No triângulo abaixo escreva as proporcionalidades sabendo que rs de

II -LISTA DE MATEMÁTICA ÂNGULOS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Calcular x no triângulo abaixo:

) Calcule x no triângulo abaixo: 3) Calcule x no triângulo abaixo: EXERCÍCIOS 1) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um triângulo? ) Copie e complete o quandro, sendo A,B e C ângulos internos de um triângulo.

3) Determine x em cada um dos triângulos

4) Determine x em cada um dos triângulos:

5) Determine a medida dos ângulos x, y e z.

TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO Em qualquer triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes. Prova: consideremos um triângulo ABC. vamos provar que m(ê) = m(â) + m (B)

Exemplos Calcule o valor de x no triângulo abaixo: EXERCÍCIOS

1) Determine a medida do ângulo externo indicado em cada triângulo:

) Calcule o valor de x nos triângulos dados: 3) Calcule o valor de x nos triângulos dados:

4) Calcule o valor de x nos triângulos dados:

5) Calcule o valor de x:

6) Calcule w e y : 7) Calcule x: CONCRÊNCIA DE TRIÂNGULOS Intuitivamente, dois triângulos ABC e RST são congruentes se for possivel transportar um deles sobre o outro, de modo que eles coincidam.

Definição Dois triângulos são chamados congruentes quando os lados e os angulos correspondentes são congruentes. logo: CASOS DE CONGRUÊNCIA O estudo dos casos de congruência de dois triângulos tem por finalidade estabelecer o menor número de condições para que dois triângulos sejam congruêntes. 1º CAS0 : L. L. L. ( lado, lado, lado) Dois triângulos que têm os três lados respectivamente congruentes são congruentes.

º CASO L. A. L. (lado, ângulo, lado) Dois treângulos que têm dois lados e o ângulo por eles formados respectivamente congruentes são con gruentes. 3º CASO A. L. A. ( ângulo, lado, ângulo) Dois triângulos que tem um lado e dois ângulos adjacentes a esse lado respectivamente congruentes são congruentes.

4º CASO : L. A. A ( lado, ângulo, ângulo oposto) Dois trângulos que têm um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes são congruentes. EXERCÍCIOS 1) Cite, em cada item, o caso de congruência dos triângulos.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Calcular x no triângulo abaixo:

) Calcule x no triângulo abaixo: 3) Calcule x no triângulo abaixo: TEOREMA DE THALES

Feixes de retas paralelas cortadas por retas transversais formam segmentos proporcionais. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Dois triângulos são semelhantes quando é possível estabelecer uma correspondência entre seus vértices de modo que os ângulos correspondentes sejam dois a dois congruentes e os lados homólogos proporcionais. Essa é a definição de triângulos semelhantes. Ela impõe duas condições para existir a semelhança: ângulos correspondentes dois a dois congruentes; lados homólogos proporcionais. Entretanto, se uma dessas condições ocorre, então a outra automaticamente também se verifica. Exemplo 1: O triângulo escaleno de lados medindo 7 cm, 8 cm e 9 cm é semelhante ao triângulo, também escaleno, de lados com medidas 14 cm, 16 cm e 18cm. Basta verificar a proporcionalidade entre os lados: Onde K é a razão de semelhança entre os dois triângulos. Implícita está a congruência entre os ângulos correspondentes, embora nem conheçamos os seus valores. Porém, se um triângulo apresenta como medidas de seus ângulos 50, 60 e 70, ele é semelhante a todos os triângulos de ângulos congruentes a esses, independentemente de conhecermos as medidas de seus lados. Podemos garantir que os lados homólogos desses triângulos são proporcionais. Exemplo : Os triângulos GHI e JKL apresentados são semelhantes. L 6 K G 3 6 H 4 I 1 8 De fato, os lados dos triângulos são proporcionais: 3 6 J = 4 8 = 6 1 = k = 1 (razões de semelhança) Além disso, Ĝ Lˆ Ĥ Kˆ e Î Ĵ, embora não conheçamos as medidas desses ângulos. Teorema da bissetriz interna A bissetriz interna de um ângulo de um triângulo divide o lado oposto em dois segmentos respectivamente proporcionais aos outros dois lados desse triângulo.

Teorema da bissetriz externa A bissetriz externa de um ângulo de um triângulo secciona o prolongamento do lado oposto e o divide em dois segmentos respectivamente proporcionais aos outros dois lados desse triângulo. Triângulo retângulo

Aplicações 1) Diagonal do quadrado

) Altura do triângulo eqüilátero Exercícios de fixação ) Pedro está construindo uma fogueira representada pela figura abaixo. Ele sabe que a soma de x com y é 4 e que as retas r, s e t são paralelas. A diferença x - y é: a). b) 4. c) 6. d) 10. e) 1. 3) A área do retângulo DEFB acima é:

a) 4 b) 160 c) 10 d) 0 e) 180 4) A sombra de um prédio, num terreno plano, numa determinada hora do dia, mede 15 m. Nesse mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m. A altura do prédio, em metros, é a) 5. b) 9. c) 30. d) 45. e) 75. 5) No Δ da figura a seguir, DE//BC nessas condições determine: a) a medida x b) o perímetro do Δ ABC 4) Após um tremor de terra, dois muros paralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramente abalados. Os moradores se reuniram e decidiram escorar os muros utilizando duas barras metálicas, como mostra a figura adiante. Sabendo que os muros têm alturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura do nível do chão as duas barras se interceptam? Despreze a espessura das barras. a) 1,50 m b) 1,75 m c),00 m d),5 m

e),50 m 5) Na figura a seguir, o triângulo ABC é retângulo e isósceles e o retângulo nele inscrito tem lados que medem 4 cm e cm. Determine o perímetro do triângulo MBN. 6) Considerando-se as informações constantes no triângulo PQR (figura abaixo), pode-se concluir que a altura PR desse triângulo mede: Obs.: Todas as medidas se referem à mesma unidade de comprimento a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 7) Numa cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em forma de disco, que estacionou a 50 m do solo, aproximadamente. Um helicóptero do exército, situado a aproximadamente 30 m acima do objeto, iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura anterior. Sendo assim, pode-se afirmar que o raio do disco-voador mede, em m, aproximadamente: a) 3,0 b) 3,5 c) 4,0 d) 4,5 e) 5,0

8) O valor de x abaixo é: a) 15 b) 14 c) 13 d) 1 e) 11 9) Na figura abaixo, OP=, AB=8, O é o centro dos círculos e åæ é tangente em P ao círculo menor. A área do disco maior é a) 8π. b) 10π. c) 0π. d) 64π. e) 68π. 10) O valor do raio r do círculo inscrito no trapézio retângulo abaixo é: a) 8 cm b) 7 cm c) 6 cm d) 5 cm e) 4 cm Exercícios propostos

1) Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, escrever um poema do qual extraímos o fragmento a seguir: Às folhas tantas de um livro de Matemática, um Quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma Incógnita. Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a do ápice à base: uma figura ímpar; olhos rombóides, boca trapezóide, corpo retangular, seios esferóides. Fez da sua uma vida paralela à dela, até que se encontraram no Infinito. "Quem és tu?" - indagou ele em ânsia radical. Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa." (Millôr Fernandes. Trinta Anos de Mim Mesmo.) A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao Teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte resposta: a) "Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa." b) "Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa." c) "Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa." d) "Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa." ) Um triângulo retângulo tem catetos 6 cm e 8 cm. Determine: a) a hipotenusa do triângulo. b) a altura relativa a hipotenusa. c) as projeções dos catetos sobre a hipotenusa. 3) (UFF) No Japão, numerosos lugares de peregrinação xintoístas e budistas abrigam tabuletas matemáticas chamadas de Sangaku, onde estão registrados belos problemas, quase sempre geométricos, que eram oferecidos aos Deuses. A figura a seguir, que é uma variante de um exemplar de Sangaku, é composta por cinco círculos que se tangenciam. Sabendo que seus diâmetros satisfazem as relações AO = OB = AB/ e DF = EC, pode-se concluir que DF/OB é igual a: a) 0,65 b) 0,6555... c) 0,666... d) 0,7 e) 0,7333... 4) É dado um quadrado ABCD de lado 8. Traça-se uma circunferência centrada em 0 e de raio r. A circunferência tangencia o quadrado ABCD no lado BC e passa pelos vértices A e D, conforme a figura. Calcule o raio da circunferência.

Lista de exercícios do teorema de Tales 1) Nas figuras, a // b // c, calcule o valor de x. a) b) c) d) e) e)

f) g) ) Determine x e y, sendo r, s, t e u retas paralelas. a) b) c) d) 3) Determine x e y, sendo r, s e t retas paralelas.

4) Uma reta paralela ao lado BC de um triângulo ABC determina o ponto D em AB e E em AC. Sabendo se que AD = x, BD= x + 6, AE = 3 e EC = 4, determine o lado AB do triângulo. 5) A figura ao lado indica três lotes de terreno com frente para a rua A e para rua B. as divisas dos lotes são perpendiculares à rua A. As frentes dos lotes 1, e 3 para a rua A, medem, respectivamente, 15 m, 0 m e 5 m. A frente do lote para a rua B mede 8 m. Qual é a medida da frente para a rua B dos lotes 1 e 3? 6) Um feixe de quatro retas paralelas determina sobre uma transversal três segmentos consecutivos, que medem 5 cm, 6 cm e 9 cm. Calcule os comprimentos dos segmentos determinados pelo feixe em outra transversal, sabendo que o segmento desta, compreendido entre a primeira e a quarta paralela, mede 60 cm. 7) As alturas de dois postes estão entre si assim como 3 esta para 5. Sabendo que o menor deles mede 6 m, então o maior mede: 8) A figura abaixo nos mostra duas avenidas que partem de um mesmo ponto A e cortam duas ruas paralelas. Na primeira avenida, os quarteirões determinados pelas ruas paralelas tem 80 m e 90 m de comprimento, respectivamente. Na segunda avenida, um dos quarteirões determinados mede 60 m. Qual o comprimento do outro quarteirão?

