Exercícios sobre raiz quadrada e cúbica

A raiz cúbica é a operação de radiciação que possui índice igual a 3. Calcular a raiz cúbica de um número n é encontrar qual número elevado a 3 resulta em n, isto é, \(\sqrt[3]{a}=b\rightarrow b^3=a\). Sendo assim, a raiz cúbica é um caso particular de radiciação.

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Representação da raiz cúbica de um número
Como calcular a raiz cúbica?
Lista com as raízes cúbicas exatas
Cálculo da raiz cúbica por aproximação
Exercícios resolvidos sobre raiz cúbica

Saiba mais: Raiz quadrada — como calcular?

Representação da raiz cúbica de um número

Conhecemos como raiz cúbica a operação de radiciação de um número n quando o índice é igual a 3. De modo geral, a raiz cúbica de n é representada por:

\(\sqrt[3]{n}=b\)

3 → índice da raiz cúbica
n → radicando
b → raiz

Como calcular a raiz cúbica?

Sabemos que a raiz cúbica é uma radiciação com índice igual 3, então calcular a raiz cúbica de um número n é procurar qual número multiplicado por ele mesmo três vezes é igual a n. Ou seja, procuramos um número b tal que b³ = n. Para calcular a raiz cúbica de um número grande, podemos realizar a fatoração do número e agrupar as fatorações como potências de expoente igual a 3 para que seja possível simplificar a raiz cúbica.

Calcule \(\sqrt[3]{8}\).

Resolução:

Sabemos que \(\sqrt[3]{8}=2\), pois 2³ = 8.

Calcule: \(\sqrt[3]{1728}.\)

Resolução:

Para calcular a raiz cúbica de 1728, primeiramente faremos a fatoração de 1728.

Então, temos que:

\(\sqrt[3]{1728}=\sqrt[3]{2^3\cdot2^3\cdot3^3}\)

\(\sqrt[3]{1728}=2\cdot2\cdot3\)

\(\sqrt[3]{1728}=12\)

Calcule o valor de \(\sqrt[3]{42875}\).

Resolução:

Para encontrar o valor da raiz cúbica de 42875, é necessário fatorar esse número:

Então, temos que:

\(\sqrt[3]{42875}=\sqrt[3]{5^3\cdot7^3}\)

\(\sqrt[3]{42875}=5\cdot7\)

\(\sqrt[3]{42875}=35\)

Lista com as raízes cúbicas exatas

\( \sqrt[3]{0}=0\)
\( \sqrt[3]{1}=1\)
\( \sqrt[3]{8}=2\)
\( \sqrt[3]{27}=3\)
\( \sqrt[3]{64}=4\)
\( \sqrt[3]{125}=5\)
\( \sqrt[3]{216}=6\)
\( \sqrt[3]{343}=7\)
\( \sqrt[3]{512}=8\)
\( \sqrt[3]{729}=9\)
\( \sqrt[3]{1000}=10\)
\( \sqrt[3]{1331}=11\)
\( \sqrt[3]{1728}=12\)
\( \sqrt[3]{2197}=13\)
\( \sqrt[3]{2744}=14\)
\( \sqrt[3]{3375}=15\)
\( \sqrt[3]{4096}=16\)
\( \sqrt[3]{4913}=17\)
\( \sqrt[3]{5832}=18\)
\( \sqrt[3]{6859}=19\)
\( \sqrt[3]{8000}=20\)
\( \sqrt[3]{9281}=21\)
\( \sqrt[3]{10648}=22\)
\( \sqrt[3]{12167}=23\)
\( \sqrt[3]{13824}=24\)
\( \sqrt[3]{15625}=25\)
\( \sqrt[3]{125000}=50\)
\( \sqrt[3]{1000000}=100\)
\( \sqrt[3]{8000000}=200\)
\( \sqrt[3]{27000000}=300\)
\( \sqrt[3]{64000000}=400\)
\( \sqrt[3]{125000000}=500\)
\( \sqrt[3]{1000000000}=1000\)

Importante: O número que possui raiz cúbica exata é conhecido como um cubo perfeito. Logo, os cubos perfeitos são 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216 etc.

Cálculo da raiz cúbica por aproximação

Quando a raiz cúbica não é exata, podemos utilizar a aproximação para encontrar o valor decimal que representa a raiz. Para isso, é necessário descobrir entre quais cubos perfeitos o número se encontra. Determinamos, então, o intervalo em que a raiz cúbica está, e, por fim, descobriremos a parte decimal por tentativa, analisando a variabilidade da parte decimal.

