Thabit Ibnu QurraThabit Ibnu Qurra (836 - 901 M) adalah Matematikawan muslim yang dikenal dengan panggilan Thabit. Beliau merupakan salah seorang ilmuwan muslim terkemuka di bidang Geometri. Beliau melakukan penemuan penting di bidang matematika seperti kalkulus integral, trigonometri, geometri analitik, dan geometri non-Eucledian. Salah satu karyanya yang fenomenal di bidang geometri adalah bukunya yang berjudul The Show composition of Ratios (komposisi rasio). Thabit Ibnu Qurra Dalam buku tersebut, Thabit mengaplikasikan (836 - 901 M) antara aritmatika dengan rasio kuantitas geometri. Pemikiran ini, jauh melampaui penemuan ilmuwan Yunani kuno dalam bidang geometri. Sumbangan Thabit terhadap geometri lainnya yakni, pengembangan geometri terhadap teori Pythagoras di mana dia mengembangkannya dari segitiga siku-siku khusus ke seluruh segitiga siku-siku. Thabit juga mempelajari geometri untuk mendukung penemuannya terhadap kurva yang dibutuhkan untuk membentuk bayangan matahari. Beberapa hikmah yang mungkin bisa kita petik antara lain: 1. Setiap apa yang kita lakukan, buatlah menjadi sesuatu yang sangat berarti. 2. Segala ilmu yang kita dapatkan harus selalu dikembangkan dan diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. Sehingga dapat membantu teori-teori sebelumnya menjadi lebih mudah dipahami dan dapat diterima oleh masyarakat dengan baik. 3. Salahsatu cara supaya kita bisa mengembangkan ilmu yang kita dapatkan adalah dengan memunculkan pertanyaan-pertanyaan yang sesuai dengan konteks ilmu itu sendiri. Misalkan: Mengapa teori ini begini? Mengapa tidak begitu? Bisakah diterapkan dalam kehidupan sehari-hari? Bagaimana cara menerapkannya? 4. Kita harus bisa menggunakan teori sebelumnya untuk menemukan teori yang baru. Dengan demikian, ada keterkaitan antara materi yang satu dengan materi yang lain. Hal ini identik dalam kehidupan sehari- hari yang namanya kerjasama, gotong-royong, saling menghargai, dan lain-lain. 5. Segala sesuatu yang dapat kita amati pada fenomena alam ini, kita bisa mempertanyakannya serta bisa memperoleh jawabannya, maka kita akan memperoleh pengetahuan baru yang sangat bermanfaat bagi diri kita pada khususnya dan orang lain pada umumnya. Sumber: http://www.snipview.com/1bit_ibn_Qurra Segiempat dan Segitiga Mengenal Bangun Datar K egiatan 8.1 Segiempat dan Segitiga Di sekitar kita terdapat berbagai benda dua dimensi berbentuk segiempat dan segitiga, seperti pintu rumah, jendela, ketupat, layang-layang, langit-langit rumah dan lain sebagainya . Bentuk segiempat dan segitiga itu bermacam- macam dari yang tidak beraturan sampai yang beraturan seperti persegi, persegi panjang, jajar genjang, trapesium, belah ketupat, layang-layang dan segitiga. Pernahkah kalian melihat gambar seperti berikut? Sumber: Kemendikbud Gambar 8.1 Pintu, jendela, ketupat, layang-layang dan langit-langit Bagaimana kita mengetahui bahwa di sekitar kita terdapat benda-benda yang bentuknya terdiri atas segiempat dan segitiga? Dapatkah kalian mengelompokannya berdasarkan jenisnya? Secara matematis apakah persamaan dan perbedaannya? Ayo Kita Amati Amatilah hiasan pada Gambar 8.2. Kemudian cobalah kalian data, bangun datar apa saja yang terdapat dalam hiasan tersebut. MATEMATIKA Gambar 8.2 Susunan bangun datar Buatlah kreasi/hiasan lainnya dari selembar karton atau kertas yang terbentuk dari kombinasi bermacam-macam bangun datar segiempat dan segitiga seperti Gambar 8.2. Kemudian datalah bangun datar apa saja yang membentuk hiasan tersebut. ? Ayo Kita ? Menanya Berdasarkan pengamatan kalian di atas, buatlah pertanyaan yang memuat kata: 1. “segiempat beraturan” 2. “jenis segitiga” Ayo Kita Menggali Informasi Ambillah 6 batang korek api. Susunlah 6 batang korek api tersebut membentuk bangun segiempat dan segitiga sebanyak mungkin yang dapat kalian temukan dengan persyaratan sebagai berikut. 1. Semua batang korek api habis terpakai. 2. Setiap ujung batang korek api harus memotong dengan ujung batang korek api lainnya. 3. Tidak ada satu batang korek api yang bersilangan. 186 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 Setelah kalian menggali informasi, cobalah untuk memperhatikan contoh soal berikut. Contoh 8.1 Perhatikan gambar berikut. Tentukan banyaknya segiempat yang terbentuk pada gambar tersebut! Alternatif Penyelesaian Langkah pertama kita beri simbol pada tiap-tiap kotak, yaitu sebagai berikut: Kemudian kita cari satu demi satu berdasarkan simbol yang telah dibuat. 1. Segiempat yang terdiri dari 1 bagian adalah a, b, c, d, dan e ada sebanyak 5 2. Segiempat yang terdiri dari 2 bagian adalah ab, bc, cd, dan de ada sebanyak 4 3. Segiempat yang terdiri dari 3 bagian adalah abc, bcd, dan cde ada sebanyak 3 4. Segiempat yang terdiri dari 4 bagian adalah abcd, dan bcde ada sebanyak 2 5. Segiempat yang terdiri dari 5 bagian adalah abcde ada sebanyak 1 Jadi, banyak segiempat yang terbentuk adalah sebanyak 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 Contoh 8.2 Perhatikan segienam berikut. Tentukan banyak segitiga yang dapat ditemukan pada gambar tersebut adalah ... MATEMATIKA Alternatif Penyelesaian Pertama-tama beri nama setiap bagian bangun datar pembentuk segi enam tersebut Segitiga yang terbentuk terdiri dari 1 bagian : A, B, D, E, F, J, H, I : ada 8 2 bagian : AB, BG, GF, FA, EF, EJ. DI, IH, HC : ada 9 A B D 3 bagian : AFE, BGJ, FGH : ada 3 E ABGF, FGHI : ada 2 J 4 bagian : Jadi, semuanya ada 8 + 9 + 3 + 2 = 22 segitiga Ayo Kita Menalar 1. Perhatikan Gambar 8.3 di bawah ini. a. Ambillah 16 batang korek api dan susunlah menjadi lima persegi seperti Gambar 8.3 di bawah ini. b. Pindahkan dua batang korek api sehingga membentuk empat persegi yang sama besar dan sama bentuknya. Gambar 8.3 Susunan segiempat dari batang korek api (Sumber: Pelatihan Guru Pembina Olimpiade Matematika Internasional) 188 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 2. Perhatikan Gambar 8.4 di bawah ini a. Susunlah 16 batang korek api menjadi delapan segitiga seperti Gambar 8.4 di bawah ini. b. Ambillah empat batang korek api sehingga membentuk segitiga yang sama besar dan sama bentuknya. Gambar 8.4 Susunan segitiga dari batang korek api (Sumber: Pelatihan Guru Pembina Olimpiade Matematika Internasional) 3. Diberikan 12 batang korek api, dalam gambar berikut. Isilah tabel berikut, untuk menentukan banyak segitiga yang dapat dibuat dari batang korek api tersebut. Tabel 8.1 Banyak korek api pada segitiga Banyak korek api Banyak korek api Banyak korek api Jenis pada sisi I pada sisi II pada sisi III segitiga 1 1 1 Sama sisi MATEMATIKA 4. Gambarlah kembali pada kertas HVS atau lainnya bangun-bangun seperti Gambar 8.5 di bawah ini. Kemudian gantilah sehingga potongannya seperti Gambar 8.5a, lalu susunlah potongan-potongan tersebut membentuk bangun persegi sehingga tampak sepert Gambar 8.5b (a) (b) Gambar 8.5 Potongan bangun datar segiempat dan segitiga Ayo Kita Berbagi Setelah kalian mendiskusikan permasalahan yang terdapat pada kegiatan Ayo Kita Menalar. Presentasikan hasil karya kalian di depan kelas. Mintalah teman kalian itu mengkaji, mengkritisi, dan lain-lain. Kalau bisa, kalian juga memberikan bantahan, sanggahan terhadap hal-hal yang kurang masuk akal. Usahakan agar sanggahan itu terdengar sopan, santun, lembut, dan tidak membuat yang disanggah sakit hati. 190 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 ? ? ! ! Ayo Kita Berlatih 8.1 1. Perhatikan gambar berikut. Ada berapa banyak bentuk bangun datar yang tampak? Sebutkan bentuk bangun datarnya. Sumber: gambar-rumah88.blogspot.com Gambar 8.6 Rumah 2. Perhatikan gambar berikut. Dengan memperhatikan gambar tersebut, ada berapa banyak persegi pada a 2013 ? 3. Perhatikan gambar berikut Dengan memperhatikan gambar tersebut. Ada berapa banyak belah ketupat pada a 100 ? MATEMATIKA 4. Tentukan banyak persegi pada gambar berikut. (OSK SMP 2014) 5. Berapa banyak segitiga sama sisi pada gambar berikut ? 6. Sebuah papan panjangan berbentuk persegi panjang akan dihias seperti tampak pada gambar di bawah. Panjang diagonal pada layang-layang adalah 1 cm dan 2 cm. Jika papan pajangan tersebut berukuran 300 cm × 240 cm, maka berapa banyak bangun layang-layang yang dibutuhkan? Jelaskan. 192 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 7. Pisahkan bangun berikut menjadi 4 bagian yang jika 4 bagian tersebut digabungkan bisa membentuk sebuah persegi? ( Sumber: Pelatihan Guru Olimpiade Matematika Internasional) 8. Piliha Ganda Sepotong kertas berbentuk persegi panjang yang dilipat dalam setengah seperti yang ditunjukkan pada gambar di atas. Hal ini kemudian dipotong sepanjang garis putus-putus, dan potongan kecil tersebut 4cm yang dipotong dibuka. Bentuk potongan gambar tersebut adalah .... a. segitiga sama kaki 1cm b. dua segitiga sama kaki c. segitiga siku-siku d. segitiga sama sisi MATEMATIKA A Segiempat Memahami Jenis dan K egiatan 8.2 Sifat Segiempat Perhatikan kembali kegiatan yang telah kalian pelajari di awal bab 8 ini. Pada kegiatan belajar kali ini, kalian akan mendiskusikan tentang jenis-jenis dan sifat-sifat dari segiempat. Sebelum kalian melakukan kegiatan berikut alangkah baiknya jika kalian mengetahui terlebih dulu tentang apa yang dimaksud dengan segiempat. Segiempat adalah poligon bidang yang dibentuk dari empat sisi yang saling berpotongan pada satu titik. Jenis-jenis Segiempat Ayo Kita Amati Untuk mengetahui tentang jenis-jenis segiempat, coba amati gambar bangun datar pada Tabel 8.2 berikut. Tabel 8.2 Jenis-jenis Segiempat Segiempat/No. Gambar Segiempat beraturan 1. Segiempat atau persegi Empat garis Bukan sama panjang segiempat yang terbuka/ terputus 194 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 Segiempat beraturan 3. Segiempat atau persegi panjang Dua segitiga Bukan 4. sama besar dan segiempat sama bentuknya Segiempat beraturan 5. Segiempat atau jajargenjang Segiempat beraturan 6. Segiempat atau trapesium Segiempat tidak 7. Segiempat beraturan Segiempat beraturan 8. Segiempat atau belahketupat Segiempat beraturan 9. Segiempat atau layang-layang MATEMATIKA ? Ayo Kita ? Menanya Berdasarkan hasil pengamatan kalian, mungkin kalian bertanya dua hal berikut. 1. Bagaimana cara membedakan antara segiempat beraturan dengan segiempat tidak beraturan? 2. Apa saja sifat-sifat dari segiempat beraturan itu? Sekarang cobalah buat pertanyaan yang serupa atau memuat kata-kata berikut. 1. “Jenis” dan “segiempat” 2. “segiempat” dan “sisi, sejajar” Tulislah pertanyaan kalian di lembar kerja/buku tulis. Ayo Kita Menggali Informasi B. Sifat-sifat segiempatPerhatikan setiap bangun segiempat yang telah kalian gambar. Kemudian perhatikan juga hal-hal yang berhubungan dengan bangun-bangun tersebut seperti sisi, sudut, dan diagonal. Selanjutnya lengkapilah Tabel 8.3 berikut. Tabel 8.3 Sifat-sifat segiempat No. Sifat-sifat Segiempat PP P JG BK TR LL Setiap pasang sisi berhadapan × sejajar 2. Sisi berhadapan sama panjang 3. Semua sisi sama panjang 4. Sudut berhadapan sama besar 5. Semua sudut sama besar Masing-masing diagonal membagi 6. daerah atas dua bagian yang sama 196 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 No. Sifat-sifat Segiempat PP P JG BK TR LL Kedua diagonal berpotongan di titik 7. tengah masing-masing 8. Kedua diagonal saling tegak lurus 9. Sepasang sisi sejajar 10. Memiliki simetri lipat sebanyak 1 11. Memiliki simetri lipat sebanyak 2 12. Memiliki simetri lipat sebanyak 4 13. Memiliki simetri putar sebanyak 1 14. Memiliki simetri putar sebanyak 2 15. Memiliki simetri putar sebanyak 4 Keterangan: berarti memenuhi × berarti tidak memenuhi JG = Jajar genjang LL = Layang-layang PP = Persegi panjang P = Persegi BK = Belah ketupat TR = Trapesium Setelah kalian menggali informasi, cobalah untuk memperhatikan contoh soal berikut: Contoh 8.3 Perhatikan gambar persegi ABCD berikut. Diketahui panjang AB = 6 cm dan AO = 32 cm. Tentukan a. panjang BC , CD , dan AD . b. panjang CO , BO , dan DO . O c. panjang AC dan BD d. besar sudut ABC dan AOB MATEMATIKA Alternatif Penyelesaian a. menurut sifat-sifat persegi bahwa panjang AB = BC = CD = AD . Diketahui panjang AB = 6 cm, panjang BC = CD = AD = 6 cm b. diketahui panjang panjang AO = 32 cm, maka panjang CO = BO = DO 32 = cm c. diketahui panjang AO = 32 CO = BO = DO = , maka panjang AO = BD 6 = 2 cm d. m ∠ ABC = 90° dan m∠AOB = 90° Contoh 8.4 Perhatikan gambar persegi panjang PQRS di samping. T Diketahui panjang PQ = 10 cm dan PS = Q Tentukan