O que é decomposição aditiva e multiplicativa

A decomposição aditiva de um número inteiro positivo consiste em expressá-la como uma soma de dois ou mais números inteiros positivos. Assim, como temos o número 5, podemos expressá-lo como 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 ou 5 = 1 + 2 + 2. Cada uma dessas maneiras de escrever o número 5 é o que chamaremos de decomposição aditiva.

Se prestarmos atenção, podemos ver que as expressões 5 = 2 + 3 e 5 = 3 + 2 representam a mesma composição; Ambos têm os mesmos números. No entanto, apenas por uma questão de conforto, cada um dos adendos geralmente é escrito seguindo os critérios de menor a maior.

Decomposição aditiva

Como outro exemplo, podemos pegar o número 27, que podemos expressar como:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

A decomposição aditiva é uma ferramenta muito útil que nos permite reforçar nosso conhecimento sobre sistemas de numeração.

Decomposição aditiva canônica

Quando temos números com mais de dois dígitos, uma maneira particular de decompô-los é nos múltiplos de 10, 100, 1000, 10.000, etc., que o compõem. Esta maneira de escrever qualquer número é chamada decomposição aditiva canônica. Por exemplo, o número 1456 pode ser dividido da seguinte maneira:

1456 = 1000 + 400 + 50 + 6

Se tivermos o número 20 846 295, sua decomposição aditiva canônica será:

20 846 295 = 20 000 000 + 800 000 + 40 000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Graças a esta decomposição, podemos ver que o valor de um determinado dígito é dado pela posição que ocupa. Tome como exemplo os números 24 e 42:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Aqui podemos ver que em 24 o 2 tem um valor de 20 unidades e o 4 um valor de 4 unidades; por outro lado, em 42, o 4 tem um valor de 40 unidades e o 2 de duas unidades. Assim, embora ambos os números usem os mesmos dígitos, seus valores são totalmente diferentes devido à posição que ocupam.

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Aplicações

Uma das aplicações que podemos dar à decomposição aditiva está em certos tipos de demonstrações, nas quais é muito útil ver um número inteiro positivo como uma soma de outros.

Teorema do exemplo

Tome como exemplo o seguinte teorema com suas respectivas provas.

– Seja Z um número inteiro de 4 dígitos, então Z é divisível por 5 se seu número correspondente às unidades for zero ou cinco.

Demonstração

Lembre-se do que é divisibilidade. Se tivermos números “a” e “b”, dizemos que “a” divide “b” se houver um número inteiro “c”, de modo que b = a * c.

Uma das propriedades da divisibilidade nos diz que se “a” e “b” são divisíveis por “c”, então a subtração “ab” também é.

Seja Z um número inteiro de 4 dígitos; portanto, podemos escrever para Z como Z = ABCD.

Usando a decomposição aditiva canônica, temos que:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

É claro que A * 1000 + B * 100 + C * 10 é divisível por 5. É por isso que temos que Z é divisível por 5 se Z – (A * 1000 + B * 100 + C * 10) é divisível por 5.

Mas Z – (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D e D é um número de um dígito, portanto, a única maneira pela qual é divisível por 5 é 0 ou 5.

Portanto, Z é divisível por 5 se D = 0 ou D = 5.

Observe que se Z tiver n dígitos, a demonstração é exatamente a mesma, basta alterar que agora escreveríamos Z = A 1 A 2 … A n e o objetivo seria provar que A n é zero ou cinco.

Partições

Dizemos que uma partição de um número inteiro positivo é uma maneira pela qual podemos escrever um número como a soma de números inteiros positivos.

A diferença entre uma decomposição aditiva e uma partição é que, enquanto na primeira busca-se que pelo menos possa ser dividida em duas adendas ou mais, na partição não existe essa restrição.

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Assim, temos o seguinte:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

O acima são partições de 5.

Ou seja, temos que toda decomposição aditiva é uma partição, mas nem toda partição é necessariamente uma decomposição aditiva.

Na teoria dos números, o teorema fundamental da aritmética nos garante que todo número inteiro pode ser escrito exclusivamente como um produto de primos.

Quando as partições são estudadas, o objetivo é determinar quantas maneiras um número inteiro positivo pode ser escrito como a soma de outros números inteiros. Portanto, definimos a função de partição conforme apresentado abaixo.

Definição de

A função de partição p (n) é definida como o número de maneiras pelas quais um número inteiro positivo n pode ser escrito como uma soma de números inteiros positivos.

Voltando ao exemplo de 5, temos que:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Assim, p (5) = 7.

Gráficos

Ambas as partições e decomposições aditivas de um número n podem ser representadas geometricamente. Suponha que tenhamos uma decomposição aditiva de n. Na referida decomposição, as adendas podem ser organizadas de modo que os membros da soma sejam ordenados do menor para o maior. Então vale a pena:

n = a 1 + a 2 + a 3 +… + a r com

a 1 ≤ a 2 ≤ a 3 ≤… ≤ a r .

Podemos representar graficamente essa decomposição da seguinte maneira: em uma primeira linha, marcamos os 1 pontos; depois, na próxima, marcamos 2 pontos, e assim por diante até chegarmos a r .

Tome como exemplo o número 23 e sua seguinte decomposição:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Nós ordenamos essa decomposição e temos:

23 = 1 + 3 + 3 + 4 + 5 + 7

Seu gráfico correspondente seria:

Da mesma forma, se lermos este gráfico verticalmente em vez de horizontalmente, podemos obter uma decomposição possivelmente diferente da anterior. No exemplo de 23, destacam-se os seguintes:

Então, temos 23, também podemos escrever como:

23 = 6 + 5 + 5 + 3 + 2 + 1 + 1.

Referências

1. GH Hardy e EM Wright. Uma introdução à teoria dos números . Oxford Clarendon Press.
2. Navarro C. Enciclopédia Culturama . Editorial Santillana, SA
3. Navarro C. Link com Matemática 6 . Editorial Santillana, SA
4. Niven e Zuckerman. Introdução à teoria dos números. Limusa
5. VV.AA Avaliação crítica da área de matemática: um modelo para o ensino primário. Wolters Kluwer Education.
6. Enciclopédia Culturama.