Pertemuan 11 Kombinatorika (Kombinasi) A. Pengertian Kombinasi Bentuk khusus dari permutasi adalah kombinasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi, urutan kemunculan diabaikan. Contoh: Misalkan ada 2 buah bola yang warnanya sama 3 buah kotak. Setiap kotak hanya boleh berisi paling banyak 1 bola. Jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak Bila sekarang jumlah bola 3 dan jumlah kotak 10, maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah karena ada 3! cara memasukkan bola yang warnanya sama. Secara umum, jumlah cara memasukkan r buah bola yang berwarna sama ke dalam n buah kotak adalah nn ( 1)( n 2)...( n ( r 1)) Cnr , atau . B. Permutasi dan Kombinasi Bentuk Umum Misalkan: ada n buah bola yang tidak seluruhnya berbeda warna (jadi, ada beberapa bola yang warnanya sama - indistinguishable). n 1 bola diantaranya berwarna 1, n 2 bola diantaranya berwarna 2, n 1 bola diantaranya berwarna 1, n 2 bola diantaranya berwarna 2, dan n 1 +n 2 +…+n k = n. Berapa jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam kotak-kotak tersebut (tiap kotak maks. 1 buah bola)? Jika n buah bola itu kita anggap berbeda semuanya, maka jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam n buah kotak adalah: P(n, n) = n!. Dari pengaturan n buah bola itu, ada n 1 ! cara memasukkan bola berwarna 1 ada n 2 ! cara memasukkan bola berwarna 2 ada n k ! cara memasukkan bola berwarna k Permutasi n buah bola yang mana n 1 diantaranya berwarna 1, n 2 bola berwarna 2, …, n k bola berwarna k adalah: Pnnn (;, 1 2 ,..., n k ) Pnn (,) nn 1 ! 2 !... ! n k nn 1 ! 2 !... ! n k Jumlah cara pengaturan seluruh bola kedalam kotak adalah: C(n; n 1 ,n 2 , …, n k ) = C(n, n 1 ) C(n –n 1 ,n 2 ) C(n –n 1 –n 2 ,n 3 ) … C(n – n 1 –n 2 –…– n k-1 ,n k ) ( nn 1 n 2 ... n k 1 )! ( nn 1 )! ( nn 1 n 2 )! n 1 !( nn 1 )! n 2 !( nn 1 n 2 )! n 3 !( nn 1 n 2 n k )! n k !( nn 1 n 2 ... n k 1 n k )! n ! nnn 1 ! 2 ! !... 3 n k Konsep: Pnnn (;, 1 2 ,..., n k ) Cnnn (;, 1 2 ,..., n k ) nn 1 ! 2 !... ! n k Contoh: Berapa banyak “kata” yang dapat dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf dari kata MISSISSIPPI? Jawab: S = {M, I, S, S, I, S, S, I, P , P , I} huruf M = 1 buah (n 1 ) huruf I = 4 buah (n 2 ) huruf S = 4 buah (n 3 ) huruf P = 2 buah (n 4 ) n = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah = | S | Cara 1: Jumlah string = P(11; 1, 4, 4, 2) Cara 2: Jumlah string = C(11, 1)C(10, 4)C(6, 4)C(2, 2) Berapa banyak cara membagikan delapan buah mangga kepada 3 orang anak, bila Billy mendapat empat buah mangga, dan Andi serta Toni masing-masing memperoleh 2 buah mangga. Jawab: n = 8, n 1 = 4, n 2 = 2, n 3 = 2, dan n 1 +n 2 +n 3 =4+2+2=8 Jumlah cara membagi seluruh mangga = 420 cara C. Kombinasi Dengan Perulangan Misalkan terdapat r buah bola yang semua warnanya sama dan n buah kotak. (i) Masing-masing kotak hanya boleh diisi paling banyak satu buah bola. Jumlah cara memasukkan bola: C(n, r). (ii) Masing-masing kotak boleh lebih dari satu buah bola (tidak ada pembatasan jumlah bola) Jumlah cara memasukkan bola: C(n + r – 1, r). dengan C(n + r – 1, r) = C(n + r –1, n – 1). Contoh: Pada persamaan x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 12, x i adalah bilangan bulat 0. Berapa jumlah kemungkinan solusinya? Jawab: Analogi: 12 buah bola akan dimasukkan ke dalam 4 buah kotak (dalam hal ini, n = 4 dan r = 12). Bagilah keduabelas bola itu ke dalam tiap kotak. Misalnya, Kotak 1 diisi 3 buah bola (x 1 = 3) Kotak 2 diisi 5 buah bola (x 2 = 5) Kotak 3 diisi 2 buah bola (x 3 = 2) Kotak 4 diisi 2 buah bola (x 4 = 2) x 1 +x 2 +x 3 +x 4 = 3 + 5 + 2 + 2 = 12 Ada C(4 + 12 – 1, 12) = C(15, 12) = 455 buah solusi. Contoh: 20 buah apel dan 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak, tiap anak boleh mendapat lebih dari 1 buah apel atau jeruk, atau tidak sama sekali. Berapa jumlah cara pembagian yang dapat dilakukan? Jawab: n = 5, r 1 = 20 (apel) dan r 2 = 15 (jeruk) Membagi 20 apel kepada 5 anak: C(5 + 20 – 1, 20) cara, Membagi 15 jeruk kepada 5 anak: C(5 + 15 – 1, 15) cara. Jumlah cara pembagian kedua buah itu adalah C(5 + 20 – 1, 20) C(5 + 15 – 1, 15) = C(24, 20) C(19, 15) D. Latihan 1. Kursi-kursi di sebuah bioskop disusun dalam baris-baris, satu baris berisi 10 buah kursi. Berapa banyak cara mendudukkan 6 orang penonton pada satu baris kursi: (a) jika bioskop dalam keadaan terang (b) jika bioskop dalam keadaan gelap 2. Ada 5 orang mahasiswa jurusan Matematika dan 7 orang mahasiswa jurusan Informatika. Berapa banyak cara membentuk panitia yang terdiri dari 4 orang jika: (a) tidak ada batasan jurusan (b) semua anggota panitia harus dari jurusan Matematika (c) semua anggota panitia harus dari jurusan Informatika (d) semua anggota panitia harus dari jurusan yang sama (e) 2 orang mahasiswa per jurusan harus mewakili. 3. Berapa banyak cara membentuk sebuah panitia yang beranggotakan 5 orang yang dipilih dari 7 orang pria dan 5 orang wanita, jika di dalam panitia tersebut paling sedikit beranggotakan 2 orang wanita? 4. Ada 10 soal di dalam ujian akhir Matematika Diskrit. Berapa banyak cara pemberian nilai (bilangan bulat) pada setiap soal jika jumlah nilai keseluruhan soal adalah 100 dan setiap soal mempunyai nilai paling sedikit 5. (Khusus untuk soal ini, nyatakan jawaban akhir anda dalam C(a, b) saja, tidak perlu dihitung nilainya) 5. Di perpustakaan Teknik Informatika terdapat 3 jenis buku: buku Algoritma dan Pemrograman, buku Matematika Diskrit, dan buku Basisdata. Perpustakaan memiliki paling sedikit 10 buah buku untuk masing-masing jenis. Berapa banyak cara memilih 10 buah buku? 6. Dari sejumlah besar koin 25-an, 50-an, 100-an, dan 500-an, berapa banyak cara lima koin dapat diambil? Q. { Easy }9!! =......... 17. Dalam suatu kelas terdapat 30 orang siswa. Di antaranya, ada 20 si- senang pelajaran Matematika, 15 orang siswa senang pelajaran Fis dan 10 orang … minta kerja sama nya ya kak, jangan cuma icar poin. ok? UBAHLAN BILANGAN BILANGAN BERIKUT MENJADI BILANGAN BERPANGKATPLEASEE BANTUU, BESOK DIKUMPULIN :((PAKE CARA KERJA YAAYANG DILUAR TOPIK + NGASAL AKU REP … DiMas mengendarai sepeda motor dari Kota A kekota B dengan kecepatan 55 kM/jam jarak antara kota ke kota B 385 KM Jika dimas berangicat Pukul 13.20. P … Bentuk desimal dari 10 3/25 adalah hasil dari 1/12+5/18x3/10-2/15 tolong dibantu... Hitunglah hasil perkalian bilangan bilangan berikut!A.0,5×0,017=B.1,05×0,0046=C.425×0,0648=D.6,9×400=E.5,73×8.000=F.0,075×60.000= Ayo, kerjakan dengan baik! Perhatikan gambar berikut. (b) (c) (a) 3' Salinlah ketiga gambar di buku tugasmu. Kemudian, warnailah gambar (a) sehingga m … Bu naya membeli beras 4/5kg dangula merah 0,75kg.total belanja bu raya adalah Q. { Easy }9!! =......... 17. Dalam suatu kelas terdapat 30 orang siswa. Di antaranya, ada 20 si- senang pelajaran Matematika, 15 orang siswa senang pelajaran Fis dan 10 orang … minta kerja sama nya ya kak, jangan cuma icar poin. ok? UBAHLAN BILANGAN BILANGAN BERIKUT MENJADI BILANGAN BERPANGKATPLEASEE BANTUU, BESOK DIKUMPULIN :((PAKE CARA KERJA YAAYANG DILUAR TOPIK + NGASAL AKU REP … DiMas mengendarai sepeda motor dari Kota A kekota B dengan kecepatan 55 kM/jam jarak antara kota ke kota B 385 KM Jika dimas berangicat Pukul 13.20. P … Bentuk desimal dari 10 3/25 adalah hasil dari 1/12+5/18x3/10-2/15 tolong dibantu... Hitunglah hasil perkalian bilangan bilangan berikut!A.0,5×0,017=B.1,05×0,0046=C.425×0,0648=D.6,9×400=E.5,73×8.000=F.0,075×60.000= Ayo, kerjakan dengan baik! Perhatikan gambar berikut. (b) (c) (a) 3' Salinlah ketiga gambar di buku tugasmu. Kemudian, warnailah gambar (a) sehingga m … Bu naya membeli beras 4/5kg dangula merah 0,75kg.total belanja bu raya adalah |
Banyak cara membagikan 8 buah buku yang berbeda kepada 2 anak
Pos Terkait
Copyright © 2024 ketiadaan Inc.
