Dari kalimat tersebut yang merupakan kalimat terbuka adalah

Pengantar: Logika

     Berbicara tentang kalimat tertutup dan kalimat terbuka tidak akan pernah jauh dari bahasan mengenai logika. Logika merupakan studi mengenai penalaran (reasoning). Dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI), penalaran diartikan sebagai cara berpikir dengan mengembangkan sesuatu berdasarkan akal budi dan bukan dengan perasaan atau pengalaman. Bahasan logika tidak pernah luput dari hubungan antara beberapa pernyataan. Dengan mempelajari logika, kita bisa menarik kesimpulan yang sah (valid) dari beberapa pernyataan yang diberikan.

    Logika merupakan salah satu fondasi yang memberi struktur pada matematika. Semua teorema yang ada dalam matematika dibuktikan dengan menggunakan hukum logika. Tak heran bila banyak yang mendefinisikan matematika bukan hanya sebagai ilmu hitung-menghitung, melainkan tentang ilmu bernalar (berlogika).

    Logika pertama kali dikembangkan oleh filsuf Yunani, Aristoteles, sekitar 2300 tahun yang lalu. Sampai sekarang, banyak disiplin ilmu yang menerapkan penggunaan logika, termasuk di antaranya dalam bidang komputer, seperti bahasa pemrograman, analisis kebenaran algoritma, kecerdasan buatan (artificial intellegence), perakitan komputer, dan lain-lain.

Kalimat Terbuka dan Kalimat Tertutup

    Kalimat terbuka dan kalimat tertutup merupakan bahasan dasar yang perlu dipahami oleh setiap orang yang ingin mendalami ilmu logika. Sebelum memahami definisinya, kita perlu tahu istilah berikut terlebih dahulu.

1. Kalimat deklaratif, disebut juga kalimat berita, adalah kalimat yang berisi informasi tentang suatu hal. Contoh: Budi dan Ani sekarang telah berusia 17 tahun.
2. Kalimat imperatif, disebut juga kalimat perintah, adalah kalimat yang bertujuan meminta objek untuk melakukan suatu hal. Contoh: Tolong pelajari materi ini dengan baik.
3. Kalimat interogatif, disebut juga kalimat tanya, yaitu kalimat yang dibuat untuk menanyakan suatu hal dan diakhiri dengan tanda tanya. Contoh: Bagaimana cara kamu menjelaskannya kepada ibu guru?

Sekarang, pahami baik-baik pengertian kalimat terbuka dan kalimat tertutup berikut.

Definisi: Kalimat Terbuka

Kalimat Terbuka (Open Sentence) adalah kalimat deklaratif yang nilai kebenarannya tidak dapat ditentukan karena memuat variabel tertentu yang tidak dispesifikkan nilainya.

Definisi: Kalimat Tertutup

Kalimat Tertutup (Closed Sentence), disebut juga pernyataan atau proposisi (proposition), adalah kalimat deklaratif yang dapat ditentukan benar atau salah-nya. Benar-salah tersebut selanjutnya disebut sebagai nilai kebenaran (truth value).

    Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menemukan kedua kalimat tersebut, meskipun istilahnya mungkin terdengar asing bagi awam, seperti yang disajikan pada contoh-contoh di bawah ini.

1. Pontianak adalah ibu kota provinsi Kalimantan Barat.
2. Tari Tidayu (Tionghua-Dayak-Melayu) merupakan tari tradisional yang menggambarkan keharmonisan masyarakat di provinsi Kalimantan Barat.
3. Susilo Bambang Yudhoyono menjadi presiden RI pada tahun 2003 – 2013.
4. Provinsi $m$ terletak di pulau Sulawesi.
5. Dua ditambah suatu bilangan menghasilkan delapan.
6. Hari ini hujan deras.
7. Susi adalah siswa di sekolah itu.

     Kalimat no. 1 dan 2 merupakan kalimat tertutup yang bernilai benar, sedangkan kalimat no. 3 merupakan kalimat tertutup yang bernilai salah, karena seharusnya SBY menjadi presiden RI pada tahun 2004 – 2014. Kalimat no. 4 dan 5 merupakan kalimat terbuka karena terdapat variabel berupa huruf $m$ dan frasa “suatu bilangan”. Selama variabel tersebut belum diketahui nilainya secara pasti, maka kalimat tersebut tetap menjadi kalimat terbuka. Kalimat no. 6 dan 7 merupakan kalimat tertutup faktual atau pernyataan faktual, yaitu kalimat tertutup yang nilai kebenarannya bisa ditentukan, asalkan diselidiki terlebih dahulu.

