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Os polinômios são expressões algébricas formadas por números (coeficientes) e letras (partes literais). As letras de um polinômio representam os valores desconhecidos da expressão. Exemplos a) 3ab + 5 Monômio, Binômino e TrinômioOs polinômios são formados por termos. A única operação entre os elementos de um termo é a multiplicação. Quando um polinômio possui apenas um termo, ele é chamado de monômio. Exemplos a) 3x b) 5abc c) x2y3z4 Os chamados binômios são polinômios que possuem somente dois monômios (dois termos), separados por uma operação de soma ou subtração. Exemplos a) a2 - b2 b) 3x + y c) 5ab + 3cd2 Já os trinômios são polinômios que possuem três monômios (três termos), separados por operações de soma ou subtração. Exemplos a) x2 + 3x + 7 b) 3ab - 4xy - 10y c) m3n + m2 + n4 Grau dos PolinômiosO grau de um polinômio é dado pelos expoentes da parte literal. Para encontrar o grau de um polinômio devemos somar os expoentes das letras que compõem cada termo. A maior soma será o grau do polinômio. Exemplos a) 2x3 + y O expoente do primeiro termo é 3 e do segundo termo é 1. Como o maior é 3, o grau do polinômio é 3. b) 4 x2y + 8x3y3 - xy4 Vamos somar os expoentes de cada termo: 4x2y => 2 + 1 = 3 Como a maior soma é 6, o grau do polinômio é 6 Obs: o polinômio nulo é aquele que possui todos os coeficientes iguais a zero. Quando isso ocorre, o grau do polinômio não é definido. Operações com PolinômiosConfira abaixo exemplos das operações entre polinômios: Adição de PolinômiosFazemos essa operação somando os coeficientes dos termos semelhantes (mesma parte literal). (- 7x3 + 5 x2y - xy + 4y) + (- 2x2y + 8xy - 7y) Subtração de PolinômiosO sinal de menos na frente dos parênteses inverte os sinais de dentro dos parênteses. Após eliminar os parênteses, devemos juntar os termos semelhantes. (4x2 - 5xk + 6k) - (3xk - 8k) Multiplicação de PolinômiosNa multiplicação devemos multiplicar termo a termo. Na multiplicação de letras iguais, repete-se e soma-se os expoentes. (3x2 - 5x + 8) . (-2x + 1) Divisão de PolinômiosObs: Na divisão de polinômios utilizamos o método chave. Primeiramente realizamos a divisão entre os coeficientes numéricos e depois a divisão de potências de mesma base. Para isso, conserva-se a base e subtraia os expoentes. Fatoração de PolinômiosPara realizar a fatoração de polinômios temos os seguintes casos: Fator Comum em Evidênciaax + bx = x (a + b) Exemplo 4x + 20 = 4 (x + 5) Agrupamentoax + bx + ay + by = x . (a + b) + y . (a + b) = (x + y) . (a + b) Exemplo 8ax + bx + 8ay + by = x (8a + b) + y (8a + b) = (8a + b) . (x + y) Trinômio Quadrado Perfeito (Adição)a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 Exemplo x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 Trinômio Quadrado Perfeito (Diferença)a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 Exemplo x2 - 2x + 1 = (x - 1)2 Diferença de Dois Quadrados(a + b) . (a - b) = a2 - b2 Exemplo x2 - 25 = (x + 5) . (x - 5) Cubo Perfeito (Adição)a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 Exemplo x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 + 3 . x2 . 2 + 3 . x . 22 + 23 = (x + 2)3 Cubo Perfeito (Diferença)a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3 Exemplo y3 - 9y2 + 27y - 27 = y3 - 3 . y2 . 3 + 3 . y . 32 - 33 = (y - 3)3 Leia também:
Exercícios Resolvidos1) Classifique em monômios, binômios e trinômios, os polinômios abaixo: a) 3abcd2 a) monômio b) trinômio c) binômio 2) Indique o grau dos polinômios: a) xy3 + 8xy + x2y d) zk7 - 10z2k3w6 + 2x a) grau 4 b) grau 4 c) grau 2 d) grau 11 3) Qual o valor do perímetro da figura abaixo: O perímetro da figura é encontrado somando-se todos os lados. 4) Encontre a área da figura: A área do retângulo é encontrada multiplicando-se a base pela altura. 5) Fatore os polinômios a) 8ab + 2a2b - 4ab2 a) Como existem fatores comuns, fatorar colocando esses fatores em evidência: 2ab (4 + a - 2b) Veja também: Expressões Algébricas e Exercícios sobre Expressões Algébricas Conhecemos como polinômio uma expressão que indica a soma algébrica de monômios que não sejam semelhantes, ou seja, polinômio é uma expressão algébrica entre monômios. Monômio é um termo algébrico que possui coeficiente e parte literal. Quando existem termos semelhantes entre os polinômios, é possível realizar-se a redução de seus termos na adição e ou subtração de dois polinômios. É possível também multiplicar dois polinômios por meio da propriedade distributiva. Já a divisão é realizada pelo método de chaves. Leia também: Equação polinomial – equação caracterizada por ter um polinômio igual a 0 O que são monômios?Para compreender-se o que é um polinômio, é importante que se compreenda antes o significado de um monômio. Uma expressão algébrica é conhecida como monômio quando ela possui números e letras e seus expoentes separados apenas por multiplicação. O número é conhecido como coeficiente, e as letras e seus expoentes são conhecidos como parte literal. Exemplos:
Um polinômio nada mais é que a soma algébrica de monômios, ou seja, são mais monômios separados por adição ou subtração entre si. Exemplos:
De forma geral, um polinômio pode ter vários termos, ele é representado algebricamente por: anxn + a(n-1) x(n-1) + … + a2x² + a1x + a Veja também: Quais são as classes de polinômios? Grau de um polinômioPara encontrar o grau do polinômio, vamos separar em dois casos, quando ele possui uma única variável e quando ele possui mais variáveis. O grau do polinômio é dado pelo grau do maior de seus monômios nos dois casos. É bastante comum o trabalho com o polinômio que possui somente uma variável. Quando isso ocorre, o monômio de maior grau que indica o grau do polinômio é igual ao maior expoente da variável: Exemplos: Polinômios de única variável a) 2x² – 3x³ + 5x – 4 → note que a variável é x, e o maior expoente que ela tem é 3, então, esse é um polinômio de grau 3. b) 2y5 + 4y² – 2y + 8 → a variável é y, e o maior expoente é 5, então, esse é um polinômio de grau 5. Quando o polinômio possui mais de uma variável em um monômio, para encontrar-se o grau desse termo, é necessário somar-se o grau os expoentes de cada uma das variáveis. Sendo assim, o grau do polinômio, nesse caso, continua sendo igual ao grau do maior monômio, mas é necessário ter-se o cuidado de realizar a soma dos expoentes das variáveis de cada monômio. Exemplos: a) 2xy + 4x²y³ – 5y4 Analisando a parte literal de cada termo, temos que: xy → grau 2 (1 + 1) x²y³ → grau 5 (2 + 3) y³ → grau 3 Note que o maior termo tem grau 5, então esse é um polinômio de grau 5. b) 8a²b – ab + 2a²b² Analisando-se a parte literal de cada monômio: a²b → grau 3 (2 + 1) ab² → grau 2 (1 + 1) a²b² → grau 4 (2 + 2) Dessa forma, o polinômio possui grau 4. Adição de polinômiosPara a adição entre dois polinômios, vamos realizar a redução dos monômios semelhantes. Dois monômios são semelhantes se eles possuem partes literais iguais. Quando isso acontece, é possível simplificar o polinômio. Exemplo: Seja P(x) = 2x² + 4x + 3 e Q(x) = 4x² – 2x + 4. Calcule o valor de P(x) + Q(x). 2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4 Encontrando termos semelhantes (que possuem partes literais iguais): 2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4 Agora vamos somar os monômios semelhantes: (2+4)x² + (4-2)x + 3 + 4 6x² + 2x +7 Subtração de polinômiosA subtração não é muito diferente da adição. O detalhe importante é que primeiro precisamos escrever o polinômio oposto antes de realizarmos a simplificação dos termos semelhantes. Exemplo: Dados: P(x) = 2x² + 4x + 3 e Q(x) = 4x² – 2x + 4. Calcule P(x) – Q(x). O polinômio -Q(x) é o oposto de Q(x), para encontrar o oposto de Q(x), basta inverter o sinal de cada um dos seus termos, então temos que: -Q(x) = -4x² +2x – 4 Então calcularemos: P(x) + (-Q(x)) 2x² + 4x + 3 – 4x² + 2x – 4 Simplificando os termos semelhantes, temos: (2 – 4)x² + (4 + 2)x + (3 – 4) -2x² + 6x + (-1) -2x² + 6x – 1 Multiplicação de polinômiosPara realizar a multiplicação de dois polinômios, utilizamos a conhecida propriedade distributiva entre os dois polinômios, operando a multiplicação dos monômios do primeiro polinômio pelos do segundo. Exemplo: Seja P(x) = 2a² + b e Q(x) = a³ + 3ab + 4b². Calcule P(x) · Q(x). P(x) · Q(x) (2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²) Aplicando a propriedade distributiva, teremos: 2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b² 2a5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² +4b³ Agora, caso existam, podemos simplificar os termos semelhantes: 2a5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² + 4b³ Note que os únicos monômios semelhantes estão destacados em laranja, realizando a simplificação entre eles, teremos o seguinte polinômio como resposta: 2a5 + (6+1)a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³ 2a5 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³ Acesse também: Como fazer a multiplicação de fração algébrica? Divisão de polinômiosRealizar a divisão de polinômios pode ser bastante trabalhoso, utilizamos o que se chama de método de chaves, mas existem vários métodos para tanto. A divisão de dois polinômios só é possível se o grau do divisor for menor. Ao dividir o polinômio P(x) pelo polinômio D(x), estamos buscando um polinômio Q(x), tal que: Assim, pelo algoritmo da divisão, temos que: P(x) = D(x) · Q(x) + R(x). P(x) → dividendo D(x) → divisor Q(x) → quociente R(x) → resto Ao operar-se a divisão, o polinômio P(x) é divisível pelo polinômio D(x) se o resto for zero. Exemplo: Vamos operar a divisão do polinômio P(x) = 15x² +11x + 2 pelo polinômio D(x) = 3x + 1. Queremos dividir: (15x² + 11x + 2) : (3x + 1) 1 º passo: dividimos o primeiro monômio do dividendo com o primeiro do divisor: 15x² : 3x = 5x 2º passo: multiplicamos 5x · (3x+1) = 15x² + 5x, e subtraímos o resultado de P(x). Para realizar a subtração, é necessário invertermos os sinais do resultado da multiplicação, encontrando o polinômio: 3º passo: realizamos a divisão do primeiro termo do resultado da subtração pelo primeiro termo do divisor: 6x : 3x = 2 4º passo: então, temos que (15x² + 11x + 2) : (3x + 1) = 5x + 2. Sendo assim, temos que: Q(x) = 5x + 2 R(x) = 0 Leia também: Dispositivo prático de Briot-Ruffini – divisão de polinômios Exercícios resolvidosQuestão 1 – Qual deve ser o valor de m, para que o polinômio P(x) = (m² – 9)x³ + (m + 3)x² + 5x + m tenha grau 2? A) 3 B) -3 C) ±3 D) 9 E) -9 Resolução Alternativa A Para que P(x) tenha grau 2, o coeficiente de x³ tem que ser igual a zero, e o coeficiente de x² tem que ser diferente de zero. Então faremos: m² – 9 = 0 m² = 9 m = ±√9 m = ±3 Por outro lado, temos que m + 3 ≠ 0. Então, m ≠ -3. Dessa forma, temos como solução da primeira equação que m = 3 ou m= -3, porém, pela segunda, temos que m ≠ -3, então, a única solução que faz com que P(x) tenha grau 2 é: m = 3. Questão 2 – (IFMA 2017) O perímetro da figura pode ser escrito pelo polinômio: A) 8x + 5 B) 8x + 3 C) 12 + 5 D) 12x + 10 E) 12x + 8 Resolução Alternativa D Pela imagem, ao analisarmos o comprimento e a largura dados, sabemos que o perímetro é a soma de todos os lados. Como o comprimento e a altura são os mesmos, basta multiplicarmos a soma dos polinômios dados por 2. 2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 · (6x + 5) = 12x + 10 Por Raul Rodrigues de Oliveira |
Aula sobre polinômios 8 ano
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