A divisão é uma das quatro operações fundamentais da Matemática. A divisão pode ser representada da seguinte forma: Show → Algoritmo da divisão: Dividendo← a | b → Divisor Exemplo: Dividendo ← 9| 3 → Divisor → Algoritmo fundamental da divisão: a = b . d + c Dividendo = Divisor . Quociente + Resto Exemplo: 9 = 3 . 3 + 0 → Divisão horizontal exata: a : b = d Exemplo: 9 : 3 = 3 → Fração: a = d a = Numerador/ Dividendo Exemplo: 9 = 3 Observe que a terceira representação da divisão é uma fração, que também pode ser considerada como o quociente entre dois números. Quando isso acontece, a fração é uma razão: Razão: é o quociente entre dois números. Para poder compreender melhor esse conceito, acompanhe o exemplo abaixo: Exemplo: Em uma sala de aula com 50 alunos, 30 são meninos e 20 são meninas. Determine as razões descritas abaixo: a) Razão entre o número de meninas e a quantidade total de alunos. Número de meninas: 20 Total de alunos: 50 A razão entre o número de meninas e a quantidade total de alunos é dada pelo quociente, que é uma divisão representada como fração: 20 = 0,4 b) Razão entre o número de meninos e a quantidade total de alunos. Número total de meninos: 30 Número total de alunos: 50 A razão entre o número de meninos e a quantidade total de alunos: 30 = 0,6 Já a proporção é obtida pela razão. Veja a seguir a definição de proporção: Proporção: é a igualdade de duas razões. Representamos a proporção da seguinte forma: externo ← a = c → meio A proporção obedece à seguinte propriedade: “o produto dos extremos é igual ao produto dos meios”. a = c Vamos praticar um pouco o conceito estudado por meio dos exemplos abaixo: Exemplo: Encontre o valor de x nas proporções. Considere que “o produto dos extremos é igual ao produto dos meios”. a) 2 = 5 5 . x = 2 . 10 5x = 20 x = 20 x = 4 b) 1,5 = x 3 . x = 2 . 1, 5 3x = 3 x = 3 x = 1 Exemplo: Escreva as razões, determine a proporção e encontre o valor de x no problema a seguir: A razão entre a altura de um prédio vertical e a medida de sua sombra, em determinada hora do dia, é de 15 para 5. Se a sombra medir 4 metros, qual é a altura do prédio? A fração das duas razões devem ser estruturadas com a medida do prédio no numerador e a medida da sombra no denominador. O que queremos encontrar é a medida do prédio, que chamaremos de x, quando a sombra mede 4 m. 15 = x 5x = 60 x = 60 x = 12 m O prédio possui 12 metros de altura. A razão entre dois números é dada pela sua divisão obedecendo a ordem na qual eles foram dados. Tal razão pode ser representada na forma fracionária, decimal e percentual. A relação entre duas ou mais razões é uma importante ferramenta para solucionar problemas práticos, essa igualdade é chamada de proporção. Leia também: Propriedades da proporção: quais são e para que servem? Razão e proporção→ Definição de razão: Considere dois números racionais x e y, com y diferente de zero. A razão de x por y, nessa ordem, é dada pelo quociente: A razão entre os números: a) 3 e 4 b) 5 e 7 Devemos ficar bastante atentos à ordem na qual os números são dados, o primeiro número sempre será o numerador, e o segundo número sempre será o denominador. Veja: → Definição de proporção: Quando igualamos duas razões, estamos formando uma proporção. Considere duas razões em que b ≠ 0 e y ≠ 0: A igualdade será uma proporção se a · y = b · x, ou seja, se multiplicando cruzado encontrarmos uma igualdade verdadeira, então teremos uma proporção Verificar se os números 2, 3, 10 e 15 são proporcionais nessa ordem. Para isso, devemos montar a razão entre esses números e, em seguida, multiplicar cruzado. Se encontrarmos uma igualdade verdadeira, então eles serão proporcionais, caso contrário, eles não serão proporcionais.  Veja também: Proporcionalidade entre grandezas: tipos e exemplos Como representar uma razão?Vimos que uma razão é dada por uma divisão, que, por sua vez, pode ser representada por uma fração. Ao realizar a divisão do numerador pelo denominador dessa fração, obteremos a forma decimal da razão. Com base na forma decimal, podemos escrever a razão em sua forma percentual, bastando multiplicar esse número decimal por 100. Veja os exemplos. Representação da razão entre 2 e 4 na forma fracionária, decimal e percentual. A razão entre 2 e 4 é dada por: Para determinar a forma decimal, basta realizar a divisão do numerador pelo denominador. 