Soal 3 Nyatakanlah hubungan antara dua besaran berikut ini menggunakan pertidaksamaan. 1 Total banyaknya a wanita dan b pria kurang dari 30. 2 Total uang untuk membeli a pensil seharga 4.000 rupiah per batang dan 1 buku catatan seharga 1.800 rupiah tidak lebih dari 50.000 rupiah. 3 Sebuah pita kertas sepanjang x cm dibagi sama panjang menjadi 5 bagian. Panjang sepotong pita tidak kurang dari 2 m. 4 Dari a pengunjung, 25 orang pulang ke rumah, yang tinggal tidak kurang dari 10 orang. Besaran-Besaran yang Disajikan dengan Persamaan dan Pertidaksamaan Contoh 3 Terdapat dua wadah A dan wadah B. Wadah AA B BAB 3 | Persamaan Linear A memuat x l cairan, wadah B memuat y l. yl Soal 4 Pertidaksamaannya adalah xl xl Soal 5 2x > y Diskusi menyatakan bahwa volume (isi) dua wadah cairan dari wadah A lebih banyak dibandingkan satu wadah B. Harga karcis masuk Taman Mini Indonesia Taman Mini Indonesia Indah (TMII), Jakarta Indah adalah x rupiah untuk dewasa Sumber: Dokumen Puskurbuk dan y rupiah untuk siswa SMP. Jelaskan hubungan antara dua besaran dalam bentuk persamaan dan pertidaksamaan berikut ini. 1 2x + y = 1.250 2 3x > 5y Suatu persegi panjang mempunyai panjang b cm a cm dan lebar b cm. Jelaskan hubungan antara dua besaran berikut ini. 1 a>b 2 ab = 48 a cm 3 2(a + b) ≤ 32 Bab 3 Persamaan Linear 952 Persamaan Tujuan Memahami kebenaran kalimat matematika persamaan ketika huruf disubstitusi dengan bilangan. Kita dapat menyatakan hubungan antara sisi kiri dan kanan timbangan di 1 (4) di halaman 91 dengan persamaan (3x + 2) = (x +10) . Substitusikan bilangan bulat dari 1 sampai 5 ke sisi kiri Berpikir Matematis dan kanan untuk melihat apakah persamaan berlaku. Langkah selanjutnya adalah Mencari bilangan-bilangan yang menghitung berat satu permen. jika disubstitusikan pada huruf akan membuat persamaan benar (berlaku). x 3x + 2 Tanda Penghubung x + 10 1 3 × 1 + 2 = 5 < 1 + 10 = 11 2 3 4 5 Pada persamaan 3x + 2 = x +10 , jika nilai x adalah 4, maka nilai di sebelah kiri sama dengan nilai di sebelah kanan. Jadi, kedua sisi sama dan persamaan berlaku (bernilai benar). Persamaan tidak berlaku untuk nilai-nilai selain 4. Persamaan yang berlaku atau tidak berlaku bergantung Jadi, artinya berat pada nilai x disebut persamaan dalam x. satu permen Nilai x yang membuat persamaan berlaku disebut adalah 4 gram. penyelesaian persamaan. Penyelesaian persamaan 3x + 2 = x + 10 adalah 4. Contoh 1 Manakah di antara 1, 2, dan 3 yang merupakan penyelesaian persamaan 2x + 5 = 11 ? Penyelesaian Dengan mensubstitusikan 1, 2, dan 3 berturut-turut pada x pada persamaan, maka sisi kiri persamaan adalah sebagai berikut. Jika x = 1, maka 2 × 1 + 5 = 7 Jika x = 2 maka 2 × 2 + 5 = 9 Jika x = 3 maka 2 × 3 + 5 = 11 Dari hasil hitungan di atas, ketika x = 3, maka persamaan bernilai benar.Jawab x = 3 9 6 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIISoal 1 Manakah di antara 3, 4, dan 5 yang merupakan penyelesaian persamaan berikut ini? 1 2x – 3 = 7 2 x + 2 = 10 – x Soal 2 Manakah persamaan berikut ini yang penyelesaiannya 2? Kemudian, mana yang penyelesaiannya -2? a 3x + 2 = 8 b x–5=3 c -2x = 4 d 2x – 3 = x – 1 Dewi berpendapat bahwa 2x + 3x = 5x Saya Bertanya bukan persamaan. Diskusikan apakah pendapat Dewi benar. Apakah pertidaksamaan juga memiliki Mari Mencoba penyelesaian? Hlm.120 Kita menemukan penyelesaian persamaan Apakah kita harus selalu BAB 3 | Persamaan Linear dengan cara mensubstitusikan berbagai bilangan pada huruf. mensubstitusikan bilangan untuk mendapatkan penyelesaian? Hlm.98 Cermati Asal Mula istilah “Fang Cheng (Persamaan)” Istilah “Fang Cheng (persamaan)” muncul di Jilid 8 teks Matematika Kuno berjudul Sembilan Bab dalam Seni Matematis yang disusun kira-kira pada abad Pertama pada Penanggalan Cina. Dalam buku tersebut, persamaan diselesaikan dengan mengubah susunan ‘tali hitung’ dalam ‘papan Perkembangan matematika di China hitungan’. Dalam papan hitungan, Sumber: serbaserbimatematika hanya bilangan dan koefisien yang ditampilkan, tidak menyajikan simbol operasi ataupun huruf. Salah satu interpretasi dari “Fang Cheng” adalah bilangan pada kotak-kotak dan manipulasi tertentu pada tali-tali. Bab 3 Persamaan Linear 973 Sifat-Sifat Persamaan Tujuan Memahami bagaimana menyelesaikan persamaan tanpa mensubstitusi bilangan ke dalam huruf. Berdasarkan timbangan di 1 (4) halaman 91, berat di sisi kiri (3x + 2) gram dan berat di sisi kanan adalah (x + 10) gram. Operasi apa yang dilakukan agar kita dapat mengurangi salah satu sisi menjadi satu permen saja dan tetap menjaga timbangan seimbang (sama beratnya)? 1 Pada timbangan, Ambil 2 uang logam 3x + 2 = x + 10 keseimbangan dan satu permen dari dapat dijaga dengan kedua sisi. Kurangi x dan 2 dari mengeluarkan barang kedua sisi. yang sama dari kedua sisi, dan seterusnya. Kedua sisi dibagi dua. 3x + 2 – x – 2 = x + 10 – x – 2 Proses tersebut disajikan 2x = 8 dalam gambar di samping ini. Kedua sisi dibagi 2. 2x : 2 = 8 : 2 x =4 Kita dapat melihat dari paparan di atas bahwa berat satu permen adalah 4 gram. Kita juga dapat melihat bahwa kita dapat mengubah persamaan dalam bentuk “x = (bilangan)”, sehingga penyelesaian dapat ditemukan. Pada timbangan yang seimbang, jika dilakukan berikut ini, maka timbangan tetap seimbang. Letakkan benda dengan berat Tiga kali lipat berat di yang sama pada kedua sisi. kedua sisi. Ambil benda dengan Ambil 1 dari berat di berat yang sama dari kedua sisi. 3 98 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII kedua sisi.Sepertinya halnya timbangan, persamaan memiliki sifat-sifat berikut ini. Penting Sifat-Sifat Persamaan 1 Jika m ditambahkan ke kedua sisi, maka persamaan tetap berlaku. Jika A = B, maka A + m = B + m 2 Jika m dikurangkan dari kedua sisi, maka persamaan tetap berlaku. Jika A = B, maka A – m = B – m 3 Jika m dikalikan ke kedua sisi, maka persamaan tetap berlaku. Jika A = B, maka A × m = B × m 4 Jika m kedua sisi dibagi m, m ≠ 0, maka persamaan tetap berlaku. Jika A = B, maka A = B BAB 3 | Persamaan Linear m m Catatan m ≠ 0, artinya m tidak sama dengan nol. Jika kedua sisi ditukar tempat, maka persamaan tetap berlaku. Jika A = B, maka B = A Menyelesaikan Persamaan Menggunakan