a. panjang ruas garis yang sama 6 cm. b. besar sudut yang sama besar c. panjang RS , dan d. panjang QR Alternatif Penyelesaian a. panjang ruas garis yang sama adalah panjang sisi persegi: PQ = SR dan PS = QR , panjang diagonal persegi panjang: PT = TR = ST = TQ dan PR = SQ b. besar sudut yang sama besar adalah 198 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 Semester 2 c. karena panjang RS = PQ , maka panjang RS = 10 cm d. karena panjang QR = PS , maka panjang QR = 6 cm K 12cm Diketahui jajargenjang KLMN memiliki panjang KL = 12 cm, panjang LM = 10 cm dan besar ∠KNM = 140° Tentukan a. panjang ruas garis yang belum diketahui b. besar sudut yang belum diketahui Alternatif Penyelesaian a. Menurut sifat-sifat jajargenjang bahwa panjang KL = MN dan LM = KN , maka panjang MN = 12 cm, KN = 10 cm m ∠ KNM + m∠NKL = 180° (sudut berpelurus) 140° + m ∠NKL = 180° m ∠NKL = 180° – 140° m ∠NKL = 30 Jadi, m ∠NKL = 30° Sehingga m ∠ KLM = 140° dan m∠LMN = 40° MATEMATIKA Contoh 8.6 Perhatikan gambar trapesium berikut. D C Diketahui; DC : AB =3:5 Tentukan: (a) Besar ∠ D, dan 8cm (b) Panjang DC A 25cm Alternatif Penyelesaian a. m ∠A + m∠ (sudut dalam sepihak) 90° + m ∠ D = 180° ∠ m D = 180° – 90° ∠ m D = 90° D = 180° Jadi, m ∠ 5 = 15 Jadi, panjang DC = 15 cm D Perhatikan gambar belahketupat di samping. Contoh 8.7 C dan m ∠B = 70°. Diketahui panjang AE = 6 cm, DE = 8 cm, 200 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 Tentukan. a. panjang sisi-sisinya b. besar sudut-sudutnya c. panjang diagonalnya Alternatif Penyelesaian 2 a. 2 AD = AE + DE AD = 10 sehingga, AD = AB = BC = DC = 10 b. ∠ B =∠D = 70° ∠A + ∠ B = 180° ∠ A = 180° − 70° ∠ A = 110° c. AC = 2 × AE = 2 × 6 = 12 BD = 2 × DE = 2 × 8 = 16 Contoh 8.8 E Perhatikan gambar layang-layang berikut. D Diketahui panjang AB = 10 cm, BC = 17 cm dan AE = 6 cm Tentukan: a. Panjang sisi-sisinya b. Panjang diagonalnya MATEMATIKA Alternatif Penyelesaian a. AB = AD BC = DC AB = 10 cm, maka, BC = 17 cm, maka, AD = 10 cm sehingga BD = 2 × BE = 2×8 BD = 16 cm 2 2 EC = BC − BE = 225 EC = 15 cm AC = AE + EC = 6 + 15 = 21 cm 202 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 Ayo Kita Menalar Perhatikan kembali gambar bangun datar segiempat yang telah kalian buat pada kegiatan mengamati dan pada Tabel 8.1 dan 8.1. Kemudian diskusikanlah beberapa hal berikut ini: Perhatikan gambar berikut. (i) (ii) 1. Apakah kedua gambar tersebut merupakan segiempat beraturan? Jelaskan. 2. Simpulkan apa saja sifat-sifat dari persegi, persegipanjang, jajargenjang, trapesium, belahketupat, dan layang-layang? Uraikan. 3. Apakah persamaan dan perbedaan sifat-sifat persegi dengan persegi panjang? 4. Apakah persamaan dan perbedaan sifat-sifat jajargenjang dengan trapesium? 5. Apakah persamaan dan perbedaan sifat-sifat belah ketupat dengan layang- layang? 6. Apakah persamaan dan perbedaan sifat-sifat persegi dengan belah ketupat? 7. Apakah belah ketupat dapat dikatakan persegi? Jika iya, dalam kondisi bagaimana? Jika tidak, dalam kondisi bagaimana juga? Jelaskan. Ayo Kita Berbagi Setelah selesai menjawab, tukarkan hasil jawaban kalian dengan kelompok yang lain. Kemudian bandingkan hasil jawabannya dan diksusikan dengan kelompok tersebut. Tulislah kesimpulan kalian pada lembar kerja/buku tulis yang sudah kalian sediakan. MATEMATIKA ? ? ! ! Ayo Kita Berlatih 8.2 1. Perhatikan gambar berikut. D 8cm a. Tentukan panjang AD dan CD b. Tentukan besar ∠ ABC dan ∠CDA c. Sebutkan sepasang diagonalnya yang O sama panjang B panjang dengan AD d. Sebutkan ruas garis yang sama A 12cm 2. Diketahui jajar genjang KLMN mempunyai ∠K = (2y – 15)° dan ∠ M = (57 – y)°. Tentukan besar ∠K, ∠L, dan ∠N 3. Perhatikan gambar trapesium di bawah P a. Tentukan besar sudut P. b. Tentukan jumlah sudut P, Q, R, dan S. c. Berapakah ukuran jumlah dua sisi yang sejajar? 4. Perhatikan gambar belah ketupat berikut. Jika AD = (2x + 5), BC = (x + 7), ∠BCD = 60°, D maka tentukan. a. nilai x b. panjang sisi AD c. besar ∠ BAD dan ∠ABC 204 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 5. Perhatikan gambar layang-layang berikut. P erhatikan gambar layang- L layang KLMN di samping ini. 45 ° Jika besar ∠KLN = 45° dan ∠ MNL = 30°. tentukan: a. besar ∠ MLN O b. besar ∠KNL c. besar ∠ LKM d. besar ∠ KML e. besar ∠ NKM X f. besar ∠ NMK g. jumlah ∠ LKM, ∠KNM, ∠ NML, dan ∠MLK 6. Diketahui jajar genjang ABCD dengan diagonal berpotongan saling tegak lurus. Apakah jajar genjang ABCD dapat juga dikatakan belah ketupat ABCD? Jelaskan jawabanmu. 7. Kinan dan Ningsih mendeskripsikan definisi segiempat yang merupakan jajargenjang. Manakah di antara Kinan dan Ningsih yang mendeskripsikan jajargenjang dengan benar? Jelaskan. MATEMATIKA Memahami Keliling dan K egiatan 8.3 Luas Segiempat Perhatikan kembali pada Kegiatan 8.2 yang telah kalian pelajari. Terdapat berbagai bentuk bangun datar segiempat yang masing-masing terdiri dari empat sisi, empat titik sudut, dan suatu daerah yang dibatasi oleh empat sisi tersebut. Jumlah dari keempat sisi tersebut dinamakan dengan keliling dan daerah yang dibatasi oleh keempat sisi tersebut dinamakan dengan luas. Dengan demikian, keliling suatu bangun datar adalah jumlah panjang sisi-sisi yang membatasi bangun tersebut. Sedangkan luas bangun datar adalah suatu daerah yang dibatasi panjang sisi-sisi pada bangun tersebut. Berikut satu kasus yang ada hubungannya dengan keliling dan luas persegi dan persegi panjang Masalah 8.2 Diketahui Fatimah memiliki kebun bunga di belakang rumahnya. Pada kebun bunga tersebut ditanam berbagai jenis bunga. Kebun itu terbagi beberapa petak. Petak I berbentuk persegi, ditanami bunga putih seluas 625 m 2 . Sedangkan petak II berbentuk persegi panjang ditanami bunga merah, panjang petak 50 m Sumber: kemendikbud Gambar 8.7 Kebun Bunga 1 dan luasnya luas petak I a. Berapa panjang dan keliling Petak I? b. Berapa lebar, luas petak, dan keliling petak II? c. Berapa hektar kebun bunga Fatimah seluruhnya?. Untuk memecahkan Masalah 8.2, silakan kalian amati terlebih dulu uraian penyajian yang terdapat pada kegiatan berikut ini. 206 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 A. Persegi dan Persegi panjangAyo Kita Amati Tabel 8.4a Pemahaman konsep keliling dan luas persegi No. Gambar persegi Keliling (banyak panjang pendek Tabel 8.4b Pemahaman konsep keliling dan luas persegi panjang Luas Sisi No. Sisi Gambar persegi panjang Keliling (banyak panjang pendek kotak) MATEMATIKA Sisi Luas No. Sisi Gambar persegi panjang Keliling (banyak panjang pendek kotak) 208 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 ? Ayo Kita ? Menanya Berdasarkan hasil pengamatan kalian, mungkin kalian bertanya dua hal berikut. 