Calcule \(\sqrt[3]{50}\).

Resolução:

Inicialmente, encontraremos entre quais cubos perfeitos o número 50 se encontra:

27 < 50 < 64

Calculando a raiz cúbica dos três números:

\(\sqrt[3]{27}<\sqrt[3]{50}<\sqrt[3]{64}\)

\(3<\sqrt[3]{50}<4\)

A parte inteira da raiz cúbica de 50 é 3 e está entre 3,1 e 3,9. Logo, analisaremos o cubo de cada um desses números decimais, até passar de 50.

3,1³ = 29,791 3,2³ = 32,768 3,3³ = 35,937 3,4³ = 39,304 3,5³ = 42,875 3,6³ = 46,656

3,7³ = 50,653

Então, temos que:

\(\sqrt[3]{50}\approx3,6\) por falta.

\(\sqrt[3]{50}\approx3,7\) por excesso.

Saiba também: Cálculo de raízes não exatas — como fazer?

Exercícios resolvidos sobre raiz cúbica

(IBFC 2016) O resultado da raiz cúbica do número 4 ao quadrado é um número entre:

A) 1 e 2

B) 3 e 4

C) 2 e 3

D) 1,5 e 2,3

Resolução:

Alternativa C

Sabemos que 4² = 16, então queremos calcular \(\sqrt[3]{16}\). Os cubos perfeitos que conhecemos próximos a 16 são 8 e 27:

\(8<16<27\)

\(\sqrt[3]{8}<\sqrt[3]{16}<\sqrt[3]{27}\)

\(2<\sqrt[3]{16}<3\)

Assim, a raiz cúbica de 4 ao quadrado está entre 2 e 3.

Questão 2

A raiz cúbica de 17576 é igual a:

A) 8

B) 14

C) 16

D) 24

E) 26

Resolução:

Alternativa E

Fatorando 17576, temos que:

Portanto:

\(\sqrt[3]{17576}=\sqrt[3]{2^3\cdot{13}^3}\)

\(\sqrt[3]{17576}=2\cdot13\)

\(\sqrt[3]{17576}=26\)

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Treine o que você estudou com estes exercícios sobre cálculo de raízes por meio da fatoração!

Questão 1

Qual é a raiz cúbica de 3375?

a) 12

b) 13

c) 14

d) 15

e) 16

Questão 2

Em função de √2, qual é o resultado da expressão a seguir?

a) 22√2

b) 16√2

c) 32√2

d) 21√2

e) 18√2

Questão 3

Quais são as raízes da equação x2 + 16x – 36 = 0?

a) 2 e 3

b) 20 e 20

c) 2 e 20

d) 20 e – 20

e) 2 e – 18

Questão 4

Um lote quadrado possui 1600 m2 de área. Qual é a medida do comprimento desse lote quadrado?

a) 40 m

b) 42 m

c) 44 m

d) 46 m

e) 48 m

Resposta - Questão 1

Para calcular essa raiz, utilizaremos o método da fatoração:

Em vez de multiplicar todos os fatores obtidos, como é feito para encontrar o mínimo múltiplo comum, reescreva esses fatores agrupando-os em potências de 3 sempre que possível, como foi feito acima.

Para finalizar, substitua 3375 por 33·53 no radical para obter a seguinte raiz e prossiga utilizando as propriedades dos radicais.

Resposta - Questão 2

Primeiramente, decomponha 2048 e 512. Após isso, reescreva os fatores primos em potências de 2, se possível.

Por fim, utilize as mesmas propriedades do exercício anterior para simplificar os cálculos e subtraia os resultados. Observe:

Resposta - Questão 3

Utilizando o método de Bhaskara, calcularemos o discriminante:

Tendo em vista que precisaremos calcular a raiz de 400 para usar seu resultado na fórmula de Bhaskara, seguem os respectivos cálculos:

Agora resta apenas calcular as raízes:

Dessa maneira, as raízes são 2 e –18.

Gabarito: Letra E.

Resposta - Questão 4

A medida do lado de um quadrado sempre pode ser obtida a partir da raiz quadrada de sua área. Portanto, basta calcular a raiz quadrada de 1600 para obter a medida em questão. Utilizando o método da fatoração, teremos:

Para finalizar, substitua 1600 no radical pelo produto encontrado na fatoração anterior, como ilustrado na imagem seguinte:

Portanto, o comprimento do lote é 40 m.

Gabarito: Letra A.

Resolvendo raízes por meio da fatoração

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