Jelaskan perbedaan antara distribusi peluang diskrit dengan distribusi Binomial

Distribusi peluang adalah sebaran kemungkinan terjadinya variable acak tertentu. Variable acak adalah peristiwa yang diharapkan akan terjadi, yang biasanya dilambangkan dengan X. Atau, suatu bilangan yang ditentukan oleh peristiwa yang dihasilkan dari eksperimen. Ada 2 macam distribusi peluang yaitu distribusi peluang diskrit dan distribusi peluang kontinu.

A. Distribusi Peluang Diskrit

peubah acak diskrit adalah peubah acak yang ruang rentangnya merupakan himpunan yang berhingga [ finite] atau tak berhingga tapi terhitung [ denumerable/countably infinite] dengan sifat-sifat berikut

Berikut di bawah ini beberapa distribusi diskrit:

1.Distribusi Uniform Diskrit

Jika peubah acak X mempunyai nilai x1,x2,x3,…xk dengan peluang yang sama, maka distribusi seragam diskrit didefinisikan sebagai:

Rataan dan variansi dari distribusi seragam diskrit

Jika sebuah dadu dilempar, maka setiap elemen dari ruang sampelnya S= {1,2,3,4,5,6} terjadi dengan peluang yang sama 1/6, sehingga kita mempunyai distribusi seragam:

Distribusi binomial didasarkan pada proses Bernoulli. Pada proses Bernoulli, suatu eksperimen sering terdiri dari beberapa usaha yang berulang-ulang, di mana tiap usaha mempunyai dua kemungkinan: sukses atau gagal.

Contoh: pada pengujian suatu produk untuk menentukan berapa jumlah produk yang cacat dari n pengujian atau usaha. Pada tiap pengujian ditentukan bahwa suatu produk

cacat atau tidak cacat. Setiap pengujian bersifat independen [tidak bergantung pada pengujian sebelumnya].

Sifat-Sifat Proses Bernoulli:

1. Eksperimen terdiri dari n usaha yang berulang

2. Setiap usaha memberikan hasil yang dapat diklasifikasikan menjadi sukses atau gagal

3. Peluang dari sukses adalah p, yang bersifat 6

3. Peluang dari sukses adalah p , yang bersifat tetap dalam setiap kali usaha.

4. Tiap usaha tersebut bersifat independen satu sama lain.

Misalkan suatu kelompok usaha Bernoulli yang berupa pengambilan tigabarang secara acak dari suatu hasil proses manufaktur,diperiksa, dan kemudian diklasifikasikan ke dalam kategori baik [N] dan cacat [D]. Misalkan X adalah peubah acak yang menyatakan jumlah barang yang cacat. Nilai yang mungkin dari X adalah 0, 1, 2, dan 3 seperti pada tabel berikut:

Karena barang dipilih secara independen dari proses yang dianggap mempunyai peluang 25% barang yang cacat, maka:

Distribusi peluang X secara lengkap adalah:

Jumlah X yang sukses dari n percobaan Bernoulli disebut dengan peubah acak binomial. Distribusi peluang dari peubah acak diskrit ini disebut dengan distribusi binomial, dan nilainya akan dinotasikan dengan b[x; n, p], misalkan:

P[X=2] = f[2] = b[2; 3, 1/4] = 9/64

Suatu usaha Bernoulli dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1 – p. Maka distribusi peluang dari peubah acak binomial X, yaitu jumlah sukses dari n usaha yang independen adalah

Keterangan: adalah notasi lain untuk C[n, x]. Notasi ini disebut juga notasi binomial.

Biasanya dalam soal kita diminta menghitung distribusi kumulatif

P[X < r] atau P[a ≤ X ≤b]

Untuk menghitung sigma itu, untunglah sudah tersedia tabel binomial yang sudah berisi nilai-nilai b[x; n, p] untuk bermacam-macam nilai x, n dan p.

3. Distribusi Multinominal

Jika suatu percobaan dapat menghasilkan k macam hasil E1,E2,…,Ek dengan peluang P1,P2,…,Pk maka distribusi peluang dari peubah acak X1,X2,…,Xk yang menyatakan banyak terjadinya E1,E2,…Ek dalam n usaha yang independen adalah:

4. Distribusi Hipergeometrik

Distribusi hipergeometrik mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

1. Secara acak diambil sebanyak n tanpa dikembalikan dari N benda.

2. k dari N benda diklasifikasikan sukses dan N -k diklasifikasikan gagal

Jumlah sukses X dari eksperimen hipergeometrik disebut peubah acak hipergeometrik.

Distribusi peluang dari peubah acak hipergeometrik disebut dengan distribusi hipergeometrik, dan nilainya dinotasikan dengan:

Distribusi peluang dari peubah acak hipergeometrik X,yaitu jumlah sukses dari

sampel acak berukuran n yang diambil dari N benda, di mana terdapat k jumlah sukses dan N-k jumlah gagal adalah:

Rataan dan variansi dari distribusi hipergeometrik adalah

Eksperimen Poisson adalah eksperimen yang menghasilkan nilai numerik dari peubah acak X pada selang waktu yang tertentu atau daerah tertentu.

1] jumlah panggilan telepon dalam waktu 1 jam yang diterima oleh resepsionis

2] banyaknya pertandingan tenis yang terpaksa diundurkan karena terjadinya hujan selama musim hujan

3] banyaknya tikus dalams atu hektar sawah

4] banyaknya salah ketik dalam satu halaman

Sifat-sifat proses Poisson:

1. Jumlah hasil yang terjadi dalam satu selang waktu atau daerah tertentu adalah independen terhadap hasil yang terjadi pada selang atau daerah lain. Proses Poisson dikatakan tidak mempunyai ingatan.

2. Peluang terjadinya suatu hasil [tunggal] dalam selang waktu yang sangat pendek atau daerah yang sangat waktu yang sangat pendek atau daerah yang sangat kecil sebanding dengan panjang selang waktu atau besarnya daerah dan tidak bergantung pada banyaknya hasil yang terjadi di luar selang atau daerah tersebut.

3. Peluang terjadinya lebih dari satu hasil yang terjadi dalam selang waktu yang pendek dapat diabaikan.

Distribusi peluang peubah acak Poisson X, yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu –dinotasikan dengan t — adalah:

di mana λt adalah rata-rata banyaknya sukses yang terjadi per satuan waktu atau daerah, dan e= 2.71828…

Rataan dan variansi dari distribusi Poisson p[x;λt] adalah sama, yaitu λt.

Distribusi peluang kontinu adalah peubah acak yang dapat memperoleh semua

nilai pada skala kontinu. Ruang sampel kontinu adalah bila ruang sampel mengandung

titik sampel yang tak terhingga banyaknya. Syarat dari distribusi kontinu adalah apabila

fungsi f[x] adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu X yang didefinisikan di atas

himpunan semua bilangan riil R bila:

Distribusi peluang kontinu dibagi menjadi 4:

Distribusi Normal [Gaussian] mungkin merupakan distribusi probabilitas yang paling penting baik dalam teori maupun aplikasi statistik. Distribusi ini paling banyak digunakan sebagai model bagi data riil di berbagai bidang yang meliputi antara lain karakteristik fisik makhluk hidup [berat, tinggi badan manusia, hewan, dll]. Terdapat

empat alasan mengapa distribusi normal menjadi distribusi yang paling penting :

a.Distribusi normal terjadi secara alamiah.

b.Beberapa variabel acak yang tidak terdistribusi secara normal dapat dengan mudah

ditransformasi menjadi suatu distribusi variabel acak yang normal.

c.Banyak hasil dan teknik analisis yang berguna dalam pekerjaan statistik hanya bisa

berfungsi dengan benar jika model distribusinya merupakan distribusi normal.

d.Ada beberapa variabel acak yang tidak menunjukkan distribusi normal pada populasinya, namun distribusi dari rata-rata sampel yang diambil secara random

dari populasi tersebut ternyata menunjukkan distribusi normal.

Distribusi Normal disebut juga Gausian distribution adalah salah satu fungsi distribusi peluang berbentuk lonceng seperti gambar berikut.

Berdasarkan gambar di atas, distribusi Normal akan memiliki beberapa ciri

a.Kurvanya berbentuk garis lengkung yang halus dan berbentuk seperti genta.

b.Simetris terhadap rataan [mean].

c.Kedua ekor/ ujungnya semakin mendekati sumbu absisnyatetapi tidak pernah memotong.

d.Jarak titik belok kurva tersebut dengan sumbu simetrisnya sama dengan σ

e.Luas daerah di bawah lengkungan kurva tersebut dari -~ sampai + ~ sama dengan 1 atau 100 %.

Distribusi normal kumulatif didefinisikan sebagai probabilitas variabel acak normal X bernilai kurang dari atau sama dengan suatu nilai x tertentu. Maka fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal ini dinyatakan sebagai :

Dengan menerapkan ketentuan diatas pada persamaan [1] maka fungsikepadatan probabilitas dari distribusi normal standard variabel acak kontinu Z adalah:

Sedangkan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal standard ini

2. Distribusi Student’s t

Distribusi student’s t adalah distribusi yang ditemukan oleh seorang mahasiswa yang tidak mau disebut namanya. Untuk menghargai hasil penemuannya itu, distribusinya disebut distribusi Student yang lebih dikenal dengan distribusi “t”, diambil dari huruf terakhir kata “student”.

Bentuk persamaan fungsinya :

Distribusi Peluang Kontinu

Berlaku untuk −∞< t < ∞ dan K merupakan tetapan yang besarnya tergantung dari besar n sedemikian sehingga luas daerah antara kurva fungsi itu dan sumbu t adalah 1. Bilangan n–1 disebut derajat kebebasan [dk]. Yang dimaksudkan dengan dk ialah kemungkinan banyak pilihan dari sejumlah objek yang diberikan. Misalnya kita mempunyai dua objek yaitu A dan B. Dari dua objek ini kita hanya mungkin melakukan 1 kali pilihan saja, A dan B. Seandainya terpilih A maka B tidak usah dipilih lagi. Dan untuk itu dk = 2–1 = 1.

3. Distribusi Chi-Kuadrat

Distribusi chi-kuadrat merupakan distribusi yang banyak digunakan dalam sejumlah prosedur statistik inferensial. Distribusi chi-kuadrat merupakan kasus khusus dari distribusi gamma dengan faktor bentuk α= v/2, dimana v adalah bilangan bulat positif dan faktor skala β=2

Jika variabel acak kontinu X memiliki distribusi chi-kudrat dengan parameter v, maka fungsi kepadatan probabilitas dari X adalah

Parameter n disebut angka derajat kebebasan [degree of freedom/df] dari X. Sedangkan fungsi distribusi kumulatif chi -kuadrat adalah :

Berikut ini diberikan rumusan beberapa ukuran statistik deskriptif untuk
distribusi chi-kuadrat.

Menurut Gasperz [1989:251], secara teori sebaran F merupakan rasio dari dua sebaran
chi kuadrat yang bebas. Oleh karena itu peubah acak F diberikan sebagai:

Oleh karena itu sebaran F mempunyai dua derajat bebas yaitu V1 dan V2.