termos de uma PGComo exemplo, observe a PG a seguir, cujo primeiro termo é 3 e a razão é 2: (3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, …) Cada termo dessa PG pode ser obtido por meio de um produto do anterior com 2: 3 = 3 6 = 3·2 12 = 6·2 24 = 12·2 … Note também que é possível escrever cada um desses termos como um produto do primeiro termo pela razão: 3 = 3 6 = 3·2 12 = 3·2·2 24 = 3·2·2·2 48 = 3·2·2·2·2 96 = 3·2·2·2·2·2 192 = 3·2·2·2·2·2·2 … Para tornar mais clara a relação entre cada termo e a razão da PG, escreveremos cada termo em função do primeiro, multiplicado pela razão na forma de potência, dispondo também a posição ocupada pelos termos com o uso de índices: a1 = 3 = 3·20 a2 = 6 = 3·21 a3 = 12 = 3·22 a4 = 24 = 3·23 a5 = 48 = 3·24 a6 = 96 = 3·25 a7 = 192 = 3·26 … Cada termo da PG é um produto do primeiro termo por uma potência, cuja base é a razão e cujo expoente é uma unidade menor que “a posição” que esse termo ocupa. O sétimo termo, por exemplo, é dado por 3·26. Assim, podemos admitir que, para qualquer PG: an = a1·qn – 1 Demonstração da fórmulaPara demonstrar essa fórmula, podemos repetir o procedimento anterior para uma PG finita qualquer a fim de escrever todos os seus elementos em função do primeiro e da razão. Depois, multiplicar todos os termos dessa PG e simplificar o resultado. Dada a PG (a1, a2, a3, a4, …, an), cuja razão é q, podemos escrever seus termos em função do primeiro: a1 = a1 a2 = a1·q1 a3 = a1·q2 … an – 2 = a1·qn – 3 an – 1 = a1·qn – 2 an = a1·qn – 1 Multiplicando os n termos da PG finita, temos: Pn = a1·a2·a3· … ·an – 2·an – 1·an Pn = a1·a1·q1·a1·q2·…·a1·qn – 3·a1·qn – 2·a1·qn – 1 Reorganizando os termos do produto, temos: Pn = a1· … ·a1·a1·…·a1 ·q1·q2· … ·qn – 3·qn – 2·qn – 1 Observe que a quantidade de a1 que aparece na expressão acima é n, pois a PG possui n termos. Como se trata de uma multiplicação, podemos escrever todos esses “a1” na forma de potência: Pn = a1n ·q1·q2· … ·qn – 3·qn – 2·qn – 1 Com relação ao produto das razões, podemos notar que as bases são iguais, portanto, pelas propriedades de potências, mantemos a base e somamos os expoentes: Pn = a1n·q1 + 2 + 3 + … + n – 2 + n – 1 Para finalizar, observe que a soma 1 + 2 + 3 … + n – 2 + n – 1 possui exatamente n – 1 elementos. Como discutido no exemplo, esse índice é sempre uma unidade menor que a “posição” do termo que ele representa, nesse caso, an. Essa é a soma dos termos da progressão aritmética finita B de n termos, cujo primeiro termo é 1 e a razão também é 1. Portanto, a soma dos termos dessa PA é: Sn = (b1 + bn)n O número de termos da PA é n – 1, logo: Sn = (1 + n – 1)(n – 1) Sn = n(n – 1) Substituindo esse resultado pela soma na fórmula: Pn = a1n·q1 + 2 + 3 + … + n – 2 + n – 1 Obtemos a fórmula do produto dos termos de uma PG finita:
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