Interval nilai x yang menyebabkan fungsi f(x) = x3 - 3x2 9x 7 merupakan fungsi naik adalah

Ada beberapa cara untuk menentukan persamaan garis singgung. Mungkin ada yang memakai diskriminan atau rumus-rumus tertentu. Pada kesempatan kali ini saya akan membahas persamaan garis singgung dengan memakai turunan.

Ilustrasi untuk persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) bisa digambarkan sebagai berikut

Nilai x1 = absis sedangkan y1 adalah ordinat. Hubungan antara absis dengan ordinat bisa dinyatakan dengan persamaan kurva, yaitu

y1 = f(x1)

Kemiringan garis (gradien =m) bisa dinyatakan dengan turunan y=f(x) di x1

m = f ‘(x1)

Selanjutnya persamaan garis singgung dengan gradien m dan melalui (x1, y1) bisa dinyatakan dengan

y — y1 = m(x — x1)

Contoh soal 1

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x4 — 3x3 + 6x + 7 di titik yang berabsis 2

Jawab :

x = 2
y = x4 — 3x3 + 6x + 7
y = 24 — 3.23 + 6.2 + 7 = 16 — 24 + 12 + 7 = 11
m = y’ = 4x3 — 9x2 + 6 = 4.23 — 9.22 + 6 = 32 — 36 + 6 = 2

y — y1 = m(x — x1) y — 11 = 2 (x — 2) y — 11 = 2x — 4

y = 2x + 7

Contoh Soal 2

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 2x3 — 24 di titik yang berordinat 30

Jawab :

y = 30
2x3 — 24 = 30
2x3 = 54
x3 = 27 x = 3

m = y’ = 6x2 = 6.32 = 54

y — y1 = m(x — x1) y — 30 = 54 (x — 3) y — 30 = 54x — 162

y = 54x — 132

Contoh Soal 3

Persamaan garis singgung pada kurva y = 20 — x4 yang bergradien 32 adalah …

Jawab :

m = 32 y’ = 32

-4x3 = 32

y = 20 — x4 = 20 -(16) = 4

y — y1 = m(x — x1) y — 4 = 32(x + 2) y — 4 = 32x + 64

y = 32x + 68

Contoh Soal 4

Persamaan garis singgung pada kurva y = x6 + 22 yang tegak lurus dengan garis x + 6y = 72 adalah …

Jawab :

x + 6y = 72 6y = — x + 72 y = -1/6 x + 12

m1 = -1/6

m1.m2 = -1

y = x6 + 22
y’ = m2
6x5 = 6
x5 = 1 x = 1

y = x6 + 22

y — y1 = m(x — x1) y — 23 = 6(x -1) y — 23 = 6x — 6

y = 6x + 17

Contoh Soal 5

Garis singgung kurva y = sin 2x di titik yang berabsis π memotong sumbu y pada koordinat …

Jawab :

x = π y = sin 2x = sin 2π = 0

m = y’ = 2 cos 2x = 2cos 2π = 2 (-1) = -2

y — y1 = m(x — x1) y — 0 = -2(x — π) y = -2x + 2π titik potong sumbu y → x = 0 y = 0 + π = π

Koordinat titik potong sumbu y adalah (0, π)

Contoh Soal 6

Persamaan garis singgung kurva y = 0,5x2 — 7x + 2 yang membentuk sudut 45o dengan sumbu x positif memotong garis y = 9 — 2x pada koordinat

Jawab :

m = tan 45o = 1
y = 0,5x2 — 7x + 2 y’ = m x — 7 = 1 x = 8

y = 0,5x2 — 7x + 2

y — y1 = m(x — x1)

y = x — 30

Selanjutnya kita cari titik potong antara y = 9 — 2x dengan y = x — 30 x — 30 = 9 — 2x 3x = 39 x = 13

y = x — 30 = 13 — 30 = -17

Koordinat titik potongnya (13, -17)

Contoh Soal 7

Garis singgung parabola y = x2 + 10x + 7 di titik yang berabsis 1 menyinggung kurva y = ax3 + b di titik yang berabsis 4. Nilai b = …

Jawab :

x = 1 maka
y = x2 + 10x + 7
y = 12 + 10.1 + 7 = 18 m = y’ = 2x + 10 = 2.1 + 10 = 12

y — y1 = m(x — x1)

y = 12x + 6

y = ax3 + b y’ = m

3ax2 = 12

3a.42=12

Kurva menjadi y = 1/4 x3 + b

maka kurva y = 1/4 x3 + b melalui (4, 54)

b = 38

Contoh soal 8

Garis g menyinggung kurva y = x3 — 3x2 + 5x — 10 di titik potongnya dengan garis y=5. Persamaan garis lain yang sejajar g dan menyinggung kurva tersebut adalah ….

Jawab :

Titik potong kuva dengan garis y = 5
x3 — 3x2 + 5x — 10 = 5
x3 — 3x2 + 5x — 15 = 0
x2 (x — 3) + 5(x — 3) = 0
(x2 + 5)(x — 3) = 0
x2 = -5 (tidak mungkin) x = 3

m = y’ = 3x2 — 6x + 5

Sekarang kita cari absis titik singgung garis yang lain. Karena sejajar maka gradiennya tetap 14 m = 14 y’ = 14

3x2 — 6x + 5 = 14

y = x3 — 3x2 + 5x — 10

y — y1 = m(x — x1)

y = 14x — 5

Page 2

Jika kita memiliki fungsi f(x) = g(h(x)) maka belaku

atau

sehingga

f ‘(x) = g’ (h(x)). h'(x)

Kasimpulan

f(x) = g(h(x)) → f ‘(x) = g’ (h(x)). h'(x)

f(x) = g(h(k(x))) → f ‘(x) = g’ (h(k(x))). h'(k(x)).k'(x)

f(x) = g(h(k(m(x))))

→ f ‘(x) = g'(h(k(m(x)))).h'(k(m(x))).k'(m(x)).m'(x)

Konsekuensi

f(x) = hn(x) maka f ‘(x) = nhn-1(x).h'(x)

f(x) = sin h(x) maka f ‘(x) = cos h(x).h'(x)

f(x) = cos h(x) maka f'(x) = -sin h(x).h'(x)

f(x) = tan h(x) maka f ‘(x) = sec2 h(x).h'(x)

f(x) = cot h(x) maka f ‘(x) = csc2 h(x).h'(x)

f(x) = sec h(x) maka f ‘(x) = sec h(x).tan h(x) h'(x)

f(x) = csc h(x) maka f ‘(x) = csc h(x).cot h(x) h'(x)

Contoh soal 1 :

f(x) = (x3 — 4x2 + 6x — 7)8 maka f ‘(x) = …

Jawab :

f ‘(x) = (x3 — 4x2 + 6x — 7)7 m(3x2 – 8x + 6)

Contoh soal 2 :

f(x) = sin9 x maka f ‘ (x) = …

Jawab :

f(x) = 9 sin8 x cos x

Contoh soal 3 :

f(x) = cos12 x maka f ‘ (x) = …

Jawab :

f(x) = 12 cos11 x (-sin x) = — 12cos11 x sin x

Contoh soal 4 :

f(x) = tan5 x maka f ‘ (x) = …

Jawab :

f(x) = 5 tan4 x sec2 x

Contoh soal 5 :

f(x) = cot6 x maka f ‘ (x) = …

Jawab :

f(x) = 6 cot5 x (-csc2 x) = – 6 cot5 x csc2 x

Contoh soal 6 :

f(x) = sec7 x maka f ‘ (x) = …

Jawab :

f(x) = 7 sec6 x (sec x tan x) = 7 sec7 x tan x

Contoh soal 7 :

f(x) = csc8 x maka f ‘ (x) = …

Jawab :

f(x) = 8 csc7 x (-csc x cot x) = – 8 csc8 x cot x

Contoh soal 8 :

f(x) = sin (3x2  — 5x) maka f ‘ (x) = …

Jawab :

f ‘(x) = cos (3x2  — 5x) . (6x — 5) = (6x — 5)cos (3x2  — 5x)

Contoh soal 9 :

f(x) = cos (x3 + 4x2 – 9x) maka f ‘ (x) = …

Jawab :

f ‘(x) = — sin (x3 + 4x2 – 9x) . (3x2 + 8x — 9)

f ‘(x) = — (3x2 + 8x — 9) sin (x3 + 4x2 – 9x)

Contoh soal 10 :

f(x) = tan (x2 + 9x) maka f ‘ (x) = …

Jawab :

f ‘(x) = sec2 (x2 + 9x) . (2x + 9)

f ‘(x) = (2x + 9) sec2 (x2 + 9x)

Contoh soal 11 :

f(x) = cot (7x — x2) maka f ‘ (x) = …

Jawab :

f ‘(x) = — csc2 (7x  — x2) . (7 — 2x)

f ‘(x) = — (7 — 2x) csc2 (7x  — x2)

f ‘(x) = (2x — 7) csc2 (7x  — x2)

Contoh soal 12 :

f(x) = sec (x4– 3x) maka f ‘ (x) = …

Jawab :

f ‘(x) = sec (x4– 3x) tan (x4 – 3x) . (4x3 – 3)

f ‘(x) = (4x3 – 3) sec (x4– 3x) tan (x4 – 3x)

Contoh soal 13 :

f(x) = csc (x5– 7x2) maka f ‘ (x) = …

Jawab :

f ‘(x) = – csc (x5– 7x2) cot (x5– 7x2) (5x4– 14x)

f ‘(x) = – (5x4– 14x) csc (x5– 7x2) cot (x5– 7x2)

Contoh soal 14 :

f(x) = sin5 (7x2 – 6x) maka f ‘ (x) = ..

Jawab :

f ‘(x) = 5 sin4 (7x2 – 6x). cos (7x2 – 6x) . (14x — 6)

f ‘(x) = 5 (14x — 6) sin4 (7x2 – 6x). cos (7x2 – 6x)

f ‘(x) = 10 (7x — 3) sin4 (7x2 – 6x). cos (7x2 – 6x)

Contoh soal 15 :

f(x) = cos8 (x3 – 8x) maka f ‘ (x) = ..

Jawab :

f ‘(x) = 8 cos7 (x3 – 8x). [- sin (x3 – 8x)] . (3x2 — 8)

f ‘(x) = — 8 (3x2 — 8) cos7 (x3 – 8x). sin (x3 – 8x)

Contoh soal 16 :

f(x) = tan6 (2x4 – 3x + 7) maka f ‘ (x) = ..

Jawab :

f ‘(x) = 6 tan5 (2x4 – 3x + 7). sec2 (2x4 – 3x + 7) . (8x3 — 3)

f ‘(x) = 6 (8x3 — 3) tan5 (2x4 – 3x + 7). sec2 (2x4 – 3x + 7)

Contoh soal 17 :

f(x) = cot4 (2x2 + 6x — 1) maka f ‘ (x) = ..

Jawab :

f ‘(x) = 4 cot3 (2x2 + 6x — 1). [- csc2 (2x2 + 6x — 1)] . (4x + 6)

f ‘(x) = — 4(4x + 6) cot3 (2x2 + 6x — 1). csc2 (2x2 + 6x — 1)

f ‘(x) = — 8(2x + 3) cot3 (2x2 + 6x — 1). csc2 (2x2 + 6x — 1)

Contoh soal 18 :

f(x) = sec9 (x5 + 4x3) maka f ‘ (x) = ..

Jawab :

f ‘(x) = 9 sec8 (x5 + 4x3). sec (x5 + 4x3) . tan (x5 + 4x3) (5x4 + 12x2)

f ‘(x) = 9 (5x4 + 12x2) sec9 (x5 + 4x3). tan (x5 + 4x3)

Contoh soal 19 :

f(x) = csc12 (5x2 – 4x3) maka f ‘ (x) = ..

Jawab :

f ‘(x) = 12csc11 (5x2 – 4x3) .[- csc (5x2 – 4x3)] cot (5x2 – 4x3). (10x — 12x3)

f ‘(x) = — 12(10x — 12x3) csc12 (5x2 – 4x3) . cot (5x2 – 4x3)

f ‘(x) = — 24(5x — 6x3) csc12 (5x2 – 4x3) . cot (5x2 – 4x3)

f ‘(x) = 24(6x3 – 5x) csc12 (5x2 – 4x3) . cot (5x2 – 4x3)

Contoh soal 20 :

f(x) = sin16 x maka f ‘ (x) = ..

(A) cos16 x

(B) 16 sin15 x

(C) 16 cos15 x

(D) 8 sin14 x sin 2x

(E) 8 sin14 x cos 2x

Jawab : D

Ingat : 2 sin x cos x = sin 2x

f ‘(x) = 16 sin15 x cos x

f ‘(x) = 16 sin14 x sin x cos x

f ‘(x) = 8 sin14 x (2 sin x cos x)

f ‘(x) = 8 sin14 x sin 2x

Contoh soal 21 :

f(x) = cos9 4x maka f ‘ (x) = ..

(A) — sin9 4x

(B) – 4 sin9 4x

(C) 9 cos8 4x

(D) 36cos8 4x

(E) — 18cos7 4x sin 8x

Jawab : E

f ‘(x) = 9 cos8 4x . [- sin 4x] . 4

f ‘(x) = — 36 cos8 4x . sin 4x

f ‘(x) = — 36 cos7 4x . sin 4x cos 4x

f ‘(x) = — 18 cos7 4x . 2 sin 4x cos 4x

f ‘(x) = — 18 cos7 4x . sin 8x

Contoh soal 22 :

Jika f(x) = tan2 x dan g(x) = sec2 x buktikan bahwa f ‘ (x) = g'(x)

Jawab :

f(x) = tan2 x

f ‘ (x) = 2 tan x sec2 x

f’ (x) = 2 sec2 x tan x

g(x) = sec2 x

g’ (x) = 2sec x. sec x tan x

g’ (x) = 2 sec2 x tan x

Jadi, terbukti bahwa f ‘(x) = g ‘(x)

Page 3

Turunan Trigonometri dasar

y = sin x maka y’ = cos x

y = cos x maka y’ = — sin x

y = tan x maka y’ = sec2 x

y = cot x maka y’ = -csc2 x

y = sec x maka y’ = sec x tan x

y = csc x maka y’ = -csc x cot x

sifat-sifat

y = uv maka y’ = u’v + uv’

Contoh Soal 1 :

Turunan pertama dari y = sin 2x adalah ….

Jawab :

y = sin 2x = 2 sin x cos x

maka u = 2 sin x dan v = cos x

sehingga u’ = 2 cos x dan v’ = — sin x

maka bisa ditulis

y = uv

dan

y’ = u’v + uv’

y’ = 2 cos x cos x + 2 sin x (- sin x)

y’ = 2 cos2 x — 2 sin2 x

y’ = 2 (cos2 x — sin2 x)

y’ = 2 cos 2x

Ternyata bilangan 2 yang ada di dalam sinus keluar, tetapi yang didalam masih ada

Dengan cara yang sama bisa kita simpulkan

y = cos 2x maka y’ = — 2 sin 2x

Secara umum bisa kita tulis

y = sin ax maka y’ = a cos ax

y = cos ax maka y’ = — a sin ax

y = tan ax maka y’ = a sec2 ax

y = cot ax maka y’ = — a csc2 ax

y = sec ax maka y’ = a sec ax tan ax

y = csc ax maka y’ = — a csc ax cot ax

Contoh Soal 2 :

Tentukan turunan pertama dari

Jawab :

u = 5 sin 3x + 4 maka u’ = 15 cos 3x

v = 2 sin 3x + 6 maka v’ = 6 cos 3x

Teorema Rantai

y = sin p(x) maka y’ = cos p(x).p'(x)

y = cos p(x) maka y’ = — sin p(x).p'(x)

y = tan p(x) maka y’ = sec2 p(x).p'(x)

y = cot p(x) maka y’ = -csc2 p(x).p'(x)

y = sec p(x) maka y’ = sec p(x) tan p(x).p'(x)

y = csc p(x) maka y’ = -csc p(x) cot p(x).p'(x)

Contoh Soal 3 :

Jika y = tan (x5 — 4x2 + 7x) maka y ‘ = …

Jawab :

y’ = sec2 (x5 — 4x2 + 7x). (5x4 — 8x + 7)

y’ = (5x4 — 8x + 7) sec2 (x5 — 4x2 + 7x)

Contoh Soal 4 :

Page 4

Sebelum mempelajari turunan fungsi hiperbolik alangkah baiknya kita mempelajari turunan fungsi eksponen dan fungsi hiperbolik.

Yang perlu kita ingat lagi adalah

y = ex maka y’ = ex

Dengan menggunakan teorema rantai mak

y = ef(x) maka y’ = ef(x)f ‘(x)

Jadi

y = e2x maka y’ = e2x.2 = 2e2x

y = e5x maka y’ = e5x.5 = 5e5x

y = e-x maka y’ = e-x.(-1) = -e-x

y = e3x+5 maka y’ = e3x+5.3 = 3e3x+5

Contoh soal 1 :

Turunan fungsi y = sinh x adalah ….

Jawab :

maka

Contoh soal 2 :

Turunan fungsi y = cosh x adalah ….

Jawab :

maka

Contoh soal 3 :

Turunan fungsi y = tanh x adalah ….

Jawab :

kita bisa menganggap

u = ex — e -x

v = ex + e-x

maka

u = ex + e -x

v = ex — e-x

Dengan demikian

Category: Turunan

Yang dimaksud dengan invers trigonometri adalah balikan dari fungsi trigonometri

y = sin x maka x = arc sin y

y = cos x maka x = arc cos y

y = tan x maka x = arc tan y

y = cot x maka x = arc cot y

y = sec x maka x = arc sec y

y = csc x maka x = arc csc y

Artinya

arc sin 1 = 90o

arc sin 1/2 = 30o

arc tan 1 = 45o

dan sebagainya

Contoh soal 1 :

Turunan pertama dari y = arc sin x adalah ….

Jawab :

y = arc sin x

maka

x = sin y

sehingga

Contoh Soal 2 :

Turunan pertama dari y = arc cos x adalah ….

Jawab :

y = arc cos x

maka x = cos y

sehingga :

Jadi

Contoh Soal 3 :

Turunan pertama dari y = arc tan x adalah ….

Jawab :

y = arc tan x

maka x = tan y

sehingga

Jadi

Category: Turunan

« Masukan Terdahulu   Entri Terbaru »