9) Na figura abaixo, sabe se que RS // DE e que AE = 4 cm. Nessas condições, determine as medidas x e y indicadas. A 10) Num triângulo ABC, o lado AB mede 4 cm. Por um ponto D, sobre o lado AB, distante 10 cm do vértice A, traça se a paralela ao lado BC, que corta o lado AC tem 15 cm de comprimento, determine a medida do lado AC. 11) No triângulo ABC da figura, sabe se que DE // BC. Calcule as medidas dos lados AB e AC do triângulo. A 1) Na figura abaixo, AE // BD. Nessas condições, determine os valores de a e b. 13) A planta abaixo no mostra três terrenos cujas laterais são paralelas. Calcule, em metros, as medidas x, y e z indicadas. 14) Dois postes perpendiculares ao solo estão a uma distância de 4 m um do outro, e um fio bem esticado de 5 m liga seus topos, como mostra a figura abaixo. Prolongando esse fio até prende lo no solo, são utilizados mais 4 m de fio. Determine a distância entre o ponto onde o fio foi preso ao solo e o poste mais próximo a ele.

15) No triângulo abaixo, sabe se que DE // BC. Calcule as medidas dos lados AB e AC do triângulo. 16) Uma reta paralela ao lado BC de um triângulo ABC determina o lado AB segmentos que esta reta determina sobre o lado BC, de medida 10 cm. 17) No triângulo ao lado, DE // BC. Nessas condições, determine: a) a medida de x. b) o perímetro do triângulo, sabendo que BC = 11 cm. 18) Esta planta mostra dois terrenos. As divisas laterais são perpendiculares à rua. Quais as medidas das frentes dos terrenos que dão para a avenida. Sabendo se que a frente total para essa avenida é de 90 metros?

19) O mapa abaixo mostra quatro estradas paralelas que são cortadas por três vias transversais. Calcule as distâncias entre os cruzamentos dessas vias, supondo as medidas em km: 0) Nesta figura, os segmentos de retas AO, BP, CQ e DR são paralelos. A medida do segmento PQ, em metros, é: 1) Uma antena de TV é colocada sobre um bloco de concreto. Esse bloco tem 1 m de altura. Em um certo instante, a antena projeta uma sombra de 6 m, enquanto o bloco projeta uma sombra de 1,5 m. Nessas condições, qual é a altura da antena?

) Uma estátua projeta uma sombra de 8 m no mesmo instante que seu pedestal projeta uma sombra de 3, m. Se o pedestal tem m de altura, determinar a altura da estátua. 3) No triângulo da figura abaixo, temos DE // BC. Qual é a medida do lado AB e a medida do lado AC desse triângulo? 4) Um feixe de três retas paralelas determina sobre uma transversal aos pontos A, B e C, tal que AB = 10 cm e BC = 5 cm, e sobre uma transversal b os pontos M, N e P, tal que MP = 1 cm. Quais as medidas dos segmentos MN e NP determinados sobre a transversal? Faça a figura. 5) Um homem de 1,80 m de altura projeta uma sombra de,70 m de comprimento no mesmo instante em que uma árvore projeta uma sombra de 9 m de comprimento. Qual é a altura da árvore? 6) Uma ripa de madeira de 1,5 m de altura, quando colocada verticalmente em relação ao solo, projeta uma sombra de 0,5 m. No mesmo instante, uma torre projeta uma sombra de 15 m. Calcule a altura da torre.

7) Na figura abaixo, AB // ED. Nessas condições, determine os valores de x e y. 8) As bases de dois triângulos isósceles semelhantes medem, respectivamente, 8 cm e 4 cm. A medida de cada lado congruente do primeiro triângulo é 10 cm. Nessas condições, calcule: a) a medida de cada lado congruente do segundo triângulo. b) os perímetros dos triângulos. c) a razão de semelhança do primeiro para o segundo triãngulo. 9) Um mastro usado para hasteamento de bandeiras projeta uma sombra cujo comprimento é 6 m no mesmo instante em que uma barra vertical de 1,8 m de altura projeta uma sombra de 1,0 m de comprimento. Qual é a altura do mastro? 30) A razão de semelhança entre dois triângulos equiláteros é 3. Sabendo se que o perímetro do menor mede 18 cm, quanto medem os lados do triângulo maior? 31) Um triângulo tem seus lados medindo 10 cm, 1 cm e 15 cm, respectivamente. Determine as medidas dos lados de um outro triângulo, semelhante ao primeiro, sabendo que seu maior lado mede 7 cm. 3) Na figura abaixo, o triângulo ABC é semelhante ao um triângulo DEF, de acordo com as indicações. Nessas condições, determine as medidas x e y indicadas:

33) Considerando a figura abaixo, determine a medida x indicada: 34) Dois triângulos, T 1 e T, são semelhantes, sendo 3 4 a razão de semelhança. O triângulo T 1 tem 38 cm de perímetro e dois lados do triângulo T medem 6 cm e 9 cm. Determine as medidas dos lados do triângulo T 1 e a medida do lado desconhecido do triângulo T. 35) Para determinar a altura de uma árvore utilizou se o esquema mostrado. Nessas condições, qual e a altura da árvore? 36) Num terreno em forma de triângulo retângulo, conforme nos mostra a figura, deseja se construir uma casa retangular cujas dimensões são indicadas, em metros, por x e x. Nessas condições, determine: a) a medida x. b) a área ocupada pela casa(área do retângulo = base vezes altura). 37) Uma pessoa se encontra a 6,30 m da base de um poste, conforme nos mostra a figura. Essa pessoa tem 1,80 m de altura e projeta uma sombra de,70 m de comprimento no solo. Qual é a altura do poste?

38) Para medir a largura x de um lago, foi utilizado o esquema abaixo. Nessas condições, obteve se um triângulo ABC semelhante a um triângulo EDC. Determine, então, a largura x do lago. 39) Os trás lados de um triângulo ABC medem 9 cm, 18 cm e 1 cm. Determine os lados de um triângulo A B C semelhante a ABC, sabendo que a razão de semelhança do primeiro para o segundo é igual a 3. 40) Os lados de um triângulo medem,1 cm, 3,9 cm e 4,5 cm. Um segundo triângulo semelhante a esse tem 70 cm de perímetro. Determine seus lado. 41) O perímetro de um triângulo é 60 m e um dos lados tem 5 m. Qual o perímetro do triângulo semelhante cujo lado homólogo ao lado cuja medida foi dada mede 15 m? 4) Na figura abaixo temos MN // BC. Nessas condições, calcule: a) as medidas x e y indicadas. b) as medidas dos lados AB e AC do triângulo. 43) um edifício projeta uma sombra de 30 m, ao mesmo tempo que um poste de 1 m projeta uma sombra de 4 m. Qual a altura do edifício, sabendo que o edifício e o poste são perpendiculares ao solo?

44) Na figura abaixo, um garoto está em cima de um banco. Qual é a altura desse garoto que projeta uma sombra de 1, m, sabendo que o banco de 30 cm projeta uma sombra de 40 cm? 45) A sombra de uma árvore mede 4,5 m. À mesma hora, a sombra de um bastão de 0,6 m, mantido na vertical, mede 0,4 m. A altura da árvore é:

46) A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre um chão plano, mede 1 m. Nesse mesmo instante, a sombra de um bastão vertical de 1 m de altura mede 0,6 m. A altura do poste é: 47) Certa noite, uma moça de 1,50 m de altura estava a m de distância de um poste de 4 m de altura. O comprimento da sombra da moça no chão era de: 48) Uma pessoa percorre a trajetória de A até C, passando por B. Qual foi a distância percorrida? 49) A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura. Qual o comprimento da escada que está encostada na parte superior do prédio?

50) Um fazendeiro quer colocar uma tábua em diagonal na sua porteira. Qual o comprimento dessa tábua, se a porteira mede 1, m por 1,6 m? 51) Um automóvel parte da posição 0 e percorre o caminho 0ABC indicado. Qual a distância percorrida? 5) Dois navios partem de um mesmo ponto, no mesmo instante, e viajam com velocidade constante em direções que formam um ângulo reto. Depois de uma hora de viagem, a distância entre os dois navios é 13 milhas. Se um deles é 7 milhas mais rápido que o outro, determine a velocidade de cada navio.

53) Quantos metros de fio são necessários para puxar luz de um poste de 6 m de altura até a caixa de luz que está ao lado da casa e a 8 m da base do poste? 54) Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 14 cm e um dos catetos mede 5 3 cm. Determine a medida do outro cateto. ( ) ( 55) As medidas dos catetos de um triângulo retângulo medem + 5 cm e + 5 cm. Nessas condições, determine a medida da hipotenusa. ) 56) Um terreno triangular tem frentes de 1 m e 16 m em duas ruas que formam um ângulo de 90º. Quanto mede o terceiro lado desse terreno? 57) A figura abaixo é um trapézio isósceles, onde as medidas indicadas estão expressas em centímetros. Nessas condições, vamos calcular: 58) Determine a medida x do lado BC do quadrilátero ABCD, onde as diagonais são perpendiculares e AM BM. As medidas indicadas na figura estão expressas em centímetros.

