Hitung volume benda putar dari daerah D yang dibatasi oleh dan diputar dengan sumbu putar berikut

Rumus Volume Benda Putar dan Contoh Soal – Salah satu bentuk pengaplikasian integral selain untuk menghitung luas di bawah kurva juga untuk menghitung volume benda putar. Yang dimaksu volume benda putar adalah volume yang didapatkan dari sebuah luasan yang diputar dengan poros putar tertentu (sumbu x atau sumbu y). Contoh paling sederhana dari benda putar adalah tabung. Volume sebuah tabung didapat dari luas alasa berbentuk lingkaran yang dikalikan dengan tinggi.

Baca Juga : “Rumus-Rumus Integral Lengkap“

Jika alas sebuah tabung dinyatakan dengan fungsi A(x) dan tinggi dari benda putar tersebut adalah panjang selang dari titik a ke b pada sumbu x atau y maka volume benda putar tersebut dapat dihitung dengan menggunakan rumus

V = ∫ba A(x) dx

Untuk mencari volume benda putar yang dihasilkan dari sebuah luasan yang diputar menurut sumbu x dan y dapat menggunakan cara seperti penjelasan berikut:

a. Volume Benda Putar terhadap Sumbu x yang dibatasi 1 Kurva

perhatikan gambar ilustrasi di atas. Luasan di bawah kurva y=f(x) jika diputar dengan sumbu putar dengan titik batas a dan b akan menghasilkan sebuah silinder dengan tinggi selisih b dan a. Volume benda putar menurut sumbu x tersebut dapat dicari dengan rumus

b. Volume Benda Putar terhadap Sumbu y yang dibatasi 1 Kurva

Untuk volume benda putar dengan sumbu putar adalah sumbu y, soba harus mengubah persamaan grafik yang semula y yang merupakan fungsi dari x menjadi kebalikannya x menjadi fungsi dari y.

y = f(x) menjadi x = f(y).

Misalkan
y = x2
x = √y

Setelah persamaan diubahf kebentuk x = f(y) kemudian dimasukkan ke rumus:

Contoh Soal

Tentukan volume dari benda putar jika daerah yang dibatasai oleh fungsi f(x) = 4 -x2, sumbu x, dan sumbu y diputar 360º terhadap:

a. sumbu x
b. sumbu y

a. Diputar mengelilingi sumbu x

Dari grafik di atas terlihat luasan r dibatasi oleh titik di sumbu x (0,0) dan (0,2)

Jadi volume benda putar jika luasan M diputar mengelilingi sumbu x sebesar 360º adalah 256/15 π

b. Diputar mengelilingi sumbu y

Untuk mencari volume benda putarnya sobat harus menyatakan kurva y = f(x) = 4-x2 menjadi bentuk persamaan x2.

y = 4-x2
x2 = 4-y

Luasan M memotong sumbu y di titik (0,0) dan (0,4)

Jadi jika luasan M diputar 360º derajat mengelilingi sumbu ya akan menghasilkan volume sebesar 8 π satuan volume.

c. Volume Benda Putar yang Dibatasi Dua Kurva Jika Diputar Mengelilingi Sumbu x

Jika ada sebuah luasan yang dibatasi oleh dua kurva yaitu f(x) dan g(x) dimana |f(x)| ≥ |g(x)| dengan interval [a,b] diputar mengelilingi sumbu x, maka volume benda putar tersebut dapat dihitung dengan rumus:

c. Volume Benda Putar yang Dibatasi Dua Kurva Jika Diputar Mengelilingi Sumbu y

Sama prinsipnya dengan yang ada di huruf b, jika ada sebuah luasang yang terbentuk dari dua buah kurva x = f(y) dan x = g(y) dan interval [a.b] yang diputar mengitari sumbu y maka volume yang dihasilkan dapat dicari dengan rumus

Contoh Soal

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daereah yang dibatasi oleh kurva  y = √x , garis x = 2, garis y = 4, dan garis y = 3.

Jawab:

Kita gambar dulu luasan dimaksud

Jadi volume benda putar tersebut adalah 12 π satuan volume. Okey sobat sekian dulu belajar kita tentang volume benda putar kali ini, semoga bermanfaat. Sukses buat sekolahnya.

Ada 2 metode menghitung volume benda putar dengan menggunakan integral, yaitu:

1. Metode cakram

• berdasarkan rumus Volume = Luas Alas × tinggi
• Luas Alas selalu berupa lingkaran sehingga Luas Alas = πr2 (r adalah jari-jari putaran)
• digunakan jika batang potongan yang dipilih tegak lurus dengan sumbu putar

2. Metode cincin silinder

• berdasarkan pengertian bahwa jika suatu luasan diputar terhadap sumbu tertentu, akan terbentuk suatu benda putar dengan volume sebesar luasan tersebut dikalikan dengan keliling putaran
• karena keliling lingkaran = 2πr, jika luas bidang yang diputar = A, maka volume = 2πr × A
• digunakan jika batang potongan sejajar dengan sumbu putar

Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada penjelasan dan contoh-contoh berikut ini:

Diputar pada sumbu x

Contoh 1:

Hitung volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu x, dan 0 ≤ x ≤ 2 diputar terhadap sumbu x

Metode cakram:

Metode cincin silinder:

Contoh 2:

Hitung volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatai oleh kurva y = x2 dan y = –x2 + 4x diputar terhadap sumbu x

Kurva merah: y = x2, kurva hijau: y = –x2 + 4x

Perpotongan kedua kurva:

x2 = –x2 + 4x

x2 + x2 – 4x = 0

2x2 – 4x = 0

2x(x – 2) = 0

2x = 0 atau x = 2

x = 0 atau x = 2

x = 0 → y = 02 = 0

x = 2 → y = 22 = 4

Jadi perpotongan kedua kurva pada (0, 0) dan (2, 4)

Metode cakram:

Metode cincin silinder:

Diputar terhadap sumbu y:

Contoh 3:

Hitung volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu y

Perpotongan kurva dan garis:

x2 = 2x

x2 – 2x = 0

x(x – 2) = 0

x = 0 atau x = 2

x = 0 → y = 02 = 0

x = 2 → y = 22 = 4

Jadi titik potong kurva dan garis adalah (0, 0) dan (2, 4)

Metode cakram:

Metode cincin silinder:

Contoh 4:

Jika daerah yang dibatasi oleh kurva x = (y – 2)2 dan garis x + y = 4 diputar mengelilingi sumbu y, maka volume benda putar yang terjadi adalah …

Perpotongan kurva dan garis:

x + y = 4 → x = 4 – y

(y – 2)2 = 4 – y

y2 – 4y + 4 = 4 – y

y2 – 4y + 4 – 4 + y = 0

y2 – 3y = 0

y(y – 3) = 0

y = 0 atau y = 3

y = 0 → x = 4 – 0 = 4

y = 3 → x = 4 – 3 = 1

Jadi titik potong kurva dan garis (4, 0) dan (1, 3)

Metode cakram:

Metode cincin silinder:

Diputar terhadap garis x = p:

Contoh 5:

Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 6x – x2 diputar mengelilingi garis x = 4

kurva hitam: y = x2, kurva merah: y = 6x – x2, garis biru: x = 4

Perpotongan kurva dan garis:

x2 = 6x – x2

x2 + x2 – 6x = 0

2x2 – 6x = 0

2x(x – 3) = 0

x = 0 atau x = 3

x = 0 → y = 02 = 0

x = 3 → y = 32 = 9

Metode cakram:

**pada contoh 6 – contoh 8, karena digunakan kurva yang sama, hanya sumbu putar yang berbeda, penjabaran kurva di atas tidak ditulis lagi.

Metode cincin silinder:

Contoh 6:

Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 6x – x2 diputar mengelilingi garis x = –1

kurva hitam: y = x2, kurva merah: y = 6x – x2, garis merah muda: x = –1

Metode Cakram:

Metode Cincin silinder:

Diputar terhadap garis y = a:

Contoh 7:

Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 6x – x2 diputar mengelilingi garis y = –1

kurva hitam: y = x2, kurva merah: y = 6x – x2, garis biru: y = –1

Metode cakram:

Metode cincin silinder:

Contoh 8:

Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 6x – x2 diputar mengelilingi garis y = 10

kurva merah muda: y = x2, kurva merah: y = 6x – x2, garis biru: y = 10

Metode cakram:

Metode cincin silinder: