Besar kecilnya amplitudo gelombang permukaan air dapat dilihat dari

Ketika batu dilemparkan ke sebuah kolam yang airnya tenang, batu akan memberikan energi yang akhirnya akan dirambatkan oleh air sehingga terbentuk gelombang. Bentuk gelombang yang dihasilkan oleh permukaan air akan berupa lingkaran-lingkaran. Mulai dari lingkaran kecil, kemudian lingkaran kecil merambat menjauhi titik pusat lingkarannya membentuk lingkaran yang lebih besar.

TEORI GELOMBANG AMPLITUDO KECIL

Gelombang yang terjadi di laut sebenarnya dapat dibedakan menjadi beberapa jenis atau tipe gelombang. Perbedaan jenis atau tipe gelombang ini berdasarkan gaya yang membangkitkannya. Gelombang yang terjadinya karena dibangkitkan oleh angin disebut dengan gelombang angin. Angin yang bertiup dipermukaan laut selama waktu tertentu, baik angin yang bertiup ke arah darat maupun angin yang bertiup ke arah laut akan menimbulkan gelombang. Gelombang angin ini termasuk jenis gelombang pendek, karena besarnya periode gelombang ini adalah mulai beberapa detik sampai dengan beberapa menit. Gelombang pasang surut atau sering disebut juga dengan gelombang pasut, merupakan gelombang yang terjadinya disebabkan oleh gaya tarik-menarik benda-benda langit, terutama matahari dan bulan. Gelombang ini termasuk jenis gelombang panjang, karena periode gelombangnya adalah dari beberapa jam sampai dengan beberapa tahun. Gelombang tsunami adalah gelombang yang terjadinya karena adanya pergerakan massa air di laut, yang dapat disebabkan oleh letusan gunung berapi atau gempa yang terjadi di laut. Gelombang yang paling banyak dipergunakan dalam Perencanaan bidang tek-nik sipil adalah gelombang angin dan gelombang pasang surut. Gelombang angin yang selanjutnya disebut dengan gelombang, yang datang ke pantai, dapat menyebabkan terjadinya arus yang menimbulkan pergerakan sedimen pantai, baik yang bergerak dalam arah tegak lurus garis pantai, maupun yang bergerak dalam arah sejajar dengan garis pantai. Pergerakan sedimen ini dapat merubah bentuk dan posisi garis pantai dari bentuk dan posisi semula. Perubahan ini terjadi karena adanya penambahan dan pengurangan sedimen pantai yang bergerak atau berpindah tempat. Besarnya pengurangan dan penambahan sedimen pantai ini sangat tergantung pada besar dan sudut arah datangnya gelombang, karakteristik sedi-men pantai serta karakteristik pantainya sendiri. Dalam bidang rekayasa sipil, gelombang merupakan faktor utama yang sangat menentukan dalam mendisain tata letak pelabuhan, alur pelayaran, serta bangunan-bangunan pantai lainnya seperti jetty, groin, dinding pantai ({\em seawall}) dan pemecah gelombang ({\em breakwater}). Gelombang pasang surut atau sering disebut juga dengan pasut merupakan gelombang yang juga sangat penting untuk perencanaan dalam bidang rekayasa sipil. Hal ini karena dalam perencanaan, elevasi gelombang saat pasang paling tinggi menentukan elevasi bangunan pantai agar tidak terlimpasi, dan elevasi gelombang saat surut diperlukan untuk menentukan kedalaman perairan dalam perencanaan pelabuhan dan lain sebagainya. Gelombang tsunami adalah gelombang yang terjadinya di laut karena adanya letusan gunung berapi atau disebut juga dengan gempa vulkanik yang terjadi di laut. Pola perambatan gelombang tsunami yang disebabkan oleh letusan gunung berapi berbeda dengan pola perambatan gelombang yang disebabkan oleh gempa bumi, yang penyebabnya adalah berupa patahan lempeng bumi atau yang disebut juga dengan gempa tektonik. Sumber gempa vulkanik dapat disimulasikan sebagai perambatan gelombang titik. Karena sumbernya biasanya pada satu koordinat tertentu. Sedangkan gempa tektonik biasanya disimulasikan sebagai perambatan gelombang garis, karena sumber gempa biasanya memanjang. Gelombang sebenarnya yang terjadi di alam adalah sangat kompleks dan tidak dapat dirumuskan dengan akurat. Akan tetapi dalam mempelajari fenomena gelombang yang terjadi di alam dilakukan beberapa asumsi sehingga muncul beberapa teori gelombang. Akan tetapi dalam bab ini hanya akan dibahas mengenai teori gelombang amplitudo kecil. Teori gelombang ini merupakan teori gelombang yang paling sederhana karena merupakan teori gelombang linier, yang pertama kali diperkenalkan oleh Airy pada tahun 1845. \section{Asumsi dan Definisi Gelombang} Sebelum menurunkan persamaan gelombang, maka perlu diketahui asumsi-asumsi yang diberikan untuk menurunkan persamaan gelombang sebagai berikut, 1. Air laut adalah homogen, sehingga rapat massanya adalah konstan. 2. Air laut tidak mampu mampat. 3. Tegangan permukaan yang terjadi diabaikan. 4. Gaya Coriolis diabaikan. 5. Tegangan pada permukaan adalah konstan. 6. Zat cair adalah ideal dan berlaku aliran tak berrotasi. 7. Dasar laut adalah horizontal, tetap dan impermeabel. 8. Amplitudo gelombang kecil dibandingkan dengan panjang gelombang. 9. Gerak gelombang tegak lurus terhadap arah penjalarannya. Asumsi-asumsi ini diberikan agar penurunan teori gelombang amplitudo kecil dapat dilakukan. Untuk menurukan persamaan gelombang perlu difahami terlebih dahulu definisi dan notasi yang dipergunakan dalam persamaan yang akan diturunkan. Sket definisi gelombang dapat digambarkan sebagi berikut, \begin{figure} \centerline{\epsfig{file = gambar1.pdf,angle=0,width=1\linewidth}} \caption{Sket definisi gelombang} \label{fig:01} \end{figure} Dari Gambar \ref{fig:01}, notasi-notasi selanjutnya yang akan dipergunakan dalam menurunkan persamaan adalah sebagai berikut, $h$: jarak antara muka air rerata dan dasar laut $\eta$ : fluktuasi muka air $a$ : amplitudo gelombang $H$: tinggi gelombang = 2.$a$ $L$ : panjang gelombang $T$ : periode gelombang $C$: cepat rambat gelombang $k$ : bilangan gelombang $\sigma$: frekuensi gelombang 1. Pendekatan Teori Penyelesaian masalah nilai batas teori gelombang air linier untuk dasar horizontal dapat dimulai dari persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{\phi (x,y,z)= X(x). Z(z).\Gamma(t)} $

Dimana, $\phi (x,y,z)$ merupakan fungsi yang hanya tergantung pada variabel $x$ dan variabel $z$, dan juga merupakan fungsi yang bervariasi terhadap waktu $t$. Sehingga $\phi$ merupakan suatu fungsi periodik dan tergantung pada variabel $x$, $z$, dan $t$. Selanjutnya persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut,

$ \displaystyle{\phi (x,y,z) = X(x).Z(z). \sin (\sigma t)} $

Persamaan ini merupakan persamaan potensial kecepatan. Diketahui persamaam Laplace dua dimensi (2-D) sebagai berikut,

$ \displaystyle{\frac {\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}= 0} $

Dengan mensubstitusikan persamaan potensial kecepatan, Persamaan (\ref{eq:02}) kedalam persamaan Laplace atau Persamaan (\ref{eq:03}), maka akan didapat persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ \frac {\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}= \frac {\partial^2 {\{ X(x).Z(z). \sin (\sigma t) \}}}{\partial x^2}+ \frac {\partial^2 {\{ X(x).Z(z). \sin (\sigma t) \}}}{\partial z^2}} $

$ \displaystyle{ \frac {\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}= \frac {\partial^2 {X(x)}}{\partial x^2} {Z(z). \sin (\sigma t)}+ \frac {\partial^2 {Z(z)}}{\partial z^2}{X(x). \sin (\sigma t)}} $

$ \displaystyle{ \frac {\partial^2 {X(x)}}{\partial x^2} {Z(z). \sin (\sigma t)}+ \frac {\partial^2 {Z(z)}}{\partial z^2}{X(x). \sin (\sigma t)}=0 $

$ \displaystyle{ \frac {\partial^2 {X(x)}}{\partial x^2} {Z(z)}+ \frac {\partial^2 {Z(z)}}{\partial z^2}{X(x)}=0 $

$ \displaystyle{ \frac{1}{X(x)} \frac {\partial^2 {X(x)}}{\partial x^2}+\frac{1}{Z(z)} \frac {\partial^2 {Z(z)}}{\partial z^2}=0 $

Dari persamaan di atas diketahui bahwa, persamaan akan dipenuhi bila penjumlahan dari penyelesaian untuk setiap bagian persamaan dari variabel $x$ dan $z$ menghasilkan nilai nol. Untuk dapat menyelesaikan persamaannya, Persamaan (\ref{eq:04e}) ini dapat ditulis menjadi dua bagian persamaan, yaitu Persamaan (\ref{eq:05a}) yang mengandung variabel $x$ dan Persamaan (\ref{eq:05b}) yang mengandung variabel $z$ sebagai berikut,

$ \displaystyle{ \frac{1}{X(x)} \frac {\partial^2 {X(x)}}{\partial x^2}=-{k^2} $

$ \displaystyle{ \frac{1}{Z(z)} \frac {\partial^2 {Z(z)}}{\partial z^2}=k^2 $

Solusi untuk Persamaan (\ref{eq:05a}) adalah sebagai berikut,

$ \displaystyle{ X(x) = A. \cos(k.x) + B. \sin(k.x) $

Sedangkan solusi untuk Persamaan (\ref{eq:05b}) adalah sebagai berikut,

$ \displaystyle{ Z(z) = C. e^{k.z} + D. e^{- k.z} $

Sehingga Persamaan (\ref{eq:02}) merupakan penjumlahan dari Persamaan (\ref{eq:06b}) dan Persamaan (\ref{eq:07b}) dan dapat ditulis menjadi persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ \phi(x,z,t) = \{A.\cos(k.x)+B.\sin(k.x)\}.\{C. e^{k.z}+D.e^{-k.z}\}.\sin(\sigma t) $

Untuk mempermudah pemahaman, selanjutnya solusi potensial kecepatan $\phi(x)$ yang akan dijelaskan terlebih dahulu hanya untuk satu bagian persamaan yang dapat ditulis sebagai berikut,

$ \displaystyle{ \phi(x,z,t) = {A.\cos(k.x)}.\{C. e^{k.z}+D.e^{-k.z}\}.\sin(\sigma t) $

Sedangkan untuk bagian $B. \sin(k.x)$ dapat diturunkan dengan cara yang sama. Diketahui Persamaan untuk kondisi batas dasar horizontal adalah sebagai berikut,

$ \displaystyle{ w = - \frac{\partial \phi}{\partial z} = 0 \Bigg \vert_{z=-h} $

Berdasarkan kondisi batas pada dasar perairan, dimana kecepatan arah vertikal ($w$) pada dasar adalah sama dengan nol, sehingga Persamaan (\ref{eq:10}) dapat ditulis menjadi,

$ \displaystyle{ w = - \frac{\partial \phi}{\partial z} = - \frac{\partial}{\partial z}{\{{A.\cos(k.x)}.\{C. e^{k.z}+D.e^{-k.z}\}.\sin(\sigma t)\}} = 0 $

$ \displaystyle{ w = - \frac{\partial \phi}{\partial z} = -{\{{A.\cos(k.x)}.\{k.C. e^{k.h}+k.D.e^{-k.h}\}.\sin(\sigma t)\}} = 0 $

Persamaan (\ref{eq:11b}) dapat diselesaikan hanya bila memenuhi persamaan berikut, \label{eq:11b}

$ \displaystyle{ k.C. e^{k.h}+k.D.e^{-k.h}=0 $

Sehingga berdasarkan persamaan di atas didapat persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ C = D.e^{2.k.h} $

Dengan mensubstitusikan Persamaan (\ref{eq:13}) ke dalam Persamaan (\ref{eq:09}), persamaan ini dapat disusun menjadi persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ \phi(x,z,t) = {A.\cos(k.x)}.\{{(D.e^{2.k.h})}. e^{k.z}+D.e^{-k.z}\}.\sin(\sigma t) } $ $ \displaystyle{ \phi(x,z,t) = {A.\cos(k.x)}.\{ {e^{k.h}}.D.{e^{k.h}}. e^{k.z}+{e^{k.h}}.D.{e^{-k.h}}.e^{-k.z}\}.\sin(\sigma t) } $ $ \displaystyle{ \phi(x,z,t) = A.D.{e^{k.h}}.\cos (k.x) .\{ e^{k.h}. e^{k.z} + e^{-k.h}.e^{-k.z} \}.\sin(\sigma t) } $
$ \displaystyle{ \phi(x,z,t) = A.D.{e^{k.h}}.\cos(k.x) .\{e^{k.(h+z)}+ e^{-k.(h+z)} \}.\sin(\sigma t) } $

Diketahui bahwa,

$ \displaystyle{ \cosh{k(h+z)}=\frac{e^{k(h+z)}+e^{-k(h+z)}}{2} $

Sehingga persamaan di atas dapat ditulis menjadi,

$ \displaystyle{ 2.\cosh{k(h+z)}={e^{k(h+z)}+e^{-k(h+z)}} $

Dengan mensubstitusikan Persamaan (\ref{eq:14e}) ke dalam Persamaan (\ref{eq:14c}) didapat persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ \phi(x,z,t) = {A.D.{e^{k.h}}.\cos(k.x)}.\{e^{k.(h+z)}+ e^{-k.(h+z)} \}.\sin(\sigma t) } $ $ \displaystyle{ \phi(x,z,t) = {A.D.{e^{k.h}}.\cos(k.x)}.\{2.\cosh{k(h+z)}\}.\sin(\sigma t) } $
$ \displaystyle{ \phi(x,z,t) = {2.A.D.{e^{k.h}}.\cos(k.x)}.\{\cosh{k(h+z)}\}.\sin(\sigma t) } $

Dimana,

$ \displaystyle{ G = 2.A.D.e^{k.h} } $

Sehingga Persamaan (\ref{eq:15b}) di atas dapat ditulis menjadi,

$ \displaystyle{ \phi(x,z,t) = G.\cos{(k.x)}.{\cosh{k(h+z)}}.\sin(\sigma t) } $

Persamaan di atas merupakan persamaan potensial kecepatan dengan konstanta baru $G$. Untuk dapat menurunkan persamaan ini selanjutnya diperlukan persamaan Bernoulli. 1.2. Persamaan Bernoulli Untuk mendapatkan persamaan Bernoulli, persamaan ini dapat diturunkan dari persamaan Euler 2 dimensi sebagaimana penyelesaian persamaan berikut ini,

$ \displaystyle{ Arah \Rightarrow x \qquad \frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}+w \frac{\partial u}{\partial z}=- \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} } $
$ \displaystyle{ Arah \Rightarrow z \qquad \frac{\partial w}{\partial t}+u \frac{\partial w}{\partial x}+w \frac{\partial w}{\partial z}=- \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z} - g } $

Asumsi aliran tidak berotasi, ini akan dipenuhi hanya apabila,

$ \displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial w}{\partial x} } $

Maka selanjutnya dengan mensubstitusikan Persamaan (\ref{eq:17}) ke Persamaan (\ref{eq:16}) didapat persamaan sebagai berikut, Untuk arah $x$:

$ \displaystyle{ Arah \Rightarrow x \qquad \frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}+w \left( \frac{\partial u}{\partial z}\right)=- \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} } $ $ \displaystyle{ Arah \Rightarrow x \qquad \frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}+w \left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)=- \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} } $ $ \displaystyle{ Arah \Rightarrow x \qquad \frac{\partial u}{\partial t}+{\frac{\partial}{\partial x}}{\left( \frac{u^2}{2} \right)}+ {\frac{\partial}{\partial x}}{\left( {\frac{w^2}{2}} \right)}=- \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} } $ $ \displaystyle{ Arah \Rightarrow x \qquad \frac{\partial u}{\partial t}+{\frac{1}{2}}{\frac{\partial}{\partial x}}{\left( {u^2} \right)}+ {\frac{1}{2}}{\frac{\partial}{\partial x}}{\left( {w^2} \right)}=- \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} } $
$ \displaystyle{ Arah \Rightarrow x \qquad \frac{\partial u}{\partial t}+{\frac{1}{2}}{\frac{\partial}{\partial x}}{\left( {{u^2}+{w^2}} \right)}=- \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} } $

Untuk arah $z$:

$ \displaystyle{ Arah \Rightarrow z \qquad \frac{\partial w}{\partial t}+u \left( \frac{\partial w}{\partial x}\right) + w \frac{\partial w}{\partial z} =- \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z} - g } $ $ \displaystyle{ Arah \Rightarrow z \qquad \frac{\partial w}{\partial t}+u \left( \frac{\partial u}{\partial z}\right) + w \frac{\partial w}{\partial z} =- \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z} - g } $ $ \displaystyle{ Arah \Rightarrow z \qquad \frac{\partial w}{\partial t}+{\frac{\partial}{\partial z}}{\left( \frac{u^2}{2} \right)}+ {\frac{\partial}{\partial z}}{\left( {\frac{w^2}{2}} \right)}=- \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z} - g } $
$ \displaystyle{ Arah \Rightarrow z \qquad \frac{\partial w}{\partial t}+{\frac{1}{2}}{\frac{\partial}{\partial z}}{\left( {{u^2}+{w^2}} \right)}=- \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z} - g } $

Dimana,

$ \displaystyle{ u = - \frac{\partial \phi}{\partial x} = $ kecepatan aliran dalam arah sumbu $ x } $
$ \displaystyle{ w = - \frac{\partial \phi}{\partial z} = $ kecepatan aliran dalam arah sumbu $ z } $

Dengan mensubstitusikan $u$ dan $w$ kedalam Persamaan (\ref{eq:18a}) dan Persamaan (\ref{eq:18b}) maka akan didapat persamaan berikut, Untuk arah $x$:

$ \displaystyle{ Arah \Rightarrow x \qquad \frac{\partial u}{\partial t}+{\frac{1}{2}}{\frac{\partial}{\partial x}}{\left( {{u^2}+{w^2}} \right)}=- \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} } $ $ \displaystyle{ Arah \Rightarrow x \qquad \frac{\partial}{\partial t}{\left( - \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)}+{\frac{1}{2}}{\frac{\partial}{\partial x}}{\left( {{u^2}+{w^2}} \right)}=- \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} } $
$ \displaystyle{ Arah \Rightarrow x \qquad \frac{\partial}{\partial t}{\left( - \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)}+{\frac{1}{2}}{\frac{\partial}{\partial x}}{\left( {{u^2}+{w^2}} \right)}+ \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} = 0 } $

$ \displaystyle{ Arah \Rightarrow x \qquad - \frac{\partial^2 \phi}{\partial t \partial x}+{\frac{1}{2}}{\frac{\partial}{\partial x}}{\left( {{u^2}+{w^2}} \right)}+ \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} = 0 } $
$ \displaystyle{ Arah \Rightarrow x \qquad \frac{\partial}{\partial x} \Bigg\{-\frac{\partial \phi}{\partial t}+{\frac{1}{2}}{\left( {{u^2}+{w^2}} \right)}+ \frac{1}{\rho} p \Bigg\}= 0 } $

Untuk arah $z$:

$ \displaystyle{ Arah \Rightarrow z \qquad \frac{\partial w}{\partial t}+{\frac{1}{2}}{\frac{\partial}{\partial z}}{\left( {{u^2}+{w^2}} \right)}=- \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z} - g } $ $ \displaystyle{ Arah \Rightarrow z \qquad \frac{\partial}{\partial t}{\left( -\frac{\partial \phi}{\partial z} \right)}+{\frac{1}{2}}{\frac{\partial}{\partial z}}{\left( {{u^2}+{w^2}} \right)}=- \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z} - g } $ $ \displaystyle{ Arah \Rightarrow z \qquad \frac{\partial}{\partial t}{\left( -\frac{\partial \phi}{\partial z} \right)}+{\frac{1}{2}}{\frac{\partial}{\partial z}}{\left( {{u^2}+{w^2}} \right)}+ \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z} = - g } $ $ \displaystyle{ Arah \Rightarrow z \qquad - \frac{\partial^2 \phi}{\partial z \partial t}+{\frac{1}{2}}{\frac{\partial}{\partial z}}{\left( {{u^2}+{w^2}} \right)}+ \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z} = - g } $
$ \displaystyle{ Arah \Rightarrow z \qquad \frac{\partial}{\partial z}\Bigg\{{-\frac{\partial \phi}{\partial t}}+{\frac{1}{2}}{\frac{\partial}{\partial z}}{\left( {{u^2}+{w^2}} \right)}+ \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z} \Bigg\}= - g } $

Penyelesaian Persamaan (\ref{eq:19a}) dan (\ref{eq:19b}) ada hanya bila persamaan tersebut memenuhi persamaan sebagai berkut, untuk arah $x$:

$ \displaystyle{ Arah \Rightarrow x \qquad \frac{\partial}{\partial x} \Bigg\{-\frac{\partial \phi}{\partial t}+{\frac{1}{2}}{\left( {{u^2}+{w^2}} \right)}+ \frac{1}{\rho} p \Bigg\}= 0 } $
$ \displaystyle{ Arah \Rightarrow x \qquad -\frac{\partial \phi}{\partial t}+{\frac{1}{2}}{\left( {{u^2}+{w^2}} \right)}+ \frac{1}{\rho} p = C'(z,t) } $

Dimana,

$ \displaystyle{ {\frac{\partial}{\partial x}} \big\{ C'(z,t) \big\} = 0 }

untuk arah $z$:

$ \displaystyle{ Arah \Rightarrow z \qquad \frac{\partial}{\partial z}\Bigg\{{-\frac{\partial \phi}{\partial t}}+{\frac{1}{2}}{\left( {{u^2}+{w^2}} \right)}+ \frac{1}{\rho} p \Bigg\}= - g } $
$ \displaystyle{ Arah \Rightarrow z \qquad {-\frac{\partial \phi}{\partial t}}+{\frac{1}{2}}{\left( {{u^2}+{w^2}} \right)}+ \frac{1}{\rho} p = - g.z + C(x,t) } $

Dimana,

$ \displaystyle{ {\frac{\partial}{\partial z}} \big\{ -g.z + C(x,t) \big\} = 0 } $

Berdasarkan Persamaan (\ref{eq:20a}) dan Persamaan (\ref{eq:20b}) maka didapat,

$ \displaystyle{ C'(z,t) = -g.z + C(x,t) } $

Dari Persamaan (\ref{eq:20a}) dan Persamaan (\ref{eq:20b}) diketahui bahwa konstanta $C'$ tidak dapat menjadi fungsi terhadap $x$, sehingga Persamaan (\ref{eq:21}) menjadi,

$ \displaystyle{ C'(z,t) = -g.z + C(t) } $

Selanjutnya Persamaan (\ref{eq:22}) dapat ditulis menjadi,

$ \displaystyle{ {-\frac{\partial \phi}{\partial t}}+{\frac{1}{2}}{\left( {{u^2}+{w^2}} \right)}+ \frac{p}{\rho} = - g.z + C(t) } $
$ \displaystyle{ {-\frac{\partial \phi}{\partial t}}+{\frac{1}{2}}{\left( {{u^2}+{w^2}} \right)}+ \frac {p}{\rho} + g.z = C(t) } $

Persamaan (\ref{eq:23}) merupakan persamaan Bernoulli. 3. Potensial Kecepatan Untuk menurunkan persamaan potensial kecepatan, persamaan untuk kondisi batas permukaan aliran, dimana aliran tak mantap dan tak berotasi, didapat dari persamaan Bernoulli seperti berikut,

$ \displaystyle{ {-\frac{\partial \phi}{\partial t}}+{\frac{1}{2}}{\left( {{u^2}+{w^2}} \right)}+ \frac{1}{\rho} p + g.z = C(t) } $

Bila persamaan ini dilinierkan, yaitu dengan mengabaikan suku $u^2$ dan $w^2$, dan pada batas permukaan $z=\eta$, dan diasumsikan bahwa tekanan permukaan (tekanan atmosfir) adalah sama dengan nol, sehingga persamaan Bernoulli di atas ditulis menjadi,

$ \displaystyle{ - \frac{\partial \phi}{\partial t} + g.\eta = C(t) } $
$ \displaystyle{ \eta = {{\frac{1}{g}}{\frac{\partial \phi}{\partial t}} \Bigg \vert_{z=\eta}} + \frac{C(t)}{g} } $

Teori gelombang amplitudo kecil mengasumsikan bahwa kondisi pada batas permukaan aliran. Dengan asumsi ini maka Persamaan (\ref{eq:24}) di atas dapat ditulis menjadi,

$ \displaystyle{ \eta = {{\frac{1}{g}}{\frac{\partial \phi}{\partial t}} \Bigg \vert_{z=0}} + \frac{C(t)}{g} } $

Dengan mensubstitusikan Persamaan (\ref{eq:23}) ke dalam Persamaan (\ref{eq:25}) maka didapat penyelesaian berikut,

$ \displaystyle{ \eta = {{\frac{1}{g}}{\frac{\partial \phi}{\partial t}} \Bigg \vert_{z=0}} + \frac{C(t)}{g} } $ $ \displaystyle{ \eta = {{\frac{1}{g}}{\frac{\partial \phi (x,z,t)}{\partial t}} \Bigg \vert_{z=0}} + \frac{C(t)}{g} } $ $ \displaystyle{ \eta = {\frac{1}{g}}{\frac{\partial}{\partial t}}\bigg\{G\cos(kx) \cosh k(h+z)\sin(\sigma t) \bigg\} \Bigg \vert_{z=0} + \frac{C(t)}{g} } $ $ \displaystyle{ \eta = {\frac{G \sigma \cosh k(h+z)}{g}} {\cos(kx) \cos (\sigma t) \Bigg \vert_{z=0}} + \frac{C(t)}{g} } $
$ \displaystyle{ \eta = {\frac{G \sigma \cosh k(h)}{g} \cos(k x) \cos (\sigma t) + \frac{C(t)}{g}} } $

Karena $\eta$ nilainya kecil sekali terhadap fungsi ruang ($x$ dan $z$) dan waktu ($t$) maka konstanta $C(t)$ juga kecil sekali atau sama dengan nol. Sehingga Persamaan (\ref{eq:26}) dapat ditulis menjadi,

$ \displaystyle{ \eta = \frac{G \sigma \cosh k(h)}{g} \cos(k x) \cos(\sigma t) } $

Karena nilai $\eta$ diasumsikan sebagai suatu nilai yang bergerak secara periodik terhadap fungsi ruang dan waktu maka Persamaan (\ref{eq:27}) ini dapat ditulis sebagai berikut,

$ \displaystyle{ \eta = \Bigg\{\frac{G \sigma \cosh k(h)}{g} \Bigg\} \cos(k x) \cos (\sigma t) } $
$ \eta = \Bigg\{\frac{H}{2} \Bigg\} \cos(k x) \cos (\sigma t) } $

Berdasarkan Persamaan (\ref{eq:28}) maka didapat konstanta $G$ sebagai berikut,

$ \displaystyle{ G = \frac{g H}{2 \sigma \cosh (k h)} } $

Dengan mensubstitusikan Persamaan (\ref{eq:29}) ke dalam Persamaan (\ref{eq:15d}), maka akan didapat persamaan berikut,

$ \displaystyle{ \phi (x,z,t)={\frac{H g \cosh k(h+z)}{2 \sigma \cosh k(h)}}{\cos (kx) \sin(\sigma t) } } $

Persamaan (\ref{eq:30}) merupakan persamaan potensial kecepatan. Persamaan (\ref{eq:30}) juga dapat ditulis sebagai berikut,

$ \displaystyle{ \phi (x,z,t)={\frac{H g \cosh k(h+z)}{2 \sigma \cosh k(h)}}{\cos (kx) \sin(\sigma t) } } $ $ \displaystyle{ \phi (x,z,t)={\frac{H}{2}}{\frac{g \cosh k(h+z)}{\sigma \cosh k(h)}}{\cos (kx) \sin(\sigma t) } } $
$ \displaystyle{ \phi (x,z,t)={\frac{a g}{\sigma}}{\frac{\cosh k(h+z)}{\cosh k(h)}}{\cos (kx) \sin(\sigma t) } } $

Dimana

$ \displaystyle{ a = \frac{H}{2} = \textrm{amplitudo} } $

Dan selanjutnya dari Persamaan (\ref{eq:08}), bagian yang mengandung faktor $B \sin (kx)$ dapat ditulis sebagai berikut,

$ \displaystyle{ \phi(x,z,t) = \{B.\sin(k.x)\}.\{C. e^{k.z}+D.e^{-k.z}\}.\sin(\sigma t) } $

Dengan menggunakan cara yang sama, solusi pendekatan untuk Persamaan (\ref{eq:32}) dapat ditulis menjadi,

$ \displaystyle{ \phi (x,z,t)={\frac{H}{2}}{\frac{g \cosh k(h+z)}{\sigma \cosh k(h)}}{\sin (kx) \cos (\sigma t) } } $

Persamaan (\ref{eq:33}) merupakan persamaan potensial kecepatan dari bentuk gelombang lainnya yang arahnya berlawanan. Solusi fluktuasi muka air dari Persamaan (\ref{eq:33}) untuk kondisi batas permukaan dimana $\eta$=0, adalah sebagai berikut,

$ \displaystyle{ \eta (x,t) = {\frac{1}{g}}{\frac{\partial \phi}{\partial t}} \Bigg \vert_{z=0}=- \frac{H}{2} \sin (kx) \sin (\sigma t) } $

Selanjutnya, potensial kecepatan total dari Persamaan (\ref{eq:08}) merupakan penjumlahan potensial kecepatan dari Persamaan (\ref{eq:31}) dan Persamaan (\ref{eq:33}) seperti berikut,

$ \displaystyle{ \phi (x,z,t)={\frac{H}{2}}{\frac{g \cosh k(h+z)}{\sigma \cosh k(h)}}\left({\cos (kx) \sin (\sigma t) - \sin (kx) \cos (\sigma t) }\right) } $

Karena,

$ \displaystyle{ {\cos (kx) \sin (\sigma t) - \sin (kx) \cos (\sigma t) }={- \sin (kx-\sigma t)} } $

Maka Persamaan (\ref{eq:35}) dapat ditulis menjadi bentuk persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ \phi (x,z,t)={- \frac{H}{2}}{\frac{g \cosh k(h+z)}{\sigma \cosh k(h)}}\left({\sin (kx - \sigma t)}\right) } $

Persamaan (\ref{eq:36}) merupakan total potensial kecepatan. Berdasarkan Persamaan (\ref{eq:36}) maka solusi untuk elevasi permukaan $ \eta $ yang merupakan penjumlahan dari Persamaan (\ref{eq:28}) dan Persamaan (\ref{eq:34}) dapat ditulis menjadi,

$ \displaystyle{ \eta (x,t) = {\frac{1}{g}}{\frac{\partial \phi}{\partial t}} \Bigg \vert_{z=0}= \frac{H}{2} \cos (kx) \cos (\sigma t) - \frac{H}{2} \sin (kx) \sin (\sigma t) } $
$ \displaystyle{ \eta (x,t) = {\frac{1}{g}}{\frac{\partial \phi}{\partial t}} \Bigg \vert_{z=0}= \frac{H}{2} \Bigg\{\cos (kx) \cos (\sigma t) - \sin (kx) \sin (\sigma t) \Bigg\} } $

Karena,

$ \displaystyle{ {\cos (kx) \cos (\sigma t) - \sin (kx) \sin (\sigma t) }={\cos (kx-\sigma t)} } $

Persamaan (\ref{eq:37}) dapat ditulis menjadi bentuk persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ \eta (x,t) = {\frac{1}{g}}{\frac{\partial \phi}{\partial t}} \Bigg \vert_{z=0}= \frac{H}{2} \cos (kx-\sigma t) } $

Diketahui bahwa komponen vertikal kecepatan partikel pada permukaan air $w=\frac{\partial \eta}{\partial t}$ adalah sangat kecil, dan $\eta$ yang diberikan dari Persamaan (\ref{eq:38}) bukan merupakan fungsi dari $z$, sehingga kondisi batas aliran kinematik yang dilinierkan ini menghasilkan persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ w =- \frac{\partial \phi}{\partial z} = \frac{\partial \eta}{\partial t} } $ $ \displaystyle{ - \frac{\partial \phi}{\partial z} = {\frac{\partial}{\partial t}} \left[ \frac{1}{g}\frac{\partial \phi}{\partial t} \right] \Bigg \vert_{z=0} } $
$ \displaystyle{ - \frac{\partial \phi}{\partial z} = \frac{1}{g}\frac{{\partial}^2 {\phi}}{\partial {t}^2} \Bigg \vert_{z=0} } $

Selanjutnya Persamaan (\ref{eq:36}) disubstitusikan ke dalam Persamaan (\ref{eq:39}) sebagai berikut,

$ \displaystyle{ - \frac{\partial \phi}{\partial z} = \frac{1}{g}\frac{{\partial}^2 {\phi}}{\partial {t}^2} \Bigg \vert_{z=0} } $ $ \displaystyle{ - {\frac{\partial}{\partial z}} {\Bigg\{ {- {\frac{H}{2}}{\frac{g \cosh k(h+z)}{\sigma \cosh k(h)}}\left({\sin (k.x - \sigma .t)}\right) } \Bigg\}}= \frac{1}{g} {\frac{{\partial}^2}{\partial {t}^2}}{\Bigg\{ { {- \frac{H}{2}}{\frac{g \cosh k(h+z)}{\sigma . \cosh k(h)}}\left({\sin (k.x - \sigma .t)}\right) } \Bigg\}} \Bigg \vert_{z=0} } $ $ \displaystyle{ {\frac{a.g.k.}{\sigma}}{\frac{\sinh k(h+z)}{\cosh k(h)}}\left({\sin (k.x - \sigma .t)}\right) = a {\frac{\cosh k(h+z)}{\cosh k(h)}} \frac{\partial}{\partial t} \left({\cos (k.x - \sigma .t)} \right) \Bigg \vert_{z=0} } $ $ \displaystyle{ {\frac{a.g.k.}{\sigma}}{\frac{\sinh k(h+z)}{\cosh k(h)}}\left({\sin (k.x - \sigma .t)}\right) = a \sigma {\frac{\cosh k(h+z)}{\cosh k(h)}}\left({\sin (k.x - \sigma .t)}\right) \Bigg \vert_{z=0} } $ $ \displaystyle{ {\frac{g.k.}{\sigma}}{\frac{\sinh k(h+z)}{\cosh k(h)}}\left({\sin (k.x - \sigma .t)}\right) = \sigma {\frac{\cosh k(h+z)}{\cosh k(h)}}\left({\sin (k.x - \sigma .t)}\right) \Bigg \vert_{z=0} } $
$ \displaystyle{ {\frac{g.k.}{\sigma}}{\frac{\sinh k(h+z)}{\cosh k(h)}} = \sigma {\frac{\cosh k(h+z)}{\cosh k(h)}} \Bigg \vert_{z=0} } $

Dengan memasukkan $z$=0 kedalam Persamaan (\ref{eq:40}), selanjutnya Persamaan (\ref{eq:40}) dapat ditulis menjadi,

$ \displaystyle{ {\sigma}^2 = g.k. \frac{\sinh k(h)}{\cosh k(h)} } $
$ \displaystyle{ {\sigma}^2 = g.k. {\tanh k(h)} } $

Persamaan (\ref{eq:41}) merupakan persamaan untuk teori gelombang amplitudo kecil. Dimana,

$ \displaystyle{ \sigma = \frac{2.\pi}{T} ; \qquad } $ $ \displaystyle{ k = \frac{2.\pi}{L} ; \qquad } $
$ \displaystyle{ C = \frac{L}{T} } $

$\sigma$ = frekuensi gelombang (radian/detik) $\eta$ = fluktuasi muka air (meter) $a$ = amplitudo gelombang (meter) $H$ = tinggi gelombang = 2.$a$ $L$ = panjang gelombang (meter) $T$ = periode gelombang (detik) $C$ = cepat rambat gelombang (meter/detik) $k$ = bilangan gelombang (radian/meter) Karena $ \sigma = k C $ maka Persamaan (\ref{eq:41}) dapat ditulis menjadi:

$ \displaystyle{ {(k C)}^2 = g.k. {\tanh k(h)} } $
$ \displaystyle{ {C^2} = \frac{g}{k}. {\tanh k(h)} } $

Jika nilai $ k = \frac{\displaystyle 2 \pi}{\displaystyle L} $ di substitusikan ke dalam Persamaan (\ref{eq:41a}), maka akan didapat persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ {C^2} = \frac{g}{k}. {\tanh \left( \frac{2 \pi h}{L}\right)} } $ $ \displaystyle{ {C^2} = \frac{g}{\left( \frac{\displaystyle 2 \pi}{\displaystyle L} \right) }. {\tanh \left( \frac{2 \pi h}{L}\right)} } $
$ \displaystyle{ {C^2} = \frac{g L}{2 \pi}. {\tanh \left( \frac{2 \pi h}{L}\right)} } $

Persamaan (\ref{eq:41b}) menunjukkan kecepatan penjalaran gelombang ($C^2$) sebagai fungsi dari kedalaman air ($h$) dan panjang gelombang ($L$). Persamaan (\ref{eq:41b}) dapat dirubah dalam bentuk persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ {C} = \frac{g L}{2 \pi C}. {\tanh \left( \frac{2 \pi h}{L}\right)} } $ $ \displaystyle{ {C} = \frac{g L}{2 \pi \frac{\displaystyle L}{\displaystyle T}}. {\tanh \left( \frac{2 \pi h}{L}\right)} } $
$ \displaystyle{ {C} = \frac{g T}{2 \pi}. {\tanh \left( \frac{2 \pi h}{L}\right)} } $

Persamaan (\ref{eq:41c}) merupakan persamaan kecepatan penjalaran gelombang ($C$). Dengan memasukkan $C = \frac{\displaystyle L}{\displaystyle T}$ kedalam Persamaan (\ref{eq:41c}), maka akan diperoleh bentuk persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ \frac{L}{T} = \frac{g T}{2 \pi}. {\tanh \left( \frac{2 \pi h}{L}\right)} } $
$ \displaystyle{ L = \frac{g T^2}{2 \pi}. {\tanh \left( \frac{2 \pi h}{L}\right)} } $

Persamaan (\ref{eq:41d}) merupakan persamaan panjang gelombang sebagai fungsi dari kedalaman $ h $ dan periode gelombang $ T $. Dengan menggunakan Persamaan (\ref{eq:41d}), apabila kedalaman air ($h$) dan periode gelombang ($T$) diketahui maka dapat dihitung panjang gelombang ($L$). 4. Klasifikasi kedalaman gelombang Berdasarkan kedalaman relatif ($\frac{\displaystyle h}{\displaystyle L}$), gelombang dapat diklasifikasikan menjadi 3 tiga tipe gelombang yaitu,

$ \displaystyle{ \textrm{1. gelombang di laut dangkal} \qquad \textrm{jika} \qquad \frac{h}{L} \leq \frac{1}{20} } $ $ \displaystyle{ \textrm{2. gelombang di laut transisi} \qquad \textrm{jika} \qquad \frac{1}{20 }< \frac{h}{L} < \frac{1}{2} } $
$ \displaystyle{ \textrm{3. gelombang di laut dalam} \qquad \textrm{jika} \qquad \frac{h}{L} \geq \frac{1}{2} } $

Klasifikasi gelombang di atas dimaksudkan untuk memberikan gambaran panjang gelombang untuk setiap variasi kedalaman. Apabila kedalaman relatif $\frac{h}{L}$ adalah lebih besar dari atau sama dengan $0,5$, maka $ {\tanh(\frac{2 \pi h}{L})} $ dapat ditulis menjadi $ \tanh (\pi) $, dan solusi untuk $ \tanh (\pi) $ adalah sama dengan $ 1 $, maka Persamaan (\ref{eq:41c}) dan Persamaan (\ref{eq:41d}) dapat ditulis menjadi,

$ \displaystyle{ C =\frac{g T}{2 \pi} = C_o } $

$ \displaystyle{ L = \frac{g T^2}{2 \pi} = L_o } $

Persamaan (\ref{eq:41e}) merupakan persamaan cepat rambat gelombang di laut dalam ($ C_o $) dan Persamaan (\ref{eq:41f}) merupakan panjang gelombang di laut dalam ($ L_o $). Jika dimasukkan nilai $ g = 9,8 m/det^2 $ dan $\pi = 3,14$ maka Persamaan (\ref{eq:41e}) dan Persamaan (\ref{eq:41f}) dapat ditulis menjadi,

$ \displaystyle{ C_o =\frac{9,8 \times T}{2 \times 3,14} = 1,56 \times T } $

$ \displaystyle{ L_o = \frac{9,8 \times T^2}{2 \times 3,14} =1,56 \times T^2 } $

Untuk memahami karakteristik persamaan gelombang amplitudo kecil, dapat dilakukan dengan mempelajari kurva hubungan antara $ \frac{h}{L} $ dan $ \tanh kh $ yang dapat dilihat pada Gambar \ref{fig:02}. \centerline{\epsfig{file = tanh.pdf,angle=0,width=1\linewidth}} Jika kedalaman relatif adalah lebih kecil dari $ \frac{1}{20} $ maka nilai dari $\tanh(\frac{2 \pi h}{L})$ lebih mendekati nilai $\frac{2 \pi h}{L}$, sehingga Persamaan (\ref{eq:41b}) dapat ditulis menjadi bentuk persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ C^2 = \frac{g L}{2 \pi} \frac{2 \pi h}{L} = g h } $

Selanjutnya Persamaan (\ref{eq:41g}) dapat ditulis menjadi,

$ \displaystyle{ C = \sqrt{g h} } $

Persamaan (\ref{eq:41h}) merupakan persamaan cepat rambat gelombang di laut dangkal berdasarkan teori gelombang amplitudo kecil. Untuk cepat rambat gelombang di laut transisi, yaitu jika $\frac{h}{L}$ nilainya memenuhi $\frac{1}{20} < \frac{h}{H} < \frac{1}{2}$, cepat rambat dan panjang gelombang dihitung dengan menggunakan Persamaan (\ref{eq:41c}) dan Persamaan (\ref{eq:41d}). Jika Persamaan (\ref{eq:41c}) dibagi dengan Persamaan (\ref{eq:41e}) dan Persamaan (\ref{eq:41d}) dibagi dengan Persamaan (\ref{eq:41f}), maka akan didapat persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ \frac{C}{C_o} = \frac{\frac{g T}{2 \pi}}{\frac{g T}{2 \pi}}. {\tanh \left( \frac{2 \pi h}{L}\right)} } $
$ \displaystyle{ \frac{C}{C_o} = {\tanh \left( \frac{2 \pi h}{L}\right)} } $

$ \displaystyle{ \frac{L}{L_o} = \frac{\frac{g T^2}{2 \pi}}{\frac{g T^2}{2 \pi}}. {\tanh \left( \frac{2 \pi h}{L}\right)} } $
$ \displaystyle{ \frac{L}{L_o} = {\tanh \left( \frac{2 \pi h}{L}\right)} } $

Dari Persamaan (\ref{eq:41i}) dan Persamaan (\ref{eq:41j}) didapat bahwa,

$ \displaystyle{ \frac{C}{C_o} = \frac{L}{L_o} = {\tanh \left( \frac{2 \pi h}{L}\right)} } $

Apabila Persamaan (\ref{eq:41k}) dikalikan dengan $ h/L$. maka akan didapat persamaan berikut,

$ \displaystyle{ \frac{L}{L_o} = {\tanh \left( \frac{2 \pi h}{L}\right)} } $ $ \displaystyle{ \frac{L}{L_o} \frac{h}{L} = \frac{h}{L} {\tanh \left( \frac{2 \pi h}{L}\right)} } $
$ \displaystyle{ \frac{h}{L_o} = \frac{h}{L} {\tanh \left( \frac{2 \pi h}{L}\right)} } $

Dengan menggunakan perbandingan $h/L_o$ dari Persamaan (\ref{eq:41l}), maka dapat dihitung panjang gelombang untuk setiap kedalaman, apabila panjang gelombang di laut dalam ($L_o$) diketahui atau periode gelombang ($T$) diketahui dari Persamaan (\ref{eq:41f}). Program untuk perhitungan tabel panjang gelombang dapat dilihat pada Lampiran \ref{algor} Cepat Rambat Kelompok Gelombang Untuk dapat menurunkan cepat rambat kelompok gelombang maka dirumuskan bahwa cepat rambat gelombang merupakan solusi dari persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ C_{g} = \frac{d \sigma}{d k} } $

Dimana, $\qquad \qquad \sigma$ = frekuensi gelombang $\qquad \qquad k$ = bilangan gelombang Cepat rambat kelompok gelombang merupakan perubahan frekuensi gelombang terhadap bilangan gelombangnya. Dari persamaan gelombang amplitudo kecil, Persamaan (\ref{eq:41}) diketahui sebagai berikut,

$ \displaystyle{ {\sigma}^2 = g.k. {\tanh k(h)} } $

Bila diasumsikan ${\sigma}^2 = g.k. {\tanh k(h)} = A$. Maka akan didapat,

$ \displaystyle{ \frac{d A}{d k} = {\frac{d}{d k}} \left({\sigma^2}\right) } $

Selanjutnya Persamaan (\ref{eq:43}) dapat ditulis menjadi,

$ \displaystyle{ \frac{d A}{d k} = 2.\sigma.{\frac{d \sigma}{d k}} } $

Dengan mensubstitusikan Persamaan (\ref{eq:42}) ke dalam Persamaan (\ref{eq:44}), maka selanjutnya akan didapat persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ \frac{d A}{d k} = 2.\sigma.{C_g} } $

Dari Persamaan (\ref{eq:43}) juga dapat diturunkan menjadi persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ \frac{d A}{d k} = {\frac{d}{d k}} \big\{g.k.\tanh (k.h)}\big\} } $

Dari Persamaan (\ref{eq:46}) dapat disusun persamaan berikut,

$ \displaystyle{ \frac{d A}{d k} = \tanh (k.h).{\frac{d}{d k}}{\big\{g.k \big\}} + g.k.{\big\{\tanh (k.h)\big\}}} $

Selanjutnya solusi untuk Persamaan (\ref{eq:47}) adalah sebagai berikut,

$ \displaystyle{ \frac{d A}{d k} = g.\tanh (k.h) + g.k.h.{\frac{1}{\cosh^2 (k.h)}} } $

Dengan memasukkan persamaan ruas kiri maka Persamaan (\ref{eq:48}) menjadi,

$ \displaystyle{ 2.\sigma.{C_g} = g.\tanh (k.h) + g.k.h.{\frac{1}{\cosh^2 (k.h)}} } $

Dari Persamaan (\ref{eq:49}) bisa didapat persamaan kecepatan kelompok gelombang sebagai berikut,

$ \displaystyle{ {C_g} = \frac{g.\tanh (k.h)}{2\sigma} + \frac{g.k.h}{2. \sigma . \cosh^2 (k.h)} } $

Dengan mengalikan ruas kanan dengan $\frac{\displaystyle \sigma}{\displaystyle \sigma}$, maka Persamaan (\ref{eq:50}) dapat dituilis menjadi,

$ \displaystyle{ {C_g} = \frac{g. \sigma. \tanh (k.h)}{2{\sigma}^2} + \frac{g.k.h. \sigma}{2. {\sigma}^2 . \cosh^2 (k.h)} } $

Dari Persamaan (\ref{eq:41}) diketahui bahwa,

$ \displaystyle{ {\sigma}^2 = g.k. {\tanh k(h)} } $

Sehingga Persamaan (\ref{eq:51}) dapat disusun menjadi,

$ \displaystyle{ {C_g} = \frac{g. \sigma. \tanh (k.h)}{2.g.k.\tanh (k.h)} + \frac{g.k.h. \sigma}{2.g.k \tanh (k.h) . \cosh^2 (k.h)} } $

Dengan menghilangkan koefisien $g$ Persamaan (\ref{eq:51a}) menjadi,

$ \displaystyle{ {C_g} = \frac{\sigma. \tanh (k.h)}{2.k.\tanh (k.h)} + \frac{k.h. \sigma}{2.k \tanh (k.h) . \cosh^2 (k.h)} } $

Dengan mengeluarkan konstanta $\sigma$ dan $2.k$ maka Persamaan (\ref{eq:52}) dapat disusun menjadi bentuk persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ {C_g} = {\frac{\sigma}{2.k}}\Bigg\{{\frac{\tanh (k.h)}{\tanh (k.h)} + \frac{k.h}{\tanh (k.h) . \cosh^2 (k.h)}}\Bigg\} } $

Selanjutnya Persamaan (\ref{eq:53}) dapat disederhanakan menjadi persamaan berikut,

$ \displaystyle{ {C_g} = {\frac{\sigma}{2.k}}\Bigg\{{1 + \frac{k.h}{\tanh (k.h) . \cosh^2 (k.h)}}\Bigg\} } $

Karena $C = \frac{\displaystyle \sigma}{\displaystyle k}$, maka Persamaan (\ref{eq:54}) dapat ditulis menjadi,

$ \displaystyle{ {C_g} = {\frac{C}{2}}\Bigg\{{1 + \frac{k.h}{\tanh (k.h) . \cosh^2 (k.h)}}\Bigg\} } $

Persamaan (\ref{eq:55}) selanjutnya dapat ditulis menjadi,

$ \displaystyle{ {C_g} = {\frac{C}{2}}\Bigg\{{1 + {\frac{\displaystyle k.h}{\displaystyle \biggl[ \frac{\sinh (k.h)}{\cosh (k.h)}\biggr] . \cosh^2 (k.h)}}}\Bigg\} } $

Selanjutnya persamaannya menjadi,

$ \displaystyle{ {C_g} = {\frac{C}{2}}\Bigg\{{1 + {\frac{\displaystyle k.h}{\displaystyle \sinh (k.h) . \cosh (k.h)}}}\Bigg\} } $

Dengan mengalikan ruas kanan dengan $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 2}$, maka Persamaan (\ref{eq:57}) dapat ditulis menjadi,

$ \displaystyle{ {C_g} = {\frac{C}{2}}\Bigg\{{1 + {\frac{\displaystyle 2.k.h}{\displaystyle 2 . \sinh (k.h) . \cosh (k.h)}}}\Bigg\} } $

Karena,

$ \displaystyle{ 2 . \sinh (k.h) . \cosh (k.h) = \sinh (2.k.h) } $

Maka Persamaan (\ref{eq:58}) dapat ditulis menjadi,

$ \displaystyle{ {C_g} = {\frac{C}{2}}\Bigg\{{1 + {\frac{\displaystyle 2.k.h}{\displaystyle \sinh (2.k.h)}}}\Bigg\} } $

Persamaan (\ref{eq:59}) merupakan persamaan cepat rambat kelompok gelombang. Persamaan (\ref{eq:59}) juga dapat ditulis menjadi bentuk persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ {C_g} = {\frac{1}{2}}\Bigg\{{1 + {\frac{\displaystyle 2.k.h}{\displaystyle \sinh (2.k.h)}}}\Bigg\}.C = n.C } $

Dimana $n={\frac{1}{2}}\big\{{1 + {\frac{\displaystyle 2.k.h}{\displaystyle \sinh (2.k.h)}}}\big\}$ merupakan rasio cepat rambat kelompok gelombang untuk perairan dangkal, yang mana $n$ juga dapat dipresentasikan sebagai $\frac{C_g}{C}$. Sedangkan rasio cepat rambat kelompok gelombang untuk gelombang di laut dalam dapat dipresentasikan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ \frac{C_g}{C_o} = \frac{C_g}{C} \times \frac{C}{C_o} = n \tanh \left( \frac{2 \pi h}{L} \right) } $

Pada Tabel Panjang Gelombang yang dipresentasikan dalam Lampiran \ref{tabel} ini juga diberikan beberapa keofisien sebagai berikut, Koefisien energi gelombang ($M$) yang dipresentasikan sebagai,

$ \displaystyle{ M = \frac{{\pi}^2}{2 \bigl\{ \tanh (kh) \bigr\}^2} } $

Koefisien pendangkalan ({\em shoaling coefficient}) dipresentasikan sebagai,

$ \displaystyle{ \frac{H}{H_o} = \sqrt{\frac{1}{2} . \frac{1}{n} . \frac{1}{\frac{C}{C_o}}} = K_s } $

Faktor respon tekanan dipresentasikan sebagai,

$ \displaystyle{ K = \frac{1}{\cosh (kh)} } $

Koefisien-koefisien dari persamaan di atas juga diberikan dalam SPM 1984. Fluktuasi Muka Air Profil pemukaan air laut dapat dihitung dengan menurunkan persamaan potensial kecepatan terhadap waktu dan dengan memasukkan syarat untuk kondisi batas permukaan. Untuk jelasnya dapat dilihat pada persamaan berikut,

$ \displaystyle{ \eta = \frac{1}{g} \frac{\partial \phi}{\partial t} \qquad \textrm{di $z$ = 0 } } $

Dengan memasukkan persamaan potensial kecepatan ($\phi$) ke dalam Persamaan (\ref{eq:60:1}) untuk kondisi batas $z = 0$, maka akan didapat,

$ \displaystyle{ \eta = \frac{1}{g} \frac{\partial}{\partial t} \biggl[ - \frac{H g}{2 \sigma} \frac{\cosh k( h + z)}{\cosh (kh)} \sin (kx-\sigma t) \biggr] } $
$ \displaystyle{ \eta = - \frac{1}{g} \frac{H g}{2 \sigma} \frac{\cosh k( h + z)}{\cosh (kh)} \frac{\partial}{\partial t} \biggl[ \sin (kx-\sigma t) \biggr] } $

Penyelesaian untuk Persamaan (\ref{eq:60:2}) adalah sebagai berikut,

$ \displaystyle{ \eta = - \frac{1}{g} \frac{H g}{2 \sigma}(- \sigma) \frac{\cosh (kh)}{\cosh (kh)} \cos (kx - \sigma t) } $
$ \displaystyle{ \eta = \frac{H}{2} \cos (kx - \sigma t) = a \cos (k x - \sigma t) } $