59) Uma árvore foi quebrada pelo vento e a parte do tronco que restou em pé forma um ângulo reto com o solo. Se a altura da árvore antes de se quebrar era 9 m e sabendo se que a ponta da parte quebrada está a 3 m da base da árvore, qual a altura do tronco da árvore que restou em pé? 60) Qual a distância percorrida, em linha reta, por um avião do ponto A até o ponto B, quando ele alcança a altura indicada na figura abaixo? 61) Um ciclista, partindo de um ponto A, percorre 15 km para norte; a seguir, fazendo um ângulo de 90º, percorre 0 km para leste, chegando ao ponto B. Qual a distância, em linha reta, do ponto B ao ponto A? 6) Uma antena de TV é sustentada por 3 cabos, como mostra a figura abaixo. A antena tem 8 m de altura, e cada cabo deve ser preso no solo, a um ponto distante 6 m da base da antena. Quantos metros de cabo serão usados para sustentar a antena?

63) Em um retângulo, a medida da diagonal é expressa pro (x + 8) cm e as medidas dos lados são expressas pro x cm e 1 cm. Nessas condições, qual é o perímetro desse retângulo? 64) Unindo os pontos médios dos lados de um retângulo ABCD, obtemos um losango. Se o lado AB do retângulo mede 16 cm e o lado BC mede 1 cm, qual é a medida x do lado do losango? 65) A figura seguinte é um trapézio isósceles, cujas medidas estão indicadas. Nessas condições, determine: 66) Dona Lurdinha ganhou um bibelô que lembrava um pavão. Curiosa, resolveu fazer algumas medições: quais as medidas de x, y e z? 67) Aplicando o teorema de Pitágoras, determine a medida x nos seguintes triângulos retângulos:

a) b) b) d) 68) Na figura abaixo, determine os valores de x e y : 69) Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 1 cm e um dos catetos mede 0,6 cm. Determine a medida do outro cateto. 70) Na figura abaixo, determine os valores de a, b e c:

71) Em um triângulo retângulo isósceles a hipotenusa mede 8 m. Determine as medidas dos catetos desse triângulo. 7) Determine a medida da diagonal de um retângulo cujo perímetro é 30 cm, sabendo que um lado medo o dobro do outro. 73) Em um triângulo retângulo, um dos catetos mede a metade do outro cateto, e a hipotenusa mede 10 cm. Nessas condições, determine: a) a medida do menor cateto. b) o perímetro do triângulo 74) Uma escada de,5 m de altura está apoiada em uma parede e seu pé dista 1,5 m da parede. Determine a altura que a escada atinge na parede, nessas condições. ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS 1) Retângulo Revisão Geometria Plana Áreas e Apótemas ) Quadrado 4) Trapézio 3) Paralelogramo 5) Losango

6) Triângulos a) Triângulo qualquer b) Triângulo retângulo 8) Polígono regular c) Fórmula trigonométrica da área Onde p é o semiperímetro e a é o apótema do polígono. 9) Círculo d) Fórmula de Heron onde p é o semiperímetro e a, b e c são os lados. e) Triângulo eqüilátero Comprimento C =.π.r Área A = π.r 10) Coroa circular f) Em função dos lados e do raio da circunferência circunscrita A = π.(r r ) 11) Setor circular 7) Hexágono regular A = QUADRO RESUMO DOS PRINCIPAIS POLÍGONOS REGULARES

Exercícios 1) Num quadrado de lado 10 cm está circunscrita uma circunferência. Determine o raio, o comprimento e a área da circunferência. ) O lado de um triângulo eqüilátero inscrito numa circunferência mede cm. Determine a medida da altura do triângulo, do raio da circunferência, da área do triângulo e da área da circunferência. 3) Um círculo de 5 cm de raio está inscrito em um hexágono regular. Determine o perímetro e a área do hexágono. 4) O apótema do quadrado inscrito numa circunferência é igual a cm. Determine a área do hexágono regular inscrito nessa mesma circunferência. 5) Se um circulo de área A e um quadrado de área Q tem o mesmo perímetro, determine a razão Q/A.

6) Determine a área das figuras abaixo: a) b) c) d) 7) Os quadrados ABCD e APQR, representados na figura abaixo, são tais que seus lados medem 6 e o ângulo PAD mede 30. Ligando-se o ponto B com o ponto R e o ponto D com o ponto P, obtém-se o hexágono BCDPQR, cuja área é: a) 90. b) 95. c) 100. d) 105. e) 110. 8) No quadrado ABCD de lado, traçam-se dois arcos com centro nos vértices A e C e raio igual ao lado do quadrado. Determine área delimitada por estes dois arcos. 9) O quadrado ABCD da figura a seguir tem lado igual a 6 cm. Os círculos com centros em A, B, C e D, respectivamente, têm raios iguais a 1/3 do lado do quadrado. Pode-se então afirmar que a área hachurada da figura é, em cm, igual a:

a) 8 (π + 1). b) 4 (3π + ). c) 8 (π - 1). d) 6 (π + 1). e) 16π. 10) Na figura a seguir, o quadrado maior foi dividido em dois quadrados e dois retângulos. Se os perímetros dos dois quadrados menores são 0 e 80, qual a área do retângulo sombreado? 11) Sabendo-se que a área do circulo da figura abaixo é π cm², determine a área da região que esta sombreada. 1) Na figura abaixo, as circunferências têm centro nos pontos A e B e cada uma delas é tangente a três lados do retângulo. Sabendo que cada circulo tem área, qual a área do retângulo? 13) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de lado cm, e ABE e BCF são triângulos eqüiláteros. Determine a área do triangulo BEF. 14) Uma propriedade rural tem a forma do triangulo ABC representado na figura. A região cultivada corresponde apenas a porção sombreada. Sabendo-se que AD = AB e AE = AC, que porcentagem da área da propriedade rural é cultivada? A) 50% B) 60% C) 66%

D) 75% E) 80% 15) Na figura abaixo, o raio r da circunferência mede 8 cm. Se os arcos AB, BC e BD representam semicircunferências, então o valor da área em negrito, em cm², é: A) 64π B) 3π C) 4π D) 16π E) 8π 16) (UFPE/06) Na ilustração a seguir, temos um retângulo ABCD, com medidas AB = 1 e BC = 5, e duas faixas retangulares EFGH e IJKL, com EF e JK de mesma medida. Se a área da região colorida e a da região do retângulo ABCD exterior a área colorida são iguais, qual a medida de EF? A) 1,8 B) 1,9 C),0 D),1 E), ÁREAS: QUESTÕES CONTEXTUALIZADAS 1.(UNICAMP) Supondo que a área média ocupada por uma pessoa em um comício seja de pergunta-se:.500cm a) Quantas pessoas poderão se reunir em uma praça retangular que mede 150 metros de comprimento por 50 metros de largura? b) Se 3/56 da população de uma cidade lota a praça, qual é, então, a população da cidade?. Duas regiões, uma com a forma de um quadrado e a outra com a forma de um hexágono regular, têm os lados construídos utilizando-se dois pedaços de arame de comprimentos iguais. Veja as figuras abaixo: A razão entre a área da região hexagonal e a área da região quadrada é: 3 3 a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 3 3.(Enem 010) Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente as suas faces laterais, conforme mostra a figura.

O raio da perfuração da peça é igual a a) 1 cm. b) cm. c) 3 cm. d) 4 cm. e) 5 cm. 4. Um retângulo de base 6cm está inscrito num círculo de diâmetro 10cm. Indique a opção que apresenta a área do retângulo (em cm ). a) 34 b) 8 c) 16 d) 48 e) 60 5. (UERJ) Uma folha de papel retangular, como a da figura 1, de dimensões 8 cm 14 cm, é dobrada como indicado na figura. Se o comprimento CE é 8 cm, a área do polígono ADCEB, em cm, é igual a: a) 11 b) 88 c) 64 d) 4 6. (UERJ) A figura 1 mostra uma pessoa em uma asa-delta O esquema na figura representa a vela da asa-delta, que consiste em dois triângulos isósceles ABC e ABD congruentes, com AC = AB = AD. A medida de AB corresponde ao comprimento da quilha. Quando esticada em um plano, essa vela forma um ângulo CÂD = θ Suponha que, para planar, a relação ideal seja de 10 dm de vela para cada 0,5 kg de massa total. Considere, agora, uma asa-delta de 15 kg que planará com uma pessoa de 75 kg. De acordo com a relação ideal, o comprimento da quilha, em metros, é igual à raiz quadrada de: a) 9 cosθ b) 18 senθ c) 9 cosθ d) 18 senθ 7.(Q.E.P.P.E) Dois irmãos, Edu e Vicente, estavam discutindo o seguinte problema: Num triângulo ABC, as medidas de AB e AC, são respectivamente, 3cm e 4cm, e a medida de sua área é igual 3cm. Nestas condições, determine o ângulo Â. Edu afirmou que o a medida do ângulo A é igual a 30. Vicente afirmou que esse ângulo mede 150. Podemos concluir que: a) Edu está certo e Vicente está errado. b) Vicente está certo e Edu está errado. c) Os dois estão certos. d) Os dois estão errados porque a medida do ângulo é de 90.

