Equações diferenciais de primeira ordem exercícios resolvidos

Fala aí, galera bonita! Estamos aqui hoje para introduzir um assunto hiper mega importantíssimo para o cálculo: EDO de primeira ordem.

Primeiro de tudo, precisamos entender o que significa essa sigla EDO 🤣🤣🤣

EDO é o mesmo que Equação Diferencial Ordinária. Utilizamos essa sigla para ficar mais fácil porque imagina falar esse palavrão aí toda hora kkkk.

Se liga nesse vídeo que o RespondeAí preparou especialmente pra você aprender o que é uma EDO de 1ª Ordem e como identifica-la! 📽️👇

Se você preferir, é só continuar com a gente pra conferir esse resumo em texto! 👇👇👇

Show! Bora arregaçar as mandas e entender de fato o que é uma EDO.

Mas vamos por partes, primeiro vamos relembrar o que é uma equação diferencial!

Equação Diferencial

Uma equação diferencial é aquela que envolve derivadas, como essas daqui:

São muuuitos exemplos! Vamos fazer o seguinte, a medida que a gente for aprendendo as classificações, a gente vai voltar nesses exemplos e identificar o que é o que, beleza?!

Equação Diferencial Ordinária: EDO

Uma equação diferencial é dita ordinária quando ela envolve apenas derivadas com relação a uma única variável.

Aqueles dois exemplos que mostramos ali em cima são exemplos de equação diferenciais ordinárias, pois ambas envolvem derivadas apenas em relação a variável .

Olhando nos exemplos ali de cima podemos identificar duas EDOs, você sabe quais são?

A equação é uma equação diferencial que envolve duas variáveis, e , portanto ela NÃO é uma EDO!

EDO de 1ª Ordem

Agora, pra EDO ser de primeira ordem, ela deve envolver apenas as derivadas primeiras! Então vamos ver que EDOs sobram no nosso exemplo!

Tanto a EDO quanto a tinham aquele o que indica que elas são EDOs de segunda ordem!

Beleza, agora vamos ver como podemos identificar qualquer outra EDO como de primeira ordem!

Forma Geral

Podemos escrever uma forma geral para as EDO de primeira ordem, ela têm essa carinha aqui:

Vamos voltar nas EDOs que sobraram no nosso exemplo:

E pensa que acabou? Calma aí que tem mais!

Classificação de EDOs de Primeira Ordem:

Podemos ainda classificar as equações diferenciais ordinárias de primeira ordem em homogêneas e não-homogêneas. Vamos ver como funciona essa classificação e como identificar cada tipo!

Homogênea

Dizemos que uma EDO de primeira ordem é homogênea quando o , como a equação .

E dizemos que é EDO é não-homogênea quando o , como essa equação :

Prontinho, aprendemos a identificar as equações diferenciais de primeira ordem! Vamos conferir o gabarito?

Gabarito:

ªãêªãéªêª

Mas ainda não acabou! 🥲🥲

O nosso maior objetivo com a EDO de primeira ordem é calcular a função . Ou seja, dada uma equação diferencial de primeira ordem, quem é a nossa função que aparece nessa equação?

Para resolver esse problema existem vários métodos de solução de EDO de primeira ordem!

Dá uma conferida no nosso RAIO-X, a gente tem tudo o que você precisa pra aprender EDO de primeira ordem, sem sofrimento! 🤩 👇

— 1. Exercícios Resolvidos de Equações Diferenciais —

Abordamos alguns conceitos básicos sobre equações diferencias, agora vamos resolver alguns exercícios relacionados ao assunto.

Exercício 1.Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial.

1. 
   Solução:Da função obtemos:

   Substituindo as derivadas na equação teremos:

2. 
   Solução:Da função obtemos:

   Substituindo a derivada de segunda ordem na ED teremos:

Exercício 2.Comprove que a expressão indicada é uma solução implícita da equação diferencial dada

Encontre pelo menos uma solução explicita

Solução:escrevendo e derivando, teremos:

Para acharmos a solução explicita temos que isolar x na solução implícita fazendo:

A solução explicita será:

Exercício 3.Verifique se a família de funções dada é uma solução da equação diferencial.

1. 
   Solução:Derivando a função obtemos: substituindo a derivada na equação diferencial teremos:

2. 
   Solução:Derivando a função teremos:

   substituindo as derivadas na equação diferencial teremos:

Exercício 4:A função é uma família de soluções da ED de primeira ordem Determine uma solução para o problema de valor inicial que consiste nesta ED e na condição inicial

Solução:substituindo as condições iniciais na função, teremos:

Determinando valor de teremos:

Substituindo o valor de na função teremos:

Exercício 5:A função é uma família de soluções da ED de segunda ordem Determine uma solução para o problema de valor inicial que consiste nesta ED e nas seguintes condições iniciais:

Solução:determinando a primeira derivada da função temos:

substituindo as condições iniciais na função e na primeira derivada temos:

Determinando valor de e teremos: e

Substituindo o valor de e na função teremos:

Exercício 6.Determine uma região do plano xy para a qual a equação diferencial teria uma única solução passando por um ponto na região.

Solução:Pelo Teorema de Picard temos:

Derivando a função temos: assim, a equação diferencial terá uma única solução, em qualquer região, onde

Exercício 7.Verifique se o Teorema de Picard garante unicidade de solução para a equação diferencial passando pelo ponto dado:

Solução:Pelo Teorema de Picard temos que:

Derivando a função temos: assim, a equação diferencial terá uma única solução, em qualquer região, onde então:

1. a equação diferencial tem uma única solução no ponto (1,4).
2. a equação diferencial não garante uma única solução no ponto (5,3).