Os paralelogramos são polígonos que possuem quatro lados, dois a dois paralelos. Pertencem ao conjunto dos paralelogramos as seguintes figuras: quadrados, retângulos, losangos e outros paralelogramos que não possuem características específicas para serem classificados. A fórmula usada para calcular a área de cada uma dessas figuras varia de acordo com suas características específicas. A seguir, confira a fórmula para o cálculo de cada uma dessas áreas. Área do paralelogramo Uma figura que possui lados opostos paralelos é chamada de paralelogramo. Uma das consequências dessa definição mais exploradas em vestibulares e Enem é o fato de os lados opostos serem congruentes. Essas propriedades específicas podem ser estudadas mais amplamente aqui. Para calcular a área do paralelogramo (AP), podemos usar a seguinte fórmula: AP = b·h
Exemplos: Calcule a área de um paralelogramo cuja base é igual a 13 cm e a altura é igual a 22 cm. AP = b·h AP = 13·22 AP = 286 cm2 Calcule a altura de um paralelogramo cuja área é igual a 121 cm2 e a base mede 11 cm. AP = b·h 121 = 11·h 121 = h 11 = h Logo, a altura é 11 cm. Área do retângulo Os retângulos são paralelogramos que possuem os quatro ângulos retos. Dessa maneira, os retângulos herdam todas as características e propriedades dos paralelogramos, inclusive a área. OBS.: Todo retângulo é um paralelogramo, mas nem todo paralelogramo é um retângulo. Dessa maneira, a área do retângulo é igual à área do paralelogramo: AP = b·h
Área do quadrado Um quadrado é um retângulo que possui todos os lados congruentes. Para mais informações a respeito dos quadrados, clique aqui. O quadrado também é um paralelogramo, portanto, a área do paralelogramo vale para o quadrado. É comum que as questões sobre essa figura só evidenciem um de seus lados. Para calcular a área, basta lembrar que todos os lados são iguais e substituir b e h pelo mesmo valor. Exemplos: Calcule a área de um quadrado que possui lado igual a 9 cm. AP = b·h AP = 9·9 AP = 81 cm2 Calcule o lado de um quadrado cuja área mede 25 cm2. AP = b·h Como os dois lados possuem a mesma medida, podemos escrever: AP = b·b AP = b2 25 = b2 Fazendo a raiz quadrada em ambos os membros da equação, teremos: 5 = b O lado do quadrado é igual a 5 cm. Observe que, como os lados (l) do quadrado são congruentes, questões sobre sua área sempre envolverão uma multiplicação do comprimento do lado por ele mesmo. Sendo essa a definição de potenciação, podemos escrever a área do quadrado (AQ) da seguinte forma: AQ = l·l AQ = l2 Área do losango Os losangos são paralelogramos que possuem todos os lados congruentes. Não os confunda com os quadrados, que, além de congruentes, também possuem todos os ângulos iguais a 90°. A área do losango não é calculada a partir de sua base e altura. São necessários os comprimentos de suas duas diagonais para isso. Sendo assim, dadas as diagonais D e d de um losango, sua área (AL) pode ser encontrada pela fórmula: AL = D·d Exemplos: Calcule a área de um losango cuja diagonal maior mede 5 cm e a diagonal menor mede 4 cm. AL = D·d AL = 5·4 AL = 20 AL = 10 cm2 Por Luiz Paulo Moreira Graduado em Matemática A geometria plana é umas das partes da matemática com maior utilização em situações cotidianas. Diariamente nos vemos numa ocasião em que é necessário calcular o comprimento de algo, a área de algum lugar, a distância entre dois pontos, etc. A construção civil é uma das áreas que faz muito uso das fórmulas e conceitos da geometria. Vamos fazer o estudo de como se determina a área de um paralelogramo. Primeiro, vamos definir o que é um paralelogramo. Todo quadrilátero que possui os lados oposto paralelos é chamado de paralelogramo. Dessa forma, podemos dizer que o quadrado, o retângulo e o losango são exemplos de paralelogramos. Para encontrarmos a área de um paralelogramo é necessário conhecer somente as medidas da base e de sua altura. Sabendo as medidas desses elementos, a área do paralelogramo será dada por: Vamos resolver alguns exemplos para compreender melhor o uso da fórmula acima. Exemplo 1. Calcule a área de um paralelogramo cuja base mede 15 cm e a altura 12 cm. Solução: De acordo com o enunciado do problema, sabemos que b = 15 cm e h = 12 cm. Assim, podemos aplicar a fórmula da área do paralelogramo. A = base x altura A = 15 x 12 A = 180 cm2. Não se esqueça que as unidades de medida de área sempre estão elevadas ao quadrado: m2, cm2, km2, etc. Exemplo 2. Determine a área da figura abaixo: Solução: A figura acima é um paralelogramo (veja os lados opostos paralelos) cuja base mede 25 cm e a altura, 20 cm. Observe que a altura forma um ângulo de 90o (ângulo reto) com a base. Como sabemos as medidas da altura e da base, basta utilizar a fórmula da área. Assim, teremos: A = base x altura A = 25 x 20 A = 500 cm2 Portanto, o paralelogramo da figura apresenta uma área de 500 cm2. Por Marcelo Rigonatto Matemático Equipe Escola Kids 
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS PARALELOGRAMO Exemplo: Calcule a área de um paralelogramo que tem 2,4 cm de base e 1,3 cm de altura. Resposta: A = × hB A = 2,4 x 1,3 A = 3,12 cm² Exercícios Relacionados 01. Calcule a área do paralelogramo, sabendo-se que a base mede 9 cm e a altura é 4,5 cm. 02. Calcule a área de um paralelogramo cuja base mede 10 cm e cuja altura mede 5,6 cm. 03. Num paralelogramo, a altura mede 2,5 cm. Sabendo que sua base mede o triplo da medida da altura, calcule a área desse paralelogramo. 04. Uma placa de alumínio tem a forma de um paralelogramo cujas medidas da base e da altura são 1,2 m e 0,85 m. Calcule a área da superfície dessa placa. 05. Um marceneiro fez um enfeite de madeira utilizando 6 chapas em forma de paralelogramo com base 45 cm e altura 26 cm cada uma. Elas serão fixadas em uma parede. Qual é a área total, que essas chapas ocupam na superfície da parede? 06. Um paralelogramo de altura 8 cm tem 52 cm de perímetro e sua base mede 6 cm a mais que o outro lado. Determine a área desse paralelogramo. 07. Determine a razão entre a área sombreada e a área não-sombreada da figura. 08. Um terreno em forma de paralelogramo tem área 240 m² e sua base mede 7 m a mais que o outro lado. Sabendo-se que o perímetro do terreno mede 66 m, determine a medida relativa à altura. RETÂNGULO Exemplo: Calcule a área de um terreno retangular cuja base mede 3 m e a altura 45 m. Resposta: A = × hB A = 3 x 45 A = 135 m² Exercícios Relacionados 01. Calcule a área de um retângulo cujas dimensões são 4 cm e 6 cm. 02. Qual é a área de um retângulo cuja base mede 8 cm e a altura, 3,5 cm? 03. Um terreno retangular tem 15 m de frente por 31,2 m de fundo (lateral). Qual é a área desse terreno? 04. Num retângulo, a base mede 20 cm e a altura mede 5,2 cm. Qual é a área desse retângulo? 05. Fernanda fez um cartaz com uma cartolina retangular que ocupa na parede uma área de 9 600 cm². Se um dos lados mede 80 cm, qual é a medida do outro lado? 06. Quanto gastarei para forrar com carpete o piso de uma sala retangular de 4,5 m por 3,5 m, sabendo-se que o metro quadrado do carpete colocado custa R$ 17,00? 07. Calcule a área de um retângulo cuja base mede 5 cm a mais que a altura, sabendo que o retângulo tem 38 cm de perímetro. 08. Um retângulo tem área 80 cm² e perímetro 42 cm. Sabendo que a altura do retângulo é maior que a base, determine a medida da altura. 09. Com seis retângulos idênticos formamos um retângulo maior, com um dos lados medindo 21 cm, como na figura. Qual é a área do retângulo maior, em cm²? 10. Enfileirando-se três retângulos pequenos iguais, pode-se obter um retângulo maior de base 15 cm ou outro retângulo equivalente de altura 6 cm. Determine a área de um desses retângulos pequenos. TRIÂNGULO Exercícios Relacionados 01. Qual é a área de um triângulo de base 15 cm e altura 7,5 cm? 02. Num triângulo, a medida da base é de 30 cm e a medida da altura é 1/6 da medida da base. Qual é área desse triângulo? 03. Calcule a medida da base de um triângulo de área 48 m². Sabendo que a altura mede 8 m. 04. Um marceneiro fez um enfeite de madeira utilizando 6 chapas de forma triangular com base 45 cm e altura 26 cm cada uma. Elas serão fixadas em uma parede. Qual é a área total, que essas chapas ocupam na superfície da parede? 05. Num triângulo de base 12 cm e altura 20 cm maior que a base, quanto mede a área? 06. Calcule a altura de um triângulo cuja base mede 10 cm a mais que a altura e cuja área mede 72 cm². 07. Um triângulo isósceles tem área 60 cm² e 36 cm de perímetro. Sabe-se que cada lado mede 3 cm a mais que a base. Qual é a medida da altura desse triângulo? 