InhaltsverzeichnisDie spezifische Wärmekapazität von Gasen hängt von den äußeren Bedingungen ab. Es wird zwischen der spezifischen Wärmekapazität $c_v$ bei konstantem Volumen (isochorer Prozess) und der spezifischen Wärmekapazität $c_p$ bei konstantem Druck (isobarer Prozess) unterschieden. Um die spezifische Wärmekapazität herleiten zu können, führen wir die kalorische Zustandsgleichung ein. Show Die kalorische Zustandsgleichung (nicht zu verwechseln mit der thermischen Zustandsgleichung) beschreibt den inneren energetischen Zustand eines homogenen thermodynamischen Systems. Die kalorische Zustandsgleichung setzt sich aus den zwei Zustandsgrößen spezifische Enthalpie $h$ und spezifische innere Energie $u$ zusammen. Die innere Energie $U$ ist abhängig von der Temperatur $T$ und dem Volumen $V$. Eine Änderung der Temperatur führt zu einer Änderung der Wärme und dies führt zu einer Änderung der inneren Energie. Ändert sich das Volumen eines Systems, so ändert sich die Volumenänderungsarbeit $W_V$ und damit ebenfalls die innere Energie. Wir betrachten hier die spezifischen Größen: $u = u(v, T)$
$h = h(p,T)$ MerkeHier klicken zum AusklappenSpezifische Zustandsgrößen sind extensive Zustandsgrößen, welche durch die Masse $m$ geteilt werden. Sie verhalten sich dann wie intensive Zustandsgrößen: $u = \frac{U}{m}$, $h = \frac{H}{m}$. Wir bilden das vollständige Differential. Das bdeutet, wir leiten die spezifische innere Energie nach $v$ und nach $T$ ab und die spezifische Enthalpie nach $p$ und nach $T$. $du = (\frac{\partial u}{\partial v})_T dv + (\frac{\partial u}{\partial T})_v dT$ Der erste Term ist die Ableitung von $u$ nach $v$, wobei $T$ kostant ist. Der 2. Term die Ableitung von $u$ nach $T$ wobei $v$ konstant ist. $dh = (\frac{\partial h}{\partial p})_T dp + (\frac{\partial h}{\partial T})_p dT$ Der erste Term ist die Ableitung von $h$ nach $p$, wobei $T$ kostant ist. Der 2. Term die Ableitung von $h$ nach $T$ wobei $p$ konstant ist.
Das bedeutet, die kalorischen Zustandsgleichungen des idealen Gases sehen wie folgt aus: MethodeHier klicken zum Ausklappen$du = (\frac{\partial u}{\partial T})_v dT = c_v \; dT$ MethodeHier klicken zum Ausklappen$dh = (\frac{\partial h}{\partial T})_p dT = c_p \; dT$ Hierbei handelt es sich nun um die spezifischen Wärmekapazitäten $c_v$ bei konstantem Volumen und $c_p$ bei konstantem Druck. Spezifische Wärmekapazität des idealen GasesDie Änderungen der spezifischen inneren Energie $u$ und der spezifischen Enthalpie $h$ können beim idealen Gas mittels der spezifischen Wärmekapazitäten $c_v$ und $c_p$ wie folgt bestimmt werden: MethodeHier klicken zum Ausklappen$u_2 - u_1 = \int_1^2 c_v \; dT$ konstantes Volumen bzw. $U_2 - U_1 = m \cdot \int_1^2 c_v \; dT$ und MethodeHier klicken zum Ausklappen$h_2 -h_1 = \int_1^2 c_p \; dT$ konstanter Druck bzw. $H_2 - H_1 = m \cdot \int_1^2 c_p \; dT$ Enthalpie bei konstantem VolumenFür die Enthalpie gilt: $H_2 - H_1 = U_2 - U_1 + (p_2 - p_1) \cdot V_1 + p_1 \cdot (V_2 - V_1)$.