1. Bagaimana cara menemukan rumus keliling dan luas persegi dan persegipanjang? 2. Apa yang harus diperhatikan pada rumus keliling dan luas persegi dan persegipanjang? Sekarang cobalah buat pertanyaan yang serupa atau memuat kata-kata berikut. 1. “sisi panjang” dan “sisi pendek” 2. “persegi” dan “panjang dan lebar” Tulislah pertanyaan kalian di lembar kerja/buku tulis. Ayo Kita Menggali Informasi Agar kalian menjadi lebih yakin dalam memahami konsep keliling dan luas persegi dan persegi panjang, cobalah perhatikan dengan cermat pada Tabel 8.5 berikut . Tabel 8.5a Keliling dan luas persegi No. Gambar persegi Keliling (banyak panjang pendek kotak) MATEMATIKA No. Gambar persegi Keliling (banyak panjang pendek S Tabel 8.5b Keliling dan luas persegipanjang Luas No. Sisi Sisi Gambar persegi panjang Keliling (banyak panjang pendek 3 210 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 Ayo Kita Menalar Kemudian, diskusikan dengan kelompok kalian terhadap beberapa pertanyaan berikut. 1. Jika s merupakan panjang sisi persegi, maka lengkapilah Tabel 8.5a pada Gambar 4 a. S impulkan hubungan antara sisi panjang dan sisi lebar dengan keliling b. Simpulkan hubungan antara sisi panjang dan sisi lebar dengan luas 2. Jika p dan l merupakan panjang dan lebar persegipanjang, maka lengkapilah Tabel 8.5b pada Gambar 7. a. S impulkan hubungan antara sisi panjang dan sisi lebar dengan keliling b. Simpulkan hubungan antara sisi panjang dan sisi lebar dengan luas MATEMATIKA 3. Jelaskan cara menurunkan rumus keliling persegi menjadi rumus keliling persegipanjang. 4. Jelaskan bagaimana cara menurunkan rumus keliling persegipanjang menjadi rumus keliling persegi. 5. Jelaskan cara menurunkan rumus luas persegi menjadi rumus luas persegipanjang. 6. Jelaskan cara menurunkan rumus luas persegipanjang menjadi rumus luas persegi. 7. Apakah setiap luas daerah persegi panjang selalu dapat dinyatakan dengan luas daerah persegi? Jelaskan. 8. Apakah mungkin luas daerah persegi bernilai negatif? Jelaskan. Ayo Kita Berbagi Tukarkan hasil kerja kalian pada teman sebangku dan bandingkan dengan hasil pekerjaannya. Kemudian diskusikan dengan teman tamannya. Sedikit Informasi Untuk menambah pemahaman kalian tentang konsep keliling dan luas dari persegi dan persegi panjang, sebaiknya kalian perhatikan contoh soal dan alternatif penyelesaiannya berikut ini. Contoh 8.9 Luas sebuah persegi panjang sama dengan luas persegi yang panjang sisinya 20 cm. Jika lebar persegi panjang adalah 10 cm, maka tentukan. a. panjang persegi panjang dan b. keliling persegi panjang 212 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 Alternatif Penyelesaian a. L uas persegi panjang = luas Persegi, sehingga diperoleh p× 2 l =a p × 10 = 20 2 10p = 400 p = 40 Jadi, panjang persegi panjang adalah 40 cm b. K eliling persegi panjang = 2(p + l) = 2(40 + 10) = 2(50) = 100 Jadi, keliling persegi panjang adalah 100 cm Contoh 8.10 Pak Amal memiliki sebidang tanah kosong berbentuk daerah persegi panjang di samping rumahnya. Panjang tanah 50 m dan lebarnya 30 m. a. Tentukanlah luas tanah Pak Amal dalam satuan cm 2 . b. Tentukanlah luas tanah Pak Amal Sumber: kemendikbud dalam satuan are. Gambar 8.9 Tanah Pak Amal Alternatif Penyelesaian Bentuk tanah adalah daerah persegi panjang. Panjang tanah = 50 m Lebar tanah = 30 m MATEMATIKA Luas tanah = panjang tanah × lebar tanah × 30 = 50 = 1.500 m 2 • Ingat kembali materi pengukuran yang sudah kamu pelajari di sekolah dasar. Bagaimana mengubah nilai dari satuan-satuan pengukuran tertentu ke satuan pengukuran yang lain? Gunakanlah itu untuk melanjutkan langkah penyelesaian Masalah-2di atas. 2 2 Kita ketahui bahwa 1 m = 100 cm ⇒1m = 100 cm × 100 cm = 10.000 cm 2 2 2 1.500 m = 1.500 × 10.000 cm = 15. 000. 000 cm 2 Luas tanah Amal adalah 15. 000. 000 cm persegi atau L = 15.000.000 cm • Ingat kembali beberapa satuan-satuan pengukuran seperti m, dam dan are × 100 m , sehingga 1 m = 2 Luas tanah Pak Amal = 1500 m 100 = 15 are Jadi luas tanah Pak Amal adalah 15 are. Contoh 8.11 Misalkan KLMN adalah sebuah persegi yang memiliki panjang sisi r cm dan ABCD adalah sebuah persegi panjang dengan panjang sisi AB = p cm dan panjang sisi CD adalah l cm. Buktikan jika keliling persegi adalah 2 kali Luas ABCD 2 l l keliling persegi panjang maka Luas KLMN r r 214 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 Bukti: Luas persegi panjang ABCD = p × l. Luas persegi 2 KLMN = s × s = s Keliling persegi panjang ABCD = 2p + 2l. Keliling persegi KLMN = 4s Diketahui keliling persegi ABCD = 2 kali keliling persegi panjang ABCD, maka 2 (2p + 2 l) = 4r ⇒ 4p + 4l = 4s ⇒p+ l=s ⇒p=s– l 2 Luas ABCD 2 pxl ( rll − ) rl l − l l Luas KLMN s s s Luas ABCD 2 l l =− (terbukti) Luas KLMN r r Contoh 8.12 Sebuah persegi panjang memiliki panjang 10 cm dan lebar 5 cm. Tentukan luas persegi panjang tersebut. Alternatif Penyelesaian Misalkan ukuran persegi panjang dengan panjang p = 10 cm dan lebarnya l = 5 cm. Luas persegi panjang tersebut adalah: Luas persegi panjang =p× l = 50. Jadi, luas daerah persegi panjang adalah 50 cm 2 . MATEMATIKA Susunlah pada tabel berikut kemungkinan ukuran persegi panjang yang dimaksud sehingga luasnya adalah 50 cm 2 . Tabel 8.6 Ukuran persegipanjang Apakah ada kemungkinan ukuran yang lainnya? Tunjukkan. Ayo Kita Mencoba Setelah kalian melakukan kegiatan di atas, coba selesaikan dua kasus yang terdapat pada masalah berikut. 1. Lakukan kegiatan berikut untuk menjawab permasalahan yang terdapat pada Masalah 8.1. a. Tulislah hal-hal yang di ketahui pada masalah tersebut b. Buatlah sketsa kebun bunga yang terbentuk menjadi dua petak, yaitu Petak I berbentuk daerah persegi dan petak II berbentuk daerah persegipanjang. c. Tulislah ukuran dan luas yang terdapat pada petak I dan II d. Tulislah hal-hal yang ditanyakan pada masalah tersebut, kemudian jawablah dengan menggunakan rumus luas dan keliling persegi dan persegipanjang yang telah kalian pelajari ketika di Sekolah Dasar. 216 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 2. Soal Tantangan Suatu persegi dibagi menjadi empat bagian sama besar dan sama bentuknya. Keliling masing-masing bagiannya adalah 16 cm. Tentukan luas daerah persegi yang semula. (gambarkan sebanyak 3 atau 4 cara membaginya dan hitung masing- masing luasnya) ? ? ! ! Ayo Kita Berlatih 8.3 1. Lukman memanfaatkan tanah kosongnya untuk membuat kandang kambing. Luas tanah 100 m 2 . Ada empat kandang kambing yang akan dibuat dan masing-masing kandang bentuknya sama, yaitu berbentuk persegi. Berapa dm 2 luas masing-masing kandang kambing? 2. Sebuah kebun jagung berbentuk persegipanjang memiliki ukuran panjang 90 cm dan lebar 7 m. Berapa are luasnya? 3. Sebuah lapangan basket berbentuk persegipanjang memiliki luas 84 m 2 dengan panjang 12 m. Hitunglah lebar lapangan itu dalam satuan deka meter. 4. Kamar mandi Lewis akan dipasangi ubin. Luas kamar mandi 20 m 2 . Sementara luas ubin masing-masing 20 cm 2 . Berapa banyak ubin yang diperlukan? 5. Diketahui ukuran permukaan sebuah meja yang berbentuk persegi panjang adalah 120 cm x 80 cm. Di atas meja tersebut terdapat sebuah buku tulis yang berukuran 25 cm × 17,5 cm. Tentukan perbandingan keliling buku tulis dengan permukaan meja tersebut. 6. Tentukan berbagai kemungkinan ukuran persegi panjang yang mungkin, jika diketahui luas persegi panjang tersebut 200 cm 2 . MATEMATIKA 7. Perhatikan 2 kertas yang berukuran A5 dan F4. Tanpa mengukurnya terlebih dahulu, ketas manakah yang lebih besar luas permukaannya? 8. Mungkinkah sebuah persegi memiliki keliling yang sama dengan sebuah persegi panjang? Jika mungkin, tentukan ukuran persegi dan persegi panjang tersebut! 9. Tentukan ukuran persegi panjang dengan data yang diketahui pada tabel di bawah ini. Tabel 8.7 Ukuran persegi panjang dalam data No. Panjang 5 2 700 mm ... mm L = 0,07 m 6 2 560 m 90 dam L = ... dam 7 2 6 cm 8 mm L = ... mm 10 Diberikan persegi panjang PQRS Titik O terletak di dalam PQRS sedemikian hingga OP = 5 cm, OS = 3 cm , dan OQ = 160 cm Panjang OR adalah... 218 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 11. Perhatikan gambar berikut. Jalan raya Daerah yang diarsir adalah sketsa tanah yang ditanami rumput. Berapakah luas hamparan rumput tersebut? 12. Gambar di samping ini menunjukkan suatu persegi yang dibagi menjadi 6 bagian yang sama. Setiap bagian berupa persegi panjang yang mempunyai keliling 70 cm. Luas persegi tersebut sama dengan … ( OSK SMP 2009) 13. Diketahui ABCD adalah persegi. Titik E merupakan perpotongan AC dan BD pada persegi ABCD yang membentuk persegi baru EFGH. EF berpotongan dengan CD di I dan EH berpotongan dengan AD di J. Panjang sisi ABCD adalah 4 cm dan panjang sisi EFGH adalah 8 cm. Jika 2 ∠ EID = 60°, maka luas segiempat EIDJ adalah ...cm . (OSK SMP 2010) 14. Sebuah bingkai foto yang berbentuk persegi diputar 45° dengan sumbu putar titik perpotongan diagonal-diagonalnya. Jika panjang sisi persegi adalah 1 cm, luas irisan antara bingkai foto sebelum dan sesudah diputar adalah ... 2 cm . ( OSK SMP 2011) a. 1 + 2 2 d. 2 – 2 2 b. 2 + 2 2 e. 2 2 −2 c. 1 MATEMATIKA 15. Konser Rok/ Rock Concert Untuk mengadakan konser rok maka perlu dipersiapkan lapangan dengan ukuran 100 m lawan 50 m untuk para audien/ penonton. Tiket konser telah terjual habis dan lapangan mulai dipenuhi oleh para penggemar yang berdiri menonton. perkiraan jumlah penonton yang hadir pada konser tersebut? B. Jajargenjang dan TrapesiumPerhatikan gambar berikut ini. TAMPAK MUKA A B Rumah di lahan jajar genjang DENAH b R Kap lampu Gambar 8.8 Bentuk denah lahan rumah dan kap lampu dengan seketsanya 220 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 Dari Gambar 8.8 terdapat denah lahan rumah dan kap lampu dengan sketsanya. Masalahnya sekarang, bagaimana cara mencari keliling dan luas pada kedua bangun tersebut? Ayo Kita Amati b.1. Jajargenjang Tabel 8.8a berikut disajikan pemahaman konsep keliling dan luas jajargenjang, silakan amati. Tabel 8.8a Pemahaman konsep keliling dan luas jajargenjang Sisi No. Gambar Jajargenjang Sisi Alas Keliling Luas 3cm 6cm 15cm 3. 2 14 cm 12 cm 54 cm 168 cm 12cm 5cm 9cm MATEMATIKA Tabel 8.8b berikut disajikan pemahaman konsep keliling dan luas trapesium, silakan amati. Tabel 8.8b Pemahaman konsep keliling dan luas trapesium Dua Sisi Sisi No. Gambar Trapesium Keliling Luas Sejajar Tinggi 11cm 13cm 5cm 11cm 5cm 11 cm 21cm 7cm 13cm 10cm 13cm 5cm 10cm 9cm 11 cm 21cm ? Ayo Kita ? Menanya Berdasarkan hasil pengamatan kalian, mungkin kalian bertanya dua hal berikut. 1. Bagaimana cara menemukan rumus keliling dan luas dari jajargenjang 222 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 Semester 2 2. Apa yang harus diperhatikan pada rumus keliling dan luas jajargenjang dan trapesium? Sekarang cobalah buat pertanyaan yang serupa atau memuat kata-kata berikut. 1. “Keliling, luas” dan “jajargenjang” 2. “Keliling, luas” dan “trapesium” Tulislah pertanyaan kalian di lembar kerja/buku tulis. Ayo Kita Menggali Informasi Agar kalian menjadi lebih yakin dalam memahami konsep keliling dan luas jajargenjang dan trapesium, cobalah perhatikan dengan cermat pada Tabel 8.9 berikut. Tabel 8.9a Keliling dan luas jajargenjang Sisi No. Gambar Jajargenjang Sisi Alas Keliling Luas 15cm 10cm 6cm 6 cm = 50 2. 15 cm 90 8cm 7cm MATEMATIKA Sisi No. Gambar Jajargenjang Sisi Alas Keliling Luas Tabel 8.9b Keliling dan Luas Trapesium Dua Sisi Sisi No. Gambar Trapesium Keliling Luas Sejajar Tinggi 11cm 13cm × 12 5cm 11 11cm 5cm cm 7cm = 80 6cm 13cm 7 cm 224 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 Dua Sisi Sisi No. Gambar Trapesium Keliling Luas Sejajar Tinggi 10cm 13cm × 12 5cm 10cm 9cm = 204 11 21cm Ayo Kita Menalar Kemudian, coba diskusikan dengan kelompok kalian terhadap beberapa kasus berikut. 