8. Considere um tablado para a Escola de Teatro da UNIRIO com a forma trapezoidal a seguir Quantos metros quadrados de madeira serão necessários para cobrir a área delimitada por esse trapézio? a) 75 m b) 36 m c) 96 m d) 48 m e) 60 m 9. Em um dos jogos da última Copa das Confederações, na África do Sul, foi colocado, numa praça de forma semicircular, com perímetro igual a ( 10π + 0) metros, um telão. Nessa praça, 785 pessoas assistiam ao jogo. Supondo que houvesse o mesmo número de pessoas por metro quadrado da praça, em cada metro quadrado haveria (usarπ 3, 14 ) a) 9 pessoas b) 7 pessoas c) 5 pessoas d) 10 pessoas e) 1 pessoas 10. Uma das mais belas fórmulas da geometria plana é a fórmula de Heron de Alexandria, que descreve a relação entre a área A de um triângulo qualquer com os valores a, b e c de seus lados e seu semiperímetro p. A fórmula é dada pela expressão: A = p( p a)( p b)( p c) Utilizando a Fórmula de Heron, demonstre que a área A de um triângulo eqüilátero de lado L é dada L. 3 pela expressão: A = 4 11.(FEI-SP) De uma chapa quadrada de papelão recortam-se 4 discos, conforme indicado na figura. Se a medida do diâmetro dos círculos é 10 cm, qual a área (em cm ) não aproveitada da chapa? a) 40 0π b) 400 0π c) 100 100π 0 d) 0 0π e) 400 100π 1. Para a encenação de uma peça teatral, os patrocinadores financiaram a construção de uma arena circular com 10m de raio. O palco ocupará a região representada pela parte hachurada na figura a seguir: Se O indica o centro da arena e se h mede 5m, então, a área do palco, em m, vale: a) ( 75 3 + 50π ) ( 5 3π ) ( 50 + π ) b) c) 3 3

( 50 + π ) d) e) 100 π 3 13. Um triângulo de cartolina é cortado por dois segmentos paralelos à base, determinando trapézios de áreas iguais ( S 1 e S ). Sabendo-se que a base mede 3cm e o segmento superior 1cm, determinar a medida do segmento x. 14. (Enem cancelado 009) Um fazendeiro doa, como incentivo, uma área retangular de sua fazenda para seu filho, que está indicada na figura como 100% cultivada. De acordo com as leis, deve-se ter uma reserva legal de 0% de sua área total. Assim, o pai resolve doar mais uma parte para compor a reserva para o filho, conforme a figura. De acordo com a figura anterior, o novo terreno do filho cumpre a lei, após acrescentar uma faixa de largura x metros contornando o terreno cultivado, que se destinará à reserva legal (filho). O dobro da largura x da faixa é a) 10%(a + b) b) 10%(a. b) c) a+ b (a + b) d) ( a + b) + ab ( a + b) e) ( a + b) + ab + ( a + b) 15. (UERJ 013) Dois terrenos, A e B, ambos com a forma de trapézio, têm as frentes de mesmo comprimento voltadas para a Rua Alfa. Os fundos dos dois terrenos estão voltados para a Rua Beta. Observe o esquema: As áreas de A e B são, respectivamente, proporcionais a 1 e, e a lateral menor do terreno A mede 0 m. Calcule o comprimento x, em metros, da lateral maior do terreno B. 16. (Uerj 013) Para confeccionar uma bandeirinha de festa junina, utilizou-se um pedaço de papel com 10 cm de largura e 15 cm de comprimento, obedecendo-se às instruções abaixo. 1. Dobrar o papel ao meio, para marcar o segmento MN, e abri-lo novamente:. Dobrar a ponta do vértice B no segmento AB, de modo que B coincida com o ponto P do segmento MN:

3. Desfazer a dobra e recortar o triângulo ABP. A área construída da bandeirinha APBCD, em cm, é igual a: a) 5 ( 4 3 ) b) 5 ( 6 3 ) c) 50 ( 3 ) d) 50 ( 3 3 ) 17. (Enem 01) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir. Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m, e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m. De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral? a) R$,50 b) R$ 35,00 c) R$ 40,00 d) R$ 4,50 e) R$ 45,00 18. Visando desenvolver seus dons artísticos, o professor Walter desenhou num pedaço de cartolina o triângulo eqüilátero ABC de lado m. A seguir marcou os pontos médios M, N e P dos lados AB; AC e BC respectivamente. Com um compasso, desenhou 3 arcos de circunferências centrados nos vértices do triângulo e de raio igual a 1m, determinando assim,dentro do triângulo, três setores circulares de 60.Logo após, pintou a parte exterior aos setores, no interior do triângulo eqüilátero. a) Faça um desenho da situação descrita. b)calcule a área da figura pintada pelo professor. 19. Na figura abaixo, o triângulo ABC é eqüilátero de lado 1, os arcos DE, EF, FD estão contidos em circunferências de raio 6, e a circunferência de menor raio é tangente aos três arcos. Qual o inteiro mais próximo da área da região hachurada? (Use as aproximaçõesπ 3, 14 e 3 1, 73)

GABARITO: 1. a) 30.000 pessoas b) 560.000 pessoas. [A] 3. [B] 4.[D] 5.[C] 6.[D] 7. [C] 8. [D] 9. [C] 10. dem. 11. [E] 1. [A] 13. 5 14. [D] 15. 100 16. [B] 17.[ B] π 18. (A) B) ( 3 ) m 19. 3 u.a.

Lista de Exercícios Essa lista contém 50 questões de Geometria. Da questão 1 à questão 30 temos questões recentes de vestibulares, e da questão 31 à questão 50 temos questões dos últimos ENEM s. Bom trabalho e ótima férias à todos. Abraço!! Profº: Fabrício Sousa. Exercícios Vestibulares Questão 01:(Upe 014) Um triângulo UPE é retângulo, as medidas de seus lados são expressas, em centímetros, por números naturais e formam uma progressão aritmética de razão 5. Quanto mede a área do triângulo UPE? a) 15 cm b) 5 cm c) 15 cm d) 150 cm e) 300 cm

Questão 0:(Unicamp 014) O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a a) 3,0 m. b),0 m. c) 1,5 m. d) 3,5 m. Questão 03:(Ufsc 014) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). Para a transmissão da copa do mundo de 014 no Brasil, serão utilizadas câmeras que ficam suspensas por cabos de aço acima do campo de futebol, podendo, dessa forma, oferecer maior qualidade na transmissão. Suponha que uma dessas câmeras se desloque por um plano paralelo ao solo orientada através de coordenadas cartesianas. A figura abaixo representa o campo em escala reduzida, sendo que cada unidade de medida da figura representa 10 m no tamanho real. 01) A equação da circunferência que delimita o círculo central do campo na figura é x + y 1x 8y+ 51= 0. 0) Se a câmera se desloca em linha reta de um ponto, representado na figura por A(4, ), até outro ponto, representado na figura por C(10, 6), então a equação da reta que corresponde a essa trajetória na figura é x 3y = 0. 04) Na figura, o ponto B(8, 3) está a uma distância de 8 unidades da reta que passa pelos pontos a A(4, ) e C(10, 6). 08) Os pontos (7, 4), (4, ) e (10, 6) não são colineares. 16) No tamanho real, a área do círculo central do campo de futebol é igual a 100 π m. Questão 04:(Insper 014) Considere, no plano cartesiano, o triângulo retângulo determinado pelos eixos coordenados e pela reta de equação 1x + 5y = 60. A medida do raio da circunferência inscrita nesse triângulo é igual a a) 1. b). c) 3. d) 4. e) 5. Questão 05:(Insper 014) Considere o retângulo ABCD da figura, de dimensões AB = b e AD = h, que foi dividido em três regiões de áreas iguais pelos segmentos EF e GH. suur suur suur x As retas EF, BD e GH são paralelas. Dessa forma, sendo AE = x e AF = y, a razão b é igual a

a). 3 b) c) d) e). 3. 6. 4 6. 3 Questão 06:(G1 - cftrj 014) Se ABC é um triângulo tal que AB = 3cm e BC = 4cm, podemos afirmar que a sua área, em cm, é um número: a) no máximo igual a 9 b) no máximo igual a 8 c) no máximo igual a 7 d) no máximo igual a 6 Questão 07:(Fuvest 014) O triângulo AOB é isósceles, com OA = OB, e ABCD é um quadrado. Sendo θ a medida do ângulo AOB, ˆ pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a área do triângulo se Dados os valores aproximados: tg 14 0,493, tg 15 0,679 tg 0 0,3640, tg 8 0,5317 a) 14 < θ < 8 b) 15 < θ < 60 c) 0 < θ < 90 d) 5 < θ < 10 e) 30 < θ < 150 Questão 08:(G1 - utfpr 014) A área do círculo, em cm, cuja circunferência mede 10π cm, é: a) 10 π. b) 36 π. c) 64 π. d) 50 π. e) 5 π. Questão 09(G1 - cftmg 014) Um jardim geométrico foi construído, usando a área dividida em regiões, conforme a figura seguinte. Sabe-se que: - AOB representa o setor circular de raio m com centro no ponto O. - CDEF é um quadrado de área 1m. π 3 - a área da região II é igual a m. 3 - a região IV é reservada para o plantio de flores. A área, em m, reservada para o plantio de flores é

π a). 3 π b). c) π. 3 d) 3 π. Questão 10:(Ufsc 014) No livro A hora da estrela, de Clarice Lispector, a personagem Macabéa é atropelada por um veículo cuja logomarca é uma estrela inscrita em uma circunferência, como mostra a figura. Se os pontos A, B e C dividem a circunferência em arcos de mesmo comprimento e a área do triângulo ABC é igual a 7 3 cm, determine a medida do raio desta circunferência em centímetros. Questão 11:(Insper 014) Um retângulo tem comprimento X e largura Y, sendo X e Y números positivos menores do que 100. Se o comprimento do retângulo aumentar Y% e a largura aumentar X%, então a sua área aumentará XY a) X + Y + %. 100 X+ Y b) XY + %. 100 X+ Y+ XY c) %. 100 d) (X+ Y)%. e) (XY)%. Questão 1:(Espcex (Aman) 014) Em um treinamento da arma de Artilharia, existem 3 canhões A, B e C. Cada canhão, de acordo com o seu modelo, tem um raio de alcance diferente e os três têm capacidade de giro horizontal de 360. Sabendo que as distâncias entre A e B é de 9 km, entre B e C é de 8 km e entre A e C é de 6 km, determine, em km, a área total que está protegida por esses 3 canhões, admitindo que os círculos são tangentes entre si. a) 3 π b) 3 4 π c) 385 8 π d) 195 4 π e) 59 4 π Questão 13:(Uece 014) O palco de um teatro tem a forma de um trapézio isósceles cujas medidas de suas linhas de frente e de fundo são respectivamente 15 m e 9 m. Se a medida de cada uma de suas diagonais é 15 m, então a medida da área do palco, em m, é a) 80. b) 90. c) 108. d) 118.