Sifat-Sifat Persamaan Contoh 1 x + 6 = -2 x + 6 – 6 = -2 – 6 Kurangkan 6 dari kedua sisi x = -8 Persamaan x = -8 yang diperoleh di Contoh 1 menyatakan bahwa penyelesaian persamaan x + 6 = -2 adalah -8. Soal 1 Pada Contoh 1, periksa apakah -8 adalah penyelesaian dengan substitusi x dengan -8 pada persamaan awal. Soal 2 Selesaikan persamaan x – 3 = 4 dengan mengisi dengan bilangan yang sesuai. Menambahkan ke kedua sisi x–3= 4 x–3+ = 4+ Jawab x = x= Bab 3 Persamaan Linear 99Soal 3 Selesaikanlah. 2 x + 7 = -2 3 x–6=3 4 x – 2 = -8 Contoh 2 1 x + 4 = 10 Soal 4 1 6x = 24 2 1 x = –3 Soal 5 2 Bagi kedua sisi dengan 6, Kalikan kedua sisi dengan 2, 6x = 24 1 x × 2 = (-3) × 2 6 6 2 x = -6 x=4 Selesaikanlah. 1 4x = 32 2 –3x = 18 3 –x = –10 4 8x = 4 5 1 x = 5 6 1 x = -6 3 5 7 - 1 x = -8 8 x = -1 Cobalah 2 7 Hal. 107 Pengayaan 4 -1 Berdasarkan apa yang telah kamu pelajari selama ini, buatlah persamaan yang penyelesaiannya 8. Dengan menggunakan sifat-sifat Adakah cara lebih mudah untuk persamaan, sekarang kita dapat menyelesaikan persamaan? menyelesaikan persamaan. Hal.101 Cermati Pandangan terhadap Sifat-Sifat Persamaan Sifat kedua dari persamaan, yaitu mengurangkan m dari kedua sisi, dapat juga dipandang sebagai penambahan -m pada kedua sisi. A – m = B – m → A + (-m) = B + (-m) Demikian juga dengan sifat keempat, yaitu pembagian. Membagi kedua sisi dengan m (m ≠ 0) kedua sisi dengan 1 . Sama dengan mengalikan m A mA= BB o AAu×m1m1 B=uBm1× 1 m mm m Dengan memandang sifat-sifat di atas, maka sifat (1) dan (2) merupakan satu sifat. Demikian juga (3) dan (4). 10 0 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII4 Bagaimana Menyelesaikan Persamaan Tujuan Mampu menyelesaikan persamaan dengan cara yang lebih mudah. [ Aktivitas Matematis] Penemuan Sifat-sifat persamaan yang mana yang digunakan pada kedua persamaan berikut ini? a x–9=3 1 b 2x = 6 + x 1 2x –x = 6 + x – x 2 x–9+9=3+9 2x – x = 6 BAB 3 | Persamaan Linear x=3+9 2 x=6 x = 12 1 Ketika membandingkan (1) dan (2) di a , Wida mengamati berikut ini. Pada 1 , sisi kiri memiliki suku -9. Ketika ditambahkan 9 ke kedua sisi, maka -9 pada sisi kiri akan hilang. Sedangkan di 2 , 9 muncul di sisi kanan. Untuk b , apa yang kamu amati ketika membandingkan 1 dan 2 ? 2 Pada a dan b , bagaimana kita mendapatkan 2 langsung dari 1 ? Jelaskan menggunakan pemahamanmu di 1 . a x–9=3 1 b 2x = 6 + x 1 x=3+9 2 2x – x = 6 2 3 Selesaikan setiap persamaan menggunakan cara yang kamu pelajari di 1 dan 2 . 1 x + 7 = -3 2 -2x = 8 – 3x Bab 3 Persamaan Linear 101Kita belajar dari halaman sebelumnya, bahwa dalam persamaan kita dapat memindahkan suku-suku dari satu sisi ke sisi yang lain. Hal ini disebut mentranspos atau memindahkan suku-suku. x–9=3 2x = 6 + x memindahkan suku memindahkan suku x=3+9 2x – x = 6 Ingat, ketika sebuah suku berpindah sisi, tanda yang ada di depannya berubah menjadi kebalikannya. Menyelesaikan Persamaan Menggunakan Ide Memindahkan Suku-Suku Contoh 1 3x + 5 = -4 3x + 5 = -4 3x = -4 – 5 Pindahkan 5 dari sisi kiri ke sisi kanan, 3x = -4 – 5 3x = -9 x = -3 Soal 1 Pada Contoh 1, periksa apakah -3 merupakan penyelesaian dengan Contoh 2 substitusi x = -3. 