Dua lingkaran yang saling asing memiliki macam garis singgung persekutuan

         Blog Koma - Kedudukan Dua Lingkaran maksudnya posisi kedua lingkaran yang dibagi menjadi beberapa jenis. Untuk memudahkan mempelajari materi kedudukan dua lingkaran, sebaiknya kita menguasai dulu materi "persamaan lingkaran" dan "jarak dua titik" yang bisa dipelajari pada materi "irisan kedua lingkaran".

Penjabaran Kedudukan Dua Lingkaran

       Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran $L_1 $ berpusat di $ P $ dengan jari-jari $ R $ dan lingkaran $ L_2 $ berpusat di $ Q $ dengan jari-jari $ r $ di mana $ R > r $ maka terdapat beberapa kedudukan lingkaran sebagai berikut. i). $L_2$ terletak di dalam $L_1$ dengan $P$ dan $Q$ berimpit, Syarat : $PQ = 0$. Dalam hal ini dikatakan $L_2$ terletak di dalam $L_1$ dan konsentris (sepusat).

ii). $L_2 $ terletak di dalam $L_1$ , syarat : $ PQ < r < R $ atau $ PQ < R - r $. Dalam hal ini dikatakan $L_2 $ terletak di dalam $ L_1 $ yang disebut juaga tidak konsentris.

iii). $L_1$ dan $L_2 $ bersinggungan di dalam, syaratnya : $ PQ = R - r $

iv). $L_1 $ berpotongan dengan $L_2 $ , syaratnya : $ R - r < PQ < R + r. $

v). $L_1$ dan $L_2 $ bersinggungan di luar, syaratnya : $ PQ = R + r $

vi). $L_1$ terletak di luar $L_2$ , syaratnya : $ PQ > R + r $, sehingga $L_1 $ dan $L_2$ saling terpisah.

vii). $L_1$ ortogonal (tegak lurus) $L_2$ , syaratnya : $ PQ^2 = R^2 + r^2 $ .

viii). $L_1$ berpotongan $L_2$ tepat pada diameter salah satu lingkaran (membagi dua bagian sama besar yaitu diameter garis warna merah), syaratnya : $ PQ^2 = R^2 - r^2 $ .

Keterangan : $ PQ = \, $ jarak titik $ P \, $ dan $ Q $.

Catatan : Untuk menentukan kedudukan dua lingkaran, kita hitung dulu jari-jari dan titik pusat masing-masing lingkaran, kemudian kita hitung jarak kedua titik pusat, lalu cek apakah jarak pusat dan jari-jari masing-masing memenuhi jenis kedudukan yang mana seperti syarat di atas yang ada 8 syarat. Contoh : 1). Tentukan kedudukan lingkaran $ L_1 : (x-1)^2 + (y+3)^2 = 25 \, $ dan linkaran $ L_2 : (x+ 2)^2 + (y -1)^2 = 9 $. Penyelesaian : *). Menentukan jari-jari dan pusat masing-masing lingkaran. $ L_1 : (x-1)^2 + (y+3)^2 = 25 $ Jari-jari : $ r^2 = 25 \rightarrow r = 5 \, $ sebagai $ R = 5 $ Pusat lingkaran : $ A (a,b) = A(1,-3) $ $ L_2 : (x+ 2)^2 + (y -1)^2 = 9 $ Jari-jari : $ r^2 = 9 \rightarrow r = 3 $ Pusat lingkaran : $ B (a,b) = B(-2,1) $ *). Jarak titik pusat kedua lingkaran : $ AB $ jarak titik A(1,-3) dan B(-2,1) $ AB = \sqrt{(-2-1)^2 + (1-(-3))^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $ *). Cek kedudukan kedua lingkaran, $ AB = 5, \, R = 5, \, r = 3 $ $ AB = 0 \, $ (tidak memenuhi) $ AB < r < R \, $ (tidak memenuhi) $ AB = R - r \, $ (tidak memenuhi) $ R - r < AB < R + r \, $ (memenuhi) $ AB = R + r \, $ (tidak memenuhi) $ AB > R + r \, $ (tidak memenuhi) $ AB^2 = R^2 + r^2 \, $ (tidak memenuhi) $ AB^2 = R^2 - r^2 \, $ (tidak memenuhi) Karena yang memenuhi $ R - r < AB < R + r \, $ , maka kedua lingkaran berpotongan.! Untuk lebih jelasanya, berikut gambar kedua lingkarannya :

Untuk lebih memantapkan pemahaman tentang kedudukan dua lingkaran, sebaiknya teman-teman juga membaca artikel "variasi soal kedudukan dua lingkaran".

Menentukan titik potong atau titik singgung dua lingkaran

       Langkah-langkah menentukan titik potong atau titik singgung kedua lingkaran, yaitu : *). Eliminasi kedua persamaan lingkaran sehingga terbentuk persamaan garis.

*). Substitusi persamaan garis yang ada ke salah satu lingkaran, lalu tentukan nilai $ x \, $ dan $ y $ .

Contoh : 2). Tentukan titik potong kedua lingkaran pada soal nomor 1 di atas. Penyelesaian : *). Menjabarkan kedua persamaan lingkaran. $ L_1 : (x-1)^2 + (y+3)^2 = 25 \rightarrow x^2 + y^2 - 2x + 6y = 15 $ $ L_2 : (x+ 2)^2 + (y -1)^2 = 9 \rightarrow x^2 + y^2 + 4x + -2y = 4 $ *). Eliminasi kedua persamaan lingkaran , $ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 - 2x + 6y = 15 & \\ x^2 + y^2 + 4x + -2y = 4 & - \\ \hline -6y + 8y = 11 & \end{array} $ *). Substitusi garis ke lingkaran kedua $ -6x + 8y = 11 \rightarrow y = \frac{1}{8}(11 + 6x) $ $\begin{align} x^2 + y^2 + 4x + -2y & = 4 \\ x^2 + [\frac{1}{8}(11 + 6x)]^2 + 4x + -2[\frac{1}{8}(11 + 6x)] & = 4 \\ x^2 + \frac{1}{64}(36x^2 + 132x + 121) + 4x -\frac{2}{8}(11 + 6x) & = 4 \, \, \, \, \text{(kali 64)} \\ 64x^2 + (36x^2 + 132x + 121) + 256x -16(11 + 6x) & = 256 \\ 64x^2 + (36x^2 + 132x + 121) + 256x -171 - 96x & = 256 \\ 100x^2 + 292x - 306 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 50x^2 + 146x - 153 & = 0 \\ a = 50, \, b = 146, \, c & = -153 \end{align} $ Gunakan rumus ABC : $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4.a.c}}{2a} \, $ pada persamaan kuadrat. $\begin{align} 50x^2 + 146x - 153 & = 0 \\ a = 50, \, b = 146, \, c & = -153 \\ x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4.a.c}}{2a} \\ x & = \frac{-146 \pm \sqrt{146^2 - 4.50.(-153)}}{2.50} \\ x & = \frac{-146 \pm \sqrt{51916}}{100} \\ x & = \frac{-146 \pm 227,8}{100} \\ x & = \frac{81,8}{100} \\ x_1 & = 0,818 = 0,8 \\ x & = \frac{-146 - 227,8}{100} \\ x & = \frac{-373,8}{100} \\ x_2 & = -3,738 = -3,7 \end{align} $ *). Substitusi nilai $ x $ ke persamaan garis $ y = \frac{1}{8}(11 + 6x) $ $ x_1 = 0,8 \rightarrow y_1 = \frac{1}{8}(11 + 6x) = \frac{1}{8}(11 + 6(0,8)) = 1,98 $ $ x_2 = -3,7 \rightarrow y_2 = \frac{1}{8}(11 + 6x) = \frac{1}{8}(11 + 6(-3,7)) = -1,4 $

Jadi, titik potong kedua lingkaran adalah (0.8 , 1.98) dan (-3.7 , -1.4).

Kedudukan lingkaran L1 terhadap L2
ditentukan oleh nilai diskriminan D = b2 – 4ac, hasil dari substitusi kedua persamaan lingkaran tersebut dengan ketentuan : (1) Jika D > 0 kedua lingkaran berpotongan di dua titik

Dalam hal ini : r1 + r2 > P1P2

(2) Jika D = 0 kedua lingkaran bersinggungan di satu titik

(3) Jika D < 0 kedua lingkaran saling lepas

Sebagai contoh kedudukan lingkaran x2 + y2 – 8x + 6y + 1 = 0 terhadap lingkaran x2 + y2 + 4x + 2y – 7 = 0 adalah berpotongan di dua titik, karena:
Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini:

01. Bagaimanakah kedudukan lingkaran x2 + y2 + 4x + 2y – 15 = 0 dan lingkaran x2 + y2 – 8x – 4y + 15 = 0

Jawab

 
 
02. Bagaimanakah kedudukan lingkaran x2 + y2 + 5x – 3y – 14 = 0 dan lingkaran x2 + y2 + 4x – 2y – 12 = 0 ? Jika berpotongan atau bersinggungan, tentukanlah titik potong atau titik singggungnya Jawab

Garis Kuasa

Garis kuasa dua lingkaran adalah suatu garis yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa sama terhadap kedua lingkaran tersebut. Garis kuasa dua lingkaran selalu tegak lurus dengan garis yang menghubungkan kedua pusat lingkaran

Persamaan garis kuasa pada lingkaran L1 = x2 + y2 + A1x + B1y + C1 = 0 dan L2 = x2 + y2 + A2x + B2y + C2 = 0 dirumuskan:

(A1 – A2)x + (B1 – B2)y = (C2 – C1)

03. Tentukanlah persamaan garis kuasa yang mempunyai kuasa sama terhadap lingkaran x2 + y2 – 10x + 4y + 20 = 0 dan x2 + y2 + 6x + 8y + 8 = 0

Jawab

04. Titik P(11, a) mempunyai kuasa sama terhadap lingkaran x2 + y2 + 8x – 4y – 10 = 0 dan lingkaran x2 + y2 + 6x + 2y – 6 = 0, Tentukanlah nilai a

Jawab

Dua lingkaran L1 dan L2 dikatakan ortogonal jika kedua lingkaran itu saling berpotongan dimana terdapat garis singgung g dan h yang saling tegak lurus.

Sehingga berlaku: P1P22 = r12 + r22 Sebagai contoh :

05. Jika dua lingkaran x2 + y2 + 8x – 10y + 5 = 0 dan x2 + y2 – 12x – 10y + p = 0 saling ortogonal, maka nilai tentukan nilai p

Jawab

Titik Kuasa terhadap tiga lingkaran  L1, L2 dan  L3 adalalah titik potong ketiga garis kuasa lingkaran-lingkaran itu, sehingga titik kuasa tersebut mempunyai kuasa sama terhadap ketiga lingkaran   L1, L2 dan  L3

Jika g adalah garis kuasa terhadap lingkaran  L1 dan L3
h adalah garis kuasa terhadap lingkaran L1 dan L2
s adalah garis kuasa terhadap lingkaran L2 dan  L3
maka P adalah titik kuasa terhadap lingkaran   L1, L2 dan  L3 Untuk pemahaman lebih lanjut ikutilah contoh soal berikut ini : 06. Tentukanlah titik kuasa terhadap tiga lingkaran

x2 + y2 + 5x + 3y – 7 = 0

x2 + y2 + 4x + 2y – 8 = 0
x2 + y2 + x + 4y + 4 = 0 Jawab  
Garis singgung persekutuan pada dua lingkaran L1 dan L2 adalah suatu garis yang menyinggung L1 dan menyinggung pula L2. Terdapat dua macam garis singgung persekutuan, yaitu : (1) Garis singung persekutuan luar

Panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran L1 dan L2 ditentukan dengan rumus:
(2) Garis singgung persekutuan dalam

Panjang ruas garis persekutuan dalam lingkaran L1 dan L2 ditentukan dengan rumus:

Untuk pemahaman lebih lanjut ikutilah contoh soal berikut ini:

07. Jika g adalah garis singgung persekutuan luar lingkaran x2 + y2 + 2x – 8y – 32 = 0 dan x2 + y2 – 10x – 24y + 168 = 0 serta A dan B adalah titik singgung g pada kedua lingkaran itu maka tentukanlah panjang ruas garis AB

Jawab

Rumus menentukan Panjang sabuk Lilitan pada dua lingkaran adalah sebagai berikut : 1. Panjang sabuk lilitan luar

Panjang sabuk lilitan luar minimal yang menghubungkan lingkaran L1 dan L2 ditentukan dengan rumus:
2. Panjang sabuk lilitan dalam

Panjang sabuk lilitan dalam minimal yang menghubungkan lingkaran L1 dan L2 ditentukan dengan rumus:
Untuk pemahaman lebih lanjut ikutilah contoh soal berikut ini:

08. Lingkaran L1 dan L2 masing-masing berjari-jari 8 cm dan 2 cm, serta jarak kedua pusat lingkaran itu sama dengan 12 cm. Tentukan panjang sabuk lilitan luar minimal yang diperlukan untuk menghubungkan lingkaran L1 dan L2

Jawab