Questão 14:(G1 - ifsp 014) Uma praça retangular é contornada por uma calçada de m de largura e possui uma parte interna retangular de dimensões 15 m por 0 m, conforme a figura. Nessas condições, a área total da calçada é, em metros quadrados, igual a a) 148. b) 15. c) 156. d) 160. e) 164. Questão 15:(Fuvest 014) Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 5 metros. Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina. a) 1.600 m b) 1.800 m c).000 m d).00 m e).400 m Questão 16:(G1 - cftrj 014) Sejam ABC e DEF dois triângulos equiláteros. Sabendo que o perímetro de DEF é 3 unidades maior do que o perímetro de ABC e sua área é o dobro da área de ABC, qual é a medida dos lados de ABC? Questão 17:(Uerj 014) Considere uma placa retangular ABCD de acrílico, cuja diagonal AC mede 40cm. Um estudante, para construir um par de esquadros, fez dois cortes retos nessa placa nas direções AE e AC, de modo que DAE ˆ = 45 e BAC ˆ = 30, conforme ilustrado a seguir: Após isso, o estudante descartou a parte triangular CAE, restando os dois esquadros. Admitindo que a espessura do acrílico seja desprezível e que 3 = 1,7, a área, em cm, do triângulo CAE equivale a:

a) 80 b) 100 c) 140 d) 180 Questão 18:(Ufg 014) Com o objetivo de prevenir assaltos, o dono de uma loja irá instalar uma câmera de segurança. A figura a seguir representa uma planta baixa da loja, sendo que a câmera será instalada no ponto C e as áreas hachuradas representam os locais não cobertos por essa câmera. De acordo com essas informações, a área a ser coberta pela câmera representa, aproximadamente, a) 90,90% da área total da loja. b) 91,54% da área total da loja. c) 95,45% da área total da loja. d) 96,14% da área total da loja. e) 97,% da área total da loja. Questão 19:(G1 - cftmg 014) Um paisagista deseja cercar um jardim quadrado de 5m. Sabendo-se que o metro linear da grade custa R$3,5 e que foi pago um adicional de R$1,75 por metro linear de grade instalado, a despesa com a cerca, em reais, foi de a) 40,5. b) 450,00. c) 500,00. d) 506,75. Questão 0:(Ufg 014) Na figura a seguir, as circunferências C,C 1,C 3 e C, 4 de centros O,O 1,O 3 e O, 4 respectivamente, e mesmo raio r, são tangentes entre si e todas são tangentes à circunferência C de centro O e raio R. Considerando o exposto, calcule em função de R, a área do losango cujos vértices são os centros O,O 1,O 3 e O. 4 Questão 1:(G1 - cftmg 014) A figura 1 é uma representação plana da Rosa dos Ventos, composta pela justaposição de quatro quadriláteros equivalentes mostrados na figura.

Com base nesses dados, a área da parte sombreada da figura 1, em cm, é igual a a) 1. b) 18. c). d) 4. Questão :(Insper 014) As disputas de MMA (Mixed Martial Arts) ocorrem em ringues com a forma de octógonos regulares com lados medindo um pouco menos de 4 metros, conhecidos como Octógonos. Medindo o comprimento exato de seus lados, pode-se calcular a área de um Octógono decompondo-o, como mostra a figura a seguir, em um quadrado, quatro retângulos e quatro triângulos retângulos e isósceles. A medida do lado do quadrado destacado no centro da figura é igual à medida a do lado do Octógono. Se a área desse quadrado é S, então a área do Octógono vale a) S( + 1). b) S( + ). c) S( + 1). d) S( + ). e) 4S( + 1). Questão 3:(Upe 014) A figura a seguir representa um hexágono regular de lado medindo cm e um círculo cujo centro coincide com o centro do hexágono, e cujo diâmetro tem medida igual à medida do lado do hexágono. Considere: π 3 e 3 1,7

Nessas condições, quanto mede a área da superfície pintada? a),0 cm b) 3,0 cm c) 7, cm d) 8,0 cm e) 10, cm Questão 4:(G1 - cps 014) A Jornada Mundial da Juventude (JMJ) aconteceu no Rio de Janeiro, em julho de 013, e atraiu visitantes do Brasil e de vários outros países. Segundo a Prefeitura do Rio, 3, milhões de pessoas compareceram à cerimônia de encerramento da JMJ, que ocorreu na Praia de Copacabana. (folha.uol.com.br/poder/013/07/1318073-calculo-oficial-de-3-milhoes-de-pessoasem-copacabana-e-superestimadodiz-datafolha.shtml Acesso em: 16.08.013. Adaptado) A área da superfície ocupada pelas pessoas que compareceram à cerimônia de encerramento da JMJ equivale à área da superfície de cerca de N campos de futebol do estádio do Maracanã. Sabendo-se que o campo de futebol do Maracanã tem forma retangular com dimensões de 105 metros por 68 metros e adotando-se que, em uma concentração de grande porte como essa, um metro quadrado é ocupado por 4 pessoas, em média; então, considerando os dados apresentados, o número inteiro positivo mais próximo de N será a) 45. b) 57. c) 11. d) 136. e) 144. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Após serem medidas as alturas dos alunos de uma turma, elaborou-se o seguinte histograma: Questão 5:(Uerj 014) Sabe-se que, em um histograma, se uma reta vertical de equação x = x0 divide ao meio a área do polígono formado pelas barras retangulares, o valor de x 0 corresponde à mediana da distribuição dos dados representados. Calcule a mediana das alturas dos alunos representadas no histograma. Questão 6:(Pucrj 013) O retângulo ABCD tem dois vértices no gráfico da função polinomial dada por ( ) 3 f x = 5x 65x + 35x 155 e dois vértices no eixo x como na figura abaixo.

Sabendo que o vértice A = (1,0), faça o que se pede. a) Determine as coordenadas do vértice D. b) Determine as coordenadas do vértice C. c) Calcule a área do retângulo ABCD. Questão 7:(Pucrj 013) O retângulo ABCD tem dois vértices na parábola de equação vértices no eixo x, como na figura abaixo. x 11 = + e dois y x 3 6 6 Sabendo que D = (3,0), faça o que se pede. a) Determine as coordenadas do ponto A. b) Determine as coordenadas do ponto C. c) Calcule a área do retângulo ABCD. Questão8:(Pucrj 013) De uma folha de papelão de lados de medidas 3 e 14 foram retirados, dos quatro cantos, quadrados de lado de medida 3 para construir uma caixa (sem tampa) dobrando o papelão nas linhas pontilhadas. a) Determine o perímetro da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos. b) Determine a área da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos. c) Determine o volume da caixa formada. Questão 9:(Ufsc 013) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01) Na figura abaixo, o triângulo ABC é equilátero e o quadrilátero MNPQ é um quadrado. Então os pontos P e Q são pontos médios dos lados BC e AC, respectivamente. 0) Na figura abaixo, ABCD é um quadrilátero e o segmento DB é paralelo ao segmento CE. Então a área do quadrilátero ABCD é igual à área do triângulo ADE.

04) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo e o ponto M é o ponto médio da hipotenusa AC. A perpendicular à hipotenusa AC pelo ponto M cruza o segmento BC no ponto E, que está entre B e C. Então a área do triângulo MEC é menor do que a metade da área do triângulo ABC. 08) Considere um octaedro regular inscrito em uma esfera de raio 6cm. O volume do octaedro é 88cm 3. 16) Se em um quadrilátero as diagonais são bissetrizes dos ângulos internos, então o quadrilátero é um losango. Questão 30:(Uepb 013) Uma circunferência e uma reta têm equações cartesianas respectivamente, e são tangentes em um ponto P do sistema de eixos cartesianos xy. A área em dois gráficos e os semieixos positivos é: a) (4 π) b) 4( π) c) ( π 4) d) 4( + π) e) (4 + π) Exercícios ENEM x + y = r e x+ y = 4 cm da região entre os Questão 31:(Enem 013) Um programa de edição de imagens possibilita transformar figuras em outras mais complexas. Deseja-se construir uma nova figura a partir da original. A nova figura deve apresentar simetria em relação ao ponto O. A imagem que representa a nova figura é:

a) b) c) d) e) Questão 3:(Enem 013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6m e 4m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados. Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF? a) 1m b) m c),4 m d) 3m e) 6 m Questão 33:(Enem 013) Uma fábrica de fórmicas produz placas quadradas de lados de medida igual a y centímetros. Essas placas são vendidas em caixas com N unidades e, na caixa, é especificada a área máxima S que pode ser coberta pelas N placas. Devido a uma demanda do mercado por placas maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados de suas placas e conseguiu reuni-las em uma nova caixa, de tal forma que a área coberta S não fosse alterada. A quantidade X, de placas do novo modelo, em cada nova caixa será igual a: a) N 9

b) N 6 c) N 3 d) 3N e) 9N Questão 34:(Enem 013) A cerâmica constitui-se em um artefato bastante presente na história da humanidade. Uma de suas várias propriedades é a retração (contração), que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a uma determinada temperatura elevada. Essa elevação de temperatura, que ocorre durante o processo de cozimento, causa uma redução de até 0% nas dimensões lineares de uma peça. Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 3 mar. 01. Suponha que uma peça, quando moldada em argila, possuía uma base retangular cujos lados mediam 30 cm e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram reduzidos em 0%. Em relação à área original, a área da base dessa peça, após o cozimento, ficou reduzida em a) 4%. b) 0%. c) 36%. d) 64%. e) 96%. Questão 35:(Enem 013) Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distância de 10cm entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura: Utilize 1,7 como aproximação para 3. O valor de R, em centímetros, é igual a a) 64,0. b) 65,5. c) 74,0. d) 81,0. e) 91,0. Questão 36:(Enem 013) Um restaurante utiliza, para servir bebidas, bandejas com base quadradas. Todos os copos desse restaurante têm o formato representado na figura:

7 Considere que AC = BD e que l é a medida de um dos lados da base da bandeja. 5 l Qual deve ser o menor valor da razão para que uma bandeja tenha capacidade de portar exatamente quatro copos BD de uma só vez? a) b) 14 5 c) 4 d) 4 5 e) 8 5 Questão 37:(Enem 01) Em 0 de fevereiro de 011 ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua localização geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de Posicionamento Global) com longitude de 14 3 0 a leste do Meridiano de Greenwich. Dado: 1 equivale a 60 e 1 equivale a 60. A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude da forma decimal é a) 14,0. b) 14,05. c) 14,0. d) 14,30. e) 14,50. PAVARIN, G. Galileu, fev. 01 (adaptado) Questão 38:(Enem 01) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir. Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m, e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m.

De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral? a) R$,50 b) R$ 35,00 c) R$ 40,00 d) R$ 4,50 e) R$ 45,00 Questão 39:(Enem 01) Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza para melhorar o conforto dos seus clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de aquecedores: modelo A, que consome 600 g/h (gramas por hora) de gás propano e cobre 35 m de área, ou modelo B, que consome 750 g/h de gás propano e cobre 45 m de área. O fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do que a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. A área do salão que deve ser climatizada encontra-se na planta seguinte (ambientes representados por três retângulos é um trapézio). Avaliando-se todas as informações, serão necessários a) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do tipo B. b) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B. c) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B. d) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B. e) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo B. Questão 40:(Enem 01) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira lavagem, mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 x) (3 y). Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por: a) xy b) 15 3x c) 15 5y d) 5y 3x e) 5y + 3x xy Questão 41:(Enem 01) Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas giratórias. Uma medida de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a medida R do raio adequado para a plataforma em termos da medida L do lado da base da estatua. Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja cumprida? a) R L/

b) R L/π c) R L/ π d) R L/ e) R L/ ( ) Questão 4:(Enem 011) Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de espaços de lazer reinvidicam à prefeitura municipal a construção de uma praça. A prefeitura concorda com a solicitação e afirma que irá construí-la em formato retangular devido às características técnicas do terreno. Restrições de natureza orçamentária impõem que sejam gastos, no máximo, 180 m de tela para cercar a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as medidas dos terrenos disponíveis para a construção da praça: Terreno 1: 55 m por 45 m Terreno : 55 m por 55 m Terreno 3: 60 m por 30 m Terreno 4: 70 m por 0 m Terreno 5: 95 m por 85 m Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas pela prefeitura, os moradores deverão escolher o terreno a) 01. b) 0. c) 3. d) 4. e) 5. Questão 43:(Enem 011) O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por rotações, em torno de seu centro, de a) 45. b) 60. c) 90. d) 10. e) 180. Questão 44:(Enem 011) O atletismo é um dos esportes que mais se identificam com o espírito olímpico. A figura ilustra uma pista de atletismo. A pista é composta por oito raias e tem largura de 9,76 m. As raias são numeradas do centro da pista para a extremidade e são construídas de segmentos de retas paralelas e arcos de circunferência. Os dois semicírculos da pista são iguais.

Se os atletas partissem do mesmo ponto, dando uma volta completa, em qual das raias o corredor estaria sendo beneficiado? a) 1 b) 4 c) 5 d) 7 e) 8 Questão 45:(Enem 010) Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras. A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto. Nessas condições, a área a ser calcada corresponde a) a mesma área do triângulo AMC. b) a mesma área do triângulo BNC. c) a metade da área formada pelo triângulo ABC. d) ao dobro da área do triângulo MNC. e) ao triplo da área do triângulo MNC. Questão 46:(Enem 010) A loja Telas & Molduras cobra 0 reais por metro quadrado de tela, 15 reais por metro linear de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 10 reais. Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa loja, suficientes para 8 quadros retangulares (5 cm x 50 cm). Em seguida, fez uma segunda encomenda, mas agora para 8 quadros retangulares (50 cm x 100 cm). O valor da segunda encomenda será a) o dobro do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram. b) maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro. c) a metade do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram. d) menor do que o valor da primeira encomenda, mas não a metade. e) igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo de entrega será o mesmo. Questão 47:(Enem 010) Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente as suas faces laterais, conforme mostra a figura. O raio da perfuração da peça é igual a a) 1 cm. b) cm. c) 3 cm. d) 4 cm. e) 5 cm.

Questão 48:(Enem 010) A ideia de usar rolos circulares para deslocar objetos pesados provavelmente surgiu com os antigos egípcios ao construírem as pirâmides. Representando por R o raio da base dos rolos cilíndricos, em metros, a expressão do deslocamento horizontal y do bloco de pedra em função de R, após o rolo ter dado uma volta completa sem deslizar, é a) y = R. b) y = R. c) y = ðr. d) y = ðr. e) y = 4ðR. Questão 49:(Enem 009) Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, estados ou países. O mapa a seguir mostra os estados brasileiros e a localização de algumas capitais identificadas pelos números. Considere que a direção seguida por um avião AI que partiu de Brasília DF, sem escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de reta com extremidades em DF e em 4. Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião AII, que seguiu a direção que forma um ângulo de 135 o graus no sentido horário com a rota Brasília Belém e pousou em alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez uma conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a direção que forma um ângulo reto, no sentido antihorário, com a direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF. Considerando que a direção seguida por um avião é sempre dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que passa pela cidade destino do avião, pela descrição dada, o passageiro Carlos fez uma conexão em a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba. b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador. c) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho. d) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro. e) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus. Questão 50:(Enem 009) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de, metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3, metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é

a) 1,16 metros. b) 3,0 metros. c) 5,4 metros. d) 5,6 metros. e) 7,04 metros.

Gabarito: Resposta da questão 1: [D] Sejam l, l + 5 e l + 10 as medidas dos lados do triângulo UPE. Logo, pelo Teorema de Pitágoras, vem ( l + 10) = l + ( l + 5) l + 0l + 100 = l + l + 10l + 5 l 10l 75 = 0 l = 15cm. Em consequência, o resultado pedido é 15 0 150cm =. Resposta da questão : [C] Sejam x, x+ r e x+ r as medidas, em metros, dos lados do triângulo, com x, r > 0. Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos x = 3r. Logo, os lados do triângulo medem 3r, 4r e 5r. Sabendo que o perímetro do triângulo mede 6,0 m, vem 1 3r + 4r + 5r = 6 r =. Portanto, a área do triângulo é igual a 3r 4r 1 = 6 = 1,5m. Resposta da questão 3: 01 + 0 + 16 = 19. [01] Correto. A circunferência de raio 1 e centro em (6, 4) tem por equação (x 6) + (y 4) = 1 x + y 6x 4y + 51. [0] Correto. A equação da reta que passa por A e C é dada por 6 y = (x 4) x 3y = 0. 10 4 [04] Incorreto. A distância d do ponto B à reta AC suur é igual a 8 3 3 5 d = =. + ( 3) 13 [08] Incorreto. Os pontos (7, 4), (4, ) e (10, 6) são colineares, pois 7 4 10 7 14 4 40 (16 0 4) 0. 4 6 4 = + + + + = [16] Correto. A área do círculo central é igual a π 10 = 100πm. Resposta da questão 4: [B]

Fazendo y = 0 na equação 1x + 5y = 60, obtemos o ponto A = (5,0), que é o ponto de interseção da reta com o eixo das abscissas. Tomando x = 0, encontramos o ponto B = (0,1), que é o ponto de interseção da reta com o eixo das ordenadas. Desse modo, sendo O a origem do sistema de eixos cartesianos, queremos calcular o raio r da circunferência inscrita no triângulo AOB. Pelo Teorema de Pitágoras, encontramos AB = 13. Logo, temos OA OB OA + OB + AB = r 5 1 = (5 + 1 + 13) r r =. Resposta da questão 5: [E] Seja (AEF) = S. Pela simetria da figura, temos (EBDF) = (BDHG) = S. Além disso, os triângulos AEF e ABD são semelhantes por AA. Portanto, como (ABD) = (AEF) + (EBDF) = 3S, tem-se (AEF) x S x = = (ABD) b 3S b x 6 =, b 3 que é o resultado pedido. Resposta da questão 6: [D] Vamos considerar a a medida do ângulo formado por AB e BC. Temos então a área do triângulo pedida 1 A = 3 4 senα Que será máxima quando sen a for máximo, ou seja, sen a = 1, portanto a área máxima do triângulo será: 1 A máx = 3 4 1 = Resposta da questão 7: [E] 6cm