Baca Juga: Logika Matematika: Ingkaran, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi

    Sebelumnya dikatakan bahwa kalimat terbuka memuat variabel yang nilainya belum diketahui secara pasti. Ketika variabel tersebut diberi nilai atau batasan tertentu, maka kalimat terbuka tersebut akan menjadi kalimat tertutup karena nilai kebenarannya sudah dapat ditentukan, seperti contoh-contoh berikut.

1. $x$ adalah bilangan ganjil.
   $\Rightarrow$ Kalimat terbuka, karena benar-salahnya tergantung pada nilai variabel $x$.
2. $4$ adalah bilangan ganjil.
   $\Rightarrow$ Kalimat tertutup yang bernilai salah.
3. $11$ adalah bilangan ganjil.
   $\Rightarrow$ Kalimat tertutup yang bernilai benar.

1. Kabupaten $y$ terletak di provinsi Kalimantan Barat.
   $\Rightarrow$ Kalimat terbuka, karena benar-salahnya tergantung pada nilai variabel $y$.
2. Kabupaten Sambas terletak di provinsi Kalimantan Barat.
   $\Rightarrow$ Kalimat tertutup yang bernilai benar.
3. Kabupaten Penajam Paser Utara terletak di provinsi Kalimantan Barat.
   $\Rightarrow$ Kalimat tertutup yang bernilai salah.

    Tidak semua kalimat yang memuat variabel selalu digolongkan kalimat terbuka. Apabila variabel tersebut didefinisikan keanggotaan himpunannya secara jelas dan spesifik, maka ada kemungkinan kalimat tersebut tergolong kalimat tertutup. Berikut contohnya.

1. $2n$ merupakan bilangan genap positif, untuk setiap bilangan asli $n$.
2. Ada anggota himpunan bilangan bulat $x$ yang memenuhi persamaan $2x + 4 = 3.$
3. Persamaan $x^2 + 4x + 4 < 0$ tidak memiliki penyelesaian untuk setiap $x \in \mathbb{R}.$
4. $x + y = y + x$ untuk setiap $x$ dan $y$ bilangan real.

Kalimat no.1 di atas termasuk kalimat tertutup yang bernilai benar, karena substitusi nilai $n = 1, 2, 3, \cdots$ pada bentuk $2n$ selalu menghasilkan bilangan genap. Kalimat no. 2 termasuk kalimat tertutup yang bernilai salah, karena penyelesaian $2x + 4 = 3$ adalah $x = -\frac12$, artinya $x$ bukan termasuk anggota bilangan bulat. Terakhir, kalimat no. 3  dan 4 termasuk kalimat tertutup yang bernilai benar. Kalimat no. 4 merupakan cara lain untuk menyatakan hukum komutatif (kebalikan) penjumlahan pada sistem bilangan real.

     Kalimat tertutup selanjutnya dikenal luas dengan istilah proposisi (proposition). Bidang logika yang membahas proposisi dinamakan kalkulus proposisi (propositional calculus) atau logika proposisi (propositional logic). Secara simbolik, proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil, seperti $p, q, r, \cdots$. Misalnya,
$$\begin{aligned} p&: 20~\text{adalah bilangan kelipatan 10} \\ q&: \text{Indonesia merdeka secara}~\textit{de facto}~\text{pada tahun 1945} \\ r&: 3 + 3 = 6 \end{aligned}$$Berikut disajikan beberapa soal beserta pembahasannya mengenai kalimat terbuka dan kalimat tertutup. Semoga dapat lebih memperluas pemahaman materi.

Quote by Kong Fu Tse

Pelajarilah semesta ini. Jangan merasa kecewa jika dunia tidak mengenal Anda, tetapi kecewalah jika Anda tidak mengenal dunia.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Contoh kalimat terbuka adalah $\cdots \cdot$

1. Jam berapa kamu tiba di rumah saya?
2. Segera datang ke sini!
3. $x + 3 = 5.$
4. $2 + 4 = 6.$
5. Candi Borobudur terletak di Magelang, Jawa Tengah

Cek Opsi A:
Kalimat tersebut merupakan kalimat interogatif (kalimat tanya).
Cek Opsi B:
Kalimat tersebut merupakan kalimat imperatif (kalimat perintah).
Cek Opsi C:
Kalimat tersebut merupakan kalimat terbuka karena memuat variabel yang tidak dispesifikkan nilainya.
Cek Opsi D:
Kalimat tersebut merupakan kalimat tertutup yang bernilai benar.
Cek Opsi E:
Kalimat tersebut merupakan kalimat tertutup yang bernilai benar.
(Jawaban C)

Soal Nomor 2
Kalimat berikut yang termasuk proposisi (pernyataan) dengan nilai kebenaran yang pasti adalah $\cdots \cdot$

1. $x$ adalah bilangan ganjil
2. COVID-19 adalah penyakit yang disebabkan oleh SARS-CoV-2
3. Kehidupan hanya ditemukan di planet Bumi
4. Kemarin sore terjadi hujan deras
5. Tolong ambilkan gelas di ruangan saya

Proposisi (kalimat tertutup) adalah kalimat deklaratif (kalimat berita) yang memiliki nilai kebenaran: benar atau salah, dan tidak keduanya. Beberapa proposisi bisa jadi bernilai benar, bisa jadi salah, tergantung dari perspektif dan keterbatasan yang terjadi. Ada juga proposisi yang nilai kebenarannya pasti (tidak diragukan lagi).
Cek Opsi A:
“$x$ adalah bilangan ganjil” bukan termasuk proposisi, karena memuat variabel. Kalimat ini tergolong kalimat terbuka.
Cek Opsi B:
“COVID-19 adalah penyakit yang disebabkan oleh SARS-CoV-2” adalah contoh proposisi yang pasti bernilai benar.
Cek Opsi C:
“Kehidupan hanya ditemukan di planet Bumi” merupakan contoh proposisi yang bisa bernilai benar atau bisa juga salah (yang terpenting, tidak keduanya), karena keterbatasan manusia dalam mengungkapkannya.
Cek Opsi D:
“Kemarin sore terjadi hujan deras” merupakan contoh proposisi yang bisa bernilai benar, bisa juga salah, karena kata “kemarin” bergantung pada perspektif masing-masing orang di ruang yang berbeda.
Cek Opsi E:
“Tolong ambilkan gelas di ruangan saya” bukan termasuk kalimat deklaratif.
Jadi, kalimat berikut yang termasuk proposisi (pernyataan) dengan nilai kebenaran yang pasti adalah “COVID-19 adalah penyakit yang disebabkan oleh SARS-CoV-2”.
(Jawaban B)

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Logika Matematika

Soal Nomor 3
Manakah di antara kalimat berikut yang tergolong kalimat terbuka?

1. Penyelesaian $x + 4 = 7$ adalah $x = 3.$
2. Semua bilangan rasional merupakan bilangan real.
3. $a^0 = 1$ untuk semua bilangan real $a \neq 0.$
4. Bilangan asli yang kurang dari $10$ ada sebanyak $m.$
5. Untuk bilangan asli $n$, bentuk $(2n-1)$ merupakan bilangan ganjil.

Cek Opsi A:
Termasuk kalimat tertutup yang bernilai benar. Substitusi $x = 3$ memang menghasilkan pernyataan yang benar, yaitu $3 + 4 = 7.$
Cek Opsi B:
Termasuk kalimat tertutup yang bernilai benar. Bilangan rasional merupakan bagian dari bilangan real, bagian lainnya disebut bilangan irasional.
Cek Opsi C:
Termasuk kalimat tertutup yang bernilai benar. Semua bilangan real, kecuali $0$, dipangkatkan $0$ menghasilkan bilangan $1.$
Cek Opsi D:
Termasuk kalimat terbuka karena dapat bernilai benar jika nilai $m = 9$ dan bernilai salah jika nilai $m \neq 9.$
Cek Opsi E:
Termasuk kalimat tertutup yang bernilai benar. Substitusi $n = 1, 2, 3, \cdots$ pada bentuk $(2n-1)$ menghasilkan bilangan ganjil.
Jadi, yang tergolong kalimat terbuka adalah bilangan asli yang kurang dari $10$ ada sebanyak $m.$
(Jawaban D)

Soal Nomor 4
Diberikan kalimat terbuka
$$P_n : n~\text{adalah bilangan prima}$$Kalimat terbuka di atas akan menjadi kalimat tertutup yang bernilai salah ketika $n = \cdots \cdot$
A. $5$                    C. $19$                E. $41$
B. $11$                 D. $27$

Cek kebenaran kalimat dengan substitusi nilai $n$ yang diberikan satu per satu.
$$\begin{aligned} P_5 : &~5~\text{adalah bilangan prima} && (\text{benar}) \\ P_{11} : &~11~\text{adalah bilangan prima} && (\text{benar}) \\ P_{19} : &~19~\text{adalah bilangan prima} && (\text{benar}) \\ P_{27} : &~27~\text{adalah bilangan prima} && (\text{salah}) \\ P_{41} : &~41~\text{adalah bilangan prima} && (\text{benar}) \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $P_{27}$ bernilai salah karena $27$ bukan bilangan prima (memiliki lebih dari 2 faktor).
(Jawaban D)

Soal Nomor 5
Diberikan kalimat terbuka
$$P_n: \dfrac{n(n+1)}{3}~\text{adalah bilangan bulat}$$Kalimat terbuka di atas akan menjadi kalimat tertutup yang bernilai benar ketika $n = \cdots \cdot$
A. $8$                    C. $19$                  E. $49$
B. $10$                 D. $28$

Cek kebenaran kalimat dengan substitusi nilai $n$ yang diberikan satu per satu.
$$\begin{aligned} P_8:&~\dfrac{8(9)}{3}~\text{adalah bilangan bulat} && (\text{benar}) \\ P_{10}:&~\dfrac{10(11)}{3}~\text{adalah bilangan bulat} && (\text{salah}) \\ P_{19}:& ~\dfrac{19(20)}{3}~\text{adalah bilangan bulat} && (\text{salah}) \\ P_{28}:& ~\dfrac{28(29)}{3}~\text{adalah bilangan bulat} && (\text{salah}) \\ P_{49}:&~ \dfrac{49(50)}{3}~\text{adalah bilangan bulat} && (\text{salah})\end{aligned}$$Perhatikan bahwa $P_{8}$ bernilai benar.
(Jawaban A)

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Gerbang Logika

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Tentukan kalimat yang merupakan proposisi. Tentukan juga nilai kebenaran pada proposisi tersebut.

1. $10 + 13 = 22.$
2. Untuk beberapa bilangan bulat $n$, berlaku $500 = n \cdot 20.$
3. Setiap bilangan bulat genap lebih dari empat merupakan penjumlahan dua bilangan prima.
4. Planet terbesar di Tata Surya adalah Jupiter.
5. Ambil 5 buah buku di atas meja.
6. $4 + x = 5$

Jawaban a)
Termasuk proposisi yang bernilai salah. Seharusnya, $10 + 13 = 23.$
Jawaban b)
Perhatikan bahwa kata “beberapa” dalam matematika bermakna “ada”. Pada persamaan $500 = n \cdot 20$, kita menemukan bahwa ada satu nilai bilangan bulat $n$ yang memenuhi, yaitu $n = 500 \div 20 = 25.$ Jadi, kalimat tersebut tergolong proposisi yang bernilai benar.
Jawaban c)
Termasuk proposisi yang bernilai salah, karena tidak semua bilangan bulat genap lebih dari empat merupakan penjumlahan dua bilangan prima. Contohnya: $6$.
Jawaban d)
Termasuk proposisi yang bernilai benar.
Jawaban e)
Bukan termasuk proposisi. Kalimat tersebut merupakan kalimat imperatif (perintah).
Jawaban f)
Termasuk kalimat terbuka karena kebenarannya bergantung pada nilai $x$.

Soal Nomor 2
Tentukan apakah kalimat-kalimat berikut merupakan pernyataan benar, pernyataan salah, pernyataan faktual, atau bukan pernyataan.

1. Dasar negara Republik Indonesia adalah Pancasila.
2. Diagonal jajar genjang berpotongan tegak lurus.
3. Dani telah bekerja di PT. ABC sebagai seorang teknisi.
4. Ada nilai $x$ untuk $4x-3=9.$
5. Jumlah sudut-sudut pada setiap segitiga adalah $180^\circ.$
6. Apa pekerjaan Anda sekarang?
7. $p$ adalah bilangan bulat yang habis dibagi $7.$
8. Selamat ulang tahun, semoga panjang umur dan sehat selalu.

Kalimat a, d, dan e termasuk pernyataan benar. Kalimat b termasuk pernyataan salah. Kalimat c termasuk pernyataan faktual. Kalimat f , g, dan h bukan pernyataan, f adalah kalimat interogatif, g adalah kalimat terbuka, sedangkan h adalah kalimat harapan.