1. Jika a, t, dan c merupakan alas, tinggi, dan sisi sejajar lainnya pada jajargenjang, maka lengkapilah Tabel 8.8a pada Gambar 4 a. Simpulkan hubungan antara Sisi Alas dan Sisi Sejajar yang lain dengan Keliling b. Jelaskan bagaimana cara menemukan Rumus Luas Jajargenjang ( dengan menggunakan konsep luas persegi atau persegipanjang) 2. Jika a dan b merupakan panjang dua sisi sejajar pada trapesium dan c merupakan panjang sisi lainnya pada trapesium sama kaki, maka lengkapilah Tabel 8.8b pada Gambar 4. a. Simpulkan hubungan antara dua sisi sejajar dan sisi-sisi lainya dengan Keliling b. Jelaskan bagaimana cara menemukan Rumus Luas Trapesium ( dengan menggunakan konsep luas persegi atau persegipanjang) MATEMATIKA 3. Buatlah bangun jajargenjang dari kertas HVS atau lainnya (misalkan seperti Gambar 1 pada Tabel 8.7a atau Tabel 8.8a). Selanjutnya guntinglah jajargenjang tersebut menjadi beberapa bagian (minimal dua bagian). Kemudian susunlah bagian-bagian potongan tersebut menjadi bangun trapesium. Bagaimana kalian menentukan keliling dan luas trapesium tersebut? Jelaskan. 4. Buatlah bangun trapesium dari kertas HVS atau lainnya (misalkan seperti Gambar 1 pada Tabel 8.7b atau Tabel 8.8b). Selanjutnya guntinglah trapesium tersebut menjadi beberapa bagian (minimal dua bagian). Kemudian susunlah bagian-bagian potongan tersebut menjadi bangun jajargenjang. Bagaimana kalian menentukan keliling dan luas jajargenjang tersebut? Jelaskan. Ayo Kita Berbagi Setelah selesai menjawab, tukarkan hasil jawaban kalian dengan kelompok yang lain. Kemudian bandingkan hasil jawabannya dan diksusikan dengan kelompok tersebut.. Tulislah kesimpulan kalian pada lembar kerja/buku tulis yang sudah kalian sediakan. Sedikit Informasi Untuk menambah pemahaman kalian tentang konsep keliling dan luas jajargenjang dan trapesium, sebaiknya kalian perhatikan contoh soal dan alternatif penyelesaiannya berikut ini. Perhatikan gambar berikut! Jika AB = 20 cm, BC = 12 cm, BE = 16 dan B DC = (2x + 4) cm, maka tentukan! 226 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 Semester 2 b. Panjang DC c. Keliling jajargenjang ABCD d. Luas Jajargenjang ABCD Alternatif Penyelesaian a. AB = DC, maka c. AB = CD = 20 20 = 2x + 4 BC = AD = 12, maka 2 d. BC = AD = 12, maka x =8 L = alas × tinggi = AD × BE b. DC = 2x + 4 dan x = 8, maka = 12 × 16 DC = 2(8) + 4 Sebuah model kerangka perahu dibuat dari seng berbentuk persegipanjang yang ditarik menjadi bentuk trapesium siku-siku seperti gambar berikut. 5m C Jika panjang OB = 3 m, panjang AB = 5 m, dan panjang BC = p m. Berapa luas B pm persegipanjang sebelum dijadikan model perahu? MATEMATIKA Alternatif Penyelesaian Pandang gambar segitiga ABO. Dengan memanfaatkan Dalil Pythagoras diperoleh: 2 AB 2 = AO + OB2 2 2 5 2 = AO +3 25 = 2 AO +9 AO 2 = 16 AO = 4 Panjang AD = AO + OD. Karena panjang OD = BC, maka AD = AO + BC. Sehingga diperoleh AD = 4 + p. Dengan demikian, luas persegipanjang mula-mula sebelum dibuat model kapal adalah (p + 4) m 2 . Contoh 8.15 Tentukan luas dan keliling trapesium yang disajikan pada gambar berikut. tinggi 6 sisi yang sejajar I II III Alternatif Penyelesaian 1. B angun apa saja yang menyusun trapesium samakaki di atas? 2. B angun I dipindah ke samping bangun II sehingga menjadi gambar di bawah ini. Apakah berbentuk persegipanjang? 228 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 6 II sisi yang sejajar III 3. A pakah luas bangun persegipanjang itu sama dengan luas trapesium? Rumus luas bangun persegipanjang sudah kita ketahui, yaitu: Panjang × lebar = 10 × 6 = 60 satuan luas. Cobalah hitung luas persegipanjang tersebut dengan rumus: jumlah sisi sejajar 2 L =× 10 6 L = 60 Ternyata dari kedua perhitungan tersebut hasilnya sama, yaitu 60 satuan luas Hitunglah luas trapesium dengan rumus berikut. jumlah sisi sejajar L = L =× 10 6 L = 60 Hasilnya sama dengan luas persegipanjang, yaitu 60 satuan luas. Keliling trapesium = 2 (6) + 2 (10) = 2 (6) + 2 (10) = 12 + 20 = 32 satuan. MATEMATIKA Ayo Kita Mencoba Sekarang, coba terapkan pemahaman kalian terhadap beberapa pertanyaan berikut. 1. B eberapa koordinat titik pada bidang koordinat dapat membentuk bangun datar. Misalkan kita memiliki koordinat titik A (−4, −3), B(2, −3), C(4, 4), D(−2, 4). Bila titik-titik A, B, C, dan D dihubungkan, bangun apakah yang akan terbentuk? Jelaskan bagaiamana cara menentukan luasnya. 2. D iberikan 6 (enam) lingkaran dengan jari-jari r dalam sebuah daerah trapesium ABCD sama kaki dan panjang AD = 5r. Buktikan bahwa luas daerah yang diarsir adalah 6r 2 (6 − π). 5r c. Belahketupat dan Layang-layang Perhatikan gambar berikut ini. Ketupat 230 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 D Layang-layang Gambar 8.9 Bentuk ketupat dan layangan dengan seketsanya Dari Gambar 8.9 terdapat ketupat dan layang-layang dengan sketsanya. Masalahnya sekarang, bagaimana cara mencari keliling dan luas pada kedua bangun tersebut? Ayo Kita Amati c.1 Belahketupat Tabel 8.10a berikut disajikan pemahaman konsep keliling dan luas belahketupat, silakan amati. Tabel 8.10a Pemahaman konsep keliling dan luas belahketupat No. Gambar Belahketupat Diagonal 1 Diagonal 2 Keliling Luas 5 cm 4 cm 3 cm 8 cm 1. 2 6 cm 8 cm 20 cm 24 cm 6 cm MATEMATIKA No. Gambar Belahketupat Diagonal 1 Diagonal 2 Keliling Luas c.2 Layang-layang Tabel 8.10b menunjukan pemahaman konsep keliling dan luas layang-layang, silakan amati. 232 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 Tabel 8.10b Pemahaman konsep keliling dan luas layang-layang No. Gambar Layang-layang Diagonal 1 Diagonal 2 Keliling Luas 6 cm 10 cm 8 cm 1. 2 15 cm 21 cm 16 cm 21 cm 54 cm 168 cm 17 cm 16 cm 15 cm 9 cm 12 cm 2. 2 16 cm 25 cm 24 cm 25 cm 70 cm 300 cm 20 cm 24 cm 25 cm 7 cm 24 cm 3. 2 10 cm 48 cm 17 cm 102 cm 408 cm 26 cm 17 cm 48 cm MATEMATIKA ? Ayo Kita ? Menanya Berdasarkan hasil pengamatan kalian, mungkin kalian bertanya dua hal berikut. 1. Bagaimana cara menemukan rumus keliling dan luas belahketupat dan layang-layang? 2. Apa yang harus diperhatikan pada rumus keliling dan luas belahketupat dan layang-layang? Sekarang cobalah buat pertanyaan yang serupa atau memuat kata-kata berikut. 1. “Keliling, luas” dan “belah ketupat” 2. “Keliling, luas” dan “layang-layang” Tulislah pertanyaan kalian di lembar kerja/buku tulis. Ayo Kita Menggali Informasi Agar kalian menjadi lebih yakin dalam memahami konsep keliling dan luas Belahketupat dan Layang-layang, cobalah perhatikan dengan cermat pada Tabel 8.11 berikut. Tabel 8.11a Keliling dan luas belahketupat Diagonal Diagonal No. Gambar Belahketupat Keliling Luas 6 cm 234 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 13 cm 12 cm 2. 