Considere a figura, em que M é o ponto médio do lado AB. Do triângulo retângulo OMB, obtemos µ BM AB tgmob = MO =. MO θ tg Sem perda de generalidade, suponhamos que AB = 1. Assim, AB MO 1 (AOB) = =. θ 4tg A área do quadrado ABCD é maior do que a área do triângulo AOB se 1 (ABCD) > (AOB) 1 > θ 4 tg θ 1 tg > = 0,5. 4 Logo, como tg15 0,679 > 0,5 e 0 < θ < 180, vem que 30 < θ < 180. Note que ]30, 150 [ ]30, 180 [. Resposta da questão 8: [E] π r = 10πcm, Logo, r = 5 cm. Portanto, sua área será dada por: A = π 5 = 5πcm. Resposta da questão 9: [C] Sabendo que (CDEF) = 1m, é imediato que CF = 1m. Logo, do triângulo OCF, vem µ CF µ 1 sencof = sencof = OF COF µ = 30. Daí, tem-se que AOF µ = 90 30 = 60. Portanto, sendo AOF µ = COF, µ encontramos π π (AOF) = = m. 3 4 3 Resposta da questão 10: Como os arcos determinados por A, B e C têm mesmo comprimento, segue-se que o triângulo ABC é equilátero.

Além disso, sabendo que a área de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio r é dada por temos 3 3 r, 4 3 3 r 7 3 r 6cm. 4 = = Resposta da questão 11: [A] A área do retângulo, após os acréscimos no comprimento e na largura, é dada por Y X X 1+ Y 1 +. 100 100 Logo, o resultado pedido é Y X X 1+ Y 1 X Y 100 + 100 X Y XY 100% = 1+ + + 1 100% X Y 100 100 10000 Resposta da questão 1: [D] XY = X + Y + %. 100 Admitindo x, y e z os raios das circunferências de centros A,B e C, respectivamente, temos: x+ y = 9 y + z = 8 x + z = 6 Resolvendo o sistema, temos: x = 3, y = 11 e z = 5. Calculando, agora, a soma das áreas de todos os círculos, temos: 7 11 5 195π A = π + + = km. π π 4 Resposta da questão 13: [C]

Considerando h a medida da altura do trapézio e A a medida de sua área, temos: h + 1 = 15 h= 9m. (15 + 9) 9 A = = 108m Resposta da questão 14: [C] Dimensões da praça: 15 + + = 19m 0 + + = 4m Portanto, sua área total será Área da parte interna será Logo, a área da calçada será Resposta da questão 15: [A] 19 4 = 456 m. 15 0 = 300 m. 456 300 = 156 m. Seja l a medida, em metros, dos lados dos hexágonos que constituem a piscina. Sabendo que a distância entre lados paralelos de um hexágono regular é igual ao dobro do apótema do hexágono, obtemos l 5 3 = 5 tg30 = m. 3 Desse modo, a área da piscina é dada por 3l 3 9 3 5 3 = 3 3 1875 = 3 e, portanto, 1.63,8 m 1.600 m é o valor que mais se aproxima da área da piscina. Resposta da questão 16: Considerando x a medida do lado do triângulo ABC e y a medida do lado do triângulo DEF, temos o seguinte sistema. 3y = 3x + 3 y = x + 1 y 3 x 3 = y = x 4 4 Substituindo (I) em (II), temos: ( I ) ( II )

x + 1 = x x x = 1 x = 1 1+ 1 1+ x = + 1 Portanto, a medida dos lados do triângulo ABC é ( + 1) unidades. Resposta da questão 17: [C] Do triângulo ABC, obtemos µ BC 1 senbac = BC = 40 = 0cm AC e µ AB 3 cosbac = AB = 40 34cm. AC Além disso, como DAE µ = 45, segue que AD = DE = BC = 0cm. Portanto, a área do triângulo ACE é dada por (ACE) = (ADC) (ADE) 34 0 0 0 = = 140cm. Resposta da questão 18: [C] AB 1,5 0,68 1,5 ΔABD ~ ΔDEC : = AB = 0,68 e AΔABD = = 0,51 m,5 5,5 FG 1 0,667 1 ΔFGH ~ ΔHIC : = FG = 0,667 e AΔFGH = = 0,33 m 3 Área da loja: A = 4 7 1,5 1= 3,75m 3,75 0,51 0,33 Área não coberta pela câmera em porcentagem: = 96,46% 3,75 Observação: O resultado apresentado não confere com o gabarito oficial, pois o gabarito oficial considerou que os ângulos BDA e FHG são congruentes. Resposta da questão 19:

[C] Lado do quadrado: 5m Perímetro do quadrado: 5 + 5 + 5 + 5 = 0m Valor pedido: 0 (3,5 + 1,75) = 0 5 = R$500,00 Resposta da questão 0: Considere a figura, em que AB é um diâmetro da circunferência de centro O e raio R. Como o triângulo OO1O é retângulo isósceles, segue-se que OO = OO4 = r. Logo, AB = AO + O O + O B R = r + r 4 4 r = R + 1 r = ( 1) R. Portanto, como OO 1 O3O 4 é quadrado, temos OO O O 1 3 4 = (r) = 4 [( 1) R] = 4(3 ) R. Resposta da questão 1: [D] A área pedida é dada por 1 1 11 4 + = 4 6 = 4cm. Resposta da questão : [C] Sabendo que o ângulo interno de um octógono regular mede 135, segue-se que os quatro triângulos, resultantes da decomposição do octógono, são retângulos isósceles de catetos iguais a a. destacado no centro do octógono é S= a, tem-se que o resultado pedido é 1 a a a 4 + a + S = a + a + S = S + S = S( + 1). Logo, como a área do quadrado

Resposta da questão 3: [C] O resultado pedido é dado por 3 3 π 1 6 1,7 3 = 7,cm. Resposta da questão 4: [C] 3.00.000 3.00.000 = N 105 68 4 N = N = 11,0448179 105 68 4 Ou seja, N é aproximadamente 11. Resposta da questão 5: 0,1 3 + 9 + 6 + = Área total da figura: ( ) Metade da área 1, logo 1, 7 < x 0 < 1, 8 Tem-se então a equação ( ) 0,1 3 + x 1,7 9 = 1 x = 1,7777... 0 o Resposta da questão 6: a) Sabendo que A = (1,0), vem xd = xa = 1. Além disso, como D pertence ao gráfico de f, vem y = f(x ) D D 3 = 5 1 65 1 + 35 1 155 = 0. b) Como ABCD é retângulo, concluímos facilmente que yc = yd = 0. Logo, 3 3 C C C C C C 5x 65x + 35x 155 = 0 x 13x + 47x 35 = 0. Pelo Teorema das Raízes Racionais, temos que as possíveis raízes racionais dessa equação pertencem ao conjunto { ± 1, ± 5, ± 7}. De fato, após inspeção, concluímos que 1, 5 e 7 são raízes. Portanto, segue que xc = xb = 5. c) A área do retângulo ABCD é dada por (xb x A) f(x D) = (5 1) 0 = 80 u.a. Resposta da questão 7: a) Sabendo que D = (3, 0), vem xa = xd = 3. Além disso, como A pertence à parábola, temos y = f(x ) A A 3 11 = 3 + 3 6 6 = 1. b) Como ABCD é retângulo, concluímos facilmente que yb = ya = 1. Assim, C x 11 x C + 3 = 1 x C 11x C + 4 = 0 6 6 x = 8 e, portanto, C = (8, 0). c) A área do retângulo ABCD é dada por (xc x D) f(x A) = (8 3) 1 = 5 u.a. C

Resposta da questão 8: a) O perímetro da folha após a retirada dos quatro cantos é [(3 6) + (14 6)] + 83 = 74u.c. Note que o perímetro da folha antes da retirada dos quatro cantos também mede 74 u.c. b) A área da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos é dada por 3 14 4 3 = 3 36 = 86 u.a. c) A caixa formada tem dimensões 17 8 3. Portanto, seu volume é igual a 17 8 3 = 408 u.v. Resposta da questão 9: 0 + 04 + 08 + 16 = 30. 01) Falsa. Seria possível se a altura do triângulo tivesse a mesma medida que sua base. 0) Verdadeira, pois AAECD AEDC = AAECD ABEC A = A A ADE AECD EDC como A = A, temos A = A BEC EDC AECD ADE 04) Verdadeira. Área do triângulo MEC é menor do que a metade da área do triângulo ABC (área do triângulo MBC). Observe na figura: 8) Verdadeira. O volume do octaedro é o dobro do volume da pirâmide V =.(1/3).x.h V =.(1/3).7.6 V = 88 cm 3 16) Verdadeira, pois esta propriedade define um losango. Resposta da questão 30: [A]

A reta y = x+ 4 intersecta os eixos cartesianos nos pontos A = (0,4) e B = (4,0). Daí, é imediato que AB = 4. Além disso, como P é o ponto em que a reta tangencia a circunferência, segue-se que OP é a mediana relativa ao AB vértice O do triângulo OAB, com O sendo a origem do sistema de eixos cartesianos. Logo, OP = =. Ora, mas OP = r e, portanto, a área pedida é 1 1 1 1 OA OB π OP = 4 4 π ( ) 4 4 = 8 π = (4 π) u.a. Resposta da questão 31: [E] Como o simétrico de um ponto P do plano, em relação ao ponto O, é o ponto P' tal que PO = P'O e P' pertence à suur reta PO, segue-se que a alternativa correta é a alternativa [E]. Resposta da questão 3: [C] É fácil ver que os triângulos AEC e BED são semelhantes. Logo, AF AC AF 4 = = BF BD BF 6 AF + BF + 3 = AF AF =. AF + BF 5 Além disso, como os triângulos AEF e ABD também são semelhantes, vem AF EF AF EF = = AB BD AF + BF 6 EF = 6 5 EF =,4 m. Resposta da questão 33: [A] Seja S' a área coberta pelas placas de uma caixa nova. Como N X9y = N y X =. 9 Resposta da questão 34: [C] S = N y, Sendo de 0% a redução nas medidas dos lados, tem-se que a redução na área é dada por 1 0,8 = 1 0,64= 0,36= 36%. Resposta da questão 35: [C] S' = X 9y e S' = S, temos Considere a figura, em que O é o centro do triângulo equilátero ABC de lado 60cm, M é o ponto médio do lado BC e D é a interseção da reta OC suur com o círculo de raio 30cm e centro em C.

