Contoh soal limit dengan cara pemfaktoran

PembahasanIngat kembali bentuk umum limit fungsi aljabar. x → a lim f ( x ) = L Menentukan limit fungsi dengan metode pemfaktoran dengan langkah menentukan faktor persekutuan antara pembilang dan penyebuntya. Sehingga, diperoleh perhitungan berikut. Jadi,nilai limit fungsi tersebut adalah − 3 .

Ingat kembali bentuk umum limit fungsi aljabar.

Table of Contents Show

Apa yang dimaksud dengan metode pemfaktoran?
Bagaimana cara menyelesaikan soal limit?
Langkah pertama untuk menyelesaikan soal limit?
Apa itu nilai limit?

Menentukan limit fungsi dengan metode pemfaktoran dengan langkah menentukan faktor persekutuan antara pembilang dan penyebuntya.

Sehingga, diperoleh perhitungan berikut.

Jadi, nilai limit fungsi tersebut adalah .

Kalau kebetulan kamu ingin belajar lebih tentang materi limit pemfaktoran, kamu bisa menyimak video pembahasannya yang ada di sini. Setelahnya, kamu bisa mengerjakan kuis berupa latihan soal untuk mengasah kemampuan belajarmu.

Di sini, kamu akan belajar tentang Limit Pemfaktoran melalui video yang dibawakan oleh Bapak Anton Wardaya. Kamu akan diajak untuk memahami materi hingga metode menyelesaikan soal.

Selain itu, kamu juga akan mendapatkan latihan soal interaktif dalam 3 tingkat kesulitan (mudah, sedang, sukar). Tentunya menarik, bukan? Penjelasan yang didapatkan bisa dipraktikkan secara langsung.

Sekarang, kamu bisa mulai belajar dengan 2 video dan 3 set latihan soal yang ada di halaman ini. Apabila materi ini berguna, bagikan ke teman atau rekan kamu supaya mereka juga mendapatkan manfaatnya.

Kamu dapat download modul & contoh soal serta kumpulan latihan soal lengkap dalam bentuk pdf pada list dibawah ini:

Kumpulan Soal Mudah, Sedang & Sukar

Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Selamat pagi semuanya.

Materi pada pertemuan kali ini yaitu tentang Menyelesaikan Limit Fungsi Aljabar. Sebelumnya saya sudah membahas konsep limit menggunakan grafik. Jika kamu masih belum bisa memahaminya, santai saja. Nanti saya akan coba menjelaskan kembali dan semoga kalian bisa memahami dengan lebih mudah, karena materi kali ini akan sangat membantu kamu. Sebelum kamu scroll ke bawah lebih lanjut, persiapkan buku cetak matematikanya.

Pada umumnya, limit fungsi aljabar itu berbentuk pecahan. Contohnya seperti ini.

$$\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$$

Fungsi di atas dibaca Limit $x$ mendekati 2 dari $\displaystyle \frac{x^2-4}{x-2}$. Tanda panah ke kanan dibaca "mendekati". Bisa kita skip dahulu untuk hari ini arti kata mendekati dan mengapa harus ada kata mendekati di dalam limit. Fokus pada hari ini yaitu tentang menyelesaikan limit fungsi.

Nah, dalam menyelesaikan limit fungsi aljabar, ada beberapa tahapan. Perhatikan baik-baik.

Substitusi Nilai x yang Ada di Depan Tanda Panah

Pada setiap soal limit, selalu ada tanda "$x\rightarrow$" di bawah tulisan $\text{Lim}$. Substitusikan nilai x yang ada di depan tanda panah tersebut ke soal. Jika hasil akhirnya Bukan Bentuk $\frac{0}{0}$[dibaca: nol per nol], maka selesai urusan. Jawaban dari soal tersebut adalah hasil akhir dari penyelesaian substitusi tadi.

Perhatikan contoh berikut. Saya ambil dari buku cetak Mandiri halaman 104 nomor 1. Contoh pertama saya ambilkan yang bukan pecahan.

$$\begin{align*} \text{Tentukan nilai limit dari }\\ \lim_{x\to 4}\left(4x^2+5x+1\right) \end{align*}$$

Penyelesaian:
Perhatikan angka di depan tanda panah, terdapat angka 4 disana. Nah, angka 4 itulah yang disubstitusi ke dalam fungsi $4x^2+5x+1$, sehingga
$$\begin{align*} \lim_{x\to 4}\left(4x^2+5x+1\right)\\ \\ \text{Substitusi x=4, diperoleh } &=4\times \left(4\right)^2+5\times \left(4\right)+1\\ &=4\times \left(16\right)+20+1\\ &=64+20+1\\ &=85 \end{align*}$$ Hasil akhirnya 85, dan 85 itu bukan $\tfrac{0}{0}$. Jadi itulah jawabannya, 85.

Gimana, ternyata gampang kan ya.

