Cara menyelesaikan persamaan di excel

Dalam matematika klasik, banyak terlihat dasar. Jadi, jika Anda perlu menemukan ekstrem dari fungsi tertentu, maka diusulkan untuk mengambil turunannya, menyamakannya dengan nol, menyelesaikan persamaan yang dihasilkan, dll. Tidak ada keraguan bahwa banyak anak sekolah dan siswa mampu melakukan dua tindakan pertama. Adapun babak ketiga, izinkan saya meragukan unsurnya.

Biarkan setelah mengambil turunan kita sampai pada persamaan tg(x)=1/x. Mari kita lakukan transformasi berikut:
tg(x)=1/x 10 x tg(x)=1 10 x2 tg=1 10 x2= 1 / tg(x) 10 x = ±.

Jika tidak ada dalam rantai transformasi yang diberikan di sini yang menggairahkan pikiran Anda, maka mungkin lebih baik untuk berhenti belajar tentang ini dan melakukan sesuatu yang lain yang tidak memerlukan tingkat pengetahuan di atas sekolah parokial di awal abad ke-20.

Faktanya, kami menyelesaikan persamaan kuadrat dan biquadratic dengan sempurna, persamaan trigonometri dan pangkat yang paling sederhana. Ada juga "mastodon" yang tahu tentang keberadaan rumus Cardano untuk persamaan kubik. Dalam kasus umum, bagaimanapun, tidak ada harapan untuk solusi analitis sederhana. Selain itu, telah terbukti bahwa bahkan persamaan aljabar di atas pangkat keempat tidak dapat ditentukan dalam fungsi dasar. Oleh karena itu, solusi persamaan dilakukan secara numerik dalam dua tahap (di sini kita hanya berbicara tentang akar nyata dari persamaan). Pada tahap pertama, itu adalah pemisahan akar- mencari interval yang hanya berisi satu root. Tahap kedua dari keputusan terkait dengan pemurnian akar dalam interval yang dipilih (dengan menentukan nilai akar dengan akurasi yang diberikan).

1.1. Pemisahan akar

Secara umum, pemisahan akar persamaan f(x)=0 berdasarkan teorema terkenal menyatakan bahwa jika fungsi kontinu f(x) di ujung segmen memiliki nilai tanda yang berbeda, yaitu f(a)ґ f(b)Ј 0, maka interval yang ditunjukkan mengandung setidaknya satu akar. Misalnya untuk persamaan f(x)= x 3 -6x+2=0 kita melihatnya di x®Ґ f(x)>0, pada x®-Ґ f(x) , yang sudah menunjukkan keberadaan setidaknya satu akar.

Dalam kasus umum, rentang tertentu dipilih di mana akar dapat ditemukan, dan "jalan" dilakukan di sepanjang rentang ini dengan langkah yang dipilih h untuk mendeteksi perubahan tanda f(x), yaitu f(x)Т f(x+h) .

Dalam penyempurnaan selanjutnya dari akar pada interval yang ditemukan, jangan berharap untuk pernah menemukan akurat nilai dan buat fungsi menjadi nol saat menggunakan kalkulator atau komputer, di mana angka itu sendiri diwakili oleh jumlah karakter yang terbatas. Di sini, kriteria yang dapat diterima adalah mutlak atau Kesalahan relatif akar. Jika akarnya mendekati nol, maka hanya kesalahan relatif yang akan memberikan angka yang diperlukan sosok penting. Jika nilai absolutnya sangat besar, maka kriteria kesalahan absolut sering kali memberikan angka benar yang sama sekali tidak perlu. Untuk fungsi yang berubah dengan cepat di sekitar akar, kriteria juga dapat digunakan: nilai mutlak dari nilai fungsi tidak melebihi kesalahan yang diizinkan yang ditentukan.

1.2. Klarifikasi akar dengan metode pembagian setengah (dikotomi)

Metode pemurnian akar yang paling sederhana adalah metode setengah pembagian, atau metode dikotomi, yang dirancang untuk menemukan akar persamaan yang disajikan dalam bentuk f(x)=0.

Biarkan fungsi kontinu f(x) di ujung segmen memiliki nilai tanda yang berbeda, mis. f(a)ґ f(b) 0(), maka setidaknya ada satu akar pada segmen tersebut.

Ambil titik tengah c=(a+b)/2. Jika sebuah f(a)ґ f(c) 0, maka akarnya jelas milik segmen dari sebuah sebelum (a+b)/2 dan sebaliknya dari (a+b)/2 sebelum b.

Oleh karena itu, kami mengambil yang cocok dari segmen ini, menghitung nilai fungsi di tengahnya, dan seterusnya. sampai panjang segmen berikutnya kurang dari batas kesalahan absolut yang ditentukan (b-a)e.

Karena setiap perhitungan berturut-turut dari tengah segmen c dan nilai fungsi f(c) mempersempit interval pencarian hingga setengahnya, lalu dengan segmen awal dan kesalahan maksimum e jumlah perhitungan n ditentukan oleh kondisi (b-a)/2n e, atau n~log 2 ((b-a)/e ). Misalnya, dengan interval unit awal dan akurasi pesanan 6 tanda-tanda ( e ~ 10 -6) setelah titik desimal, cukup menggambar 20 perhitungan (iterasi) nilai fungsi.

Dari sudut pandang implementasi mesin (), metode ini adalah yang paling sederhana dan digunakan dalam banyak standar perangkat lunak, meskipun ada metode lain yang lebih efisien waktu.

1.3. Penyempurnaan akar dengan metode chord

Berbeda dengan metode dikotomi, yang hanya memperhatikan tanda-tanda nilai fungsi, tetapi tidak memperhatikan nilai itu sendiri, metode akord menggunakan pembagian proporsional interval ().

Di sini, nilai fungsi di ujung segmen dihitung, dan "akord" dibangun yang menghubungkan titik-titik (a, f(a)) dan (b, f(b)). Titik potong dengan sumbu x

diambil sebagai pendekatan berikutnya ke akar. Menganalisis tanda f(z) dibandingkan dengan tanda f(x) di ujung segmen, kami mempersempit interval menjadi [ a, z] atau [ z, b] dan lanjutkan proses pembuatan akord hingga perbedaan antara aproksimasi yang berurutan cukup kecil (dalam batas kesalahan) |Z n-Z n-1 |e.