5x = -2x + 14 5x = -2x + 14 5x + 2x = 14 Pindahkan -2x dari sisi kanan ke sisi kiri, 5x + 2x = 14 7x = 14 x=2 Dalam memindahkan suku-suku untuk menyelesaikan persamaan, letakkan semua suku-suku huruf ke sisi kiri dan semua suku-suku bilangan ke sisi kanan. Soal 2 Selesaikanlah. 2 4x – 5 = -13 1 2x + 1 = 9 4 2x = 3x – 8 3 3x = -2x – 15 102 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIIContoh 3 Selesaikan 8x – 3 = 5 + 6x. Penyelesaian 8x – 3 = 5 + 6x Untuk mempermudah 8x – 3 = 5 + 6x Pindahkan -3 dan 6x memantau proses 8x – 6x = 5 + 3 penyelesaian, 8x – 6x = 5 + 3 samakan posisi tanda 2x = 8 “=” x=4 Jawab : x = 4 Soal 3 Selesaikanlah. 2 7x – 3 = 5x + 7 Cobalah BAB 3 | Persamaan Linear 1 6x – 12 = 3x 4 3 + 7x = 4x – 6 3 5x + 15 = -2x + 1 6 3x + 2 = x + 4 Hlm.107 5 8 + 2x = 3x – 1 Pengayaan 4 -2 Persamaan dengan Tanda Kurung Contoh 4 Selesaikanlah 5x – 2(x – 3) = 3. Cara Hapus tanda kurung dengan menerapkan sifat distributif. Penyelesaian 5x – 2(x – 3) = 3 Hati-hati dengan tanda 5x – 2x + 6 = 3 ketika mengalikan Pindahkan 6 ke sisi kanan. dengan bilangan negatif 5x – 2x = 3 – 6 menggunakan sifat 3x = –3 distributif. x = –1 Jawab : x = -1 Soal 4 Selesaikanlah. 2 4x – 7(x + 2) = -5 Cobalah 1 2(x – 5) + 1 = 7 4 3(x – 8) = -6(x + 4) 3 -2(x + 3) = 5x + 8 Hlm.107 Pengayaan 4 -3 Bab 3 Persamaan Linear 103Persamaan dengan Desimal dan Pecahan Contoh 5 Selesaikanlah 2,3x = 0,5x + 9. Ubahlah koefisien persamaan di atas menjadi bilangan bulat dengan Cara mengalikan kedua sisi dengan 10. Penyelesaian 2,3x = 0,5x + 9 Kalikan kedua sisi dengan 10, diperoleh Ubah koefisien menjadi bilangan bulat 2,3x × 10 = (0,5x + 9) × 10 Ubah ruas sebelah kiri dan sebelah kanan 23x = 5x + 90 23x – 5x = 90 Tuliskan ke dalam bentuk ax = b 18x = 90 Bagilah kedua sisi dengan koefisien x x=5 Jawab : x = 5 Ketika persamaan memuat pecahan, maka dapat juga diselesaikan dengan mengalikan kedua sisi dengan faktor pengali bersama dari penyebut- penyebutnya. Tujuannya adalah mengubahnya menjadi kalimat matematika tanpa pecahan. Soal 5 Selesaikanlah. 2 0,25x = 0,2x – 0,1 Cobalah Contoh 6 1 0,4x + 2 = 0,3x Cara Hlm.107 Pengayaan 4 -4 Selesaikanlah 5 x–2= 1 x Ulasan 6 3 Pengali bersama antara a dan b Ubahlah koefisiennya menjadi bilangan bulat disebut faktor pengali bersama dengan mengalikan kedua sisi dengan 6. antara a dan b Kelas VI - I Hlm. 7 5 x– 2= 1 x 6 3 Kalikan kedua sisi dengan 6, diperoleh x–[ [ [ [52×6= 1 ×6 Ubah koefisien menjadi bilangan bulat 6 3x Ubah ruas sebelah kiri dan sebelah kanan 5x – 12 = 2x Tuliskan dalam bentuk ax = b Bagilah kedua sisi dengan koefisien x 5x – 2x = 12 3x = 12 Jawab : x = 4 x=4 104 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIIMengalikan kedua sisi persamaan dengan faktor pengali bersama dari penyebut-penyebutnya yang bertujuan mengubah menjadi persamaan tanpa pecahan disebut pembatalan penyebut pecahan. Soal 6 Selesaikanlah. 1 1 x= 2 x – 1 2 2 x– 1 = 5 x+2 2 5 3 2 6 Cobalah 3 x –3 = - 4 4 x+2 = x–3 2 6 4 Hlm.107 Pengayaan 4 -5 Soal 7 Mia menyelesaikan persamaan Benarkah? 