Bayangan titik a oleh rotasi r(0,90⁰) adalah (-√2,√2). tentukanlah koordinat titik a.

Pada peluang ini, ID-KU akan memposting “Soal dan Pembahasan Rotasi (Perputaran) dengan Matriks”, dimana rotasi (perputaran) ini sendiri merupakan bab dari bahan transformasi geometri. 

Perputaran atau rotasi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar titik-titik tersebut sejauh θ terhadap sebuah titik pusat rotasi. 

Perputaran atau rotasi pada bidang datar ditentukan oleh:

Berikut ini ialah bayangan dan matriks yang bersesuaian dengan rotasi

Itulah sedikit materi tentang apa itu rotasi (perputaran), selanjutnya kita masuk dalam acuan soal dan pembahasannnya dalam hal ini dengan memakai matriks.

Titik A dirotasikan terhadap titik O(0,0) sejauh 90⁰ bertentangan dengan arah putaran jam. Tentukanlah bayangan titik A.

$\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix 0&-1\\1&0\end pmatrix .\begin pmatrix x\\y\end pmatrix $ ⟺ $\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix 0&-1\\1&0\end pmatrix .\begin pmatrix 2\\1\end pmatrix $

⟺ $\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix -1\\2\end pmatrix $

Dengan demikian x’ = -1 dan y’ = 2.

Kaprikornus, bayangan titik A(2,1) oleh rotasi terhadap titik O(0,0) sejauh 90⁰ berlawanan arah putaran jam yaitu A'(-1,2).

Bayangan titik A oleh rotasi R(0,45⁰) yaitu (-√2,√2). Tentukanlah koordinat titik A.

$\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix cos θ&-sin  θ\\sin θ&cos θ\end pmatrix .\begin pmatrix x\\y\end pmatrix $ Karena θ = 45⁰, maka: $\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix cos 45⁰&-sin  45⁰\\sin 45⁰&cos 45⁰\end pmatrix .\begin pmatrix x\\y\end pmatrix $ ⟺ $\begin pmatrix -√2 \\√2\end pmatrix =\begin pmatrix ½√2 &-½√2 \\½√2 &½√2\end pmatrix .\begin pmatrix x\\y\end pmatrix $ ⟺ $\begin pmatrix -√2 \\√2\end pmatrix =\begin pmatrix ½√2x -½√2y \\½√2x+½√2y\end pmatrix $ Dengan demikian: ½√2x – ½√2y = -√2  ………..(1)

½√2x + ½√2y = √2  ………..(2)

Dengan menyelesaikan persamaan (1) dan (2) di atas, maka diperoleh x = 0 dan y = 2.

Jadi, koordinat titik A yaitu (0,2).

Titik B(5,-1) dirotasikan kepada titik P(2,3) sejauh 90⁰ searah putaran jam. Tentukanlah bayangan titik B tersebut.

$\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix 0&1\\-1&0\end pmatrix .\begin pmatrix x-a\\y-b\end pmatrix +\begin pmatrix a\\b\end pmatrix $ ⟺ $\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix 0&1\\-1&0\end pmatrix .\begin pmatrix 5-2\\-1-3\end pmatrix +\begin pmatrix 2\\3\end pmatrix $ ⟺$\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix 0&1\\-1&0\end pmatrix .\begin pmatrix 3\\-4\end pmatrix +\begin pmatrix 2\\3\end pmatrix $ ⟺$\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix -4\\-3\end pmatrix +\begin pmatrix 2\\3\end pmatrix $

⟺ $\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix -2\\0\end pmatrix $

Dengan demikian, x’ = -2 dan y’ = 0.

Makara, koordinat bayangan titik B(5,-1) oleh rotasi terhadap titik P(2,3) sejauh 90⁰ searah putaran jam yaitu B'(-3,0).

Jika garis x – 2y = 5 diputar sejauh 90⁰ kepada titik (2,4) bertentangan arah putaran jam, maka tentukanlah persamaan bayangannya.

$\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix 0&-1\\1&0\end pmatrix .\begin pmatrix x-2\\y-4\end pmatrix +\begin pmatrix 2\\4\end pmatrix $ ⟺ $\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix 4-y\\x-2\end pmatrix +\begin pmatrix 2\\4\end pmatrix $

⟺ $\begin pmatrix x’\\y’\end pmatrix =\begin pmatrix 6-y\\x+2\end pmatrix $

Dengan  demikian, maka: x’ = 6 – y  => y = 6 – x’ y’ = x + 2 => x = y’ – 2 Dengan mensubtitusikan x = y’ – 2 dan y = 6 – x’ pada persamaan garis, diperoleh: (y’ – 2) – 2(6 – x’) = 5 y’ – 2 – 12 + 2x’ = 5 2x’ + y’ = 5 + 2 + 12

2x’ + y’ = 19

Kaprikornus, persamaan bayangan garis x – 2y = 5 oleh rotasi sejauh 90⁰ terhadap titik (2,4) bertentangan arah putaran jam yakni 2x + y = 19.

Baca Juga: Kumpulan Soal dan Pembahasan Dilatasi

Demikian artikel perihal “Soal dan Pembahasan Rotasi (Perputaran) dengan Matriks” ini, semoga dapat membantu anda dalam menuntaskan soal-soal terkait dengan transformasi geometri (rotasi).