Com os dados censitarios abaixo solicita-se projetar a população fixa

DAEE (outorga dos recursos hídricos) e a SECRETARIA DE SAÚDE, pois todos os sistemas de abastecimento de água, mesmo as soluções alternativas, devem ser cadastrados na Vigilância Sanitária, com um profissional responsável pela operação e controle de qualidade da água. 5.2 DEFINIÇÕES Classificado como de uso consuntivo, um Sistema de Abastecimento de Água para Consumo Humano é definido como sendo a instalação composta por um conjunto de obras civis, materiais e equipamentos, desde a captação até as ligações prediais, destinados à produção e distribuição canalizada de água potável para populações, sob a responsabilidade do poder público, mesmo que administrado em regime de concessão ou permissão. Pode ser comparado a uma atividade industrial, cuja matéria-prima é a água bruta que, após percorrer as diversas unidades (processos) do sistema, será transformada em água potável (produto final) a ser distribuída de forma contínua, suficiente e adequada à população (consumidores). UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ ▲ Prof. Dr. José Carlos Simões Florençano 70 Basicamente, existem os seguintes tipos de solução para o abastecimento de água: a) Solução Alternativa Individual (SAI) Aplica-se, normalmente, em áreas rurais de população dispersa. Nesse caso, as soluções referem- se exclusivamente a domicílios (com uma única família) separados e independentes, tendo geralmente como manancial os poços, minas ou águas de chuva. b) Soluções Coletivas Nas áreas urbanas e em áreas rurais que possuam população mais concentrada, são utilizados os Sistemas de Abastecimento de Água (SAA), destinados a fornecer água potável por meio de rede de distribuição. Nas áreas suburbanas e periféricas, com características rurais, emprega-se a Solução Alternativa Coletiva (SAC), destinada a fornecer água potável, com ou sem canalização, e sem rede de distribuição. Em todos os casos, estes sistemas/soluções devem contar com um Responsável Técnico habilitado. O projeto de um sistema de abastecimento urbano de água deve levar em consideração a demanda que se verificará numa determinada época em razão de sua população futura. Admitindo ser esta variável crescente, é fundamental fixar a época até a qual o sistema poderá funcionar satisfatoriamente, sem sobrecarga nas instalações ou deficiências na distribuição de água. O tempo estabelecido para projeto desses sistemas está diretamente relacionado a: • Durabilidade ou vida útil das obras e equipamentos; • Amortização do capital investido; • Crescimento da população. Contudo, para pequenas e médias instalações, costuma ser adotado o período mínimo de 20 anos. 5.3 MÉTODOS DE PREVISÃO DA POPULAÇÃO A SER ABASTECIDA Devem ser levantados todos os elementos históricos da evolução da população no município e na área do projeto. A população flutuante que ocorre em determinados períodos do ano, nas localidades turísticas, pode ser estimada através de registros do consumo de água, de energia elétrica, da ocupação dos leitos em hotéis etc. A população fixa (residente no local), além da contagem direta, pode ser projetada com base nos censos demográficos, plano diretor, além dos métodos gráficos e matemáticos, que são: 5.3.1 Método Aritmético Figura 79 - Processos gráfico e analítico do método aritmético O projetista poderá entender que para aplicação deste método, seja mais válida, por exemplo, a razão de crescimento verificada no intervalo 1960 – 1970, e aplicá-lo para os anos 2040-2050. Observações: 1 – Este processo admite que a população varie linearmente com o tempo; 2 – Verificação rápida dessa hipótese pode ser feita por meio de gráfico em papel milimetrado, com “p” nas ordenadas e “t” nas abscissas, plotando-se os pontos conhecidos; 3 – Para a previsão e prazos muito longos, torna-se acentuada a discrepância com a realidade histórica, uma vez que se pressupõe que a população cresce indefinidamente com o passar do tempo. UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ ▲ Prof. Dr. José Carlos Simões Florençano 71 5.3.2 Método Geométrico i = 1)1(1 )1( −=∴ − = −• = − qi Po qPo Po PoqPo Po PoP Figura 80 - Processos gráfico e analítico do método geométrico Observações: 1 – Neste processo, considera-se o logaritmo da população variando linearmente com o tempo; 2 – Por meio de gráfico, em papel monologarítmico, pode-se verificar essa linearidade, com as datas dos vários censos nas abscissas e os logaritmos dos valores da população como ordem; 3 – Também neste caso o crescimento é pressuposto ilimitado. 5.3.3 Método da Curva Logística onde: a = é um valor tal que, para t = a/b, há uma inflexão na curva. t = intervalo de tempo. Figura 81 – Processos gráfico e analítico do método da curva logística UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ ▲ Prof. Dr. José Carlos Simões Florençano 72 Procedimentos: 1 – São conhecidas as populações Po, P1, P2 correspondentes às datas to, t1 e t2. 2 – A resolução do sistema de 3 equações e 3 incógnitas fica simplificada se os três pontos censitários escolhidos forem cronologicamente eqüidistantes: to = o, tl = d, t2 = 2d; 3 – Resulta como condição de aplicabilidade das fórmulas abaixo que Po . P2 < (P1)2; 4 – Determinam-se a, b, Ps, pelas expressões: 5.3.4 Método dos Mínimos Quadrados (Ajustagem da Curva) Figura 82 - Processos gráfico e analítico do método dos mínimos quadrados UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ ▲ Prof. Dr. José Carlos Simões Florençano 73 Substituindo os dados da tabela nas equações do sistema, tem-se a e b, portanto: Pc = a . tb sendo: t = data da previsão Processo gráfico: log Pc = log a + b x log t Figura 83 - Processo gráfico do método dos mínimos quadrados UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ ▲ Prof. Dr. José Carlos Simões Florençano 74 Exercício 5.8 Com os dados censitários abaixo, solicita-se projetar a população (fixa) da cidade de Florençanópolis, para o ano 2020. 1960..........155.984 habitantes 1970..........198.405 habitantes P2020 = ? 1980..........262.048 habitantes 1990..........341.070 habitantes 2020..........??? ??? Solução a) Método Aritmético o o tt PP retotrPoP − − =−+= 1 1)( substituindo os valores, temos: r = 341.070 - 155.984 ⇒ r = 6169,53 1990 - 1960 substituindo na equação, temos: teshabiPP tan156.526)19602020(53,6169984.155 20202020 ≅⇒−+= b) Método Geométrico 0264,1 984.155 070.341 /:,. 30 1 )( 1 =⇒= == −− qq PoPqtemosvaloresosdosubstituinqPoP oo tttt substituindo na equação, temos: 867.744)0264,1(.984.155 2020 60 2020 ≅⇒= PP habitantes c) Método da Curva Logística Adotando-se: Po = 198.405 to = 1970 d = 10 anos P1 = 262.048 t1 = 1980

60 5.3.2 Método Geométrico i = 1)1(1 )1( −=∴ − = −• = − qi Po qPo Po PoqPo Po PoP Figura 69 - Processos gráfico e analítico do método geométrico Observações: 1 – Neste processo, considera-se o logaritmo da população variando linearmente com o tempo; 2– Por meio de gráfico, em papel monologarítmico, pode-se verificar essa linearidade, com as datas dos vários censos nas abscissas e os logaritmos dos valores da população como ordem; 3 – Também neste caso o crescimento é pressuposto ilimitado. 5.3.3 Método da Curva Logística onde: a = é um valor tal que, para t = a/b, há uma inflexão na curva. t = intervalo de tempo. Figura 70 – Processos gráfico e analítico do método da curva logística Procedimentos: 1 – São conhecidas as populações Po, P1, P2 correspondentes às datas to, t1 e t2. 2 – A resolução do sistema de 3 equações e 3 incógnitas fica simplificada se os três pontos censitários escolhidos forem cronologicamente eqüidistantes: to = o, tl = d, t2 = 2d; 3 – Resulta como condição de aplicabilidade das fórmulas abaixo que Po . P2 < (P1)2; 4 – Determinam-se a, b, Ps, pelas expressões: UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ ▲ Prof. Dr. José Carlos Simões Florençano 61 5.3.4 Método dos Mínimos Quadrados (Ajustagem da Curva) Figura 71 - Processos gráfico e analítico do método dos mínimos quadrados UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ ▲ Prof. Dr. José Carlos Simões Florençano 62 Substituindo os dados da tabela nas equações do sistema, tem-se a e b , portanto: Pc = a . tb sendo: t = data da previsão Processo gráfico: log Pc = log a + b x log t Figura 72 - Processo gráfico do método dos mínimos quadrados UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ ▲ Prof. Dr. José Carlos Simões Florençano 63 Exercício 5.7 Com os dados censitários abaixo, solicita-se projetar a população (fixa) da cidade de Florençanópolis, para o ano 2020. 1960..........155.984 habitantes 1970..........198.405 habitantes P2020 = ? 