08. Mariana construiu um retângulo de base 12 cm e altura 8 cm. Em seguida dividiu a base em três segmentos de mesma medida e formou um triângulo com base num desses segmentos e vértice oposto à base num vértice do lado oposto do retângulo. Determine a área desse triângulo formado por Mariana. 09. A figura a seguir é uma pirâmide, onde cada face lateral é um triângulo de base 4,5 cm e altura 6 cm. Nessas condições, qual a área das faces laterais triangulares da pirâmide? 10. Determine a razão entre a área sombreada e área total da figura a seguir. 11. No retângulo ABCD da figura, M e N são os pontos médios dos lados AD e BC. Qual é a razão entre a área da parte sombreada e a área do retângulo ABCD? A) 1 5 D) 1 2 B) 1 4 E) 2 3 C) 1 3 12. No retângulo da figura temos =CD cm6 e BC cm.= 4 O ponto E é o ponto médio do lado AB. Qual é a área da região sombreada? A) 12 cm² B) 15 cm² C) 18 cm² D) 20 cm² E) 24 cm² 13. Uma tira retangular de cartolina, branca de um lado e cinza do outro, foi dobrada como na figura, formando um polígono de 8 lados. Qual é a área desse polígono? A) 256 cm² C) 512 cm² E) 128 cm² B) 192 cm² D) 256 cm² 14. Letycia possui uma folha de cartolina quadrada de lado 20 cm, branca de um lado e cinza do outro. Ela dobrou essa folha duas vezes sempre nas linhas tracejadas e no sentido indicado pela seta. Qual a área da parte branca que ficou visível? 11. Escreva a razão entre a área da região sombreada e a área da região não-sombreada na figura ao lado. Para facilitar, admita que o quadrado tem lado 5 cm. LOSANGO Exemplo: Calcule a área de um losango cujas diagonais são 5 cm e 3 cm. 2 D d A ⋅ = 5 3 15 7 5 m² 2 2 ,A ⋅ = = = Exercícios Relacionados 01. Calcule a área do losango, sabendo que as diagonais medem 37 cm e 24 cm. 02. Calcule a área de um losango cuja diagonal menor mede 12 cm e a diagonal maior é o dobro da menor. 03. As diagonais de um losango medem 6,2 cm e 8 cm. Qual a sua área? 04. A diagonal maior de um losango mede 15 cm e a diagonal menor é a terça parte da diagonal maior. Qual a área do losango? 05. Calcule a área de um losango cuja diagonal maior mede 15 cm e a menor, 9 cm. 06. Num losango a diagonal maior mede 12 cm e a diagonal menor é a metade da diagonal maior. Calcule sua área. 07. Num losango a diagonal maior mede 18 cm e a diagonal menor tem 2 cm a menos que a maior. Calcule a medida do lado de um quadrado que tenha área equivalente à área desse losango. 08. Determine a área da região sombreada na figura. TRAPÉZIO Exercícios Relacionados 01. Em um trapézio de bases 12 cm e 20 cm, a altura mede 5 cm. Qual é a sua área? 02. Um terreno tem a forma de um trapézio de bases 7 m e 15 m e sua altura 9 m. Se o m² de terreno, no local, custa R$ 225, 00, qual é o preço desse terreno? 03. Quantos metros quadrados de carpete seriam necessários para cobrir totalmente o piso de uma sala trapezoidal, sabendo que as bases medem 11 m e 7,40 m e altura, 6,50 m? 04. Calcule a área de um trapézio cujas bases medem 15,6 cm e 9,8 cm e a altura mede 8 cm. 05. Um trapézio tem 12,4 cm de altura. A soma das medidas de suas bases é 15,3 cm. Calcule a área desse trapézio. 06. Em um trapézio de bases 6 cm e 4 cm, a altura mede 2,5 cm. Qual é a sua área? 07. Calcule a área de um trapézio cujas bases medem 5 cm e 3 cm e a altura mede 2 cm. 08. Parte do telhado de uma casa tem a forma de um trapézio. Calcule a área dessa parte do telhado sabendo que as bases medem 15 m e 8 m e a altura mede 3 m. 09. Um trapézio de área 39 cm² tem bases medindo 15 cm e 11 cm. Qual a medida da altura desse trapézio? 10. Um terreno em forma de trapézio tem área 80 m² e a medida da altura é 5 m. Determine a medida de sua base menor, sabendo que a maior mede 20 m. UMA PROPRIEDADE MUITO IMPORTANTE: O TEOREMA DE PITÁGORAS Exemplo: Determine a área de um retângulo de perímetro 28 cm, cuja diagonal mede 10 cm. Resposta: A figura ilustra de que forma podemos representar o problema: Fazendo 10 14cm, ea c x b x= = = − podemos escrever: 2 2 2 210 100 2 28 191 |
Calcule a área de um paralelogramo, sabendo que a base mede 6 cm e a altura é a terça parte da base.
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