2 ÷ 4 = 0,5 Portanto, 0,5 é a representação decimal da razão dos números 2 e 4. Para escrevermos essa razão na forma percentual, devemos multiplicar por 100 o número 0,5. Veja: 0,5 · 100 = 50% Portanto: Exercícios resolvidosQuestão 1 – (Unisinos-RS) Sabendo que a distância entre duas cidades num mapa, na escala 1 : 1 600 000, é de 8 cm, qual é a distância real entre elas? a) 2 km b) 12,8 km c) 20 km d) 128 km e) 200 km Solução Alternativa d. Do enunciado temos a escala 1 : 1 600 000, ou seja, cada 1 centímetro no mapa corresponde a 1 600 000 centímetros na realidade. Interpretando tal escala como sendo a razão entre 1 e 1 600 000, devemos determinar a media real de uma distância de 8 centímetros no mapa, logo: Observe que as alternativas são dadas utilizando-se a unidade de medida quilômetro. Para transformar centímetro em quilômetro, devemos dividir o último resultado por 100.000: 12.800.000 ÷ 100.000 = 128 km Questão 2 – A razão entre a idade de duas pessoas é de 12 para 11. Sabe-se que a soma das idades é 115, determine a idade de cada uma dessas pessoas. SoluçãoComo desconhecemos a idade das duas pessoas, vamos nomeá-las a e b. Como a razão entre essas idades é de 12 para 11, podemos montar uma proporção: Sabemos que a soma das idades é 115, logo: a + b = 115 a = 115 – b Substituindo o valor de a na primeira equação, teremos: 11 · a = 12 · b 11 · (115 – b) = 12 · b 1.265 – 11b = 12b 1.265 = 12b + 11b 1.265 = 23b b = 1.265 ÷ 23 b = 55 Como a = 115 – b, então: a = 115 – 55 a = 60 Portanto, essas pessoas possuem, respectivamente, 60 anos e 55 anos. Por Robson Luiz
Uma razão pode ser representada por x:y ou x/y, que nada mais é do que uma fração. Nesta situação as informações importantes são quantas partes existem para x, quantas partes existem para y, o número total de partes presentes no grupo e a razão. A razão é escrita como x/y da forma mais simplificada possível. Exemplo, se x = 60 e y = 15, 60 e 15 são múltiplos de 15, e por isso a razão de 60/15 é de 4/1. Veja como resolver Razão e Proporção na prova do Enem ou num Vestibular: – Quando você encontra o número de partes de x e também de y, você é capaz de resolver qualquer problema de razão e proporção. Pois o número total de partes é a soma de todas as partes e a razão é uma fração envolvendo estas partes. Os problemas desta natureza sempre vão fornecer a possibilidade de montar 2 equações para encontrar 2 incógnitas.O próximo passo é isolar uma das incógnitas em uma das equações e substituí-la na outra equação. Daí por diante é só não errar a álgebra que o problema já era! Você encontrará o número de partes de x e de y. “Ah, mas eu sempre erro na álgebra”, você pode ter pensado. Então, é hora de se ligar para ficar bem treinado na álgebra. Isto é fundamental para o Enem e no vestibular. Por isso, faça o máximo de cálculos que puder enquanto estuda, pois esse é o caminho para cometer cada vez menos erros algébricos. Quando você encontra x e y é possível alterar a razão e obter uma nova configuração no grupo, e com isso descobrir os novos valores de x e y ou o número total de partes. Este post está valendo pra você? - Então, compartilhe com os colegas! Aula GratuitaAssista aqui ao vídeo sobre razões e proporções, e depois acompanhe as explicações detalhadas e os exercícios preparados pelo professor Fernando Volpatto: https://www.youtube.com/watch?v=c7JQCEx57t0 Dica 1 – Se você está achando difícil, antes de continuar veja aqui um post com o conteúdo básico sobre Razão e Proporção. Tem um vídeo bem didático da Khan Academy e explicações adicionais do professor Fernando Volpatto também: https://blogdoenem.com.br/enem-khan-academy-2/Aí vai um exemplo para ilustrar a explicação:A razão x/y = 3/5, quando adiciono 10 partes a mais para y a razão fica 3/7. Ao fim desta operação qual o número total de partes? Vamos dar nomes aos bois: (x/y = 3/5) é a equação 1. Beleza, se aparecer mais uma equação tudo se resolve, mas onde está ela? Quando dizemos “quando adiciono 10 partes a mais para y a razão fica 3/7” em equação quer dizer x/(y+10) = 3/7. Então (x/(y+10) = 3/7) é a equação 2. Isolando x na equação 1 temos x = 3/5*y e substituindo isso na equação 2 ficamos com (3/5*y)/(y+10 )= 3/7, note que aqui já temos uma única equação em que nossa incógnita é o y. Ai multiplicando cruzado temos, (3/5*y)*7 = (y+10)*3 => 21/5*y = 3y+30 => 21/5*y-3y = 30 => 21/5*y-15/5*y = 30, lembrando que 3 = 15/5, 6/5*y = 30 => 6y = 30*5 => y = 25. A gente sabe também que x/y = 3/5, então x/2 5= 3/5 => x = 3 /5*25 = 15. Enfim, x+y+10 = 15+25+10 = 50, que é o número total de partes no final da operação. Para quebrar a cabeça dura! Exercício para você martelar até aprender:Temos x/y = 11/5. Se for adicionado mais 10 partes para y a razão se torna 11/6. Quantas partes terá y antes e depois da alteração? Qual o número total de partes antes e depois da alteração? Vamos lá, aplique agora tudo o que você aprendeu no vídeo e nas explicações. Deixe para olhar as respostas somente depois de ter feito e refeito. Respostas: 50; 60 e 160; 170. Dica 2 – Quer saber o que mais cai em Matemática e as melhores dicas para mandar bem no Enem e no Vestibular? Tudo aqui para você: https://blogdoenem.com.br/category/cainaprova/matematica/Dica 3 – Veja mais vídeos da Khan Academy já traduzidos para o Português pela equipe da Fundação Lemann no http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/#videos
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Como resolver problemas de razão
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