5 cm 24 cm 24 cm 10 cm 10 cm 6 cm 3. 6 cm 12 cm 12 cm 12 cm 4× × 12 × 12 cm MATEMATIKA Tabel 8.11b Keliling dan luas layang-layang Diagonal Diagonal No. Gambar Layang-layang Keliling Luas 236 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 Diagonal Diagonal No. Gambar Layang-layang Keliling Luas Ayo Kita Menalar Kemudian, coba diskusikan dengan kelompok kalian terhadap beberapa pertanyaan berikut. 1. Jika d 1 dan d 2 merupakan diagonal-diagonal kedua belahketupat, maka lengkapilah Tabel 8.10a pada Gambar 4 a. Simpulkan hubungan antara panjang sisi s dengan keliling b. Jelaskan bagaimana cara menemukan rumus luas belahketupat ( dengan menggunakan konsep luas persegi atau persegi panjang) 2. Jika d 1 dan d 2 merupakan diagonal-diagonal kedua layang-layang, maka lengkapilah Tabel 8.10b pada Gambar 4. a. Simpulkan hubungan antara panjang sisi a dan sisi b dengan keliling b. Jelaskan bagaimana cara menemukan rumus luas layang-layang ( dengan menggunakan konsep luas persegi atau persegipanjang) 3. Apakah belahketupat termasuk layang-layang? Jelaskan. 4. Apakah layang-layang termasuk belahketupat? Jelaskan. MATEMATIKA 5. Buatlah bangun belahketupat dari kertas HVS atau lainnya (misalkan seperti Gambar 2 pada Tabel 8.9a atau Tabel 8.10a). Selanjutnya guntinglah belahketupat tersebut menjadi beberapa bagian (minimal dua bagian). Kemudian susunlah bagian-bagian potongan tersebut menjadi bangun jajargenjang. Bagaimana kalian menentukan keliling dan luas jajargenjang tersebut? Jelaskan. Ayo Kita Berbagi Setelah selesai menjawab, tukarkan hasil jawaban kalian dengan kelompok yang lain. Kemudian bandingkan hasil jawabannya dan diksusikan dengan kelompok tersebut. Tulislah kesimpulan kalian pada lembar kerja/buku tulis yang sudah kalian sediakan. Sedikit Informasi Untuk menambah pemahaman kalian tentang konsep keliling dan luas belahketupat dan layang-layang, sebaiknya kalian perhatikan contoh soal dan alternatif penyelesaiannya berikut ini. Contoh 8.16 Belahketupat PQRS memiliki panjang diagonal masing-masing 10 cm dan 15 cm. Tentukan luas belahketupat PQRS tersebut! Alternatif Penyelesaian Dari kegiatan mencari luas belahketupat, diperoleh aturan sebagai berikut. 1 1 Luas belahketupat × diagonal 1 × diagonal 2 = Jadi, luas belahketupat 2 PQRS adalah 75 cm . 238 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 Contoh 8.17 Misalkan 2 ABCD sebuah belahketupat dengan luas 24 cm . Dan panjang AD = 5 cm Panjang OC = x cm dan OD = y cm, dan nilai x + y = 7. Hitunglah a. Keliling belahketupat ABCD. O b. Panjang diagonal-diagonalnya Alternatif Penyelesaian a. Karena setiap sisi belahketupat sama panjang dan AD = 5 cm, maka keliling belahketupat ABCD adalah 4 × 5 = 20 cm. b. Diketahui OC = x cm, diperoleh AC = 2x dan OD = y cm, maka BD = 2y cm. Apakah ada kemungkinan yang lain untuk nilai x dan y, ⇒ 48 = 4xy kecuali 3 dan 4 agar memenuhi ⇒ xy = 12 persamaan xy = 12 dan x + y = 7? beri alasanmu Karena xy = 12 dan x + y = 7, maka x dan y yang memenuhi adalah x = 3 dan y = 4. Jadi, panjang AC = 2 × OC = 2 × 3 = 6 cm Panjang BD = 2 × OD = 2 × 4 = 8 cm Contoh 8.18 Perhatikan layang-layang PQRS berikut. Jika panjang S 12cm PQ adalah 18 cm dan panjang RS adalah 12 cm, tentukan: a. Keliling layang-layang PQRS tersebut. R b. Panjang PR, jika luas layang-payang PQRS = 168 18cm dan panjang QS = 24. Q MATEMATIKA Alternatif Penyelesaian a. Keliling layang-layang PQRS = jumlah panjang sisi-sisinya = PQ + QR + RS + SP = (2 × PQ) + (2 × RS) karena PQ = QR dan RS = SP, maka keliling layang-layang PQRS = (2 × 18) + (2 × 12) = 60. Jadi, keliling layang-layang PQRS adalah 60 cm. b. Luas Layang-layang PQRS, L = Jadi, panjang diagonal yang lain adalah 14 cm. Contoh 8.19 D kegemarannya. Dia telah membuat rancangan Budi berencana membuat sebuah layang-layang 10cm O layangannya seperti gambar di samping. 20cm 20cm Budi membutuhkan dua potong bambu, yaitu sepanjang AB dan sepanjang CD. Titik O adalah 60cm simpul tempat dimana dua buah bambu ini diikat menjadi satu. Bambu CD tepat tegak lurus terhadap AB. Kemudian Budi menghubungkan B ujung-ujung bambu dengan benang. Panjang AO adalah 10 cm, panjang OB adalah 60 cm, dan panjang OC adalah 20 cm. Untuk membuat layangan ini Budi juga membutuhkan kertas khusus layang-layang yang nantinya akan ditempelkan pada layangan dengan kebutuhan Gambar 8.18 Layangan 240 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 Semester 2 Alternatif Penyelesaian Berdasarkan gambar layangan di atas, kita peroleh AO + OB + CO + OD = 10 + 60 + 20 + 20 = 110 cm Sisa bambu yang dimiliki oleh Budi 125 – 110 = 15 cm Luas segitiga AOD = × AO × OD = 100 Luas segitiga ACD = 2 × Luas segitiga AOD Luas segitiga BOD = × BO × DO = 600 Luas segitiga BCD = 2 × Luas segitiga BOD Dengan demikian, Total luas kertas pada layangan adalah 200 + 1.200 = 1.400 cm 2 Luas kertas yang dimiliki oleh Budi adalah 75 × 4 = 3.150 cm 2 Sisa luas kertas Budi adalah adalah 3.150 – 1.400 = 1.750 cm 2 MATEMATIKA ? ? ! ! Ayo Kita Berlatih 8.4 1. Tentukan ukuran diagonal-diagonal suatu belah ketupat yang memiliki luas 48 cm 2 ! 2. Diketahui layang-layang 2 ABCD mempunyai luas 1.200 cm . Selain itu, ada layang-layang PQRS yang masing-masing panjang diagonalnya dua kali panjang diagonal-diagonal layang-layang ABCD. Tentukan luas layang-layang PQRS! 3. Diketahui panjang diagonal layang-layang HIJK adalah 8 cm dan 12 cm. Tanpa menggunakan penggaris, buatlah gambar layang-layang HIJK tersebut. Bandingkan hasilnya dengan layang-layang HIJK yang dibuat dengan penggaris! 4. Tiga persegi masing-masing panjang sisinya 6 cm, 10 cm dan 8 cm ditempatkan seperti pada gambar di bawah. Tentukan luas daerah yang diarsir. 5. Bangunan di bawah ini mempunyai empat sisi yang kongruen dan luasnya adalah 132 cm 2 . Carilah kelilingnya. 242 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 6. Perhatikan gambar trapesium 17cm berikut. a. Tentukan nilai x. b. Tentukan nilai y. 14cm c. Tentukan luas trapesium di K 23cm L samping. 7. Perhatikan gambar berikut. SR PQRS adalah jajargenjang, dengan panjang TR = 22cm, PQ = 7 cm, dan QR = 25 cm. Panjang PT adalah …. (UN SMP 2010) 8. Diketahui belah ketupat ABCD dan BFDE dengan BD = 50 cm dan AE = 24 cm, dan EF = 2 × AE. Luas daerah yang diarsir adalah .... (UN SMP 2000) a . 100 cm² b . 200 cm² c . 1.200 cm² d . 2.400 cm² MATEMATIKA 9. Diketahui jajargenjang ABCD. Titik P dan Q terletak pada AC sehingga DP dan BQ tegak lurus AC. Jika panjang AD = 13 cm, AC = 25 cm dan luas jajargenjang tersebut adalah 125 cm 2 , maka panjang PQ adalah ... cm (OSK SMP 2011) 10. Diketahui luas suatu trapesium adalah 60 cm 2 . Jika hasil pembagian panjang sisi-sisi sejajarnya adalah cm, dan tinggi trapesium 15 cm, tentukan panjang masing-masing sisi sejajar tersebut. 11. Diketahui jajar genjang A BCD dengan titik E dan F merupakan titik tengah garis AB dan CD. Tarik garis AF, BF, DE, dan CE. Bentuk segiempat apakah yang terbentuk ditengah-tengah jajar genjang tersebut? Jelaskan jawabanmu! 12. Diketahui jajargenjang ABCD. Titik P dan Q terletak pada AC sehingga DP dan BQ tegak lurus AC. Jika panjang AD = 13 cm, AC = 25 cm dan luas jajargenjang tersebut adalah 125 cm 2 , maka panjang PQ adalah ... cm 13. Diketahui panjang salah satu diagonal belahketupat 48 cm. Bila keliling belahketupat 100 cm, maka tentukan luas belahketupat tersebut. 14. Diketahui trapezium ABCD siku-siku di B dengan panjang AB = 18 cm, CD = 20 cm, dan luasnya 108 cm 2 . Hitunglah keliling trapesium ABCD tersebut. 15. Diketahui ABCD dan CEGH adalah A E B dua persegipanjang kongruen dengan panjang 17 cm, dan lebar 8 cm. Titik F adalah titik potong sisi AD dan EG. Tentukan luas segiempat EFDC ! C (OSK SMP 2016) H 244 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 A Segitiga Memahami Jenis dan K egiatan 8.4 Sifat Segitiga Perhatikan kembali kegiatan yang telah kalian pelajari di awal bab 8. Pada kegiatan belajar kali ini, kalian akan mendiskusikan tentang jenis-jenis dan sifat-sifat dari segitiga. Sebelum kalian melakukan kegiatan berikut alangkah lebih baiknya jika kalian mengetahui terlebih dulu tentang apa itu segitiga. Segitiga adalah adalah bangun datar yang dibatasi oleh tiga buah sisi dan mempunyai tiga buah titik sudut. Segitiga biasanya dilambangkan dengan “Δ”. Masalah 8.3 a. Jenis-jenis Segitiga Perhatikan bangun berikut. Mengapa bangun-bangun ini disebut segitiga? B SU Gambar 8.19 Berbagai jenis segitiga Perhatikan kembali hasil temuan pada Tabel 8.1 terdapat banyak jenis segitiga. Sedangkan pada Gambar 8.19 di atas terdapat berbagai jenis segitiga. Bagaimana cara kalian untuk mengetahui jenis-jenis segitiga tersebut? Strategi apa yang harus kalian lakukan? MATEMATIKA Alternatif Pemecahan Masalah Ayo Kita Amati Lakukan kegiatan berikut untuk menentukan jenis-jenis segtiga. 1. Gambar segitiga yang sisi-sisinya tidak ada yang sama panjang. Bangun apa yang terbentuk? 2. Gambar segitiga yang dua sisinya sama panjang. Bangun apa yang terbentuk? 3. Gambar segitiga yang ketiga sisinya sama panjang. Bangun apa yang terbentuk? 4. Gambar segitiga yang semua sudutnya kurang dari 90 o . Bangun apa yang terbentuk? 5. Gambar segitiga yang salah satu sudutnya adalah 90 o . Bangun apa yang terbentuk? 6. Gambar segitiga yang salah satu sudutnya lebih dari 90 o . Bangun apa yang terbentuk? ? Ayo Kita ? Menanya Berdasarkan hasil pengamatan kalian, coba buatlah pertanyaan yang memuat kata-kata berikut: 1. “Jenis” dan “segitiga” 2. “segitiga” dan “panjang sisi, besar sudut” Tulislah pertanyaan kalian di lembar kerja/buku tulis! Ayo Kita Menggali Informasi b. Sifat-sifat segitiga Perhatikan setiap bangun segitiga pada Gambar 8.19. Kemudian perhatikan juga hal-hal yang berhubungan dengan bangun-bangun tersebut seperti sisi dan sudutnya. Selanjutnya salin dan lengkapi tabel berikut berdasarkan sifat segitiga ditinjau dari besar sudut dan panjang sisinya. 246 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 Tabel 8.12 Sifat-sifat segitiga Segitiga siku-siku sama kaki Satu ∠ sama dengan 90° ... Segitiga tumpul sama kaki ... Segitiga lancip sama kaki ... Segitiga sama sisi c. Jumlah Sudut-sudut Segitiga Untuk mengetahui bahwa jumlah ketiga sudut dalam segitiga sama dengan 180 o , lakukan kegiatan berikut ini. 3. Busur derajat busur derajat 80 1 gunting penggaris MATEMATIKA 1. Gambarkan tiga buah segitiga seperti gambar di samping. 2. Kemudian potong tiap-tiap gambar segitiga tersebut menurut rusuk- rusuknya. 3. Gambarkan sebuah garis lurus g sesukamu pada tiap-tiap rusuknya. 4. Pada tiap-tiap segitiga yang kamu terima buatlah nomor. 1 5. Potong pojok-pojok segitiga-segitiga seperti pada gambar di samping. 6. Pilih satu titik T pada garis g. 2 3 Tempatkanlah ketiga sudut dari potongan-potongan kertas tadi pada T. Susunlah ketiga titik sudut tersebut seperti pada gambar di bawah. 7. Bandingkan hasilmu dengan hasil teman dalam kelompokmu untuk segitiga-segitiga yang berbeda. 8. Kesimpulan apa yang kamu peroleh? 9. Periksa kesimpulan yang kamu peroleh dengan mengukur masing- masing sudut dalam segitiga menggunakan busur derajat. Lakukan dengan cermat. 248 Kelas VII SMP/MTs Semester 2 Ketaksamaan Segitiga Untuk memahami tentang ketidaksamaan segitiga, lakukan kegiatan berikut ini. 2. Pensil busur derajat pensil 3. Busur derajat 1. Buatlah tiga buah segitiga yang berbeda dari kertas karton. 2. Kemudian berilah nama segitiga ABC, KLM, dan PQR. Berilah nama sisi di hadapan masing-masing sudut dengan simbol huruf kecil. Contoh: 3. Ukurlah panjang sisi-sisinya masing-masing 4. Jumlahkan dua sisi pada setiap segitiga. Kemudian bandingkan ukuran panjang dengan panjang sisi ketiga. Manakah yang lebih besar? Lakukanlah dua sisi berikutnya, kemudian bandingkan juga ukuran panjangnya dengan sisi ketiga. Misalkan pada segitiga ABC a + b dengan c b+ c dengan a a+ c dengan b Manakah yang lebih besar? Lakukan juga untuk dua segitiga lainnya. 5. Apakah yang dapat kalian simpulkan dari kegiatan di atas? Diskusikan. MATEMATIKA Sudut Luar Segitiga Pengertian sudut luar segitiga adalah sudut yang dibentuk oleh sisi segitiga dan perpanjangan sisi lainnya dalam segitiga tersebut. Coba pikirkan apakah yang dimaksud dengan sudut dalam suatu segitiga? |