Saya ambil contoh yang lain lagi. Soal nomor 2 halaman 104.

$$\begin{align*} \text{Tentukan nilai limit dari}\\ \lim_{x\to 3}\dfrac{2x^2+3x-2}{x^2+5x+6} \end{align*}$$

Untuk soal kali ini, nilai $x$ yang disubstitusi adalah 3. Maka
$$\begin{align*} \lim_{x\to 3}\dfrac{2x^2+3x-2}{x^2+5x+6}\\ \\ \text{Substitusi x=3, maka }\\ \dfrac{2x^2+3x-2}{x^2+5x+6}&=\dfrac{2\left(3\right)^2+3\left(3\right)-2}{\left(3\right)^2+5\left(3\right)+6}\\ &=\dfrac{2\left(9\right)+3\left(3\right)-2}{\left(9\right)+5\left(3\right)+6}\\ &=\dfrac{18+9-2}{9+15+6}\\ &=\dfrac{25}{30}\\ &=\dfrac{5}{6} \end{align*}$$
Lihat dia atas hasilnya berbentuk pecahan yaitu $\frac{5}{6}$, bukan $\frac{0}{0}$. Maka itulah jawabannya, yaitu $\frac{5}{6}$

Coba saya ambil lagi soal nomor 3 halaman 104.

$$\begin{align*} \text{Tentukan nilai limit dari}\\ \lim_{x\to 1}\dfrac{2x^2-x-1}{3x^2-x-2} \end{align*}$$

Di depan tanda panah, terdapat angka 1. Artinya nilai x=1 yang disubstitusi. Sehingga
$$\begin{align*} \lim_{x\to 1}\dfrac{2x^2-x-1}{3x^2-x-2}\\ \text{Substitusi x=1 }\\ &=\dfrac{2\left(1\right)^2-\left(1\right)-1}{3\left(1\right)^2-\left(1\right)-2}\\ &=\dfrac{2\left(1\right)-1-1}{3\left(1\right)-1-2}\\ &=\dfrac{0}{0} \end{align*}$$

Ternyata hasilnya adalah $\frac{0}{0}$.

Disini sudah mulai pusing

Jika cara substitusi langsung tersebut menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$, maka untuk mengatasinya dengan dua cara:

Pemfaktoran
Merasionalkan Bentuk Akar

Untuk kali ini saya akan membahas metode pemfaktoran, untuk merasionalkan bentuk akar akan dibahas selanjutnya.

Metode Pemfaktoran

Dalam mempelajari pemfaktoran, harus banyak berlatih. Dan untuk soal kita tadi yang menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$, maka penyelesaiannya seperti ini:
=limx→1 2x2−x−13x2−x−2=limx→1 (2x+1)(x−1)(3x+2)(x−1)=limx→1 (2x+1)(x−1)(3x+2)(x−1) =limx→1(2(1)+1)(3(1)+2)=35

Pada pembilang dan penyebut tersebut, difaktorkan. Kemudian dicoret suku yang sama sehingga menjadi sederhana.

Lanjut ke contoh soal berikutnya

Nomor 8 halaman 104. Perhatikan contoh berikut.
limx→3x2−9x−3=⋯Penyelesaian =limx→3x2−9x−3=limx→ 3(x+3)(x−3)(x−3)=limx→3(x+3)(x−3)(x−3)=limx→3 (x+3)=3+3=6
Bentuk $\left(x^2-9\right)$ dapat difaktorkan menjadi $\left(x+3\right)\left(x-3\right)$, kemudian disederhanakan dengan mencoret suku yang sama antara pembilang dan penyebut.

Contoh lagi, nomor 10 halaman 104.
Tentukan nilai dari limx→4x 2−6x+8x−4Penyelesaian =limx→4x2− 6x+8x−4=limx→4(x−4)(x−2)(x −4)=limx→4(x−4)(x−2)(x−4)=limx→4(x−2)substitusi nilai x =4=(4 −2)=2
Materi ini terasa sulit jika kamu belum menguasai pemfaktoran. Jika nanti sudah berlaku pembelajaran tatap muka, akan saya jelaskan.

Tidak mengapa, yang penting kalian mencatat saja dahulu, karena Imam Syafi'i pernah berkata ikatlah ilmu dengan tulisan.

Jangan lupa untuk mengumpulkan materi ini ke WhatsApp saya secara pribadi ya. Semangat!

Apa yang dimaksud dengan metode pemfaktoran?

Dalam matematika, pemfaktoran adalah cara mencari bilangan-bilangan atau ekspresi-ekspresi yang jika dikalikan akan menghasilkan bilangan atau persamaan yang diberikan.

Bagaimana cara menyelesaikan soal limit?

Cara penyelesaian limit fungsi aljabar dengan nilai x mendekati berhingga adalah dengan substitusi, pemfaktoran, dan dikalikan dengan sekawannya. Sementara itu, untuk limit fungsi aljabar di mana x mendekati tak berhingga penyelesainnya yaitu dengan dibagi variabel pangkat tertinggi dan dikalikan akar sekawannya.

Langkah pertama untuk menyelesaikan soal limit?

Tahapan pertama untuk menyelesaikan suatu limit di satu titik (nilai berhingga) adalah substitusi langsung. Jika dari hasil substitusi langsung tidak diperoleh nilai dengan bentuk tak tentu seperti di bawah ini, maka nilai tersebut adalah menunjukan nilai dari limit yang bersangkutan.