Sudut antara dua garis berpotongan diambil sudut yang

tetapi. Diberikan dua garis.Garis-garis ini, seperti yang ditunjukkan pada Bab 1, membentuk berbagai sudut positif dan negatif, yang dalam hal ini dapat lancip dan tumpul. Mengetahui salah satu sudut ini, kita dapat dengan mudah menemukan yang lain.

Omong-omong, untuk semua sudut ini, nilai numerik garis singgungnya sama, perbedaannya hanya pada tanda

Persamaan garis. Angka-angka tersebut merupakan proyeksi dari vektor-vektor pengarah garis pertama dan kedua.Sudut antara vektor-vektor ini sama dengan salah satu sudut yang dibentuk oleh garis lurus. Oleh karena itu, masalahnya direduksi menjadi menentukan sudut antara vektor, Kami mendapatkan

Untuk mempermudah, kita dapat menyepakati sudut antara dua garis lurus untuk memahami sudut positif lancip (seperti, misalnya, pada Gambar 53).

Maka tangen sudut ini akan selalu positif. Jadi, jika tanda minus diperoleh di sisi kanan rumus (1), maka kita harus membuangnya, yaitu, hanya mempertahankan nilai absolutnya.

Contoh. Tentukan sudut antar garis

Dengan rumus (1) kita memiliki

dari. Jika ditunjukkan sisi sudut mana yang awal dan mana ujungnya, maka, dengan selalu menghitung arah sudut berlawanan arah jarum jam, kita dapat mengekstraksi sesuatu yang lebih dari rumus (1). Seperti yang mudah dilihat dari Gambar. 53 tanda yang diperoleh di sisi kanan rumus (1) akan menunjukkan yang mana - lancip atau tumpul - sudut yang membentuk garis kedua dengan yang pertama.

(Memang, dari Gambar 53 kita melihat bahwa sudut antara vektor arah pertama dan kedua sama dengan sudut yang diinginkan antara garis, atau berbeda dengan ±180°.)

D. Jika garis-garisnya sejajar, maka vektor arahnya juga sejajar Dengan menerapkan kondisi paralelisme dua vektor, kita dapatkan!

Ini adalah kondisi perlu dan cukup agar dua garis sejajar.

Contoh. Langsung

sejajar karena

e. Jika garis-garis tersebut tegak lurus, maka vektor arahnya juga tegak lurus. Dengan menerapkan syarat tegak lurus dua buah vektor, diperoleh syarat tegak lurus dua buah garis, yaitu

Contoh. Langsung

tegak lurus karena

Sehubungan dengan kondisi paralelisme dan tegak lurus, kita akan menyelesaikan dua masalah berikut.

F. Gambarlah garis yang sejajar dengan suatu garis yang melalui suatu titik

Keputusan dibuat seperti ini. Karena garis yang diinginkan sejajar dengan yang diberikan, maka untuk vektor pengarahnya kita dapat mengambil yang sama dengan garis yang diberikan, yaitu vektor dengan proyeksi A dan B. Kemudian persamaan garis yang diinginkan akan ditulis dalam bentuk (§ 1)

Contoh. Persamaan garis lurus yang melalui titik (1; 3) sejajar dengan garis lurus

akan berikutnya!

G. Gambarlah garis melalui sebuah titik yang tegak lurus terhadap garis tersebut

Di sini, tidak lagi cocok untuk mengambil vektor dengan proyeksi A dan sebagai vektor pengarah, tetapi perlu untuk memenangkan vektor yang tegak lurus terhadapnya. Oleh karena itu, proyeksi vektor ini harus dipilih sesuai dengan kondisi bahwa kedua vektor tegak lurus, yaitu, sesuai dengan kondisi

Kondisi ini dapat dipenuhi dengan banyak cara, karena di sini ada satu persamaan dengan dua yang tidak diketahui. Tetapi cara termudah adalah dengan mengambilnya. Kemudian persamaan garis lurus yang diinginkan akan ditulis dalam bentuk

Contoh. Persamaan garis yang melalui titik (-7; 2) pada garis tegak lurus

akan menjadi berikut (menurut rumus kedua)!

H. Dalam kasus ketika garis diberikan oleh persamaan bentuk

Biarkan garis diberikan dalam ruang aku Dan M. Melalui beberapa titik A dari ruang kita menggambar garis lurus aku 1 || aku Dan M 1 || M(Gbr. 138).

Perhatikan bahwa titik A dapat dipilih secara sewenang-wenang, khususnya, dapat terletak pada salah satu garis yang diberikan. Jika lurus aku Dan M berpotongan, maka A dapat diambil sebagai titik potong garis-garis tersebut ( aku 1 = l Dan M 1 = m).

Sudut antara garis yang tidak sejajar aku Dan M adalah nilai sudut terkecil yang dibentuk oleh perpotongan garis lurus aku 1 Dan M 1 (aku 1 || aku, M 1 || M). Sudut antara garis sejajar dianggap nol.

Sudut antar garis aku Dan M dilambangkan dengan \(\widehat((l;m)) \). Dari definisi berikut bahwa jika diukur dalam derajat, maka 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, dan jika dalam radian, maka 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Sebuah tugas. Kubus ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 diberikan (Gbr. 139).

Hitunglah sudut antara garis lurus AB dan DC 1 .

Persimpangan lurus AB dan DC 1. Karena garis DC sejajar dengan garis AB, sudut antara garis AB dan DC 1, menurut definisi, sama dengan \(\widehat(C_(1)DC)\).

Oleh karena itu \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Langsung aku Dan M ditelepon tegak lurus, jika \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Misalnya dalam kubus

Perhitungan sudut antar garis.

Masalah menghitung sudut antara dua garis lurus di ruang angkasa diselesaikan dengan cara yang sama seperti di bidang. Dilambangkan dengan sudut antara garis aku 1 Dan aku 2 , dan melalui - sudut antara vektor arah tetapi Dan B garis-garis lurus ini.

Lalu jika

ψ <90°>90° (Gbr. 206.6), maka = 180° - . Jelas bahwa dalam kedua kasus persamaan cos = |cos | benar. Menurut rumus (cosinus sudut antara vektor bukan nol a dan b sama dengan produk skalar dari vektor-vektor ini dibagi dengan produk dari panjangnya) kita miliki

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

Akibatnya,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Biarkan garis diberikan oleh persamaan kanoniknya

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; Dan \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Kemudian sudut antara garis ditentukan dengan menggunakan rumus

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Jika salah satu garis (atau keduanya) diberikan oleh persamaan non-kanonik, maka untuk menghitung sudut, Anda perlu menemukan koordinat vektor arah garis-garis ini, dan kemudian menggunakan rumus (1).

Tugas 1. Hitung sudut antar garis

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;dan\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Vektor arah garis lurus memiliki koordinat:

a \u003d (-√2; 2; -2), B = (√3 ; √3 ; √6 ).

Dengan rumus (1) kita temukan

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Jadi, sudut antara garis-garis ini adalah 60°.

Tugas 2. Hitung sudut antar garis

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) dan \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(kasus) $$

Di belakang panduan vektor tetapi garis lurus pertama kita ambil produk vektor dari vektor normal n 1 = (3; 0; -12) dan n 2 = (1; 1; -3) bidang yang mendefinisikan garis ini. Dengan rumus \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) kita dapatkan

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Demikian pula, kami menemukan vektor arah dari garis lurus kedua:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Tetapi rumus (1) menghitung kosinus dari sudut yang diinginkan:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

Jadi, sudut antara garis-garis ini adalah 90°.

Tugas 3. Dalam piramida segitiga MAVS, tepi MA, MB dan MC saling tegak lurus, (Gbr. 207);

panjangnya masing-masing sama dengan 4, 3, 6. Titik D adalah [MA] tengah. Tentukan sudut antara garis CA dan DB.

Misalkan SA dan DB adalah vektor arah dari garis SA dan DB.

Mari kita ambil titik M sebagai titik asal koordinat. Dengan kondisi tugas, kita memiliki A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Oleh karena itu \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Kami menggunakan rumus (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

Menurut tabel cosinus, kami menemukan bahwa sudut antara garis lurus CA dan DB kira-kira 72 °.

Oh-oh-oh-oh-oh ... yah, nyaring, seolah-olah Anda membaca kalimat itu sendiri =) Namun, relaksasi akan membantu, terutama karena saya membeli aksesori yang cocok hari ini. Karena itu, mari kita lanjutkan ke bagian pertama, saya harap, pada akhir artikel saya akan menjaga suasana hati yang ceria.

Susunan timbal balik dari dua garis lurus

Kasus ketika aula bernyanyi bersama dalam paduan suara. Dua garis bisa:

1) pertandingan;

2) sejajar: ;

3) atau berpotongan di satu titik: .

Bantuan untuk boneka : harap diingat tanda matematika persimpangan , itu akan sangat sering terjadi. Entri berarti bahwa garis berpotongan dengan garis di titik.

Bagaimana cara menentukan posisi relatif dari dua garis?

Mari kita mulai dengan kasus pertama:

Dua garis bertepatan jika dan hanya jika koefisien masing-masing sebanding, yaitu, ada sejumlah "lambda" sehingga persamaan

Mari kita pertimbangkan garis lurus dan buat tiga persamaan dari koefisien yang sesuai: . Dari setiap persamaan dapat disimpulkan bahwa, oleh karena itu, garis-garis ini bertepatan.

Memang, jika semua koefisien persamaan

Kasus kedua ketika garis sejajar:

Dua garis dikatakan sejajar jika dan hanya jika koefisien-koefisiennya pada variabel-variabelnya sebanding:

Sebagai contoh, perhatikan dua garis lurus. Kami memeriksa proporsionalitas koefisien yang sesuai untuk variabel:

Namun, jelas bahwa .

Dan kasus ketiga, ketika garis berpotongan:

Dua garis berpotongan jika dan hanya jika koefisien variabelnya TIDAK proporsional, yaitu, TIDAK ada nilai "lambda" yang persamaannya terpenuhi

Jadi, untuk garis lurus kita akan membuat sistem:

Dari persamaan pertama diperoleh bahwa , dan dari persamaan kedua : , maka, sistem tidak konsisten(tidak ada solusi). Dengan demikian, koefisien pada variabel tidak proporsional.

Kesimpulan: garis berpotongan

Dalam masalah praktis, skema solusi yang baru saja dipertimbangkan dapat digunakan. Omong-omong, ini sangat mirip dengan algoritma untuk memeriksa vektor untuk kolinearitas, yang kami pertimbangkan dalam pelajaran. Konsep linear (non) ketergantungan vektor. Dasar vektor. Tapi ada paket yang lebih beradab:

Contoh 1

Untuk mengetahui pengaturan bersama langsung:

Larutan berdasarkan studi tentang mengarahkan vektor garis lurus:

a) Dari persamaan kita menemukan vektor arah garis:

, sehingga vektor-vektornya tidak segaris dan garis-garisnya berpotongan.

Untuk jaga-jaga, saya akan meletakkan batu dengan petunjuk di persimpangan jalan:

Sisanya melompati batu dan mengikuti, langsung ke Kashchei the Deathless =)

b) Tentukan vektor arah dari garis-garis tersebut:

Garis-garis tersebut memiliki vektor arah yang sama, yang berarti keduanya sejajar atau sama. Di sini determinan tidak diperlukan.

Jelas, koefisien yang tidak diketahui adalah proporsional, sedangkan .

Mari kita cari tahu apakah persamaan itu benar:

Lewat sini,

c) Tentukan vektor arah dari garis-garis tersebut:

Mari kita hitung determinannya, yang terdiri dari koordinat vektor-vektor ini:

Faktor proporsionalitas "lambda" mudah dilihat langsung dari rasio vektor arah collinear. Namun, itu juga dapat ditemukan melalui koefisien persamaan itu sendiri:

Sekarang mari kita cari tahu apakah persamaan itu benar. Kedua suku bebas adalah nol, jadi:

Nilai yang dihasilkan memenuhi persamaan ini(ini sesuai dengan nomor apa pun secara umum).

Dengan demikian, garis bertepatan.

Menjawab:

Segera Anda akan belajar (atau bahkan telah belajar) untuk memecahkan masalah yang dipertimbangkan secara lisan secara harfiah dalam hitungan detik. Dalam hal ini, saya tidak melihat alasan untuk menawarkan sesuatu untuk solusi independen, lebih baik meletakkan satu batu bata penting lagi di fondasi geometris:

Bagaimana cara menggambar garis yang sejajar dengan garis yang diberikan?

Untuk ketidaktahuan tentang ini tugas paling sederhana menghukum berat Nightingale the Robber.

Contoh 2

Garis lurus diberikan oleh persamaan . Tuliskan persamaan garis sejajar yang melalui titik tersebut.

Larutan: Menunjukkan baris yang tidak dikenal dengan huruf. Apa yang dikatakan kondisi tentang itu? Garis melewati titik. Dan jika garis-garisnya sejajar, maka jelas bahwa vektor pengarah garis "ce" juga cocok untuk membangun garis "de".

Kami mengambil vektor arah dari persamaan:

Menjawab:

Geometri contoh terlihat sederhana:

Verifikasi analitis terdiri dari langkah-langkah berikut:

1) Kami memeriksa bahwa garis memiliki vektor arah yang sama (jika persamaan garis tidak disederhanakan dengan benar, maka vektor akan collinear).

2) Periksa apakah titik memenuhi persamaan yang dihasilkan.

Verifikasi analitis dalam banyak kasus mudah dilakukan secara lisan. Lihatlah dua persamaan dan banyak dari Anda akan segera mengetahui bagaimana garis sejajar tanpa menggambar apa pun.

Contoh untuk pemecahan diri hari ini akan kreatif. Karena Anda masih harus bersaing dengan Baba Yaga, dan dia, Anda tahu, adalah pecinta semua jenis teka-teki.

Contoh 3

Tuliskan persamaan garis yang melalui sebuah titik yang sejajar dengan garis jika

Ada cara yang rasional dan tidak terlalu rasional untuk menyelesaikannya. Cara terpendek adalah di akhir pelajaran.

Kami melakukan sedikit pekerjaan dengan garis paralel dan akan kembali lagi nanti. Kasus garis yang bertepatan kurang menarik, jadi pertimbangkan masalah yang Anda ketahui dari kurikulum sekolah:

Bagaimana cara mencari titik potong dua garis?

Jika lurus

Bagaimana cara menemukan titik potong garis? Memecahkan sistem.

Ini untukmu arti geometris dua persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui adalah dua garis lurus yang berpotongan (paling sering) pada sebuah bidang.

Contoh 4

Cari titik potong garis

Larutan: Ada dua cara untuk memecahkan - grafis dan analitis.

cara grafis adalah hanya menggambar garis yang diberikan dan mencari tahu titik persimpangan langsung dari gambar:

Metode grafis, tentu saja, tidak buruk, tetapi ada kelemahan yang nyata. Tidak, intinya bukan siswa kelas tujuh memutuskan dengan cara ini, intinya adalah yang benar dan gambar PERSIS waktu akan berlalu. Selain itu, beberapa garis tidak begitu mudah untuk dibuat, dan titik perpotongan itu sendiri mungkin berada di suatu tempat di kerajaan ketiga puluh di luar lembar buku catatan.

Oleh karena itu, lebih bijaksana untuk mencari titik persimpangan metode analitis. Mari kita selesaikan sistemnya:

Untuk menyelesaikan sistem, metode penambahan persamaan termwise digunakan. Untuk mengembangkan keterampilan yang relevan, kunjungi pelajaran Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan?

Menjawab:

Verifikasinya sepele - koordinat titik persimpangan harus memenuhi setiap persamaan sistem.

Contoh 5

Temukan titik potong garis jika mereka berpotongan.

Ini adalah contoh do-it-yourself. Lebih mudah untuk membagi masalah menjadi beberapa tahap. Analisis kondisi menunjukkan bahwa perlu: 1) Tulis persamaan garis lurus. 2) Tulis persamaan garis lurus. 3) Cari tahu posisi relatif dari garis.

4) Jika garis-garis tersebut berpotongan, maka tentukan titik potongnya.