$H_2 - H_1 = U_2 - U_1 + (p_2 - p_1) \cdot V_1 $ Einsetzen des kalorischen Ausdrucks für die innere Energie: MethodeHier klicken zum Ausklappen$H_2 - H_1 = m \cdot \int_1^2 c_v \; dT + (p_2 - p_1) \cdot V_1 $ Enthalpie Innere Energie bei konstantem DruckDie innere Energie kann berechnet werden zu: $U_2 - U_1 = Q + W_V + W_{diss}$ mit $W_V = -\int p \; dV $ Hier fällt die Volumenänderungsarbeit nicht weg, weil nicht das Volumen sondern der Druck konstant sind. Die Integration der Volumenänderungsarbeit bei einem konstanten Druck von einem Zustand 1 zu einem Zustand 2 ergibt dann: $W_V = - p_1 (V_2 - V_1)$ Die innere Energie lässt sich also bestimmen zu: $U_2 - U_1 = Q - p_1 (V_2 - V_1) + W_{diss}$
MethodeHier klicken zum Ausklappen$U_2 - U_1 = m \cdot \int_1^2 c_p \; dT - p_1 (V_2 - V_1)$ Innere Energie Wärme und DissipationsarbeitDie spezifische Wärmekapazität eines homogenen thermodynamischen Systems kann gemessen werden, indem man einem System mit konstantem Volumen bzw. konstantem Druck - welches keine Änderung des Aggregatzustandes aufweist - Wärme $Q$ oder Dissipationsarbeit $W_{diss}$ zuführt: MethodeHier klicken zum Ausklappen$Q + W_{diss} = m \int_1^2 c_v \; dT$ bei konstantem Volumen MethodeHier klicken zum Ausklappen$Q + W_{diss} = m \int_1^2 c_p \; dT$ bei konstantem Druck Zusammenhang zwischen den WärmekapazitätenDie spezifischen Wärmekapazitäten $c_p$ und $c_v$ weisen folgenden Zusammenhang auf: MethodeHier klicken zum Ausklappen$c_p - c_v = R_i$ Die Differenz aus den spezifischen Wärmekapazitäten ist gleich der spezifischen Gaskonstante $R_i$, welche für unterschiedliche Gase aus Tabellen entnommen werden kann. Es gilt: MethodeHier klicken zum Ausklappen$R_i = \frac{R}{M}$ mit $R = 8,314 J/(K \; mol)$ Universelle Gaskonstante $M$ = Molmasse Anwendungsbeispiel: WärmekapazitätBeispielHier klicken zum AusklappenGegeben sei ein geschlossener nicht-adiabater Behälter mit 20 kg Luft gefüllt. Die Temperatur beträgt $t = 18°C$. Durch Dissipationsarbeit (z.B. Wellenarbeit) wird der Luft 450 kJ zugeführt. Die Luft gibt Wärme in Höhe von 585 kJ ab. Die spezifische Wärmekapazität sei $c_v = 0,8 kJ/(kg \; K)$ Wie ändert sich die innere Energie der Luft? Welche Temperatur nimmt die Luft nach zufügen der Dissipationsarbeit und Abgabe der Wärme an? Änderung der inneren EnergieDie Änderung der inneren Energie im geschlossen System erfolgt durch: $U_2 - U_1 = Q + W$ mit $W = W_V + W_{diss}$
$W = W_{diss}$. $U_2 - U_1 = Q + W_{diss} = -585 kJ + 450 kJ = -135 kJ$. Die innere Energie der Luft fällt um 135 kJ. Bestimmung der TemperaturMit der Formel für die spezifische Wärmekapazität für konstantes Volumen kann man die Temperatur berechnen: $Q + W_{diss} = m \int_1^2 c_v \; dT$
$-585 kJ + 450 kJ = 20 kg \int_{18 + 273,15 K}^{T_2} 0,8 kJ/(kg \; K) \; dT $ $-135 kJ = 20 kg \; [0,8 \; T]_{291,15 K}^{T_2}$ $-135 kJ = 20 kg \; [0,8 \; kJ/(kg \; K) \cdot T_2 - 0,8 \; kJ/(kg \; K) \cdot 291,15 K]$ $--135 kJ = 16 \; kg \; kJ/(kg \; K) \cdot T_2 - 16 \; kg \; kJ/(kg \; K) \cdot 291,15 K$ $-135 kJ = 16 \; kg \; kJ/(kg \; K) \cdot T_2 - 4.658,40 \; kg \; kJ/(kg \; K) \; K$ Auflösen nach $T_2$: $T_2 = \frac{-135 kJ + 4.658,40 \; kg \; kJ/(kg \; K) \; K }{16 \; kg \; kJ/(kg \; K) } $ Einheiten kürzen: $T_2 = \frac{-135 kJ + 4.658,40 \; kJ }{16 \; kJ/K } = 282,71 K$ $t_2 = 9,6 °C$.
Die innere Energie gibt an, wie groß die in einem abgeschlossenen System (Körper) gespeicherte Energie ist.Formelzeichen: UEinheit: ein Joule (1 J)Sie ist die Gesamtenergie aller Teilchen (Atome, Moleküle) eines Körpers und setzt sich damit aus der Summe der Bewegungsenergien bei Translation, Rotation und Schwingungen, der potenziellen Energien und der Bindungsenergien zusammen. Bei Gasen wird die innere Energie im Wesentlichen von den Bewegungsenergien der Teilchen bestimmt.
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