1980..........262.048 habitantes 1990..........341.070 habitantes Solução a) Método Aritmético o o tt PP retotrPoP − − =−+= 1 1)( substituindo os valores, temos: r = 341.070 - 155.984 ⇒ r = 6169,53 1990 - 1960 substituindo na equação, temos: teshabiPP tan156.526)19602020(53,6169984.155 20202020 =⇒−+= b) Método Geométrico 0264,1 984.155 070.341 /:,. 30 1 )( 1 =⇒= == − − qq PopqtemosvaloresosdosubstituinqPoP oo tttt substituindo na equação, temos: 774.745)0264,1(.984.155 2020602020 =⇒= PP habitantes c) Método da Curva Logística Adotando-se: Po = 198.405 to = 1970 d = 10 anos P1 = 262.048 t1 = 1980 t = 2020 – 1970 = 50 anos P2 = 341.317 t2 = 1990 • Verificação de aplicabilidade: Po . P2 < (P1)2 Po . P2 = 198.405 x 341.317 = 67.718.999.385 (P1)2 = (262.048)2 = 68.669.154.304 ∴∴∴∴ a fórmula é aplicável •Cálculo dos elementos da equação: substituindo nas fórmulas, temos: Ps = 1.653.411 hab a = 1,9924295 b = 0,0322939 Portanto: ).0323,0993,1(718,21 411.653.1 t P −+ = Para o ano 2020, tem-se: t = 50 e ⇒ P2020 = 672.308 habitantes Ponto de inflexão: a – bt = 0 ∴∴∴∴ t = a/b = ...0322,0 ...9924,1 ≅ 62 anos Data = 1970 + 62 = 2012 → P2032 = 830.673 habitantes UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ ▲ Prof. Dr. José Carlos Simões Florençano 64 d) Método dos Mínimos Quadrados t* = 1950 (escolha), sendo t = tdata – t* Quadro 3 – Tabela prática do método dos mínimos quadrados DATA T log t (log t)2 PR Log PR Log t . log PR 6190 1970 1980 1990 10 20 30 40 1,00000 1,30103 1,47712 1,60206 1,00000 1,69268 2,18188 2,56660 155.984 198.405 262.048 341.070 5,19308 5,29755 5,41838 5,53284 5,19308 6,89227 8,00360 8,86394 N = 4 ∑ 5,38021 7,44116 ΣΣΣΣ 21,44185 28,95289    =−+ =−+ 00000,4095289,2844116,7log)38021,5( 38021,5044185,2138021,5log4 porndomultiplicaba porndomultiplicaba ( ){ ( ){ 2081156,11576464,29log52084,21 1036166,11594666,28log52084,21 =−+ =−+ ba ba ____________________________________________ subtraindo (2) – (1) temos: 0,81798 b – 0,44990 = 0 b = 81798,0 44990,0 ∴∴∴∴ b = 0,55001 (3) substituindo (3) em (2), temos: 21,52084 log a + (29,76464 x 0,55001) – 115,81156 = 0 21,52084 log a + 16,37085 – 115,81156 = 0 21,52084 log a – 99,44071 = 0 log a = 62067,4 52084,21 44071,99 = ∴∴∴∴ a = 41.752,61 Portanto, PC = a . tb Substituindo os valores, temos: P2020 = 41.752,61 x 70(2020 – 1970) ⇒ P2020 = 432.004 habitantes RESULTADOS COMPARATIVOS MÉTODOS POPULAÇÃO EM 2020 Aritmético Geométrico Curva Logística Mínimos Quadrados 526.156 habitantes 745.774 habitantes 672.308 habitantes 432.004 habitantes Exercício 5.8 Determinar a população (fixa) da Região Metropolitana de Florençanópolis para o ano 2020, através dos métodos: a) Aritmético Para cálculo da razão (r) usar as duas datas extremas (1940 e 1980). b) Geométrico Mesmo procedimento do item “a”. c) Curva Logística Usar primeira data, a data do meio e a última data. d) Mínimos Quadrados Usar 5 casas decimais. UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ ▲ Prof. Dr. José Carlos Simões Florençano 65 Dados dos censos demográficos: 1940 396.013 habitantes 1950 485.081 habitantes 1960 612.477 habitantes 1970 820.421 habitantes 1980 1.047.852 habitantes Solução: a) Método Aritmético P = Po + r (t – to) ott PoP r − − = 1 1 substituindo os valores, temos: 97,295.16 19401980 013.396852.047.1 =⇒ − − = rr substituindo na equação temos: P2020 = 396.013 + 16.295,97 (2020 – 1940) P2020 = 1.699.691 habitantes b) Método Geométrico )( totqPoP −•= tot Po Pq −= 1 1 substituindo os valores, temos: 4019401980 646004,2 013.396 852.047.1 == −q q = 1,024625 substituindo na equação, temos: P2020 = 396.013 x (1,024625)2020 – 1940 P2020 = 2.772.716 habitantes c) Método da Curva Logística Po = 396.013 to = 1940 P1 = 621.477 t1 = 1960 d = 20 anos P2 = 1.047.852 t2 = 1980 t = 2020 – 1940 = 80 anos Verificação de aplicabilidade do método: Po . P2 < (P1)2 Po . P2 = 396.013 x 1.047.852 = 414.963.014.076 (P1)2 = (612.477)2 = 375.128.075.529 Logo, este método não pode ser aplicado para este caso, porque: Po . P2 > (P1)2 UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ ▲ Prof. Dr. José Carlos Simões Florençano 66 d) Método dos Mínimos Quadrados Quadro 4– Tabela prática do método dos mínimos quadrados DATA T log t (log t)2 PR log PR Log t . log PR 1940 1950 1960 1970