Wie verändert sich der Wert der Standardabweichung wenn n verdoppelt wird?

Der Mittelwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable

Erwartungswert

• muss kein Wert sein, den auch tatsächlich annimmt.
• Ein Spiel ist fair, wenn dem Einsatz entspricht.

Wie eine Aufgabenstellung zur Bestimmung des Erwartungswertes aussehen kann, siehst du in folgendem Beispiel:

Bei einem Gewinnspiel kann man für einen Einsatz von

• 
  erhält man
  
  € Gewinn,
• 
  und
  
  nur
  
  € ,
• 
  jeweils
  
  €
• bei
  
  und je €.
• Ansonsten verliert man seinen Einsatz.

Die Streuung einer Zufallsvariable um ihren Erwartungswert wird Varianz

Standardabweichung

Betrachtet man nochmal obiges Gewinnspiel mit Erwartungswert

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Die Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie weit die einzelnen Zahlen verteilt sind. Genauer gesagt, gibt sie an, wie weit die einzelnen Messwerte im Durchschnitt von dem Erwartungswert (Mittelwert) entfernt sind. Der kleine griechische Buchstabe Sigma (σ) wird für die Standardabweichung (der Grundgesamtheit) benutzt.

Definition

Die Standardabweichung ist definiert als die Quadratwurzel der Varianz.

xi ist der i-te Messwert; µ ist der Erwartungswert

• Die Standardabweichung der Grundgesamtheit wird meistens mit dem griechischen Sigma abgekürzt
• Die Standardabweichung der Grundgesamtheit wird aus der Standardabweichung der Stichprobe geschätzt und diese wird meistens mit einem kleinen s geschrieben

Die Standardabweichung spielt eine wichtige Rolle in der Statistik. In Prinzip könnte man sagen, dass es bei Statistik im Kern darum geht, das Verhalten von Variablen zu untersuchen. Es ist die Streuung, die es gilt zu verstehen. Die Standardabweichung ist in diesem Fall die wichtigste Größe, die allgemein benutzt wird, um die Streuung von Verteilungen zu messen.

• Die Standardabweichung ist entweder eine positive Zahl oder Null. Sie ist niemals negativ. Die Standardabweichung ist Null, wenn alle Werte gleich sind. Da sie von der Varianz abgeleitet ist, bedeutet eine größere Standardabweichung auch eine höhere Varianz und umgekehrt.
• Die Standardabweichung kann sehr schnell steigen, wenn Werte, die weiter von den übrigen entfernt sind, mit in die Berechnung einbezogen werden.
• Die Einheit der Standardabweichung und die Einheit der Messwerte sind gleich.

Beispiel

Wann die Standardabweichung für die Stichprobe und die Grundgesamtheit benutzen?

Wie man an den Formeln für die Standardabweichung der Stichprobe und der Grundgesamtheit (oben) sehen kann, unterscheiden sich beide lediglich dadurch, dass bei der einen durch n und bei der anderen durch n-1 geteilt wird. Dieser Wert korrigiert die Standardabweichung für kleinere n. In empirischen Wissenschaften, wie beispielsweise der Psychologie, verwendet man meistens die Standardabweichung der Stichprobe. In einigen Lehrbüchern findet man nur noch diese Formel. Allerdings gibt es auch Fälle, in denen man eher die Standardabweichung der Grundgesamtheit verwenden würde:

• Die Stichprobe umfasst die Grundgesamtheit
• Wir haben eine große Stichprobe aus einer Grundgesamtheit, sind aber nur interessiert an unserer Stichprobe und wollen unsere Ergebnisse nicht verallgemeinern

Beispiele

1. Studenten schreiben ihre Statistik-Abschlussklausur. Der Dozent möchte selbstverständlich einige statistische Werte für die Ergebnisse berechnen und den Studenten zusätzlich zu ihrer Note geben. Welche Standardabweichung benutzt er?
    
   1.  Er benutzt die Standardabweichung der Grundgesamtheit. Er ist nur daran interessiert, zu wissen, wie gut diese Studenten abgeschnitten haben und will die Ergebnisse nicht für alle Studenten verallgemeinern. Zusätzlich stellt die Stichprobe der Studenten gleichzeitig die Grundgesamtheit dar.
2. Eine Wissenschaftlerin will wissen ob Stress durch Sport bei Menschen zwischen 50 und 65 Jahren vermindert werden kann. Welche Standardabweichung benutzt sie?
    
   1.  Sie verwendet die Standardabweichung der Stichprobe. Auch wenn dies nicht expliziert aus der Frage hervorgeht, will die Forscherin ihre Ergebnisse auf alle Menschen generalisieren. Sie will also von ihrer Stichprobe Rückschlüsse auf alle Menschen ziehen. Daher muss sie die Standardabweichung der Stichprobe verwenden.
3. Im Jahr 2011 wurde in Deutschland ein bundesweiter Zensus erhoben (ZENSUS 2011). Die Fragen umfassten unter anderem auch das Alter der Befragten. Ein Statistiker möchte nun die Standardabweichung des Alters ermitteln. Welche Standardabweichung benutzt er?
    
   1.  Er verwendet die Standardabweichung der Grundgesamtheit. Per Definition erhält die Stichprobe bereits die Grundgesamtheit (alle Deutschen).

Standardabweichung online berechnen

Standardabweichung der Stichprobe:

Standardabweichung der Grundgesamtheit: