Apa ciri ciri fungsi yang mempunyai fungsi invers

Fungsi yang membatalkan, atau membalikkan, efek dari fungsi \(ƒ\) disebut kebalikan dari \(ƒ\) atau invers dari \(ƒ\). Banyak fungsi umum, meskipun tidak semua, dipasangkan dengan sebuah invers.

Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Hub. WA: 0812-5632-4552

Fungsi yang membatalkan, atau membalikkan, efek dari fungsi \(ƒ\) disebut kebalikan dari \(ƒ\) atau invers dari \(ƒ\). Banyak fungsi umum, meskipun tidak semua, dipasangkan dengan sebuah invers.

Karena tidak semua fungsi mempunyai invers atau kebalikan dari fungsi tersebut, maka pertanyaan yang kemudian muncul adalah kapan suatu fungsi mempunyai invers? Untuk menjawab ini kita perlu mengenal apa yang dikenal dengan fungsi satu-satu.

Fungsi adalah aturan yang menetapkan nilai dari daerah hasilnya (range) ke setiap elemen dalam daerah asalnya (domain). Beberapa fungsi menetapkan nilai range yang sama untuk lebih dari satu elemen dalam domain. Fungsi \(f(x)=x^2\) menetapkan nilai yang sama, 1, untuk kedua angka -1 dan +1; sinus \(π/3\) dan \(2π/3\) keduanya bernilai \(\sqrt{3}/2\).

Fungsi lainnya mengasumsikan setiap nilai dalam range-nya tidak lebih dari sekali. Akar kuadrat dan kubik dari angka yang berbeda selalu berbeda. Fungsi yang memiliki nilai berbeda pada elemen berbeda dalam domainnya disebut fungsi satu-satu. Fungsi-fungsi ini mengambil satu nilai dalam range tepat sekali. Mari kita nyatakan dalam definisi berikut

Definisi: Fungsi Satu-Satu

Fungsi \(f(x)\) adalah fungsi satu-satu pada domain \(D\) jika \(f(x_1)≠f(x_2)\) bilamana \(x_1≠x_2\) pada \(D\).

Grafik fungsi satu-satu \(y = f(x)\) memotong garis horizontal paling banyak sekali (Gambar 1). Jika memotong garis lebih dari satu kali, ia mengasumsikan nilai-\(y\) yang sama lebih dari sekali, dan karenanya bukan fungsi satu-satu (Gambar 2). Kita nyatakan dalam teorema berikut ini.

Teorema: Uji Garis Horisontal untuk Fungsi Satu-Satu

Sebuah fungsi \(y = f(x)\) adalah fungsi satu-satu, dan karenanya mempunya invers, jika dan hanya jika grafiknya memotong tiap garis horisontal paling banyak sekali.

Gambar 1. Grafik \(y=x^3\) dan \(y=\sqrt{x}\) adalah fungsi satu-satu

Gambar 2. Fungsi \(y=x^2\) dan \(y=\sin ⁡x\) bukan fungsi satu-satu

Dengan menggunakan uji garis horisontal, kita melihat bahwa \(y=x^3\) dan \(y=\sqrt{x}\) pada Gambar 1 adalah fungsi satu-satu pada domain \((-∞,∞)\) dan \([0,∞)\). Kedua grafik bertemu tiap garis horisontal paling banyak sekali sehingga merupakan fungsi satu-satu dan karenanya mempunyai invers.

Namun, fungsi \(y=x^2\) dan \(y=\sin ⁡x\) pada Gambar 2 adalah tidak satu-satu pada domain \((-∞,∞)\), karena kedua grafik bertemu satu atau lebih garis horisontal lebih dari sekali.

Karena setiap output dari fungsi satu-satu berasal dari hanya satu input, efek dari fungsi dapat dibalik untuk mengirim output kembali ke input dari mana ia berasal.

Definisi: Fungsi Invers

Andaikan bahwa \(f\) merupakan fungsi satu-satu pada daerah asal \(D\) dengan daerah hasil \(R\). Fungsi invers \(f^{-1}\) didefinisikan oleh

\[ f^{-1} (a)=b \quad \text{jika} \quad f(b)=a \]

Daerah asal \(f^{-1}\) adalah \(R\) dan daerah hasil dari \(f^{-1}\) adalah \(D\).

