Kedua akar persamaan x2 2ax a + 6 = 0 lebih besar dari 1 jumlah semua nilai a yang memenuhi adalah

Full PDF PackageDownload Full PDF Package

This Paper

A short summary of this paper

28 Full PDFs related to this paper

Download

PDF Pack

Persamaan kuadrat lengkap apa pun ax2 + bx + c = 0 dapat diingat x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, jika kita pertama membagi setiap suku dengan koefisien a sebelumnya x2. Dan jika kita memperkenalkan notasi baru (b/a) = p dan (c/a) = q, maka kita akan mendapatkan persamaan x 2 + px + q = 0, yang dalam matematika disebut persamaan kuadrat tereduksi.

Akar persamaan kuadrat tereduksi dan koefisien p dan q saling berhubungan. Ini dikonfirmasi teorema Vieta, dinamai ahli matematika Prancis Francois Vieta, yang hidup pada akhir abad ke-16.

Dalil. Jumlah akar persamaan kuadrat tereduksi x 2 + px + q = 0 sama dengan koefisien kedua p, diambil dengan tanda yang berlawanan, dan produk dari akar - ke istilah bebas q.

Kami menulis rasio ini dalam bentuk berikut:

Biarlah x 1 dan x2 berbagai akar persamaan tereduksi x 2 + px + q = 0. Menurut teorema Vieta x1 + x2 = -p dan x 1 x 2 = q.

Untuk membuktikannya, substitusikan masing-masing akar x 1 dan x 2 ke dalam persamaan. Kami mendapatkan dua persamaan sejati:

x 1 2 + piksel 1 + q = 0

x 2 2 + piksel 2 + q = 0

Kurangi yang kedua dari persamaan pertama. Kita mendapatkan:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Kami memperluas dua istilah pertama sesuai dengan rumus selisih kuadrat:

(x 1 - x 2)(x 1 - x 2) + p(x 1 - x 2) = 0

Dengan syarat, akar x 1 dan x 2 berbeda. Oleh karena itu, kita dapat mengurangi persamaan dengan (x 1 - x 2) 0 dan menyatakan p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Kesetaraan pertama terbukti.

Untuk membuktikan persamaan kedua, kita substitusikan ke persamaan pertama

x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 alih-alih koefisien p, angka yang sama adalah (x 1 + x 2):

x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0

Dengan mentransformasi ruas kiri persamaan, kita peroleh:

x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;

x 1 x 2 = q, yang harus dibuktikan.

Teorema Vieta baik karena, bahkan tanpa mengetahui akar persamaan kuadrat, kita dapat menghitung jumlah dan produknya .

Teorema Vieta membantu menentukan akar bilangan bulat dari persamaan kuadrat yang diberikan. Tetapi bagi banyak siswa, ini menyebabkan kesulitan karena mereka tidak mengetahui algoritma tindakan yang jelas, terutama jika akar persamaan memiliki tanda yang berbeda.

Jadi, persamaan kuadrat yang diberikan memiliki bentuk x 2 + px + q \u003d 0, di mana x 1 dan x 2 adalah akar-akarnya. Menurut teorema Vieta x 1 + x 2 = -p dan x 1 x 2 = q.

Kita dapat menarik kesimpulan sebagai berikut:.

Jika dalam persamaan suku terakhir didahului dengan tanda minus, maka akar-akar x 1 dan x 2 mempunyai tanda yang berbeda. Selain itu, tanda dari akar yang lebih kecil sama dengan tanda koefisien kedua dalam persamaan.

Berdasarkan fakta bahwa ketika menambahkan angka dengan tanda yang berbeda, modulnya dikurangi, dan tanda angka yang lebih besar dalam modulus ditempatkan di depan hasil, Anda harus melanjutkan sebagai berikut:

1. tentukan faktor-faktor bilangan q sedemikian sehingga selisihnya sama dengan bilangan p;
2. letakkan tanda koefisien kedua dari persamaan di depan yang lebih kecil dari angka yang diperoleh; akar kedua akan memiliki tanda yang berlawanan.

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh 1.

Selesaikan persamaan x 2 - 2x - 15 = 0.

Keputusan.

Mari kita coba selesaikan persamaan ini menggunakan aturan yang diusulkan di atas. Maka kita dapat mengatakan dengan pasti bahwa persamaan ini akan memiliki dua akar yang berbeda, karena D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.

Sekarang, dari semua faktor bilangan 15 (1 dan 15, 3 dan 5), kita pilih yang selisihnya sama dengan 2. Ini akan menjadi angka 3 dan 5. Kita beri tanda minus di depan bilangan yang lebih kecil , yaitu tanda koefisien kedua persamaan. Jadi, kita mendapatkan akar persamaan x 1 \u003d -3 dan x 2 \u003d 5.

Menjawab. x 1 = -3 dan x 2 = 5.

Contoh 2.

Selesaikan persamaan x 2 + 5x - 6 = 0.

Keputusan.

Mari kita periksa apakah persamaan ini memiliki akar. Untuk melakukan ini, kami menemukan diskriminan:

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Persamaan memiliki dua akar yang berbeda.

Faktor yang mungkin dari bilangan 6 adalah 2 dan 3, 6 dan 1. Selisihnya adalah 5 untuk pasangan 6 dan 1. Dalam contoh ini, koefisien suku kedua memiliki tanda tambah, sehingga bilangan yang lebih kecil akan memiliki tanda yang sama. Tapi sebelum angka kedua akan ada tanda minus.

Jawaban: x 1 = -6 dan x 2 = 1.

Teorema Vieta juga dapat ditulis untuk persamaan kuadrat lengkap. Jadi jika persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 memiliki akar x 1 dan x 2 , maka mereka memenuhi persamaan

x 1 + x 2 = -(b/a) dan x 1 x 2 = (c/a). Namun, penerapan teorema ini dalam persamaan kuadrat penuh agak bermasalah, karena jika ada akar, setidaknya salah satunya adalah bilangan pecahan. Dan bekerja dengan pemilihan pecahan cukup sulit. Tapi tetap ada jalan keluarnya.

Perhatikan persamaan kuadrat lengkap ax 2 + bx + c = 0. Kalikan ruas kiri dan kanannya dengan koefisien a. Persamaan akan berbentuk (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Sekarang mari kita perkenalkan variabel baru, misalnya t = ax.

Dalam hal ini, persamaan yang dihasilkan akan berubah menjadi persamaan kuadrat tereduksi dari bentuk t 2 + bt + ac = 0, yang akar-akarnya t 1 dan t 2 (jika ada) dapat ditentukan dengan teorema Vieta.

Dalam hal ini, akar-akar persamaan kuadrat awal adalah

x 1 = (t 1 / a) dan x 2 = (t 2 / a).

Contoh 3.

Selesaikan persamaan 15x 2 - 11x + 2 = 0.

Keputusan.

Kami membuat persamaan bantu. Mari kita kalikan setiap suku persamaan dengan 15:

15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0.

Kami membuat perubahan t = 15x. Kita punya:

t 2 - 11t + 30 = 0.

Menurut teorema Vieta, akar persamaan ini adalah t 1 = 5 dan t 2 = 6.

Kami kembali ke penggantian t = 15x:

5 = 15x atau 6 = 15x. Jadi x 1 = 5/15 dan x 2 = 6/15. Kami mengurangi dan mendapatkan jawaban akhir: x 1 = 1/3 dan x 2 = 2/5.

Menjawab. x 1 = 1/3 dan x 2 = 2/5.

Untuk menguasai penyelesaian persamaan kuadrat menggunakan teorema Vieta, siswa perlu berlatih sebanyak mungkin. Inilah tepatnya rahasia kesuksesan.

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.

Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat adalah dengan aplikasi rumus VIETA, yang dinamai FRANCOIS VIETE.

Dia adalah seorang pengacara terkenal, dan bertugas di abad ke-16 dengan raja Prancis. Di waktu luangnya ia belajar astronomi dan matematika. Dia membangun hubungan antara akar dan koefisien persamaan kuadrat.

Keuntungan dari rumus:

1 . Dengan menerapkan rumus, Anda dapat dengan cepat menemukan solusinya. Karena Anda tidak perlu memasukkan koefisien kedua ke dalam kuadrat, lalu kurangi 4ac darinya, temukan diskriminannya, substitusikan nilainya ke dalam rumus untuk mencari akar-akarnya.

2 . Tanpa solusi, Anda dapat menentukan tanda-tanda akar, mengambil nilai akar.

3 . Setelah memecahkan sistem dua catatan, tidak sulit untuk menemukan akarnya sendiri. Dalam persamaan kuadrat di atas, jumlah akar sama dengan nilai koefisien kedua dengan tanda minus. Hasilkali akar-akar persamaan kuadrat di atas sama dengan nilai koefisien ketiga.

4 . Menurut akar yang diberikan, tulis persamaan kuadrat, yaitu, selesaikan masalah invers. Misalnya, metode ini digunakan dalam memecahkan masalah dalam mekanika teoretis.

5 . Lebih mudah untuk menerapkan rumus ketika koefisien utama sama dengan satu.

Kekurangan:

1 . Formulanya tidak universal.

Teorema Vieta Kelas 8

Rumus
Jika x 1 dan x 2 adalah akar dari persamaan kuadrat yang diberikan x 2 + px + q \u003d 0, maka:

Contoh
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - akar persamaan x 2 - 2x - 3 \u003d 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Teorema terbalik

Rumus
Jika bilangan x 1 , x 2 , p, q dihubungkan dengan kondisi:

Maka x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan x 2 + px + q = 0.

Contoh
Mari kita buat persamaan kuadrat berdasarkan akar-akarnya:

X 1 \u003d 2 -? 3 dan x 2 \u003d 2 +? 3 .

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

Persamaan yang diinginkan memiliki bentuk: x 2 - 4x + 1 = 0.

Teorema I. Vieta untuk persamaan kuadrat tereduksi.

Jumlah akar persamaan kuadrat tereduksi x 2 +px+q=0 sama dengan koefisien kedua, diambil dengan tanda yang berlawanan, dan produk dari akar-akarnya sama dengan suku bebas:

x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 x 2 \u003d q.

Temukan akar persamaan kuadrat yang diberikan menggunakan teorema Vieta.

Contoh 1) x 2 -x-30=0. Ini adalah persamaan kuadrat tereduksi ( x 2 +px+q=0), koefisien kedua p=-1, dan istilah bebas q=-30. Pertama, pastikan bahwa persamaan yang diberikan memiliki akar, dan akar (jika ada) akan dinyatakan sebagai bilangan bulat. Untuk ini, cukup bahwa diskriminannya adalah kuadrat penuh dari suatu bilangan bulat.

Menemukan diskriminan D=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Sekarang, menurut teorema Vieta, jumlah akar harus sama dengan koefisien kedua, diambil dengan tanda yang berlawanan, yaitu. ( -p), dan hasil kali sama dengan suku bebas, yaitu ( q). Kemudian:

x 1 + x 2 = 1; x 1 x 2 \u003d -30. Kita harus memilih dua angka seperti itu sehingga produknya sama dengan -30 , dan jumlahnya adalah satuan. Ini adalah angka-angkanya -5 dan 6 . Jawaban: -5; 6.

Contoh 2) x 2 +6x+8=0. Kami memiliki persamaan kuadrat tereduksi dengan koefisien kedua p=6 dan anggota gratis q=8. Pastikan bahwa ada akar bilangan bulat. Ayo cari diskriminannya D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Diskriminan D 1 adalah kuadrat sempurna dari bilangan tersebut 1 , jadi akar-akar persamaan ini adalah bilangan bulat. Kami memilih akar sesuai dengan teorema Vieta: jumlah akar sama dengan –p=-6, dan hasil kali akar-akarnya adalah q=8. Ini adalah angka-angkanya -4 dan -2 .

Sebenarnya: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. Jawaban: -4; -2.

Contoh 3) x 2 +2x-4=0. Dalam persamaan kuadrat tereduksi ini, koefisien kedua p=2, dan istilah bebas q=-4. Ayo cari diskriminannya D1, karena koefisien kedua adalah bilangan genap. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Diskriminan bukan kuadrat sempurna dari suatu bilangan, jadi kita lakukan kesimpulan: akar persamaan ini bukan bilangan bulat dan tidak dapat ditemukan menggunakan teorema Vieta. Jadi, kami memecahkan persamaan ini, seperti biasa, sesuai dengan rumus (dalam hal ini, sesuai dengan rumus). Kita mendapatkan:

Contoh 4). Tulis persamaan kuadrat menggunakan akar-akarnya jika x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.

Keputusan. Persamaan yang diinginkan akan ditulis dalam bentuk: x 2 +px+q=0, apalagi, berdasarkan teorema Vieta –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q=x 1 x 2=-7∙4=-28 . Maka persamaan akan berbentuk: x2 +3x-28=0.

Contoh 5). Tulis persamaan kuadrat menggunakan akar-akarnya jika:

II. teorema Vieta untuk persamaan kuadrat lengkap ax2+bx+c=0.

Jumlah akar-akarnya dikurangi b dibagi dengan sebuah, hasil kali akar-akarnya adalah dengan dibagi dengan sebuah:

x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 x 2 \u003d c / a.

Hari ini layak untuk dinyanyikan dalam syair
Tentang sifat-sifat akar, teorema Vieta.
Mana yang lebih baik, katakanlah, keteguhan ini:
Anda mengalikan akarnya - dan pecahannya siap
Di pembilang dengan, dalam penyebut sebuah.
Dan jumlah akarnya juga merupakan pecahan
Bahkan dengan minus pecahan ini
Apa masalahnya
Dalam pembilang di, dalam penyebut sebuah.
(Dari cerita rakyat sekolah)

Dalam prasasti, teorema François Vieta yang luar biasa diberikan tidak tepat. Memang, kita dapat menuliskan persamaan kuadrat yang tidak memiliki akar dan menuliskan jumlah dan produknya. Misalnya, persamaan x 2 + 2x + 12 = 0 tidak memiliki akar real. Tetapi, mendekati secara formal, kita dapat menuliskan produk mereka (x 1 x 2 \u003d 12) dan jumlahnya (x 1 + x 2 \u003d -2). Kita ayat-ayat tersebut akan sesuai dengan teorema dengan peringatan: "jika persamaan memiliki akar", yaitu. D 0.

Aplikasi praktis pertama dari teorema ini adalah kompilasi persamaan kuadrat yang telah memberikan akar. Kedua: memungkinkan Anda untuk memecahkan banyak persamaan kuadrat secara verbal. Pada pengembangan keterampilan ini, pertama-tama, perhatian diberikan pada buku pelajaran sekolah.

Di sini kita akan mempertimbangkan masalah yang lebih kompleks yang diselesaikan dengan menggunakan teorema Vieta.

Contoh 1

Salah satu akar persamaan 5x 2 - 12x + c \u003d 0 tiga kali lebih besar dari yang kedua. Temukan dengan.

Keputusan.

Biarkan akar kedua menjadi x2.

Maka akar pertama x1 = 3x2.

Menurut teorema Vieta, jumlah akar-akarnya adalah 12/5 = 2,4.

Mari kita buat persamaan 3x2 + x2 = 2.4.

Karenanya x 2 \u003d 0,6. Oleh karena itu x 1 \u003d 1.8.

Jawaban: c \u003d (x 1 x 2) a \u003d 0,6 1,8 5 \u003d 5,4.

Contoh 2

Diketahui bahwa x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan x 2 - 8x + p = 0, dan 3x 1 + 4x 2 = 29. Carilah p.

Keputusan.

Menurut teorema Vieta x 1 + x 2 = 8, dan dengan syarat 3x 1 + 4x 2 = 29.

Setelah memecahkan sistem dua persamaan ini, kami menemukan nilai x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5.

Dan karena itu p = 15.

Jawab: p = 15.

Contoh 3

Tanpa menghitung akar persamaan 3x 2 + 8 x - 1 \u003d 0, temukan x 1 4 + x 2 4

Keputusan.

Perhatikan bahwa menurut teorema Vieta x 1 + x 2 = -8/3 dan x 1 x 2 = -1/3 dan ubahlah ekspresi

a) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 - 2x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 - 2x 1 x 2) 2 - 2 (x 1 x 2) 2 \u003d ((-8/3) 2 - 2 (-1/3)) 2 - 2 (-1/3) 2 \u003d 4898/9

Jawaban: 4898/9.

Contoh 4

Berapa nilai parameter a yang merupakan selisih antara akar terbesar dan terkecil dari persamaan?
2x 2 - (a + 1) x + (a - 1) \u003d 0 sama dengan produk mereka.

Keputusan.

Ini adalah persamaan kuadrat. Ini akan memiliki 2 akar yang berbeda jika D > 0. Dengan kata lain, (a + 1) 2 - 8 (a - 1) > 0 atau (a - 3) 2 > 0. Oleh karena itu, kita memiliki 2 akar untuk semua a, kecuali a = 3.

Untuk kepastian, kami berasumsi bahwa x 1 > x 2 dan mendapatkan x 1 + x 2 \u003d (a + 1) / 2 dan x 1 x 2 \u003d (a - 1) / 2. Berdasarkan kondisi masalah x 1 - x 2 \u003d (a - 1) / 2. Ketiga syarat tersebut harus dipenuhi secara bersamaan. Pertimbangkan persamaan pertama dan terakhir sebagai suatu sistem. Ini mudah diselesaikan dengan metode penambahan aljabar.

Kami mendapatkan x 1 \u003d a / 2, x 2 \u003d 1/2. Mari kita periksa untuk apa sebuah persamaan kedua akan terpenuhi: x 1 x 2 \u003d (a - 1) / 2. Mari kita substitusikan nilai yang diterima dan kita akan memiliki: а/4 = (а – 1)/2. Maka, a = 2. Jelaslah bahwa jika a = 2, maka semua kondisi terpenuhi.

Jawaban: bila a = 2.

Contoh 5

Berapakah nilai terkecil dari a yang jumlah akar-akar persamaannya?
x 2 - 2a (x - 1) - 1 \u003d 0 sama dengan jumlah kuadrat akarnya.

Keputusan.

Pertama-tama, mari kita bawa persamaan ke bentuk kanonik: x 2 - 2ax + 2a - 1 \u003d 0. Ini akan memiliki akar jika D / 4 0. Oleh karena itu: a 2 - (2a - 1) 0. Atau (a - 1 ) 2 0. Dan kondisi ini berlaku untuk semua a.

Kami menerapkan teorema Vieta: x 1 + x 2 \u003d 2a, x 1 x 2 \u003d 2a - 1. Kami menghitung

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2x 1 x 2. Atau setelah substitusi x 1 2 + x 2 2 \u003d (2a) 2 - 2 (2a - 1) \u003d 4a 2 - 4a + 2. Tetap membuat persamaan yang sesuai dengan kondisi masalah: x 1 + x 2 \u003d x 1 2 + x 2 2 . Kami mendapatkan: 2a \u003d 4a 2 - 4a + 2. Persamaan kuadrat ini memiliki 2 akar: a 1 \u003d 1 dan a 2 \u003d 1/2. Yang terkecil dari mereka adalah -1/2.

Jawaban: 1/2.

Contoh 6

Temukan hubungan antara koefisien persamaan ax 2 + inx + c \u003d 0 jika jumlah pangkat tiga dari akar-akarnya sama dengan hasil kali kuadrat dari akar-akar ini.

Keputusan.

Kami akan melanjutkan dari fakta bahwa persamaan ini memiliki akar dan, oleh karena itu, teorema Vieta dapat diterapkan padanya.

Maka kondisi soal akan ditulis sebagai berikut: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 x 2 2. Atau: (x 1 + x 2) (x 1 2 - x 1 x 2 + x 2 2) \u003d (x 1 x 2) 2.

Anda perlu mengonversi faktor kedua. x 1 2 - x 1 x 2 + x 2 2 \u003d ((x 1 + x 2) 2 - 2x 1 x 2) - x 1 x 2.

Kami mendapatkan (x 1 + x 2) ((x 1 + x 2) 2 - 3x 1 x 2) \u003d (x 1 x 2) 2. Tetap mengganti jumlah dan produk dari akar melalui koefisien.

(-b/a)((b/a) 2 – 3 c/a) = (c/a) 2 . Ekspresi ini dapat dengan mudah diubah menjadi bentuk b (3ac - b 2) / a \u003d c 2. Rasio ditemukan.

Komentar. Harus diperhitungkan bahwa hubungan yang dihasilkan masuk akal untuk dipertimbangkan hanya setelah yang lain terpenuhi: D 0.

Contoh 7

Temukan nilai variabel a di mana jumlah kuadrat dari akar persamaan x 2 + 2ax + 3a 2 - 6a - 2 \u003d 0 adalah nilai terbesar.

Keputusan.

Jika persamaan ini memiliki akar x 1 dan x 2, maka jumlah mereka x 1 + x 2 \u003d -2a, dan produk x 1 x 2 \u003d 3a 2 - 6a - 2.

Kami menghitung x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2x 1 x 2 \u003d (-2a) 2 - 2 (3a 2 - 6a - 2) \u003d -2a 2 + 12a + 4 \u003d -2 (a – 3) 2 + 22.

Sekarang jelas bahwa ekspresi ini mengambil nilai terbesar pada a = 3.

Tetap memeriksa apakah persamaan kuadrat asli benar-benar memiliki akar pada a \u003d 3. Kami memeriksa dengan substitusi dan kami mendapatkan: x 2 + 6x + 7 \u003d 0 dan untuk itu D \u003d 36 - 28\u003e 0.

Oleh karena itu, jawabannya adalah: untuk a = 3.

Contoh 8

Persamaan 2x 2 - 7x - 3 \u003d 0 memiliki akar x 1 dan x 2. Temukan jumlah rangkap tiga dari koefisien persamaan kuadrat yang diberikan, yang akarnya adalah angka X 1 \u003d 1 / x 1 dan X 2 \u003d 1 / x 2. (*)

Keputusan.

Jelas, x 1 + x 2 \u003d 7/2 dan x 1 x 2 \u003d -3/2. Kami menyusun persamaan kedua dengan akarnya dalam bentuk x 2 + px + q \u003d 0. Untuk melakukan ini, kami menggunakan penegasan kebalikan dari teorema Vieta. Kami mendapatkan: p \u003d - (X 1 + X 2) dan q \u003d X 1 X 2.

Setelah mensubstitusi ke dalam rumus ini, berdasarkan (*), maka: p \u003d - (x 1 + x 2) / (x 1 x 2) \u003d 7/3 dan q \u003d 1 / (x 1 x 2) \ u003d - 2/3.

Persamaan yang diinginkan akan berbentuk: x 2 + 7/3 x - 2/3 = 0. Sekarang kita dapat dengan mudah menghitung jumlah tiga kali lipat dari koefisiennya:

3(1 + 7/3 - 2/3) = 8. Jawaban diterima.

Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak tahu cara menggunakan teorema Vieta?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor -.
Pelajaran pertama gratis!

blog.site, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

teorema Vieta

Membiarkan dan menunjukkan akar dari persamaan kuadrat tereduksi
(1) . Maka jumlah akar-akarnya sama dengan koefisien di yang diambil dengan tanda yang berlawanan. Hasil kali akar-akarnya sama dengan suku bebas: ;

.

Catatan tentang banyak akar

Jika diskriminan persamaan (1) adalah nol, maka persamaan ini memiliki satu akar. Tetapi, untuk menghindari formulasi yang rumit, secara umum diterima bahwa dalam kasus ini, persamaan (1) memiliki dua akar kelipatan, atau sama,:
.

Bukti satu

Mari kita cari akar-akar persamaan (1). Untuk melakukan ini, gunakan rumus untuk akar persamaan kuadrat: ; ;

.

Mencari jumlah akar:
.

Untuk menemukan produk, kami menerapkan rumus: . Kemudian

.

Teorema telah terbukti.

Bukti dua

Jika bilangan-bilangan tersebut dan merupakan akar-akar persamaan kuadrat (1), maka . Kami membuka kurung. . Dengan demikian, persamaan (1) akan berbentuk: . Membandingkan dengan (1) kita menemukan: ;

.

Teorema telah terbukti.

Teorema Vieta terbalik

Biarkan ada angka yang sewenang-wenang. Maka dan adalah akar-akar persamaan kuadrat , di mana

(2) ;

Bukti teorema kebalikan Vieta

Perhatikan persamaan kuadrat
(1) .
Kita perlu membuktikan bahwa jika dan , maka dan adalah akar-akar persamaan (1).

Substitusikan (2) dan (3) menjadi (1): . Kami mengelompokkan istilah sisi kiri persamaan: ; ;

(4) .

Pengganti di (4) : ; .

Pengganti di (4) : ; .

Persamaan terpenuhi. Artinya, bilangan tersebut adalah akar dari persamaan (1).

Teorema telah terbukti.

Teorema Vieta untuk persamaan kuadrat lengkap

Sekarang perhatikan persamaan kuadrat lengkap
(5) ,
dimana , dan adalah beberapa bilangan. Dan .

Kami membagi persamaan (5) dengan: . Artinya, kita telah memperoleh persamaan di atas ,

di mana ; .

Maka teorema Vieta untuk persamaan kuadrat lengkap memiliki bentuk sebagai berikut.

Membiarkan dan menunjukkan akar dari persamaan kuadrat lengkap . Kemudian jumlah dan produk akar ditentukan dengan rumus: ;

.

Teorema Vieta untuk persamaan kubik

Demikian pula, kita dapat membangun hubungan antara akar persamaan kubik. Perhatikan persamaan kubik
(6) , dimana , , , adalah beberapa bilangan. Dan . Mari kita bagi persamaan ini dengan:

(7) ,

Membandingkan dengan persamaan (7) kita menemukan: ; ;

.

Teorema Vieta untuk persamaan derajat ke-n

Dengan cara yang sama, Anda dapat menemukan hubungan antara akar , , ... , , untuk persamaan derajat ke-n
.

Teorema Vieta untuk persamaan derajat ke-n memiliki bentuk sebagai berikut: ; ; ;

.

Untuk mendapatkan rumus tersebut, kita tulis persamaannya dalam bentuk berikut: .

Kemudian kita samakan koefisien pada , , , ... , dan bandingkan suku bebasnya.

Referensi: DI. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa Perguruan Tinggi, Lan, 2009.

cm. Nikolay, M.K. Potapov et al., Aljabar: buku teks untuk kelas 8 lembaga pendidikan, Moskow, Pendidikan, 2006.