A área do triângulo retângulo que possui base medindo 8 cm e hipotenusa medindo 17 cm e igual a

A área de um triângulo é o valor obtido calculando-se metade da área do paralelogramo, que, por sua vez, é o produto da base pela altura. Logo, a área do triângulo é dada por:

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Tópicos deste artigo
Fórmula do teorema de Pitágoras
Demonstração do teorema de Pitágoras
Mapa Mental: Teorema de Pitágoras
Triângulo pitagórico
Teorema de Pitágoras e os números irracionais
Exercícios resolvidos

A = b·h
2

Veja uma breve demonstração dessa fórmula:

Área do triângulo

Observando a área do paralelogramo, é possível definir a área do triângulo. Para tanto, observe que, ao desenhar uma diagonal no paralelogramo, obtemos dois triângulos distintos e congruentes. Isso acontece porque os lados opostos de um paralelogramo são congruentes, logo, os triângulos formados são congruentes.

Sendo assim, é claro que as áreas desses triângulos são iguais, uma vez que eles são congruentes.

Paralelogramo dividido em dois triângulos por uma de suas diagonais

Como possuem áreas iguais, pode-se concluir que a área do triângulo (AT) é igual à metade da área do paralelogramo:

AT = A = b·h
2 2

Essa demonstração vale para qualquer triângulo, pois todo triângulo pode ser usado para construir um paralelogramo.

Observe apenas que a altura do triângulo é a distância entre o lado escolhido como base e o terceiro vértice do triângulo, aquele que não está contido na base. Assim, a altura é um segmento de reta que sempre forma com a base do triângulo um ângulo de 90°.

Exemplo:

1º) Calcule a área de um triângulo cuja base mede 25 cm e a altura mede 10 cm.

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Solução: Basta substituir os valores dados na fórmula para o cálculo da área do triângulo. Outra observação importante é que não é necessário ter uma figura do triângulo para realizar esse cálculo.

A = 25·10
2

A = 250
2

A = 125 cm2

2º) A base de um triângulo equilátero mede 60 cm. Calcule a área desse triângulo.

Solução: Um triângulo equilátero possui todos os lados com as medidas iguais e, além disso, sua altura também é mediana e bissetriz com relação a qualquer lado. Sendo assim, a altura de um triângulo equilátero divide a base exatamente ao meio, gerando duas partes de 30 cm cada. É possível notar também que essa altura determina outros dois triângulos retângulos. No caso desse exercício, um dos catetos mede 30 cm, e a hipotenusa mede 60 cm. O outro cateto desse triângulo é igual à altura do triângulo equilátero, que é necessária para calcular a sua área.

Para descobrir o comprimento desse cateto, usaremos o Teorema de Pitágoras. Observe:

x2 + 302 = 602

x2 + 900 = 3600

x2 = 3600 – 900

x = 2700

x = 51,9

Agora vamos calcular a área do triângulo cuja base mede 60 cm e a altura mede 51,9 cm.

A = bh
2

A = 60·51,9
2

A = 3114
2

A = 1557 cm2

Por Luiz Paulo Moreira

Graduado em Matemática

O teorema de Pitágoras relaciona as medidas dos lados de um triângulo retângulo da seguinte maneira:

Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

O teorema de Pitágoras é muito importante para a Matemática, tendo influenciado outros grandes resultados matemáticos. Veja também uma das demonstrações do teorema e parte da biografia de seu criador.

Saiba também: 4 erros mais cometidos na trigonometria básica

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Fórmula do teorema de Pitágoras

Para aplicação do teorema de Pitágoras, é necessário compreender as nomenclaturas dos lados de um triângulo retângulo. O maior lado do triângulo fica sempre oposto ao maior ângulo, que é o ângulo de 90°. Esse lado recebe o nome de hipotenusa e será representado aqui pela letra a.

Os demais lados do triângulo são chamados de catetos e serão aqui representados pelas letras b e c.

O teorema de Pitágoras afirma que é válida a relação a seguir:

Assim, podemos dizer que o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

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Demonstração do teorema de Pitágoras

Vamos ver a seguir uma das maneiras de mostrar a veracidade do teorema de Pitágoras. Para isso, considere um quadrado ABCD com lado medindo (b + c), como mostra a figura:

O primeiro passo consiste em determinar a área do quadrado ABCD.

AABCD = (b + c)2 = b2 + 2bc + c2

O segundo passo consiste em determinar a área do quadrado EFGH.

AEFGH = a2

Podemos perceber que existem quatro triângulos congruentes:

O terceiro passo é calcular a área desses triângulos:

ATriângulo = b·c
2

O quarto passo e último requer o cálculo da área do quadrado EFGH utilizando a área do quadrado ABCD. Veja que, se considerarmos a área do quadrado ABCD e retirarmos a área dos triângulos, que são as mesmas, sobra somente o quadrado EFGH, então:

AEFGH = AABCD – 4 · ATriângulo

Substituindo os valores encontrados no primeiro, segundo e terceiro passo, vamos obter:

a2 = b2 + 2bc + c2 – 4 · bc
2

a2 = b2 + 2bc + c2 – 2bc

a2 = b2 + c2

Mapa Mental: Teorema de Pitágoras

*Para baixar o mapa mental em PDF, clique aqui!

Triângulo pitagórico

Um triângulo retângulo qualquer é chamado de triângulo pitagórico caso a medida de seus lados satisfaça o teorema de Pitágoras.

Exemplos:

O triângulo acima é pitagórico, pois:

52 = 32 + 42

Já o triângulo a seguir não é pitagórico. Veja

262 ≠ 242 +72

Leia também: Aplicações das leis trigonométricas de um triângulo: seno e cosseno

Teorema de Pitágoras e os números irracionais

O teorema de Pitágoras trouxe consigo uma nova descoberta. Ao construir um triângulo retângulo em que os catetos são iguais a 1, os matemáticos, na época, depararam-se com um grande desafio, pois, ao encontrar o valor da hipotenusa, um número desconhecido apareceu. Veja:

Aplicando o teorema de Pitágoras, temos que:

O número encontrado pelos matemáticos da época hoje é chamado de irracional.

Leia também: Relação entre os lados e os ângulos de um triângulo