Grafik Fungsi Invers

Tujuan kita berikutnya adalah meninjau hubungan antara grafik \(f\) dan \(f^{-1}\). Untuk tujuan ini, kita akan gunakan \(x\) sebagai variabel independen untuk kedua fungsi sehingga kita bisa membandingkan grafik \(y = f(x)\) dan \(y = f^{-1} (x)\).

Jika \((a,b)\) adalah titik pada grafik \(y = f(x)\), maka \(b = f(a)\). Ini ekuivalen dengan pernyataan bahwa \(a=f^{-1} (b)\), yang berarti bahwa \((b,a)\) adalah titik pada grafik \(y=f^{-1} (x)\). Singkatnya, dengan membalikkan koordinat sebuah titik pada grafik \(f\) menghasilkan titik pada grafik \(f^{-1}\).

Demikian pula, membalikan koordinat pada grafik \(f^{-1}\) menghasilkan titik pada grafik \(f\). Namun, efek geometrik membalikkan koordinat titik adalah mencerminkan titik itu terhadap garis \(y = x\) (Gambar 3.a) dan karena itu grafik \(y = f(x)\) dan \(y=f^{-1} (x)\) adalah percerminan satu sama lain terhadap garis \(y=x\) (Gambar 3.b). Kita nyatakan dalam teorema berikut ini.

Teorema:

Jika \(f\) mempunyai invers, maka grafik \(y = f(x)\) dan \(y=f^{-1} (x)\) merupakan pencerminan satu satu lain terhadap garis \(y = x\); yaitu tiap grafik adalah gambar cermin dari yang lain sehubungan dengan garis itu.

Gambar 3. (a) Titik \((a,b)\) dan \((b,a)\) adalah percerminan terhadap \(y = x\). (b) grafik \(f\) dan \(f^{-1}\) adalah pencerminan terhadap \(y = x\).

Sebuah fungsi \(g\) yang diperoleh dari sebuah fungsi \(f\) dengan memberikan batasan pada domain \(f\) disebut batasan dari \(f\). Dengan demikian, fungsi \[ g(x)=x^3, \quad x≥0 \] merupakan batasan dari fungsi \(f(x)=x^3\). Lebih tepatnya, ia disebut batasan \(x^3\) untuk interval \([0,+∞]\).

Kadang-kadang adalah hal yang memungkinkan untuk memperoleh fungsi invers dari sebuah fungsi yang tidak mempunyai invers (fungsi yang tidak dapat dibalik) dengan membatasi domain secara tepat. Misalnya, kita tunjukkan sebelumnya bahwa \(f(x)=x^2\) tidak dapat dibalik. Namun, perhatikan fungsi batasan berikut

Gabungan dari kedua grafik membentuk grafik lengkap dari \(f(x)=x^2\) seperti ditunjukkan dalam Gambar 4 berikut.

Gambar 4. Grafik fungsi \( y=x^2, \ x≤0 \) dan \( y=x^2, \ x≥0 \)

Fungsi yang dibatasi ini adalah fungsi satu-satu (karena itu dapat dibalikkan atau mempunyai invers), karena grafiknya lulus uji garis horizontal. Fungsi inversnya dapat dilihat pada Gambar 5 di bawah ini.

Gambar 5. Grafik fungsi \( y=x^2, \ x≤0 \) dan \( y=x^2, \ x≥0 \) serta fungsi-fungsi invers yang bersesuaian dengannya.

Fungsi yang grafiknya selalu naik saat dilintasi dari kiri ke kanan dikatakan sebagai fungsi yang meningkat, dan fungsi yang grafiknya selalu turun saat dilintasi dari kiri ke kanan dikatakan sebagai fungsi yang menurun. Jika \(x_1\) dan \(x_2\) adalah titik dalam domain fungsi \(f\), maka \(f\) meningkat jika

dan \(f\) turun jika

Kita dapat membuktikan secara geometri bahwa fungsi naik dan fungsi turun lulus uji garis horisontal dan karena itu dapat dibalik. Perhatikan Gambar 6 berikut yang menunjukkan fungsi naik dan fungsi turun

Gambar 6.

Cukup sekian penjelasan tentang fungsi invers atau kebalikan dari suatu fungsi dalam artikel ini. Semoga bermanfaat.

Sumber:

Anton, Howard., et al. (2012). Calculus, 10th ed. Hoboken: John Wiley & Sons, Inc.

Pengertian Fungsi: Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau pemetaan jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A berpasangan dengan tepat satu anggota himpunan B.

Suatu fungsi atau pemetaan dapat disajikan dalam bentuk himpunan pasangan terurut, rumus, diagram panah, atau diagram cartesius. Fungsi f yang memetakan himpunan A ke himpunan B ditulis dengan notasi:

Dengan:

• A disebut domain (daerah asal) dinotasikan
• B disebut Kodomain (daerah kawan) dinotasikan
• disebut range (daerah hasil), dinotasikan dengan

Sebagai contoh:

Contoh 1	Contoh 2	Contoh 3
Bukan fungsi karena terdapat anggota di A yang tidak dihubungkan dengan anggota di B	Bukan fungsi karena terdapat anggota di A yang dihubungkan lebih dari satu dengan anggota di B	Meupakan fungsi karena setiap anggota di A tapat dihubungkan dengan satu anggota di B

Pada fungsi , jika setiap elemen di B mempunyai pasangan di A atau , atau setiap terdapat sedemikian sehingga . Contoh:

Pada fungsi , jika terdapat elemen di B yang tidak mempunyai pasangan di A.

Contoh:

Pada fungsi , jika setiap elemen di B mempunyai pasangan tepat satu elemen dari A.

Contoh:

Jika fungsi merupakan fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif.

Contoh:

Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi merupakan susunan dari beberapa fungsi yang terhubung dan bekerja sama.

Sebagai ilustrasi jika fungsi f dan g adalah mesin yang bekerja beriringan. Fungsi f menerima input berupa (x) yang akan diolah di mesin f dan menghasilkan output berupa . Kemudian dijadikan input untuk diproses di mesin g sehingga didapat output berupa .

Ilustrasi tersebut jika dibuat dalam fungsi merupakan komposisi g dan f yang dinyatakan dengan sehingga:

dengan syarat: .

Komposisi bisa lebih dari dua fungsi jika , , dan , maka dan dinyatakan dengan:

Sifat-sifat fungsi komposisi:

Operasi pada fungsi komposisi tidak besifat komutatif

Operasi bersifat asosiatif:

Contoh:

Jika dan , maka g(x) adalah

Fungsi Invers

Jika fungsi memiliki relasi dengan fungsi , maka fungsi g merupakan invers dari f dan ditulis atau . Jika dalam bentuk fungsi, maka disebut fungsi invers.

Menentukan Invers

Menentukan invers suatu fungsi dapat ditempuh dengan cara berikut:

Ubah persamaan ke dalam bentuk

Gantikan x dengan sehingga

Gantikan y dengan x sehingga diperoleh invers berupa

Contoh:

Menentukan invers dari :

Sehingga inversnya adalah

dan bukan merupakan fungsi karena memiliki dua nilai.

Rumus Fungsi Invers

Rumus Fungsi Invers

Contoh

Invers dari Fungsi Komposisi

Berdasar gambar, jika f, g, h adalah fungsi dengan contoh , , dan  .

Jika adalah invers fungsinya yaitu , , dan , maka dirumuskan beserta contohnya:

Berdasarkan rumusan tersebut, dapat diturunkan operasi komposisi fungsi sebagai berikut:

• Jika diketahui dan atau , maka
• Jika diketahui dan atau , maka
• Jika diketahui ,, dan , maka
• Jika diketahui , , dan , maka

Contoh Soal Fungsi Komposisi Fungsi Invers dan Pembahasan

Contoh Soal Fungsi Komposisi

Jika dan , tentukanlah nilai

Pembahasan

Maka:

Contoh Soal Fungsi Invers

Diketahui , tentukan .

Pembahasan

Maka,

Contoh Soal Fungsi Komposisi Fungsi Invers

Misalkan untuk dan  untuk  . Jika , tentukan nilai (x).

Pembahasan

Maka,

Kontributor: Alwin Mulyanto, S.T.
Alumni Teknik Sipil FT UI

Materi StudioBelajar.com lainnya: