Por que as unidades kg ∙ m/s do momento linear e n ∙ s do impulso são equivalentes

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Quantidade de movimento é uma grandeza física da Dinâmica calculada a partir da multiplicação da massa de um corpo, em quilogramas, por sua velocidade instantânea, em metros por segundo. Essa grandeza é vetorial, pois apresenta módulo, direção e sentido. De acordo com o Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade de medida da quantidade de movimento é o kg.m/s.

Veja também: Conceitos fundamentais da Cinemática Escalar

Fórmula da quantidade de movimento

A fórmula utilizada para calcular a quantidade de movimento relaciona a massa com a velocidade do corpo.

Q – quantidade de movimento (kg.m/s)

m – massa do corpo (kg)

v – velocidade (m/s)

Conservação da quantidade de movimento

A conservação da quantidade de movimento é um princípio físico e diz que, desprezando-se o efeito de forças dissipativas, tais como as forças de atrito ou de arraste, a quantidade de movimento inicial de um corpo ou sistema de corpos deve ser igual à quantidade de movimento final. Isso implica que a soma da massa pela velocidade de todas as partículas deve ser constante. O princípio da conservação da quantidade de movimento está ilustrado na situação idealizada na figura a seguir. Observe:

mA e mB – massas dos corpos A e B

vA e vB – velocidades dos corpos A e B antes da colisão

v'A e v'B – velocidades dos corpos A e B após a colisão

Na figura, é possível observar dois caminhões, de massas mA e mB, movendo-se, respectivamente, para a esquerda e para a direita. Após a colisão, os caminhões têm o sentido de seu movimento invertido, mas continuam a se deslocar com a mesma velocidade, em módulo. Isso indica que a quantidade de movimento total foi conservada, por isso dizemos que a colisão entre esses caminhões foi perfeitamente elástica.

A mesma situação aplica-se ao exemplo a seguir. Nele vemos dois trens de massas iguais a 30 T (30.000 kg) e 10 T (10.000 kg) que estão a 10 m/s e em repouso, respectivamente. Após a colisão, o trem de 30 T continua a mover-se para a esquerda, entretanto o trem que se encontrava em repouso passou a se mover com uma velocidade de 15 m/s.

A verificação da conservação da quantidade de movimento pode ser feita pela soma dos produtos da massa pela velocidade de cada um dos trens. Observe:

Se a condição da conservação da quantidade de movimento não for respeitada, então parte da energia presente nos corpos antes de qualquer fenômeno será dissipada, ou seja, será transformada em outras formas de energia, como energia térmica, vibrações, entre outras. Neste caso, dizemos que ocorreu uma colisão inelástica.

Veja também: Torque ou momento de uma força

Impulso e quantidade de movimento são grandezas físicas que apresentam a mesma unidade de medida e são relacionadas entre si. De acordo com o teorema do impulso, a variação da quantidade de movimento é equivalente ao impulso exercido sobre um corpo. A fórmula mostrada a seguir relaciona essas duas grandezas.

I – impulso (kg.m/s)

ΔQ – variação da quantidade de movimento (kg.m/s)

Quantidade de movimento e energia cinética

Quantidade de movimento e energia cinética (EC) são grandezas importantes para o estudo da Dinâmica. A fórmula a seguir mostra qual é a relação entre elas:

Exercícios resolvidos sobre quantidade de movimento

Questão 1 - Acerca da grandeza física conhecida como quantidade de movimento, são feitas as seguintes afirmações:

I – A quantidade de movimento é uma grandeza física escalar.

II – A unidade de medida da quantidade de movimento é o kg.m/s.

III – A quantidade de movimento é definida pelo produto entre massa e velocidade.

São verdadeiras:

a) I e II

b) II e III

c) I, II e III

d) Somente I

e) Somente III

Gabarito: letra B.

Resolução:

A quantidade de movimento pode ser calculada multiplicando-se a massa de um corpo por sua velocidade. Essa grandeza física é vetorial, e sua unidade de medida, de acordo com o SI, é o kg.m/s. Dessa maneira, são corretas as afirmações II e III.

Questão 2 - Um corpo de massa m desloca-se com velocidade v. Sabendo que o módulo da quantidade de movimento desse corpo é igual a Q e que sua energia cinética é E, determine, em termos de Q e E, quais devem ser os módulos da quantidade de movimento e da energia cinética desse mesmo corpo caso a velocidade v fosse duplicada.

a) Q' = 4Q e EC' = EC/2

b) Q' = 2Q e EC' = 2EC

c) Q' = Q/2 e EC' = 4EC

d) Q' = 2Q e EC' = 4EC

e) Q' = Q e EC' = 4EC

Gabarito: letra C.

Resolução:

Para resolver essa questão, é necessário que utilizemos as fórmulas da quantidade de movimento e da energia cinética. Além disso, devemos levar em conta que a nova velocidade do corpo é 2v.

Com base nos cálculos, podemos afirmar que a quantidade de movimento é duplicada, enquanto a energia cinética aumenta em quatro vezes, portanto a alternativa correta é a letra D.
 

Questão 3) Determine o módulo da quantidade de movimento de um veículo automotivo de 900 kg que se desloca com velocidade de 72 km/h e assinale a alternativa correta:

a) 1800 kg.m/s

b) 19.600 kg.m/s

c) 64.800 kg.m/s

d) 8.000 kg.m/s

e) 18.000 kg.m/s

Gabarito: letra E.

Resolução:

Para calcularmos o módulo da quantidade de movimento, é necessário que se multiplique a massa do corpo por sua velocidade, mas também é necessário que as unidades de medida estejam definidas de acordo com as unidades do SI. Dessa maneira, é preciso dividir a velocidade, que está em km/h, por 3,6. Confira o cálculo:

Com base no cálculo feito, que resultou em uma quantidade de movimento de 18.000 kg.m/s, a alternativa correta é a letra E. 

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1 Centro de massa e Momento linear Dinâmica das Rotações Referências: HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. v. 1. David, HALLIDAY,, RESNICK, Robert, WALKER, Jearl. Fundamentos de Física - Vol. 1 - Mecânica, 10ª edição. LTC, 06/2016. VitalBook file. 2 Momento linear - definição a) No caso de uma partícula: O momento linear ( Ԧ𝑝) tem a mesma orientação do vetor velocidade. Unidade SI: 𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠 Ԧ𝑝 3 Momento linear a) No caso de uma partícula: 2ª Lei de Newton em termos de momento linear: Ԧ𝐹𝑟𝑒𝑠 = 𝑑 Ԧ𝑝 𝑑𝑡 Ԧ𝐹𝑟𝑒𝑠 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑚 Ԧ𝑣 = 𝑚 𝑑 Ԧ𝑣 𝑑𝑡 Ԧ𝐹𝑟𝑒𝑠 = 𝑚 Ԧ𝑎 4 Momento linear - definição b) Para um sistema de n partículas: 𝑃 = Ԧ𝑝1 + Ԧ𝑝2 + Ԧ𝑝3 +…+ Ԧ𝑝𝑛 𝑃 = 𝑚1 Ԧ𝑣1 +𝑚2 Ԧ𝑣2 +𝑚3 Ԧ𝑣3 +…+𝑚𝑛 Ԧ𝑣𝑛 O momento linear de um sistema de partículas é igual ao produto da massa total do sistema pela velocidade do centro de massa. 5 Momento linear b) Para um sistema de n partículas: Derivando em relação ao tempo, obtemos: 𝑑𝑃 𝑑𝑡 = 𝑀 𝑑 Ԧ𝑣𝐶𝑀 𝑑𝑡 = 𝑀 Ԧ𝑎𝐶𝑀 Neste caso, a 2ª Lei de Newton pode ser descrita como: Ԧ𝐹𝑟𝑒𝑠 = 𝑑𝑃 𝑑𝑡 6 Momento linear 7 Impulso - definição Durante a colisão de um projétil (bola) num alvo (taco), o projétil sofre a ação de uma força Ԧ𝐹 𝑡 que varia e muda o momento linear Ԧ𝑝 do projétil. Esta variação pode ser descrita como: Ԧ𝐹 = 𝑑 Ԧ𝑝 𝑑𝑡 ∴ 𝑑 Ԧ𝑝 = Ԧ𝐹 𝑡 𝑑𝑡 8 Impulso - definição Ԧ𝐹 = 𝑑 Ԧ𝑝 𝑑𝑡 ∴ 𝑑 Ԧ𝑝 = Ԧ𝐹 𝑡 𝑑𝑡 Considerando 𝑡0 , antes da colisão, e t, após a colisão: 𝑡0׬ 𝑡 𝑑 Ԧ𝑝 = 𝑡0׬ 𝑡 Ԧ𝐹 𝑡 𝑑𝑡 Ԧ𝑝 − Ԧ𝑝0 = න 𝑡0 𝑡 Ԧ𝐹 𝑡 𝑑𝑡 ∆ Ԧ𝑝 = න 𝑡0 𝑡 Ԧ𝐹 𝑡 𝑑𝑡 Ԧ𝐽 = න 𝑡0 𝑡 Ԧ𝐹 𝑡 𝑑𝑡 Unidade SI: 𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠 ou 𝑁 ∙ 𝑠 9 Impulso e momento linear ∆ Ԧ𝑝 = න 𝑡0 𝑡 Ԧ𝐹 𝑡 𝑑𝑡 Ԧ𝐽 = න 𝑡0 𝑡 Ԧ𝐹 𝑡 𝑑𝑡 Logo ∆ Ԧ𝑝 = Ԧ𝐽 A variação do momento linear de um objeto é igual ao impulso exercido sobre o objeto. Ԧ𝐽𝑎𝑙𝑣𝑜 = Ԧ𝐽𝑝𝑟𝑜𝑗é𝑡𝑖𝑙 - porém apresentam sentidos contrários Teorema do momento linear e impulso 10 Impulso - gráficos Caso F(t) seja desconhecida mas Fmédia seja conhecida, podemos usá-la para calcular J, pois as áreas em ambos os gráficos são equivalentes. 𝐽 = 𝐹𝑚é𝑑∆𝑡 11 Impulso https://www.youtube.com/watch?v=Xsix_VOlRGo https://www.youtube.com/watch?v=Bw0Ps8-KDlQ 12 Impulso 13 Impulso – exercícios resolvidos 4) 14 Impulso – exercícios resolvidos 5) A figura abaixo mostra a vista superior da trajetória de um carro de corrida ao colidir com um muro de proteção. Antes da colisão, o carro está se movendo com uma velocidade escalar v0 = 70 m/s ao longo de uma linha reta que faz um ângulo de 30° com o muro. Após a colisão, está se movendo com uma velocidade escalar v = 50 m/s ao longo de uma linha reta que faz um ângulo de 10° com o muro. A massa m do piloto é 80 kg. Determine: a) O impulso Ԧ𝐽 ao qual o piloto está submetido no momento da colisão; b) O módulo da força média que o piloto experimenta durante a colisão, cuja duração foi de 14 ms. 15 Supondo que a força externa resultante Ԧ𝐹𝑟𝑒𝑠 (e, portanto, o impulso Ԧ𝐽) que age sobre um sistema de partículas seja zero (sistema isolado) e que nenhuma partícula entra ou sai do sistema (sistema fechado): Ԧ𝐹𝑟𝑒𝑠 = 0, logo, 𝑑𝑃 𝑑𝑡 = 0 e 𝑃 = constante. Lei de conservação do momento linear: “Se um sistema de partículas não está submetido à força externa (ou Ԧ𝐹𝑟𝑒𝑠 = 0), o momento linear total 𝑃 do sistema não pode variar.” ∆𝑃 = 0 𝑃 − 𝑃0 = 0 𝑃 = 𝑃0 Conservação do momento linear 16 Observações: • Se 𝐹𝑟𝑒𝑠(𝑥) = 0, ∆𝑃𝑥 = 0; • Se 𝐹𝑟𝑒𝑠(𝑦) = 0, ∆𝑃𝑦 = 0; • Se 𝐹𝑟𝑒𝑠(𝑧) = 0, ∆𝑃𝑧 = 0; Conservação do momento linear 17 Conservação do momento linear 1min39s a 2min https://www.youtube.com/watch?v=Kf0bBxmNeec&t=127s https://www.youtube.com/watch?v=TCmZ-dEYLrw 18 Conservação do momento linear Sistemas de massa variável - Foguetes 0 até 3min50s 4h22min a 4h37min 1min20s a 3min20s https://www.youtube.com/watch?v=msn7xbfEHoA https://www.youtube.com/watch?v=xY96v0OIcK4 https://www.youtube.com/watch?v=Vfp1bzJlQUw https://www.youtube.com/watch?v=FcAJWsMihNo 19 Conservação do momento linear – exercícios resolvidos 6) 20 Conservação do momento linear – exercícios resolvidos 7) Explosão unidimensional: A figura a) abaixo mostra um rebocador espacial e uma cápsula de carga, de massa total M, viajando ao longo de um eixo x no espaço sideral com uma velocidade inicial 𝑣0 de módulo 2100 km/h em relação ao Sol. Com uma pequena explosão, o rebocador ejeta a cápsula de carga, de massa 0,20M (figura b). Depois disso, o rebocador passa a viajar 500 km/h mais depressa que a cápsula ao longo do eixo x, ou seja, a velocidade relativa vrel entre o cargueiro e a cápsula é 500 km/h. Qual é a nova velocidade do rebocador 𝑣𝑅 em relação ao Sol? 21 Conservação do momento linear – exercícios resolvidos 8) Explosão bidimensional: Uma esfera oca, de massa M, inicialmente em repouso sobre uma superfície sem atrito, explode em três pedaços, que deslizam uma superfície horizontal. Uma vista superior é apresentada na abaixo. O pedaço C, de massa 0,30M, tem velocidade escalar final vC = 5,0 m/s. a) Qual é a velocidade do pedaço B, de massa 0,20M? b) Qual é a velocidade escalar do pedaço A? 22 Exercícios recomendados HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. v. 1. Lista 1 - Capítulo 9 18 a 21,23,24,27 a 31,33,36,39,40,42,44,45,47