Persamaan (\ref{eq:60:3}) merupakan persamaan untuk fluktuasi muka air. Dari persamaan tersebut diketahui bahwa fluktuasi muka air ($\eta$) merupakan fungsi dari variabel $x$ dan $t$. Kecepatan Partikel Zat Cair Berdasarkan potensial kecepatan yang didapat dari Persamaan (\ref{eq:36}), maka dapat dihitung kecepatan partikel zat untuk berbagai kedalaman $h$, pada posisi $z$ dan waktu $t$. Komponen kecepatan partikel zat cair untuk arah $x$ dan arah $z$ dapat ditentukan berdasarkan persamaan

$ \displaystyle{ u = - \frac{\partial \phi}{\partial x} \qquad w = - \frac{\partial \phi}{\partial z} } $

Dengan memasukkan nilai $\phi$ dari Persamaan (\ref{eq:36}), maka didapat persamaan kecepatan partikel zat cair dalam arah horizontal ($u$) sebagai berikut,

$ \displaystyle{ u = - \frac{\partial \phi (x,z,t)}{\partial x}= - \frac{\partial}{\partial x}\{{- \frac{H}{2}}{\frac{g \cosh k(h+z)}{\sigma \cosh k(h)}}\left({\sin (kx - \sigma t)}\right) \} } $
$ \displaystyle{ u = - \frac{\partial \phi (x,z,t)}{\partial x}={\frac{H}{2}}{\frac{g \cosh k(h+z)}{\sigma \cosh k(h)}} \frac{\partial}{\partial x} \{ \sin (kx - \sigma t) \} } $

Diketahui bahwa,

$ \displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x} \{ \sin (k x - \sigma t) \} = k \cos (k x - \sigma t) } $

Dengan memasukkan Persamaan (\ref{eq:60c}) kedalam Persamaan (\ref{eq:60b}), maka akan didapat persamaan berikut,

$ \displaystyle{ u = {\frac{H}{2}}{\frac{g k \cosh k(h+z)}{\sigma \cosh k(h)}} \cos (k x - \sigma t) } $

Persamaan (\ref{eq:60d}) merupakan persamaan kecepatan partikel zat cair dalam arah horizontal (arah sumbu$-x$). Dengan memasukkan nilai $k = \frac{2 \pi}{L}$ dan nilai $\sigma = \frac{2 \pi}{T}$ ke dalam Persamaan (\ref{eq:60d}), maka akan didapat bentuk persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ u= \frac{Hg}{2}\frac{\left( \frac{2 \pi}{L} \right)}{\left( \frac{2 \pi}{T}\right)}\frac{\cosh k(h+z)}{\cosh k(h)}\cos (kx-\sigma t) } $ $ \displaystyle{ u= \frac{Hg}{2} \left( \frac{T}{L}\right) \frac{\cosh k(h+z)}{\cosh k(h)}\cos (kx-\sigma t) } $
$ \displaystyle{ u= \frac{H g}{2 C} \frac{\cosh k(h+z)}{\cosh k(h)}\cos (kx-\sigma t) } $

Dari Persamaan (\ref{eq:41c}) diketahui bahwa $C = \frac{g T}{2 \pi} \tanh (kx - \sigma t)$, sehingga Persamaan (\ref{eq:60e}) dapat ditulis menjadi bentuk persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ u= \frac{H g}{2 {\frac{g T}{2 \pi} \tanh (kh)}} \frac{\cosh k(h+z)}{\cosh (kh)}\cos (kx-\sigma t) } $ $ \displaystyle{ u= \frac{H g}{2 {\frac{g T}{2 \pi} \frac{\sinh (kh)}{\cosh(kh)}}} \frac{\cosh k(h+z)}{\cosh (kh)}\cos (kx-\sigma t) } $
$ \displaystyle{ u= \frac{\pi H}{T} \frac{\cosh k(h+z)}{\sinh (kh)}\cos (kx-\sigma t) } $

Persamaan (\ref{eq:60f}) merupakan bentuk lain persamaan kecepatan partikel zat cair dalam arah horizontal, yang mengandung variabel periode gelombang $T$. Untuk mendapatkan persamaan kecepatan partikel zat cair dalam arah vertikal ($w$), dapat dilakukan dengan cara mensubstitusikan Persamaan (\ref{eq:36}) atau persamaan potensial kecepatan ke dalam Persamaan (\ref{eq:60a}) sebagai berikut,

$ \displaystyle{ w = - \frac{\partial \phi (x,z,t)}{\partial z}= - \frac{\partial}{\partial z}\{{- \frac{H}{2}}{\frac{g \cosh k(h+z)}{\sigma \cosh k(h)}}\left({\sin (kx - \sigma t)}\right) \} } $
$ \displaystyle{ w = - \frac{\partial \phi (x,z,t)}{\partial z}={ \frac{H}{2}}{\frac{g \sin (k x - \sigma t)}{\sigma \cosh k(h)}} \frac{\partial}{\partial z} \{ \cosh k(h + z) \} } $

Diketahui bahwa,

$ \displaystyle{ \frac{\partial}{\partial z} \{ \cosh k(h + z) \}= k \sinh k(h + z) } $

Dengan mensubstitusikan Persamaan (\ref{eq:60h}) ke dalam Persamaan (\ref{eq:60g}), maka akan didapat persamaan berikut,

$ \displaystyle{ w ={\frac{H}{2}}{\frac{g k \sin (k x - \sigma t)}{\sigma \cosh k(h)}} \sinh k(h + z) } $
$ \displaystyle{ w ={\frac{H}{2}}{\frac{g k \sinh k(h + z)}{\sigma \cosh k(h)}} \sin (k x - \sigma t) } $

Persamaan (\ref{eq:60i}) merupakan persamaan kecepatan partikel zat cair dalam arah vertikal (arah sumbu$-z$). Dengan memasukkan nilai bilangan gelombang $k = \frac{2 \pi}{L}$ dan nilai frekuensi gelombang $\sigma = \frac{2 \pi}{T}$ ke dalam Persamaan (\ref{eq:60i}), maka akan didapat bentuk persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ w = \frac{Hg}{2}\frac{\left( \frac{2 \pi}{L} \right)}{\left( \frac{2 \pi}{T}\right)}\frac{\sinh k(h+z)}{\cosh k(h)}\sin (kx-\sigma t) } $ $ \displaystyle{ w = \frac{Hg}{2} \left( \frac{T}{L}\right) \frac{\sinh k(h+z)}{\cosh k(h)}\sin (kx-\sigma t) } $
$ \displaystyle{ w = \frac{H g}{2 C} \frac{\sinh k(h+z)}{\cosh k(h)}\sin (kx-\sigma t) } $

Dari Persamaan (\ref{eq:41c}) diketahui bahwa $C = \frac{g T}{2 \pi} \tanh (kx - \sigma t)$, sehingga Persamaan (\ref{eq:60j}) dapat ditulis menjadi bentuk persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ w = \frac{H g}{2 {\frac{g T}{2 \pi} \tanh (kh)}} \frac{\sinh k(h+z)}{\cosh (kh)}\sin (kx-\sigma t) } $ $ \displaystyle{ w = \frac{H g}{2 {\frac{g T}{2 \pi} \frac{\sinh (kh)}{\cosh(kh)}}} \frac{\sinh k(h+z)}{\cosh (kh)}\sin (kx-\sigma t) } $
$ \displaystyle{ w = \frac{\pi H}{T} \frac{\sinh k(h+z)}{\sinh (kh)}\sin (kx-\sigma t) } $

Persamaan (\ref{eq:60k}) merupakan bentuk lain persamaan kecepatan partikel zat cair dalam arah vertikal, yang mengandung variabel periode gelombang ($T$). Distribusi kecepatan partikel zat cair untuk setiap kedalaman dapat dilihat pada Gambar \ref{fig:03}. \centerline{\epsfig{file = kecepatan.pdf,angle=0,width=0.8\linewidth}} \caption{Distribusi kecepatan partikel zat cair} Percepatan Partikel Zat Cair Percepatan partikel zat cair dapat diperoleh dari Persamaan (\ref{eq:60f}) dan Persamaan (\ref{eq:60k}) dengan cara menurunkan persamaan tersebut terhadap variabel waktu $t$. Untuk percepatan partikel zat cair dalam arah horizontal dapat ditulis seperti persamaan berikut,

$ \displaystyle{ a_x = \frac{\partial u}{\partial t}= \frac{\partial}{\partial t} \biggl[{\frac{\pi H}{T} \frac{\cosh k(h+z)}{\sinh (kh)}\cos (kx-\sigma t)}\biggr] } $
$ \displaystyle{ a_x = \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\pi H}{T} \frac{\cosh k(h+z)}{\sinh (kh)} \frac{\partial}{\partial t} \bigl[ \cos (kx-\sigma t) \bigr] } $

Diketahui bahwa,

$ \displaystyle{ \frac{\partial}{\partial t} \bigl[ \cos (kx - \sigma t) \bigr]= \sigma \sin (kx - \sigma t) } $

Dengan memasukkan Persamaan (\ref{eq:60m}) ke dalam Persamaan (\ref{eq:60l}), maka akan didapat persamaan berikut,

$ \displaystyle{ a_x = \frac{\pi H \sigma}{T} \frac{\cosh k(h+z)}{\sinh (kh)} \sin (kx-\sigma t) }

Persamaan (\ref{eq:60n}) merupakan persamaan percepatan partikel dalam arah horizontal (arah sumbu $-x$) Dengan memasukkan nilai $\sigma = \frac{2 \pi}{T}$ ke dalam Persamaan (\ref{eq:60n}) maka akan didapat bentuk persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ a_x = \frac{\pi H \left({\frac{2 \pi}{T}}\right)}{T} \frac{\cosh k(h+z)}{\sinh (kh)} \sin (kx-\sigma t) } $
$ \displaystyle{ a_x = \frac{2 {{\pi}^2} H}{T^2} \frac{\cosh k(h+z)}{\sinh (kh)} \sin (kx-\sigma t) } $

Persamaan (\ref{eq:60o}) merupakan bentuk lain dari persamaan percepatan partikel dalam arah horizontal. Untuk percepatan partikel zat cair dalam arah vertikal dapat ditulis seperti persamaan berikut,

$ \displaystyle{ a_z = \frac{\partial w}{\partial t}= \frac{\partial}{\partial t} \biggl[{\frac{\pi H}{T} \frac{\sinh k(h+z)}{\sinh (kh)}\sin (kx-\sigma t)}\biggr] } $
$ \displaystyle{ a_z = \frac{\partial w}{\partial t}= \frac{\pi H}{T} \frac{\sinh k(h+z)}{\sinh (kh)} \frac{\partial}{\partial t} \bigl[ \sin (kx-\sigma t) \bigr] } $

Diketahui bahwa,

$ \displaystyle{ \frac{\partial}{\partial t} \bigl[ \sin (kx - \sigma t) \bigr]= - \sigma \cos (kx - \sigma t) } $

Dengan memasukkan Persamaan (\ref{eq:60q}) ke dalam Persamaan (\ref{eq:60p}), maka akan didapat persamaan berikut,

$ \displaystyle{ a_z = - \frac{\pi H \sigma}{T} \frac{\sinh k(h+z)}{\sinh (kh)} \cos (kx-\sigma t) } $

Persamaan (\ref{eq:60r}) merupakan persamaan percepatan partikel dalam arah vertikal (arah sumbu $-z$) Dengan memasukkan nilai $\sigma = \frac{2 \pi}{T}$ ke dalam Persamaan (\ref{eq:60r}) maka akan didapat bentuk persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ a_z = - \frac{\pi H \left({\frac{2 \pi}{T}}\right)}{T} \frac{\sinh k(h+z)}{\sinh (kh)} \cos (kx-\sigma t) } $
$ \displaystyle{ a_z = - \frac{2 {{\pi}^2} H}{T^2} \frac{\sinh k(h+z)}{\sinh (kh)} \cos (kx-\sigma t) } $

Persamaan (\ref{eq:60s}) merupakan bentuk lain dari persamaan percepatan partikel dalam arah vertikal. Perpindahan Partikel Zat Cair Gelombang yang bergerak di dalam zat cair, selain akan memberikan kecepatan ($u$ dan $w$) dan percepatan ($a_x$ dan $a_z$) pada partikelnya, gelombang juga akan menimbulkan perpindahan partikel zat cair. Untuk mendapatkan persamaan perpindahan partikel zat cair baik, dalam arah horizontal maupun dalam arah vertikal dapat dilakukan dengan cara mengalikan kecepatan perpindahan ($u$ dan $w$) dengan waktu ($t$) terjadinya perpindahan. Untuk jelasnya lihat hubungan dari persamaan berikut,

$ \displaystyle{ u = \frac{\partial \xi}{\partial t} \qquad w = \frac{\partial \varepsilon}{\partial t} } $

Dari Persamaan (\ref{eq:60t}) maka didapat persamaan perpindahan partikel zat cair dalam arah horizontal (arah $x$) dan arah vertikal (arah $z$) sebagai berikut,

$ \displaystyle{ \textrm{perpindahan horizontal} \qquad \xi = \int u dt } $
$ \displaystyle{ \textrm{perpindahan vertikal} \qquad \varepsilon = \int w dt } $

Untuk mendapatkan persamaan perpindahan partikel zat cair dalam arah hori-zontal, dapat dilakukan dengan cara memasukkan Persamaan (\ref{eq:60f}) ke dalam Persamaan (\ref{eq:60u}) seperti berikut,

$ \displaystyle{ \xi = \int u dt = \int \biggl[{\frac{\pi H}{T} \frac{\cosh k(h+z)}{\sinh (kh)}\cos (kx-\sigma t)}\biggr] dt } $ $ \displaystyle{ = \frac{\pi H}{T} \frac{\cosh k(h+z)}{\sinh (kh)} \int \bigl[ \cos (kx-\sigma t) \bigr] dt } $

Diketahui bahwa,

$ \displaystyle{ \int \bigl[ \cos (k x - \sigma t) \bigr] dt = \frac{1}{\sigma} \int \bigl[ \cos (k x - \sigma t) \bigr] d{(\sigma t)}= - \frac{1}{\sigma} \sin (k x - \sigma t) } $

Dengan memasukkan Persamaan (\ref{eq:60w}) ke dalam Persamaan (\ref{eq:60v}), maka akan didapat persamaan berikut,

$ \displaystyle{ \xi = - \frac{\pi H}{T \sigma} \frac{\cosh k(h+z)}{\sinh (kh)} \sin (kx-\sigma t) } $

Persamaan (\ref{eq:60x}) merupakan persamaan perpindahan partikel zat cair dalam arah horizontal (arah sumbu $-x$). Dengan memasukkan nilai $\sigma = \frac{2 \pi}{T}$ ke dalam Persamaan (\ref{eq:60x}) maka akan didapat bentuk persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ \xi = - \frac{\pi H}{T {\frac{2 \pi}{T}}} \frac{\cosh k(h+z)}{\sinh (kh)} \sin (kx-\sigma t) } $ $ \displaystyle{ \xi = - \frac{H}{2} \frac{\cosh k(h+z)}{\sinh (kh)} \sin (k x - \sigma t) } $

Persamaan (\ref{eq:60y}) merupakan persamaan perpindahan partikel zat cair dalam arah horizontal dengan bentuk persamaan yang lebih sederhana. Untuk mendapatkan persamaan perpindahan partikel zat cair dalam arah vertikal, dapat dilakukan dengan cara memasukkan Persamaan (\ref{eq:60k}) ke dalam Persamaan (\ref{eq:60u}) seperti berikut,

$ \displaystyle{ \varepsilon = \int w dt = \int \biggl[{\frac{\pi H}{T} \frac{\sinh k(h+z)}{\sinh (kh)}\sin (kx-\sigma t)}\biggr] dt } $
$ \displaystyle{ \varepsilon = \int w dt = \frac{\pi H}{T} \frac{\sinh k(h+z)}{\sinh (kh)} \int \bigl[ \sin (kx-\sigma t) \bigr] dt } $

Diketahui bahwa,

$ \displaystyle{ \int \bigl[ \sin (k x - \sigma t) \bigr] dt = \frac{1}{\sigma} \int \bigl[ \sin (k x - \sigma t) \bigr] d{(\sigma t)}= \frac{1}{\sigma} \cos (k x - \sigma t) } $

Dengan mensubstitusikan Persamaan (\ref{eq:60zz}) ke dalam Persamaan (\ref{eq:60z}), maka akan didapat persamaan berikut,

$ \displaystyle{ \varepsilon = \frac{H}{2} \frac{\sinh k(h+z)}{\sinh (kh)} \cos (k x - \sigma t) } $

Persamaan (\ref{eq:60za}) merupakan persamaan perpindahan partikel zat cair dalam arah vertikal dengan bentuk yang lebih sederhana. Tekanan Gelombang Tekanan akibat gaya gelombang merupakan tekanan yang diakibatkan gaya hidrostatis dan gaya hidrodinamis. Gaya tekanan gelombang dapat dicari dengan cara memasukkan Persamaan (\ref{eq:36}) atau persamaan potensial kecepatan ke dalam Persamaan (\ref{eq:23}) atau persamaan Bernoulli. Dengan mengabaikan suku $u^2$, $w^2$ dan $C(t)$ dari persamaan Bernoulli, maka dapat disusun persamaan tekanan gelombang sebagai berikut,

$ \displaystyle{ {-\frac{\partial \phi}{\partial t}}+{\frac{1}{2}}{\left( {{u^2}+{w^2}} \right)}+ \frac {p}{\rho} + g.z = 0 } $
$ \displaystyle{ p = \rho {\frac{\partial \phi}{\partial t}} - \rho g z } $

Dengan memasukkan persamaan potensial kecepatan ke dalam Persamaan (\ref{eq:60zb}), maka akan didapat persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ p = {{- \frac{\rho H}{2}}{\frac{g \cosh k(h+z)}{\sigma \cosh k(h)}} \frac{\partial}{\partial t} \bigl[{\sin (kx - \sigma t)}\bigr]} - \rho g z } $
$ \displaystyle{ p = \underbrace{{\frac{\rho g H}{2}}{\frac{\cosh k(h+z)}{\cosh k(h)}} {\cos (kx - \sigma t)}}_{hidrodinamik} - \underbrace{\rho g z}_{hidrostatik} } $

Persamaan (\ref{eq:60zc}) merupakan persamaan untuk tekanan gelombang yang terdiri dari tekanan hidrostatik dan tekanan hidrodinamik. % % % % bagian ini menjelaskan mengenai energi gelombang % % % Energi Gelombang Gelombang yang bergerak selain menimbulkan pergerakan partikel, juga dapat memberikan energi gelombang. Energi gelombang terdiri dari 2(dua) jenis, yaitu energi kinetik dan energi potensial gelombang. Energi kinetik terjadi karena adanya kecepatan partikel akibat gerak gelombang. Sedangkan energi potensial terjadi karena adanya perpindahan muka air karena gerakan gelombang. Untuk teori gelombang amplitudo kecil, jika energi gelombang ditetapkan relatif terhadap muka air diam, dan semua gelombang menjalar dalam arah yang sama, maka akan didapat komponen energi potensial dan energi kinetik adalah sama. Untuk mendapatkan persamaan energi gelombang, diasumsikan suatu elemen dengan volume berukuran $dx \times dz \times 1$ dengan berat jenis $\rho$ dan dengan massa $dm$. Karena adanya kecepatan partikel dalam arah $u$ dan $w$, elemen tersebut akan menghasilkan energi kinetik sebagai berikut,

$ \displaystyle{ d {E_k} = {\frac{1}{2}}.{dm}.{V^2} } $
$ \displaystyle{ d {E_k} = {\frac{1}{2}}.\bigl[ {\rho}\times{d x}\times{d z} \times {1} \bigr] .(u^2 + w^2) } $

Untuk menyelesaikan Persamaan (\ref{eq:60zd}), maka dapat dilakukan dengan cara mengintegrasikan persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ E_k = \int_{0}^{L} \int_{-h}^{0} \frac{1}{2}.\rho .(u^2 + w^2) .{dz}.{dx} } $

Dengan memasukkan persamaan kecepatan partikel zat cair arah horizontal ($u$) dari Persamaan (\ref{eq:60f}) dan arah vertikal ($w$) dari Persamaan (\ref{eq:60k}) ke dalam Persamaan (\ref{eq:60ze}), maka selanjutnya persamaan ini dapat ditulis menjadi bentuk persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ E_k = \frac{\rho}{2} \int_{0}^{L} \int_{-h}^{0} \Bigg\{ \bigl[ { \frac{\pi H}{T} \frac{\cosh k(h+z)}{\sinh (kh)}\cos (kx-\sigma t) } \bigr]^2 | + \bigl[ {\frac{\pi H}{T} \frac{\sinh k(h+z)}{\sinh (kh)}\sin (kx-\sigma t)} \bigr]^2 \Bigg\} {dz} {dx} } $

Dari Persamaan (\ref{eq:60zf1}) dapat disusun bentuk persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ E_k = \frac{\rho \pi H}{2 T \sinh (kh)} \int_{0}^{L} \int_{-h}^{0} \bigl[ {\cosh k(h+z) \cos (kx-\sigma t) } \bigr]^2 {dz}{dx} + \frac{\rho \pi H}{2 T \sinh (kh)} \int_{0}^{L} \int_{-h}^{0} \bigl[ { \sinh k(h+z) \sin (kx-\sigma t)} \bigr]^2 {dz} {dx} } $

Selanjutnya Persamaan (\ref{eq:60zf2}) disusun menjadi,

$ \displaystyle{ E_k = \frac{\rho \pi H}{2 T \sinh (kh)} \int_{0}^{L} {\cos^2} (kx - \sigma t) \Biggl[ \int_{-h}^{0} {\cosh^2} k(h+z) {dz}\Biggr]{dx} + \frac{\rho \pi H}{2 T \sinh (kh)} \int_{0}^{L} {\sin^2}(kx-\sigma t) \Biggl[ \int_{-h}^{0} {\sinh^2} k(h+z) {dz} \Biggr]{dx} } $

Jika Persamaan (\ref{eq:60zg1}) diselesaikan maka akan didapat persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ E_k = \frac{\rho g H^2 L}{16} } $

Persamaan (\ref{eq:60zg}) merupakan persamaan energi kinetik gelombang untuk teori gelombang amplitudo kecil. Apabila energi potensial dari gelombang dikurangi dengan energi gelombang dari massa air diam, maka akan didapat energi potensial yang disebabkan oleh gerak gelombang. Dengan asumsi bahwa dasar laut sebagai bidang referensi maka e-nergi potensial yang ditimbulkan oleh panjang gelombang untuk setiap satu sa-tuan lebar puncak gelombang dapat dirumuskan sebagai berikut, \

$ \displaystyle{ E_p = \int_{0}^{L} \big[ \rho g (h + \eta) (\frac{h + \eta}{2}) \big] dx - \rho g L h (\frac{h}{2}) } $

Dengan mensubstitusikan Persamaan (\ref{eq:60:3}) ke dalam Persamaan (\ref{eq:60zh}), maka akan didapat persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ E_p =\frac{\rho g}{2} \int_{0}^{L} \big[ h + {\frac{H}{2} \cos (kx-\sigma t)} \big]^2 dx - \rho g L h (\frac{h}{2}) } $

Penyelesaian untuk Persamaan (\ref{eq:60zi}) adalah sebagai berikut,

$ \displaystyle{ E_p = \frac{\rho g {H^2} L}{16} } $

Persamaan (\ref{eq:60zj}) merupakan persamaan energi potensial gelombang. Sehingga total energi gelombang dapat ditulis sebagai berikut,

$ \displaystyle{ E = E_k + E_p = \frac{\rho g {H^2} L}{8} } $

Besarnya energi gelombang untuk setiap satu satuan panjang gelombang ($L$) dapat ditulis menjadi,

$ \displaystyle{ \bar{E} = \frac{E}{L} = \frac{\rho g {H^2}}{8} } $

Persamaan (\ref{eq:60zl}) merupakan energi rerata gelombang untuk setiap satu satuan panjang gelombang. Tenaga Gelombang Tenaga gelombang merupakan energi gelombang untuk tiap satu satuan waktu yang bergerak dalam arah penjalaran gelombang. Tenaga gelombang merupakan gaya yang bekerja pada suatu bidang vertikal dalam arah penjalaran gelombang yang bergerak dengan kecepatan partikel zat cair yang melintas bidang tersebut. untuk tiap satu satuan lebar, tenaga gelombang dapat dihitung sebagai berikut,

$ \displaystyle{ P = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \int_{-h}^{0}\bigg[ (p + \rho g z).u \bigg] {dz}{dt} } $

Dengan mensubstitusikan komponen dinamis dari tekanan gelombang atau Persamaan (\ref{eq:60zc}) dan komponen persamaan kecepatan horizontal zat cair atau Persamaan (\ref{eq:60f}) ke dalam Persamaan (\ref{eq:60zm}), maka akan didapat persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ P = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \int_{-h}^{0} \bigg\{ \frac{\rho g H}{2} \bigl[ \frac{\cosh k(h+z)}{\cosh (kh)} \cos (kx - \sigma t) \bigr] \bigg\} } \times \bigg\{ \frac{\pi H}{T} \bigl[ \frac{\cosh k(h+z)}{\cosh (kh)} cos (k x - \sigma t) \bigr] \bigg\} {dz} {dt} } $

Jika Persamaan (\ref{eq:60zn}) diselesaikan maka akan didapat persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ P = \frac{\rho g H^2 L}{16 T} \bigl( 1 + \frac{2 k h}{\sin (2 k h)} \bigr) } $ $ \displaystyle{ P = \frac{E}{T} \bigl( 1 + \frac{2 k h}{\sin (2 k h)} \bigr) } $
$ \displaystyle{ P = \frac{E}{T} n } $

Persamaan (\ref{eq:60zp}) merupakan persamaan tenaga gelombang ($P$) dimana diketahui bahwa $n$ merupakan rasio cepat rambat kelompok gelombang yang didapat dari Persamaan (\ref{eq:60}). Perhitungan Tabel Panjang Gelombang Untuk menghitung panjang gelombang yang didapat dari Persamaan (\ref{eq:41}) dapat dilakukan baik dengan menggunakan prosedur perhitungan biasa maupun dengan menggunakan tabel. SPM 1984 menyediakan tabel untuk perhitungan gelombang amplitudo kecil. Untuk membuat tabel perhitungan panjang gelombang dapat dilakukan dengan menggunakan berbagai bahasa pemrograman seperti fortran, C++, pascal, basic, java, python, php, javacsript dan lain sebagainya. Untuk dapat membuat tabel panjang gelombang seperti yang dipresentasikan dalam SPM 1984 diperlukan persamaan gelombang amplitude kecil seperti yang dipresentasikan dalam Persamaan (\ref{eq:41}),

$ \displaystyle{ {\sigma}^2 = g.k. {\tanh k(h)} } $

Dengan memasukkan $ \sigma = \frac{\displaystyle 2 \pi }{\displaystyle T} $ dan $ k = \frac{\displaystyle 2\pi}{\displaystyle L} $ maka Persamaan (\ref{eq:41}) di atas dapat ditulis menjadi persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ {\left( \frac{2 \pi }{T}\right)}^2 = g.\frac{2 \pi}{L}. {\tanh \left( \frac{\displaystyle 2\pi h}{\displaystyle L}\right)} } $

Persamaan (\ref{eq:61}) dapat ditulis dalam bentuk persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ L = \frac{g{T^2}}{2 \pi}. {\tanh \left( \frac{\displaystyle 2\pi h}{\displaystyle L}\right)} } $

Persamaan (\ref{eq:62}) dapat ditulis menjadi suatu persamaan yang merupakan fungsi dari variabel $ L $ seperti berikut,

$ \displaystyle{ f(L) = {\frac{g{T^2}}{2 \pi}. {\tanh \left( \frac{\displaystyle 2\pi h}{\displaystyle L}\right)} - L} } $

Dari Persamaan (\ref{eq:63}) dapat dicari penyelesaian $ L $ untuk fungsi $ f(L) = 0 $. Penyelesaian Persamaan (\ref{eq:63}) di atas dapat dilakukan baik dengan cara coba-coba (try and error) atau dengan menggunakan metode numerik seperti metode Newton-Raphson. Metode Newton-Raphson dapat ditulis sebagai berikut,

$ \displaystyle{ L_{i+1} = L_{i} - {\frac{f(L_i)}{ \frac{d f(L_i)}{d L_i}}} } $

Dengan memasukkan persamaan ({\ref{eq:63}) ke dalam Persamaan (\ref{eq:64}), maka didapat persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ L_{i+1} = L_{i} - {\displaystyle \frac{{\frac{\displaystyle g{T^2}}{\displaystyle 2 \pi}. {\tanh \left( \frac{\displaystyle 2\pi h}{\displaystyle L_i}\right)} - L_i}}{\displaystyle \frac{\partial}{\partial L_i} \left( {\frac{g{T^2}}{2 \pi}. {\tanh \left( \frac{\displaystyle 2\pi h}{\displaystyle L_i}\right)} - L_i} \right) }} } $

Untuk mendapatkan turunan pertama dari Persamaan (\ref{eq:63}), maka dapat diasumsikan $\frac{g T^2}{2 \pi} = Q$ dan $\frac{2 \pi h}{L} = R$. Selanjutnya Persamaan (\ref{eq:63}) dapat disusun menjadi bentuk persamaan yang lebih sederhana seperti berikut,

$ \displaystyle{ f(L) = {Q}. {\tanh \left( R \right)} - L } $

Sehingga turunan pertama Persamaan (\ref{eq:65a}) terhadap $L$ adalah sebagai berikut,

$ \displaystyle{ \frac{\partial f(L)}{\partial L} = {Q}. \biggl[ \frac{\partial}{\partial R} {\tanh R } \biggr] . \frac{\partial R}{\partial L}- \frac{\partial L}{\partial L} } $

Dari Persamaan (\ref{eq:65b}) untuk turunan $\tanh R$ terhadap $R$ dapat diselesaikan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ \frac{\partial }{\partial R} \tanh R = \frac{\partial}{\partial R} \left( \frac{\sinh R}{\cosh R} \right) } $ $ \displaystyle{ \frac{\partial }{ = \frac{\frac{\partial \sinh R}{\partial R} \cosh R - \sinh R \frac{\partial \cosh R}{\partial R}}{(\cosh R)^2} } $
$ \displaystyle{ = 1 - (\tanh R)^2 } $

Sedangkan untuk turunan $R$ terhadap $L$ adalah sebagai berikut,

$ \displaystyle{ \frac{\partial R}{\partial L} = \frac{\partial}{\partial L} \left( \frac{2 \pi h}{L} \right) } $
$ \displaystyle{ = - \frac{2 \pi h}{L^2} } $

Diketahui juga bahwa turunan $L$ terhadap $L$ adalah sama dengan 1. Selanjutnya dengan mensubstitusikan Persamaan (\ref{eq:65c}) dan Persamaan (\ref{eq:65d}) ke dalam Persamaan (\ref{eq:65b}) serta memasukkan nilai $Q$ dan $R$. Maka turunan pertama dari $f(L)$ dapat ditulis menjadi,

$ \displaystyle{ \frac{\partial}{\partial L} f(L) = \left( \frac{g T^2}{2 \pi} \right) \biggl[ 1 - \left( \tanh \frac{2 \pi}{L} \right)^2 \biggr] \left( - \frac{2 \pi h}{L^2} \right) - 1 } $

Selanjutnya penyelesaian akhir untuk turunan pertama dari Persamaan (\ref{eq:63}) dapat ditulis sebagai berikut,

$ \displaystyle{ \frac{\partial}{\partial L_i} f(L_i) = {- \frac{g.h.{T^2}}{L^2}. \biggl[{1 - \left( \tanh \frac{2 \pi h}{L_i}\right)^2}\biggr] - 1} } $

Dengan memasukkan Persamaan (\ref{eq:66}) ke dalam Persamaan (\ref{eq:65}), maka akan didapat persamaan sebagai berikut,

$ \displaystyle{ L_{i+1} = L_{i} - \displaystyle \frac{{\frac{\displaystyle g{T^2}}{\displaystyle 2 \pi}. {\tanh \left( \frac{\displaystyle 2\pi h}{\displaystyle L_i}\right)} - L_i}} {\displaystyle \bigg\{- \frac{g.h.{T^2}}{L^2}. \biggl[{1 - \left( \tanh \frac{\displaystyle 2 \pi h}{\displaystyle L_i}\right)^2}\biggr] - 1 \bigg\}} } $

Dengan menggunakan Persamaan (\ref{eq:67}) dapat dibuat sebuah Program untuk membuat Tabel Panjang Gelombang untuk Teori Gelombang Amplitudo Kecil dengan menggunakan bahasa pemrograman fortran 77. Listing program dapat dilihat pada Lampiran \ref{algor} dan hasil {\em running} program dapat dilihat di Lampiran \ref{tabel}.

Cara Belajar Apa

Besar kecilnya amplitudo gelombang permukaan air dapat dilihat dari

Pos Terkait

Periklanan

BERITA TERKINI

Toplist Popular

Periklanan

Terpopuler

Periklanan

Tentang Kami

Legal

Dukungan

Social