Dapat dibuktikan bahwa kesalahan sebenarnya dari pendekatan yang ditemukan adalah:

Di mana x*- akar persamaan, Zn dan Zn+1- perkiraan berikutnya, m dan M- terkecil dan nilai terbesar f(x) pada interval [ a, b].

1.4. Penghalusan akar dengan metode tangen (Newton)

Sekelompok ekstensif metode pemurnian akar diwakili oleh metode berulang- metode pendekatan berurutan. Di sini, berbeda dengan metode dikotomi, bukan interval awal lokasi akar yang ditentukan, tetapi perkiraan awalnya.

Yang paling populer dari metode iteratif adalah Metode Newton (metode tangen).

Biarkan beberapa nilai perkiraan diketahui Zn akar x*. Dengan menerapkan rumus Taylor dan membatasinya menjadi dua suku, kita peroleh

di mana

Secara geometris, metode ini menyarankan pembuatan garis singgung pada kurva y=f(x) pada titik yang dipilih x \u003d Z n, temukan titik persimpangan dengan sumbu x dan ambil titik ini sebagai pendekatan berikutnya ke akar ().

Jelas, metode ini menyediakan proses aproksimasi konvergen hanya jika kondisi tertentu terpenuhi (misalnya, jika turunan pertama dan kedua dari fungsi kontinu dan konstanta tanda di sekitar akar) dan jika dilanggar, itu baik memberikan proses divergen () atau mengarah ke root lain ().

Jelas, untuk fungsi yang turunannya mendekati nol di sekitar akar, hampir tidak masuk akal untuk menggunakan metode Newton.

Jika turunan fungsi berubah sedikit di sekitar akar, maka Anda dapat menggunakan modifikasi metode

Ada modifikasi lain dari metode Newton.

1.5. Memperbaiki Root dengan Iterasi Sederhana

Perwakilan lain dari metode iteratif adalah metode iterasi sederhana.

Berikut persamaannya f(x)=0 diganti dengan persamaan ekuivalen x=j(x) dan urutan nilai dibangun

Pekerjaan laboratorium 1.8. Larutan persamaan nonlinier metode yang ditentukan

(4 - 7 poin)

1. Tujuan pekerjaan

pelajari cara menggunakan spreadsheet dan alat excel untuk menentukan interval keberadaan akar persamaan skalar dan perhitungan selanjutnya dengan akurasi tertentu.

2.Perangkat lunak dan perangkat keras yang diperlukan

• 
  Komputer pribadi.
• 
  Jenis sistem operasi– Windows XP ke atas.
• 
  MS Office versi 97-2003 ke atas.

PADA pandangan umum persamaan derajat ke-n sebagai berikut:

di mana n adalah beberapa bilangan positif,

Ekspresi

Jika untuk beberapa x = x 0

4.Tugas

1. cari akar dengan kesalahan eps = 0,0001 menggunakan metode membagi dua (dikotomi) - lokalkan satu akar persamaan menggunakan metode tabular dan plot grafik fungsi di wilayah akar ini;

2. temukan root menggunakan alat "Pemilihan parameter";

3. temukan akarnya menggunakan alat "Cari solusi".

Opsi tugas:

1. 
   x 6 +2x 5 +10x 3 -9x 2 +15x-17,5=0
2. 
   x 5 -2,8x 4 +3x 3 -3x 2 +4,4x-5=0
3. 
   x 6 +6,5x 5 -14x 4 +14x 3 -17x 2 +21x-22,5=0
4. 
   x 6 +10.5x 5 -24x 4 +28x 3 -29x 2 +39x-45=0
5. 
   x 5 -1,8x 4 -1,9x 3 -2,3x 2 +2,8x-3=0
6. 
   x 6 +10.5x 5 -18x 4 +22x 3 -17x 2 +31x-37.5=0
7. 
   x 5 -3x 4 +3,2x 3 -3.5x 2 +4.6x-5=0
8. 
   x 6 +7,5x 5 -18x 4 +20x 3 -11x 2 +19x-22,5=0
9. 
   x 5 -2x 4 +2.9x 3 -2.44x 2 +4.2x-5=0
10. 
    x 6 +9x 5 -18x 4 +19x 3 -19x 2 +30x-35=0
11. 
    x 5 -2,6x 4 +2,82x 3 -3,41x 2 +4,12x-3,23=0
12. 
    x 6 +6,5x 5 -20x 4 +21x 3 -21x 2 +31x-32,5=0
13. 
    x 5 -4x 4 +4x 3 -4,33x 2 +6x-6,67=0
14. 
    x 6 +3,5x 5 -14x 4 +14x 3 -17x 2 +21x-22,5=0
15. 
    x 5 -1,6x 4 +2,5x 3 -2,7x 2 +3,6x-4=0
16. 
    x 6 +8,5x 5 -16x 4 +19x 3 -15x 2 +27x-32,5=0
17. 
    x 6 +4,5x 5 -18x 4 +22x 3 -17x 2 +31x-37,5=0
18. 
    x 5 -2x 4 +2,09x 3 -2,52x 2 +3x-3,26=0
19. 
    x 6 +9.5x 5 -20x 4 +22x 3 -25x 2 +32x-35=0
20. 
    x 5 -2x 4 +2,25x 3 -2,58x 2 +3,25x-3,54=0
21. 
    x 4 -3x 3 +20x 2 +44x+54=0
22. 
    (cos(x)-3sin(x)) 2 -e x =0
23. 
    2cos(x)+2x 2 =1
24. 
    log(x+1)=x 2 +1+5cos(x) 2
25. 
    3cos(x) 2 +2,3sin(x)=0,5ln(x-0,5)

Periksa informasi Umum tentang subjek pekerjaan laboratorium (lihat di atas dalam deskripsi pekerjaan ini) dan bahan tambahan yang direkomendasikan.

Menjelaskan tujuan pekerjaan.

Siapkan perangkat lunak dan perangkat keras yang diperlukan (lihat di atas dalam deskripsi pekerjaan ini).

Mulai bekerja:

Akar riil polinomial akan menjadi absis dari titik potong grafiknya dengan sumbu X dan hanya mereka.

Jumlah akar positif polinomial sama dengan jumlah perubahan tanda dalam sistem koefisien polinomial ini (koefisien sama dengan nol tidak diperhitungkan) atau kurang dari angka ini dengan angka genap.

Jumlah akar negatif dari polinomial sama dengan jumlah pelestarian tanda dalam sistem koefisien polinomial ini, atau kurang dari angka ini dengan angka genap.

Jika polinomial tidak memiliki koefisien negatif, maka polinomial tidak memiliki akar positif.

HAI
serius

Untuk batas a, rumusnya valid jika

Untuk mencari akar-akar polinomial menggunakan lembar kerja MS Excel perlu mengikuti langkah-langkah ini:

Tabulasi polinomial yang diberikan pada interval .

Temukan interval lokalisasi setiap akar polinomial (tanda perubahan nilai ). Jika perlu, tabulasi polinomial harus digunakan, berulang kali mengurangi langkah tabulasi untuk perkiraan yang lebih akurat.

Setelah melokalisasi akar, perbaiki.

Dalam penyempurnaan selanjutnya dari akar pada interval yang ditemukan, jangan berharap untuk pernah menemukan akurat nilai dan buat fungsi menjadi nol saat menggunakan kalkulator atau komputer, di mana angka itu sendiri diwakili oleh jumlah karakter yang terbatas. Di sini, kriteria yang dapat diterima adalah mutlak atau Kesalahan relatif akar. Jika akarnya mendekati nol, maka hanya kesalahan relatif yang akan memberikan jumlah digit signifikan yang diperlukan. Jika nilai absolutnya sangat besar, maka kriteria kesalahan absolut sering kali memberikan angka benar yang sama sekali tidak perlu. Untuk fungsi yang berubah dengan cepat di sekitar akar, kriteria juga dapat digunakan: nilai mutlak dari nilai fungsi tidak melebihi kesalahan yang diizinkan yang ditentukan.

Contoh 1

Temukan semua akar nyata dari persamaan:

f(x)= x 5 + 2x 4 + 5x 3 + 8x 2 – 7x – 3 = 0, di mana a 5 = 1, dan 4 = 2, dan 3 = 5, dan 2 = 8, dan 1 = -7, dan 0 = -3.

Jumlah karakter yang disimpan= 4 (ke dalam persamaan akar negatif 4 atau 2).

^ Jumlah perubahan tanda= 1 (ada satu akar positif dalam persamaan).

HAI
kami mendefinisikan segmen di mana ada akar persamaan

Kami melakukan tabulasi perkiraan fungsi pada interval [−9; 9] dengan langkah 1.

Kami menentukan bahwa fungsi berubah tanda pada segmen [−3; satu].

Kami mentabulasikan fungsi pada segmen [−3; 1] dengan langkah 0,1.

Kami membangun grafik fungsi.

Dengan menggunakan tabel dan grafik fungsi, kami menentukan posisi akar persamaan (pada Gambar 1, segmen lokalisasi akar disorot dengan warna kuning).

Dapat dilihat dari tabel dan grafik bahwa polinomial f(x) mengandung 3 akar yang terletak di dalam batas-batas segmen: 1 akar [-2,1; -2]; 2 akar [-0.4; -0,3]; 3 akar.

^ Klarifikasi akar dengan metode pembagian setengah (dikotomi)

Metode pemurnian akar yang paling sederhana adalah metode setengah pembagian, atau metode dikotomi, dirancang untuk menemukan akar persamaan yang disajikan dalam bentuk f(x)= 0.

Biarkan fungsi kontinu f(x) di ujung segmen [ a, b] memiliki nilai tanda yang berbeda, yaitu f(a)×f(b) 0 (Gbr. 2), maka setidaknya ada satu akar pada segmen tersebut.

Ambil titik tengah c=(a+b)/ 2. Jika f(a)×f(s) 0, maka root jelas milik segmen dari sebuah sebelum ( a+b) / 2 dan sebaliknya dari ( a+b) / 2 ke b.

Oleh karena itu, kami mengambil yang cocok dari segmen ini, menghitung nilai fungsi di tengahnya, dan seterusnya. sampai panjang segmen berikutnya kurang dari batas kesalahan absolut yang ditentukan ( b-a) ε.

Karena setiap perhitungan berturut-turut dari tengah segmen c dan nilai fungsi f(c) mempersempit interval pencarian menjadi setengahnya, kemudian dengan segmen awal [ a, b] dan kesalahan marginal ε jumlah perhitungan n ditentukan oleh kondisi ( b-a)/2n, atau n ~ catatan 2((b-a)/ε ). Misalnya, dengan interval satuan awal dan akurasi sekitar 6 digit (ε ~ ​​10 -6), cukup untuk melakukan 20 perhitungan (iterasi) dari nilai fungsi setelah titik desimal.

Dari sudut pandang implementasi mesin, metode ini adalah yang paling sederhana dan digunakan di banyak perangkat lunak standar, meskipun ada metode lain yang lebih efisien waktu.

Prosedur perhitungan di Excel dapat diimplementasikan sebagai berikut:

Masukkan rumus berikut ke dalam sel:

Di sel A2 - a (batas kiri interval lokalisasi root);

Di sel B2 b (batas kanan interval lokalisasi akar);

Di sel C2 - = (A2 + B2) / 2;

Ke sel D2 = f(A2)* f(C2);

Di sel F2 - 0,0001 (kesalahan mutlak);

Di sel A3 =IF(D2
Ke sel B3 =IF(D2
Ke sel D3 = f(A3)* f(C3);

Di sel E3 =IF(ABS(B3-A3)>$F$2;”lanjutkan”;”akhiri”);

Setelah itu, sel A3: E3 dipilih dan pelengkapan otomatis ditarik ke bawah sampai muncul pesan “end” di kolom E. Akar yang dihitung dengan akurasi yang diberikan akan berada di akhir kolom F.

Mari kembali ke contoh dan gunakan metode bagi dua untuk memperbaiki nilai akar di segmen yang dipilih.

Akar pertama ada di dalam segmen = [-2,1; -2] terletak di A2:B2. Kami mengisi lembar kerja dengan rumus (Gbr. 4) dan menentukan nilainya dengan akurasi 0,0001 (Gbr. 5). Jawabannya ada di sel C12 dan sama dengan X 1 = -2.073.

Batas ruas akar kedua yang terletak di dalam ruas = [-0.4; -0,3] disubstitusikan ke dalam tabel di alamat A2:B2. Kami menentukan nilainya (Gbr. 6). Jawabannya ada di sel C12 dan sama dengan X 2 = -0,328.

Batas-batas segmen akar ketiga yang terletak di dalam segmen \u003d diganti ke dalam tabel di alamat A2: B2. Kami menentukan nilainya (Gbr. 7). Jawabannya ada di sel C12 dan X 3 = 0,7893.

Seperti yang diharapkan, ada tiga akar, dua di antaranya negatif (X 1 = -2,073; X 2 = -0,32808; X 3 = 0,789307).

^ Penyempurnaan akar dengan cara "Pemilihan parameter"

Sekelompok ekstensif metode pemurnian akar diwakili oleh metode berulang- metode pendekatan berurutan. Di sini, berbeda dengan metode dikotomi, bukan interval awal lokasi akar yang ditentukan, tetapi perkiraan awalnya.

Ketika hasil yang diinginkan dari perhitungan rumus diketahui (mengganti nilai akar dalam persamaan membuatnya sama dengan nol), tetapi nilai yang diperlukan untuk mendapatkan hasil ini tidak diketahui, Anda dapat menggunakan alat ini Pilihanparametersebuah. Untuk melakukan ini, pilih perintah Pilihanparameter di menu layananDengan. Saat memilih parameter, MS Excel mengubah nilai dalam satu sel tertentu hingga perhitungan menggunakan rumus yang mengacu pada sel ini memberikan hasil yang diinginkan.

Ketika kondisi ditetapkan untuk penggunaan alat ^ Pemilihan parameter, rumus biasanya dimasukkan dalam satu sel, dan variabel yang digunakan dalam rumus (dengan beberapa nilai awal) diatur di sel lain.

Anda dapat menggunakan lebih dari satu variabel dalam rumus, tetapi alatnya ^ Pemilihan parameter memungkinkan Anda untuk bekerja dengan hanya satu variabel pada satu waktu. Untuk menemukan solusi di alat Pemilihan parameter terapan berulang-ulang algoritma. Ini berarti bahwa fungsi pertama-tama memeriksa nilai parameter awal yang diberikan dan memeriksa apakah nilai itu memberikan hasil yang diinginkan. Jika nilai parameter asli tidak memberikan hasil yang diinginkan, alat akan mencoba nilai lain hingga solusi ditemukan.

Karena pencarian solusi yang tepat dalam beberapa masalah dapat memakan waktu lama, oleh karena itu MS Excel mencoba mencari kompromi dengan menetapkan batasan tertentu pada keakuratan solusi atau jumlah maksimum iterasi.

Cara ^ Pemilihan parameter dipanggil dengan perintah Layanan | Pemilihan parameter(Gbr. 8).

Di jendela dialog Pemilihan parameter di lapangan Ditetapkan dalam sel masukkan referensi ke sel dengan rumus di bidang Arti hasil yang diharapkan, di lapangan Mengubah nilai sel referensi ke sel yang akan menyimpan nilai parameter yang dipilih (isi sel ini tidak boleh berupa rumus).

Contoh 2

Hitung akar persamaan f(x) = -5x + 6 = 0 dengan bantuan alat ^ Pemilihan parameter

Di sel B2, masukkan angka apa saja, misalnya 0.

Di sel B3, masukkan rumus \u003d -5 * B2 + 6.

Panggil kotak dialog Pemilihan Parameter dan isi bidang yang sesuai.

Setelah menekan tombol ^ Oke Excel akan memunculkan kotak dialog Hasil pemilihan parameter. Jika Anda ingin menyimpan nilai yang dipilih, klik Oke, dan hasilnya akan disimpan di sel yang ditentukan sebelumnya di bidang Mengubah nilai sel.

Untuk mengembalikan nilai yang ada di sel B2 sebelum menggunakan perintah ^ Pemilihan parameter, tekan tombolnya Membatalkan.

Seperti yang Anda lihat dari contoh di sel B2, nilai pasti dari akar persamaan

X = 1,2.

Saat memilih parameter, Excel menggunakan proses berulang (siklus). Jumlah iterasi dan presisi diatur dalam menu Layanan | Pilihan... | tab komputasi, di mana Batasi jumlah iterasi(default 100) dan Kesalahan relatif(standar 0,001).

Jika Excel melakukan tugas kompleks dalam memilih parameter, Anda dapat mengklik ^ Jeda di jendela dialog Hasil pemilihan parameter dan batalkan perhitungan, lalu tekan tombol Melangkah untuk melakukan iterasi berikutnya dan melihat hasilnya. Saat menyelesaikan tugas dalam mode langkah demi langkah, sebuah tombol muncul Melanjutkan untuk kembali ke mode normal pemilihan parameter.

Contoh 3

Mari kita ambil contoh persamaan kuadrat yang sama

f(x) \u003d X 5 + 2X 4 + 5X 3 + 8X 2 - 7X - 3 \u003d 0 .

Untuk menemukan akar persamaan menggunakan alat ^ Pemilihan parameter lakukan hal berikut:

Dalam tabel fungsi (Gbr. 1), kami mengidentifikasi interval lokalisasi akar persamaan (menandakan perubahan nilai fungsi): interval pertama sel E20: E21, nilai (-1,2698 dan 3) ; interval sel kedua E37:E38, nilai (0,80096 dan -0,3012); interval sel ketiga E48:E49, nilai (-1,6167 dan 0,22688);

Di setiap interval, kami memilih nilai fungsi yang lebih dekat ke 0 dan menyusun pasangan sel "nilai-argumen": akar pertama adalah D20:E20; akar kedua D38:E38; akar ketiga D49:E49.

Perbaiki nilai akar menggunakan ^ Pemilihan parameter(Gbr. 10, 11, 12).

Beras. 10. Akar persamaan X 1 = -2,073

Beras. 11. Akar persamaan X 2 = -0,32804

Beras. 12. Akar persamaan X 3 = 0,78934

Nilai akar persamaan yang diperoleh dengan pendekatan dengan metode pembagian setengah: X1 = -2.073; X2 = -0,32808; X3 = 0,789307.

Menentukan nilai akar persamaan skalar dengan tingkat ketelitian tertentu menggunakan alat ^ Menemukan Solusi

Mari kita ambil persamaan sebagai contoh: f(x)= X 5 + 2X 4 + 5X 3 + 8X 2 7X – 3 = 0 .

Untuk lebih definisi yang tepat root di setiap rentang yang dipilih, gunakan perintah ^ Layanan | Menemukan solusi. Untuk melakukan ini, dalam sel, misalnya, H8, kami memperkenalkan rumus untuk menghitung f(x), dan menempatkan perkiraan awal di sel G8. Sebut saja mereka Target Cell dan Root masing-masing. Di sel G8, kami awalnya akan memasukkan nilai yang termasuk dalam rentang yang dipilih pertama. Mari kita ambil di tengah interval yang sama dengan -3,76 (Anda dapat membiarkan sel ini kosong). Di sel H8, masukkan rumus =G8^5+2*G8^4+5*G8^3+8*G8^2-7*G8-3.

Setelah pemilihan tim Melayani | Menemukan solusi sebuah dialog akan muncul di mana Tetapkan sel target kami memperkenalkan $H$8. Kemudian pilih tombol Sama dengan 0.

di lapangan Mengubah sel kami memperkenalkan $G$8. Diluar jendela Pembatasan dengan tombol Menambahkan Anda harus menentukan rentang pencarian root sebagai berikut:

• 
  Untuk batas kiri interval pertama -2.1 (ada di sel D20) $G$8 >= $D$20.
• 
  Untuk batas kanan interval pertama -2 (ada di sel D21) $G$8

Pilihan tombol Pilihan mengarah ke tampilan dialog (Gbr. 15), di mana Anda dapat mengatur parameter pencarian.

Bidang ^ Batasi jumlah iterasi memungkinkan Anda untuk menetapkan jumlah "siklus" untuk menemukan solusi. Nilai default 100 sudah cukup untuk sebagian besar tujuan.

Kesalahan relatif memastikan penetapan nilai f ass dalam tanda pencapaian solusi f k = (f k +1 - f k) / f k
kotak centang ^ Model linier digunakan jika tugas adalah tugas pemrograman linier. Dalam kasus kami, tidak perlu menginstalnya.

kotak centang Tampilkan hasil iterasi memungkinkan Anda untuk menjeda proses pencarian setelah setiap iterasi untuk menganalisis proses pencarian. Ini akan memunculkan kotak dialog. Kondisi saat ini Cari, pilihan di mana tombol Melanjutkan memungkinkan iterasi berikutnya. Hasil yang diperoleh pada setiap iterasi ditampilkan di sel G8.

Pilihan metode solusi tergantung pada jenis nonlinier.

Perhatikan bahwa masalah penyelesaian persamaan dan metode nonlinier optimasi tanpa syarat berhubungan erat. Jadi setelah menekan tombol Lari Ketika pencarian selesai, pesan yang ditunjukkan pada Gambar. 16.

Jika sebuah pesan ditampilkan di bagian atas jendela ini ^ Rsolusi tidak ditemukan, Anda harus menggunakan rumus di sel H8 yang menghitung |f(x)| atau (f (x)) 2 . Kemudian di jendela Menemukan solusi(gbr.13) pilih sakelar Sama dengan nilai minimum.

Menggunakan kotak dialog ^ Hasil Pencarian Solusi tiga jenis laporan dapat dilihat: hasil, stabilitas, batas. Laporan dari setiap jenis dipanggil sesuai dengan algoritma berikut:

• 
  Kursor ke jenis laporan yang dipanggil.
• 
  OKE. (Di layar, laporan yang dipanggil ada di lembar baru, pada label yang menunjukkan nama laporan).
• 
  Kursor berada pada label dengan nama laporan. (Di layar disebut laporan).

Peran dan kemampuan alat MS Excel untuk menyelesaikan persamaan skalar dengan tingkat akurasi tertentu.

^ Pemilihan parameter.

Tujuan dan fitur alat Menemukan solusi.

Fitur melakukan perhitungan matematis dan pengaturan sel target.
^

8. Urutan perlindungan

Jawablah pertanyaan:

1. 
   Berapa banyak akar nyata yang dimiliki persamaan derajat n?
2. 
   Apa itu segmen lokalisasi root?
3. 
   Apa artinya melokalisasi root?
4. 
   Apa ide menyelesaikan persamaan dengan metode membagi segmen menjadi dua?
5. 
   Bagaimana Anda bisa memperkirakan kesalahan dalam menghitung akar dengan membagi segmen menjadi dua?
6. 
   Bagaimana saya bisa menemukan nilai root menggunakan alat Pencarian?
7. 
   Klarifikasi akar dengan metode pembagian setengah (dikotomi).
8. 
   metode Pemilihan parameter.
9. 
   metode Menemukan solusi.

Metode pemurnian akar

Setelah interval yang mengandung akar ditemukan, metode iteratif digunakan untuk memperbaiki akar dengan akurasi tertentu.

Metode setengah pembagian(nama lain: metode bagi dua, metode dikotomi) untuk menyelesaikan persamaan f(x) = 0 adalah sebagai berikut. Diketahui bahwa fungsinya kontinu dan mengambil ujung-ujung segmen
[sebuah, b] nilai tanda yang berbeda, maka akarnya terkandung dalam interval ( sebuah, b). Kami membagi interval menjadi dua bagian dan kemudian kami akan mempertimbangkan setengah di ujungnya yang fungsinya mengambil nilai dari tanda yang berbeda. Kami kembali membagi segmen baru ini menjadi dua bagian yang sama dan memilih salah satu yang berisi root. Proses ini berlanjut sampai panjang segmen berikutnya menjadi kurang dari nilai kesalahan yang diperlukan. Eksposisi yang lebih ketat dari algoritma metode bagi dua:

1) Hitung x = (sebuah+ b)/2; menghitung f(x);

2) Jika f(x) = 0, lalu lanjutkan ke langkah 5;

3) Jika f(x)∙f(sebuah) < 0, то b = x, jika tidak sebuah = x;

4) Jika | b – sebuah| > , lanjut ke poin 1;

5) Nilai keluaran x;

Contoh 2.4. Saring dengan metode bagi dua dengan akurasi 0,01 akar persamaan ( x– 1) 3 = 0, milik segmen .

Solusi dalam program unggul:

1) Dalam sel SEBUAH 1:F 4 kami memperkenalkan notasi, nilai awal dan rumus, seperti yang ditunjukkan pada tabel 2.3.

2) Kami menyalin setiap rumus ke dalam sel yang lebih rendah dengan spidol isi hingga baris kesepuluh, mis. B 4 - sebelumnya B 10, C 4 - sebelumnya C 10, D 3 - sebelumnya D 10, E 4 - sebelumnya E 10, F 3 - sebelumnya F 10.

Tabel 2.3

Hasil perhitungan diberikan pada Tabel. 2.4. Di kolom F memeriksa nilai panjang interval b – sebuah. Jika nilainya kurang dari 0,01, maka nilai perkiraan akar dengan kesalahan yang diberikan ditemukan di baris ini. Butuh 5 iterasi untuk mencapai akurasi yang dibutuhkan. Nilai perkiraan akar hingga dalam 0,01 setelah pembulatan ke tiga tempat desimal adalah 1,0015625 1,00.

Tabel 2.4

Algoritma di atas memperhitungkan kemungkinan kasus"memukul akar", mis. persamaan f(x) menjadi nol pada tahap berikutnya. Jika pada contoh 2.3 kita mengambil segmen , maka pada langkah pertama kita mendapatkan root x= 1. Memang, kami menulis di sel B 3 nilai 0.9. Kemudian tabel hasil akan berbentuk 2.5 (hanya diberikan 2 iterasi).

Tabel 2.5

Mari kita buat dalam program unggul fungsi yang ditentukan pengguna f(x) dan membagi dua(a, b, eps) untuk menyelesaikan persamaan dengan metode pembagian setengah menggunakan bahasa bawaan Dasar visual. Deskripsi mereka diberikan di bawah ini:

Fungsi f(Byval x)

Fungsi membagi dua (a, b, eps)

1 x = (a + b) / 2

Jika f(x) = 0 Kemudian Ke 5

Jika f(x) * f(a)< 0 Then

Jika Abs(a - b) > eps Kemudian Ke 1

Fungsi f(x) mendefinisikan sisi kiri persamaan, dan fungsi
membagi dua(a, b, eps) menghitung akar kuadrat dari persamaan f(x) = 0. Perhatikan bahwa fungsi membagi dua(a, b, eps) menggunakan panggilan ke fungsi f(x). Berikut adalah algoritme untuk membuat fungsi yang ditentukan pengguna:

1) Jalankan perintah menu "Tools - Macro - Editor Dasar visual". Jendela " Microsoft Visual Basic". Jika di file yang diberikan program unggul makro atau fungsi atau prosedur yang ditentukan pengguna belum dibuat, jendela ini akan terlihat seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.4.

2) Jalankan perintah menu "Insert - Module" dan masukkan teks program fungsi, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.5.

Sekarang di sel lembar program unggul Anda dapat menggunakan fungsi yang dibuat dalam rumus. Misalnya, mari kita masuk ke dalam sel D 18 rumus

Membagi dua (0,95;1;0,00001),

maka kita mendapatkan nilai 0,999993896.

Untuk menyelesaikan persamaan lain (dengan sisi kiri yang berbeda), Anda harus membuka jendela editor menggunakan perintah "Alat - Makro - Editor Dasar visual» dan tulis ulang deskripsi fungsi f(x). Misalnya, mari kita cari, dengan akurasi 0,001, akar persamaan sin5 x+x 2 - 1 = 0, termasuk dalam interval (0,4; 0,5). Untuk melakukan ini, ubah deskripsi fungsi

ke deskripsi baru

f = Sin(5 * x) + x^2 - 1

Kemudian di dalam sel D 18 kita mendapatkan nilai 0.441009521 (bandingkan hasil ini dengan nilai akar interval (0,4; 0,5) yang ditemukan pada contoh 2.3!).

Untuk menyelesaikan persamaan dengan metode pembagian setengah dalam program Mathcad buat subrutin fungsi bisec(f, sebuah, b, ), dimana:

f- nama fungsi yang sesuai dengan ruas kiri persamaan f(x) = 0;

sebuah, b- ujung kiri dan kanan segmen [ sebuah, b];

adalah akurasi dari nilai perkiraan akar.

Solusi dari contoh dalam program Mathcad:

1) Jalankan programnya Mathcad. Kami memperkenalkan definisi fungsi bisec(f, sebuah, b, ). Untuk melakukan ini, menggunakan keyboard dan bilah alat Simbol Yunani, kami mengetik bisec(f, sebuah, b, ):=. Setelah penugasan tanda ":=" pada bilah alat "Pemrograman", klik tombol kiri "Tambah baris" dengan penunjuk mouse. Garis vertikal akan muncul setelah tanda penugasan. Selanjutnya, masukkan teks program, yang ditunjukkan di bawah ini, menggunakan bilah alat "Pemrograman" untuk memasukkan tanda "←", operator loop ketika, operator merusak dan operator bersyarat jika sebaliknya.

2) Kami memperkenalkan definisi fungsi f(x):=sin(5*x)+x^2–1, lalu hitung nilai akarnya menggunakan fungsi bisec untuk nilai yang diberikan:
bisec(f, –0,8,–0,7,0,0001)=. Setelah tanda “=”, nilai root yang dihitung oleh program akan otomatis muncul -0.7266601563. Kami menghitung sisa akar dengan cara yang sama.

Di bawah ini adalah lembarannya Mathcad dengan definisi fungsi bisec(f, sebuah, b, ) dan perhitungannya:

Kami menyajikan program dalam bahasa C++ untuk menyelesaikan persamaan f(x) = 0 dengan metode bagi dua:

#termasuk

#termasuk

ganda f(ganda x);

typedef ganda (*PF)(ganda);

bisec ganda(PF f,ganda a, ganda b, ganda eps);

ganda a, b, x, eps;PF pf;

cout<< "\n a = "; cin >> sebuah;

cout<< "\n b = "; cin >> b;

cout<< "\n eps = "; cin >> eps;

x = bisec(pf,a,b,eps); cout<< "\n x = " << x;

cout<< "\n Press any key & Enter "; cin >> sebuah;

ganda f(ganda x)(

r = sin(5*x)+x*x-1;

double bisec(PF f, double a, double b, double eps)(

lakukan( x = (a + b)/2;

jika (f(x) == 0) istirahat;

jika (f(x)*f(a)<0) b = x;

)sementara (hebat(b-a) > eps);

Fungsi dalam program f(x) didefinisikan untuk menyelesaikan persamaan

dosa5 x+x 2 – 1 = 0

dari contoh 2.3. Hasil program untuk menentukan akar interval (0,4; 0,5) dengan akurasi 0,00001 disajikan di bawah ini (layar komputer):

Tekan tombol apa saja & Enter

Baris terakhir diperlukan untuk berhenti sejenak untuk melihat hasilnya.

Pertanyaan: Menemukan akar persamaan dengan membagi segmen menjadi dua

Selamat siang, apa yang salah dengan root ke-3, tidak ingin ditampilkan dengan cara apa pun. Di atas - 3 akar melalui pemilihan parameter. Di bawah - dengan metode pembagian setengah. Pembulatan 0,001 Persamaan x^3-2*x^2-x+2 Adakah yang bisa mengoreksi atau memberikan saran yang berguna, apa yang salah?

Menjawab: kemurkaan, tanda kurung tidak ada

Pertanyaan: Dekripsi Playfair di MS Excel

Tolong beri tahu saya cara membuat decoder di EXCEL menggunakan rumus. Atau beri tahu saya rumus mana yang dapat digunakan untuk menghasilkan alfabet

Menjawab: Di sel A1

Dan regangkan

Pertanyaan: File spreadsheet Excel melambat

Selamat siang, rekan-rekan terkasih!
Saya sangat membutuhkan bantuan Anda, saya sudah mencoba semua metode yang ditemukan dan saya ketahui untuk mengurangi ukuran file. Tampaknya telah membersihkan segala sesuatu yang berlebihan di sana.
Meskipun demikian, ketika bekerja dengan meja, ada rem dan macet, dan mereka bervariasi tetapi stabil (terkadang melambat, terkadang tidak melambat).
Tampaknya bagi saya bahwa ini mungkin karena daftar drop-down dengan foto, saya perhatikan bahwa ketika daftar drop-down dengan foto meningkat, rem juga meningkat. Tapi anehnya meja-mejanya kecil semua, galeri dengan gambarnya juga tidak besar.

Menjawab: Masalah terpecahkan! Baru saja menginstal excel 2016 untuk mac - tidak ada lag sama sekali, sejauh ini semuanya berfungsi dengan baik, tetapi tidak yakin apakah saya tidak akan mengalami ini lagi!
Namun demikian, masalahnya relevan, karena. solusinya bukan dengan menginstal versi excel lain, mungkin orang lain akan berguna
hal. versi excel sebelumnya adalah 2011 untuk mac

T: Office 2007 cara menginstal excel 2010

Halo semua.
mungkin judul threadnya kurang pas...
Saya memiliki win xp sp3 office 2007 dan excel 2007.
di excel baik 2010 atau 2013 ada fungsi chart berupa powerview peta negara atau benua atau apapun. Masih ada kartu sampah yang digunakan.
Apakah ada add-on untuk excel2007 sehingga diagram seperti itu bisa. jika tidak, excel mana yang memiliki fungsi ini dan apakah mungkin menginstal 2 excel di 1 komputer. misal 2007 dan 2010 di win xp sp3 apakah fungsi chart dengan peta negara di tahun 2010????
Terima kasih.

Menjawab: jadi dan di 2010 excel itu?? dan jika demikian bagaimana cara menginstal excel 2010 tanpa menghapus kantor saya 2007???

Ditambahkan setelah 3 jam 10 menit
schA melihat topik serupa. ditemukan tentang libreoffice. program seperti office hanya gratis. MB apakah ada yang punya peta Republik Belarus untuk program ini????. ada ekstensi geoOOo.

Pertanyaan: Mendapatkan pilihan dari Excel

Saya perlu membuat presentasi PowerPoint berdasarkan data dari file Excel.

Belum pernah bekerja dengan salah satu sebelumnya. Jadi periksa algoritme (garis besar):
Saya mendapatkan pilihan yang diperlukan menggunakan kueri,
Saya mengaitkan hasil seleksi dengan template (saya belum membaca bagaimana presentasi dibuat secara terprogram)
Saya sebenarnya sedang membuat presentasi.
Dan saya menulis semua ini dalam makro.

1. Apakah urutannya benar?
2. Bagaimana saya bisa bekerja dengan data yang diterima menggunakan kueri? Tulislah untuk sementara; hasil setiap permintaan pada lembar terpisah, dan setelah membuat file presentasi, tutup file Excel TANPA PERUBAHAN? Atau entah bagaimana berbeda?
3. Bagaimana cara menulis permintaan seperti itu dengan benar?
Sketsa saya tidak berfungsi:

Penulisan hasil query dari lembar pertama ke lembar kedua.
4. Bagaimana menjalankan kueri ini

Sesuatu seperti ini?

Ditambahkan setelah 2 jam 42 menit
Atau apakah ini hanya mungkin melalui database Access sementara?

Menjawab: Maksudmu di sini? Ke forum? - Tolong ... Ini bukan tentang data, tetapi tentang permintaan (metode pemrosesan). Di Access saya melakukannya, di Excel saya tidak bisa. Misalnya, hitung penjualan untuk 3 produsen dengan penjualan terbesar (TOP 3), dan rangkum sisanya. Sejauh yang saya mengerti, ini tidak bisa otomatis... Dengan tangan - Ya, Anda bisa melakukannya.

Pertanyaan: Bagaimana cara menambahkan nama lampiran Outlook ke Excel dan kemudian menyimpannya di folder tertentu

Selamat siang untuk semua guru Excel.

Berkat forum ini, saya dapat mengatur alur kerja di Excel (lebih tepatnya, pendaftaran surat masuk dan keluar) dalam bentuk yang kurang lebih otomatis.
File terlampir berisi makro utama berikut:
1. "First_MailSave" - ​​meresepkan surat dari kotak masuk Outlook
2. "Second_to_template" - mengembalikan nomor yang masuk dan mengeluarkan data dalam template tertentu (disetujui oleh manajemen dalam hal keterbacaan)
3. "Completion_Print" - menyimpan lembar templat dalam format pdf di folder dengan nomor masuk dan mulai mencetak.
Itu. ada kebahagiaan, sekarang pemrosesan penuh 10 huruf membutuhkan waktu 3-4 menit, bukan 30-40.

Masalah penanganan lampiran:
1. Bagaimana tidak meresepkan secara manual jumlah investasi dalam surat itu, tetapi secara otomatis dengan output ke sel E4 dari lembar "data" jumlah + 1 (huruf itu sendiri)
2. Bagaimana membuat daftar semua di lembar "Templat" di B5 lampiran dengan nama
3. Apa yang harus ditambahkan ke makro "Finish_Print" sehingga lampiran disimpan ke dalam folder yang baru dibuat dengan surat itu sendiri.

Semua data diambil dari surat, tetapi dengan lampiran saya belum tahu caranya (lihat kode)

Pencarian di Internet semua merujuk ke makro untuk pandangan, tapi saya mendaftar dan membuat direktori yang diperlukan di excel, masing-masing, semua variabel di dalamnya.
Di satu sisi, saya memiliki tiga pertanyaan berbeda, tetapi bagi saya tampaknya lebih baik menerapkan ketiga pertanyaan dalam satu makro.

Salam hangat, Leo

Menjawab: Hasilnya adalah alur kerja yang lengkap dan otomatis.
Untuk mentransfer surat dengan lampiran ke excel dan acc. folder

Menjawab: Ketat dalam modul buku Buku Kerja Ini(Buku Ini) buku kerja makro pribadi Pribadi.xls(xlsb)

Ivanov Ivan

Saat melewati topik metode numerik, siswa sudah tahu cara bekerja dengan spreadsheet dan menulis program dalam Pascal. Karya karakter gabungan. Dihitung selama 40 menit. Tujuan dari pekerjaan ini adalah untuk mengulangi dan mengkonsolidasikan keterampilan bekerja dengan program EXCEL, ABCPascal. Materi berisi 2 file. Satu berisi materi teoritis, seperti yang ditawarkan kepada siswa. Dalam file ke-2, contoh karya siswa Ivanov, Ivan.

Unduh:

Pratinjau:

Menyelesaikan Persamaan

Solusi analitis dari beberapa persamaan yang mengandung, misalnya, fungsi trigonometri dapat diperoleh hanya untuk kasus khusus tunggal. Jadi, misalnya, tidak ada cara untuk menyelesaikan secara analitik bahkan persamaan sederhana seperti cos x=x

Metode numerik memungkinkan untuk menemukan nilai perkiraan akar dengan akurasi tertentu.

Temuan perkiraan biasanya terdiri dari dua tahap:

1) pemisahan akar, mis. menetapkan interval yang mungkin tepat, yang hanya berisi satu akar persamaan;

2) penyempurnaan perkiraan akar, mis. membawa mereka ke tingkat akurasi tertentu.

Kami akan mempertimbangkan solusi persamaan bentuk f(x)=0. Fungsi f(x)didefinisikan dan kontinu pada interval[ab]. nilai x 0 disebut akar persamaan jika f(x 0 )=0

Untuk memisahkan akar, kami akan melanjutkan dari ketentuan berikut:

• Jika f(a)* f(b] \a,b\ setidaknya ada satu akar
• Jika fungsi y = f(x) kontinu pada segmen, dan f(a)*f(b) dan f "(x) pada interval (a, b) mempertahankan tanda, lalu di dalam segmen[a,b] hanya ada satu akar persamaan

Perkiraan pemisahan akar juga dapat dilakukan secara grafis. Untuk melakukan ini, persamaan (1) diganti dengan persamaan yang setara p(x) = (x), di mana fungsi p(x) dan (x] lebih sederhana dari fungsi f(x). Kemudian, plot grafik fungsi-fungsi tersebut y = p(x) dan y = (x), akar yang diinginkan akan diperoleh sebagai absis dari titik potong grafik ini

metode dikotomi

Untuk memperjelas akar, kami membagi segmen[a,b] menjadi dua dan hitung nilai fungsi f(x) di titik x sr =(a+b)/2. Pilih salah satu bagian atau , di ujung mana fungsi f(x) memiliki tanda yang berlawanan.. Kami melanjutkan proses membagi segmen menjadi dua dan melakukan pertimbangan yang sama sampai. panjangnya menjadi kurang dari akurasi yang ditentukan. Dalam kasus terakhir, titik mana pun dari segmen dapat diambil sebagai nilai perkiraan akar (sebagai aturan, bagian tengahnya diambil).Algoritma ini sangat efisien, karena pada setiap belokan (iterasi) interval pencarian dibelah dua; oleh karena itu, 10 iterasi akan menguranginya dengan faktor seribu. Kesulitan dapat muncul dengan pemisahan akar fungsi kompleks.

Untuk perkiraan penentuan segmen di mana akar berada, Anda dapat menggunakan prosesor spreadsheet dengan memplot grafik fungsi

CONTOH : Tentukan secara grafis akar persamaan. Misalkan f1(x) = x , a dan buatlah grafik dari fungsi-fungsi tersebut. (Jadwal). Akar berada di kisaran 1 hingga 2. Di sini kita menentukan nilai akar dengan akurasi 0,001 (tajuk judul di papan tulis)

Algoritma untuk implementasi perangkat lunak

1. a:=batas kiri b:=batas kanan
2. m:= (a+b)/2 tengah
3. tentukan f(a) dan f(m)
4. jika f(a)*f(m)
5. jika (a-b)/2>e ulangi mulai dari poin 2
   

metode akord.

Titik-titik grafik fungsi pada ujung-ujung interval dihubungkan oleh sebuah tali busur. Titik potong akord dan sumbu Ox (x*) dan digunakan sebagai percobaan. Selanjutnya, kami berdebat dengan cara yang sama seperti pada metode sebelumnya: jika f(x sebuah ) dan f(x*) dari tanda yang sama pada interval, batas bawah dipindahkan ke titik x*; jika tidak, pindahkan batas atas. Selanjutnya, gambar akord baru, dan seterusnya.

Tetap hanya untuk menentukan cara menemukan x*. Faktanya, masalahnya direduksi menjadi yang berikut: melalui 2 titik dengan koordinat yang tidak diketahui (x 1, y 1) dan (x 2, y 2 ) ditarik garis lurus; tentukan titik potong garis tersebut dengan sumbu x.

Kami menulis persamaan garis lurus di dua titik:

Pada titik potong garis ini dan sumbu Ox, y=0, dan x=x*, yaitu

Di mana

proses penghitungan nilai aproksimasi berlanjut hingga, untuk dua aproksimasi berturut-turut dari akar xn dan x n _1 kondisi abs(xn-x n-1) e - akurasi yang diberikan

Konvergensi metode ini jauh lebih tinggi dari yang sebelumnya.

Algoritma hanya berbeda pada titik penghitungan titik tengah - perpotongan akord dengan sumbu absis dan kondisi berhenti (selisih antara dua titik perpotongan yang berdekatan)

Persamaan untuk solusi independen: (kami mencari segmen di excel sendiri)

1. sin(x/2)+1=x^2 (x=1,26)

1. x-cosx=0 (x=0,739)

1. x^2+4sinx=0 (x=-1,933)

1. x=(x+1) 3 (x=-2,325)

Bagaimana cara copy rumus di excel?

Rumus apa saja yang ada di excel?

Langkah langkah membuat data rumus di excel?

Apa itu rumus dalam excel?