Desse modo, como OC é o raio do círculo circunscrito ao triângulo ABC, segue-se que 60 3 OC = 34cm. 3 Portanto, R = OC+ CD+ DE = 34 + 30 + 10 = 74cm. Resposta da questão 36: [D] Considere a figura, em que BD = x e AC = y. Para que a bandeja tenha capacidade de portar exatamente quatro copos de uma só vez, deve-se ter l 7 4 = (x+ y) = x+ x = x. 5 5 Portanto, o resultado pedido é dado por 4 x l 5 4. BD = x = 5 Resposta da questão 37: [B] 3 = (3/60) = 0,05 14 3 0 = 14,05

Resposta da questão 38: [B] O custo pedido é dado por 1 1 1 1 4 4 3 1 1 4 30+ 4 50 = 30+ 50 4 4 = R$ 35,00. Resposta da questão 39: [C] Calculando as áreas dos ambientes, obtemos I S = 8 5= 40m, S = (14 8) 5= 30m, II S III = (14 8) (9 5) = 4m e (14 8) + 4 SIV = 7= 35m. Desse modo, como Jorge quer gastar o mínimo com gás, ele deverá instalar duas unidades do tipo A (ambientes II e III) e duas unidades do tipo B (ambientes I e IV). Resposta da questão 40: [E] Como o retângulo de dimensões x y está contido nos retângulos de dimensões 5 y e 3 x, segue que a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por 3x + 5y xy. Resposta da questão 41: [A] Considerando R o raio da menor plataforma para se apoiar uma estátua e L o lado da base da estátua, podemos escrever: R + R = L R L = L R = Portanto:

L R. Resposta da questão 4: [C] Apenas os terrenos 3 e 4 possuem 180 m de comprimento. Calculando a área de cada um deles, temos: A3 = 60 30 = 1800 m A4 = 70 0 = 1400 m Logo, o terreno com maior área que possui 180 m de perímetro é o terrenos de n o 3. Resposta da questão 43: [D] 360 : 3 = 10 Resposta da questão 44: [A] Na raia 1, o atleta percorreria a menor distância, pois seu comprimento é menor. Os raios das semicircunferências são menores. Resposta da questão 45: [E] ABC SMNC 1 = S S ABC = 4.S MNC S ABMN = S ABC S MNC = S ABMN = 4.S MNC - S MNC S ABMN = 3. S CMN (TRIPLO) Resposta da questão 46: [B] Valor da primeira encomenda = 8.0,5.0,50.0 + 8.(0,5 + 0,50).15 + 10 = 0 + 180 + 10 = 10,00 Valor da segunda encomenda = 8.0,50.1.0 + 8.(1 + 0,5). 15 + 10 = 80 + 360 + 10 = 450,0 Logo, o valor da segunda encomenda será maior que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro. Resposta da questão 47: [B]

Seja r o raio da base do cilindro O triângulo é retângulo, pois 6 + 8 = 10 Logo, sua área será A = 6.8 4 = 6. r 8. r 10. r Portanto: + + = 4 1r = 4 r = Resposta da questão 48: [E] Deslocamento do rolo em relação ao solo: π. R. Deslocamento do bloco em relação ao rolo: π. R. Deslocamento do bloco em relação ao solo: 4π. R. Resposta da questão 49: [B] De acordo com o desenho a seguir, Belo Horizonte e Salvador. Resposta da questão 50: [D] 3, = 3, + x 0,8, 0,8(3, + x) =,.3, x = 5,6m

Exercícios Áreas de Figuras Planas 1) Dada a figura a seguir e sabendo-se que os dois quadrados possuem lados iguais a 4cm, sendo O o centro de um deles, quanto vale a área da parte preenchida? a) 100. b) 0. c) 5. d) 10. e) 14. Alternativa E ) A área de uma sala com a forma da figura ao lado é de: a) 30 m c) 8 m e),5 m b) 6,5 m d) 4,5 m Alternativa B 3) A área A de um triângulo pode ser calculada pela fórmula: onde a, b, c são os comprimentos dos lados e p é o semi-perímetro. Calcule a área do triângulo cujos lados medem 1, 17 e 10 centímetros. Resp: A = 84 cm 4) De uma chapa quadrada de papelão recortam-se 4 discos, conforme indicado na figura. Se a medida do diâmetro dos círculos é 10 cm, qual a área (em cm ) não aproveitada da chapa?

a) 40-0 π b) 400-0 π c) 100-100 π d) 0-0 e) 400-100 π Alternativa E 5) Na figura seguinte, estão representados um quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma semicircunferência de raio. Então a área da região hachurada é: a) (π/) + c) π+ 3 e) π+ 1 b) π+ d) π+ 4 Alternativa B 6) Um terreno tem a forma de um trapézio retângulo ABCD, conforme mostra a figura, e as seguintes dimensões: = 5 m, = 4 m, = 15 m. Se cada metro quadrado desse terreno vale R$ 50,00, qual é o valor total do terreno? Resp:R$ 4.000,00 7) Na figura a seguir tem-se uma circunferência C de centro O e raio de medida 3 cm. Os pontos A e B pertencem a C, e a medida do ângulo AÔB é 45. A área da região sombreada, em centímetros quadrados, é igual a: (π/ - 1) a) 3/4. (π- /) c) 9/4. (π/ - ) e) 9/. b) 3/. (π/4-3) d) 9/. (π/4 - ) Alternativa C 8) Considere a região R, pintada de preto, exibida a seguir, construída no interior de um quadrado de lado medindo 4 cm.

Sabendo-se que os arcos de circunferência que aparecem nos cantos do quadrado têm seus centros nos vértices do quadrado e que cada raio mede 1 cm, determine a área da região R. Resp:(1 π) cm 9) A figura abaixo ilustra um terreno em forma de trapézio, com as medidas, em quilômetros (km), de três de seus lados. A área do terreno, em km, é igual a: a) 15 b) 10 c) 00 d) 0 e) 05 Alternativa B 10) A área do triângulo equilátero OAB, representado na figura a seguir é 9 3 cm. A área do círculo de centro O e tangente ao lado AB do triângulo é, em centímetros quadrados. a) 7 π b) 3 π c) 36 π d) 4 π e) 48 π Alternativa A 11) Na figura abaixo têm-se 4 semicírculos, dois a dois tangentes entre si e inscritos em um retângulo Se o raio de cada semicírculo é 4cm, a área da região sombreada, em centímetros quadrados, é (Use: π=3,1). a) 4,8 b) 5,4 c) 6, d) 8,8 e) 3,4 Alternativa D 1) Numa esquina cujas ruas se cruzam, formando um ângulo de 10, está situado um terreno triangular com frentes de 0 m e 45 m para essas ruas, conforme representado na figura a seguir:

A área desse terreno, em m, é a) 5. b) 5. c) 5 3. d) 450. e) 450 3. Alternativa C 13) O ponto O é o centro de uma circunferência de raio r, conforme a figura. Se r=4 cm,calcule área da região sombreada. Resp:4π-8 = 4(π -) cm 14) A base de um retângulo é o dobro de sua altura.determine suas dimensões, em cm, sendo 7 cm sua área. Resp:base=1 e altura=6. 15) As bases de um trapézio isósceles medem respectivamente 4cm e 1cm. Determinar a área desse trapézio sabendo que o perímetro do trapézio é igual a 6 cm. Resp:4 cm 16) Determinar a área de um círculo sabendo que o comprimento de sua circunferência é igual a 8π cm. Resp:16π cm 17) Determinar a área de coroa determinada por duas circunferências concêntricas de raios 15cm e 1cm. Resp: 81π cm 18) Determine a área das seguintes figuras (em cm ):

a) b) c) d) Resp: a) 48cm² b) 48cm² c) 91cm² d) 150cm² 19) Temos um triângulo equilátero de lado 6cm. Qual é o perímetro e qual é a área deste triângulo? Resp: Perímetro: 6.3 = 18cm Área: 0) Um trapézio tem a base menor igual a, a base maior igual a 3 e a altura igual a 10. Qual a área deste trapézio? Resp: 5 unidades de área. 1) Sabendo que a área de um quadrado é 36cm², qual é seu perímetro? Resp :4 cm.