2 x = 1 x –7 dengan cara 2 x = 1 x – 7 3 2 3 2 yang ditunjukkan di samping BAB 3 | Persamaan Linear Kalikan masing-masing ruas dengan 6, ini. Apakah benar? Koreksilah diperoleh 4x = 3x – 7 kesalahan yang kamu temukan. x = -7 Jawab : x = -7 PENTING Langkah-Langkah Penyelesaian Persamaan 1 Hapus tanda kurung dan hilangkan penyebut jika diperlukan. 2 Pindahkan suku-suku huruf ke sisi kiri dan suku-suku bilangan ke sisi kanan. 3 Ubahlah persamaan ke dalam bentuk ax = b, (a 0) 4 Bagi kedua sisi persamaan dengan a (koefisien x). Untuk semua persamaan dalam x yang telah kita selesaikan dengan cara mengubah semua suku-suku sisi kiri, maka diperoleh ax + b = 0, (a ≠ 0) dimana sisi kiri adalah bentuk aljabar linear dalam x. Saya Bertanya Persamaan tersebut dinamakan persamaan linear. Apakah kita mempunyai persamaan dalam x kuadrat? Hlm.106 Untuk setiap persamaan linear, kita dapat Di mana kita dapat menggunakan menentukan penyelesaiannya dengan mengubah persamaan ke bentuk ax = b. persamaan linear? Hlm.108, 113 Bab 3 Persamaan Linear 105Mari Kita Periksa 1 Persamaan 1 Nyatakanlah hubungan antara dua besaran berikut menggunakan persamaan dan pertidaksamaan. Persamaan dan 1 Jika 3 potong tali sepanjang x cm diperoleh dengan memotong seutas Pertidaksamaan [Hlm.93] Contoh 1 tali yang panjangnya 80 cm terdapat sisa 5 cm. [Hlm.94] Contoh 2 2 Berat total 7 kotak masing-masing seberat a kg lebih berat dari 40 kg. 3 Harga x onde-onde masing-masing seharga 1.200 rupiah dan satu kotak susu seharga 2.000 rupiah adalah sama dengan harga y kue pukis yang setiap potong harganya 1.600 rupiah. 4 Jarak yang ditempuh dengan berjalan selama x jam dengan kecepatan 4 km per jam adalah sama atau kurang dari 20 km. 2 Manakah di antara persamaan-persamaan berikut ini yang mempunyai Persamaan penyelesaian 3? [Hlm.97] Soal 2 a x – 7 = 10 b 4x = 12 c 3x + 1 = 9 3 Selesaikan dengan menggunakan sifat-sifat persaman dan pertidaksamaan. Sifat-Sifat Persamaan 1 x – 4 = -1 2 x + 5 = –2 [Hlm.99] Contoh 1, 3 7x = -42 Soal 2 4 1 x= 9 [Hlm.100] Contoh 2 3 4 Selesaikanlah. Menyelesaikan 1 2x – 3 = 5 2 3x = 5x – 12 Persamaan [Hlm.102] Contoh 1, 3 6x – 17 = -3x + 10 4 4x + 12 = 7 – x Contoh 2 [Hlm.103] Contoh 3, 5 5 – 4x = 2x – 1 6 3(x – 5) = -6 Contoh 4 Cermati Tingkatkan Apakah Kita Mempunyai Persamaan dalam x Kuadrat? Persamaan dalam x yang dapat dinyatakan sebagai ax + b = 0, (a 0) setelah kita mengubah semua suku ke sisi kiri disebut persamaan linear. Secara umum, persamaan dalam x yang dapat dinyatakan sebagai ax2 + bx + c = 0 (a 0) setelah kita mengubah semua suku ke sisi kiri disebut persamaan kuadrat. Contoh (1) x2 + 2x + 1 (2) 4x2 – 9 = 0 10 6 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIIPengayaan 4 Persamaan Marilah kita terapkan apa yang telah kita pelajari untuk berlatih dan belajar mandiri. Selesaikanlah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini. 1 Sifat-Sifat Persamaan 11 7x – 2 = 4x – 16 1 x+5=9 12 x + 5 = 4x + 7 13 5 – 4x = 1 – 2x 2 x–8=3 14 2 – 5x = 3x – 10 3 x + 1 = -7 4 x – 6 = -5 5 8x = 48 3 Persamaan dengan Tanda Kurung BAB 3 | Persamaan Linear 1 3(x + 6) = x + 2 6 -2x = 18 2 6x – (2x – 9) = 11 3 9x – 2(3x + 5) = 2 7 -9x = -63 4 7(x – 2) = 4(x – 5) 8 12x = 20 4 Persamaan dengan Koefisien Desimal 9 1 x = 5 1 0,4x + 0,2 = -1,8 2 2 0,7x –1 = 0,3x + 2 3 0,13x = 0,07x – 0,3 10 x = -2 4 0,75x – 2 = 0,5x 3 2 Persamaan dengan Koefisien Bulat 5 Persamaan dengan Koefisien Pecahan 1 4x – 5 = 7 2 3x + 7 = 4 1 2x – 1 = x 3 -x + 8 = 2 2 4 5 – 7x = -16 1 1 1 5 10x = 8x – 6 2 2 x– 3 = 3 x+3 6 -2x = 10 + 3x 7 5x + 21 = 2x 3 x – 8 = –5 8 6x – 4 = x 3 9 3x – 5 = x + 7 10 8x – 2 = 5x + 1 4 x+5 = 3x – 1 6 3 Jawaban di Hal.286 Bab 3 Persamaan Linear 1072 Penerapan Persamaan Linear 1 Menggunakan Persamaan Linear Tujuan Memahami situasi dengan menggunakan persamaan linear. Diketahui harga 2 pulpen dan 3 buku catatan adalah 7.100 rupiah. Harga setiap pulpen adalah 1.300 rupiah. Berapa harga 1 buku catatan? Kita dapat menyelesaikan soal di atas dengan menggunakan persamaan. 1 Cari hubungan antara besaran-besaran dalam soal dan nyatakan menggunakan diagram, gambar, atau tabel serta persamaan dengan kata-kata. 2 pulpen dan 3 buku catatan Harga dua pulpen Harga 3 Buku Catatan Total Harga 7.100 rupiah 7.100 rupiah Berdasarkan gambar di atas kita peroleh, harga 2 pulpen ditambah harga 3 buku catatan sama dengan 7.100 rupiah 2 Perlu diperjelas besaran yang diketahui dan yang tidak diketahui. Gunakan huruf untuk menyatakan besaran yang tidak diketahui. Besaran yang diketahui: 1.300 rupiah untuk 1 pulpen, 2 pulpen seharga 2.600 rupiah. Besaran yang tidak diketahui: harga satu buku catatan. Jika harga satu buku catatan adalah x rupiah, maka diperoleh 2 × 1.300 + 3x = 7.100 3 Selesaikan persamaan. Menyelesaikan persamaan di atas diperoleh x = 1.500. 4 Periksa kembali penyelesaian persamaan yang merupakan penyelesaian dari soal yang diberikan. Jika harga satu buku catatan adalah 1.500 rupiah, maka 2.600 + 3 × 1.500 = 7.100, maka penyelesaian x = 1.500 (menjawab soal yang diberikan). Jadi, harga satu buku catatan adalah 1.500 rupiah. 108 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIISoal 1 Diketahui total harga dari 4 potong kue yang harga sepotongnya 2.400 rupiah Contoh 1 dan beberapa puding yang harga satuannya 900 rupiah adalah 15.000 rupiah. Untuk menentukan berapa banyak puding yang dibeli, kita gunakan cara sebelumnya. 1 Nyatakanlah hubungan antara dua besaran dengan menggunakan diagram dan persamaan dengan kata-kata. [gambar] [Kalimat matematika dengan persamaan bentuk aljabar] 2 Gunakan huruf untuk menyatakan besaran yang Menyatakan informasi tidak diketahui. Susunlah kalimat matematika dalam diagram akan menggunakan kata-kata di (1). membuat hubungan antar besaran mudah 3 Selesaikan persamaan yang disusun di (2). dipahami. 4 Periksa apakah penyelesaian persamaan BAB 3 | Persamaan Linear merupakan penyelesaian dari masalah yang diberikan. Sebuah kandang kelinci dibuat dari pagar persegi panjang seperti terlihat pada gambar di samping ini. Dengan menggunakan pagar kawat sepanjang 24 m, berapa panjang pagar samping agar panjang pagar depan lebih panjang 3 m dibandingkan pagar samping. Cara Kita dapat menyatakan hubungan antara panjang keseluruhan dan panjang tiga sisi pagar dengan diagram di bawah ini. pagar pagar pagar Pagar depan pagar samping samping samping Panjang total samping Pagar depan Diagram di atas dinyatakan dalam kalimat: 2 kali sisi samping tambah sisi depan sama dengan panjang total Jika kita misalkan panjang sisi samping adalah x m, maka panjang sisi depan adalah (x + 3). Kita dapat membentuk persamaan dan menyelesaikannya menggunakan hubungan antara besaran-besaran. Penyelesaian Misalkan x adalah panjang sisi samping pagar 2x + (x + 3) = 24 3x = 21 x= 7 Panjang sisi samping pagar adalah 7 m yang merupakan jawaban dari soal Jawab : 7 m Bab 3 Persamaan Linear 109Soal 2 Dua orang kakak beradik membagi 150 m pita untuk mereka berdua. Pita Contoh 2 untuk kakak lebih panjang dari pita adik. Selisih panjangnya adalah 30 cm. Berapakah panjang pita adik? Kelas VII pergi untuk memanen buah kacang kastanye. Hasil panen dibagi pada siswa. Ketika setiap siswa mengambil 9 butir, kelas VII kekurangan 3 butir. Jika setiap orang mengambil 8 butir, maka tersisa 4 butir. Hitunglah banyaknya siswa dan banyaknya kastanye yang dipanen. Cara Terdapat dua cara menyatakan banyaknya kastanye yang dikumpulkan. a Jika setiap orang mengambil 9 butir, Banyaknya kastanye Kurang kelas VII kekurangan 3 butir. Jadi, 9 × (banyaknya siswa) 3 banyaknya kastanye adalah [9 × (banyaknya siswa) -3]. b Jika setiap siswa mengambil 8 Banyaknya kastanye 4 butir, maka tersisa 4 butir. Jadi, 8 × (banyaknya siswa) Lebih banyaknya kastanye adalah [8 × (banyaknya siswa) + 4]. Kita dapat membuat persamaan dan menyelesaikannya menggunakan hubungan di atas. Penyelesaian Misalkan banyaknya siswa adalah x 9x – 3 = 8x + 4 9x – 8x = 4 + 3 x=7 Banyaknya kastanye adalah 9 × 7 – 3 = 60. Penyelesaian dari soal yang diberikan: banyaknya siswa di kelas adalah 7, dan banyaknya kastanye adalah 60. Jawaban : 7 siswa di kelas dan 60 kastanye. Soal 3 Pada Contoh 2, periksalah apakah banyaknya kacang kastanye adalah 60. Caranya adalah dengan mensubstitusi x = 7 ke dalam 8x + 4. Soal 4 Ketika saya mencoba membeli 7 nasi bungkus, saya kurang 800 rupiah. Jika saya hanya membeli 6 bungkus, saya masih mempunyai sisa 1.300 rupiah. Tentukan harga sebungkus nasi. Berapa uang yang saya miliki mula-mula? Mari Mencoba Pada Contoh 2, kita harus menemukan nilai dua besaran. Jika banyaknya kacang adalah x, buatlah persamaannya. 110 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIIContoh 3 Seorang adik perempuan berjalan dari rumah ke stasiun yang jaraknya 1 km. Setelah 9 menit pergi, kakaknya menyadari bahwa adiknya ketinggalan sesuatu dan bermaksud menyusulnya dengan naik sepeda. Jika adiknya berjalan dengan kecepatan 60 m per menit dan kakaknya naik sepeda dengan kecepatan 240 m per menit, berapa lama kakak dapat menyusul dan bertemu adiknya? Cara Hubungan antara besaran-besaran disajikan dalam diagram di bawah ini. Adik 60 m per menit jarak yang ditempuh setelah kakak Stasiun Rumah meninggalkan rumah jarak yang ditempuh dalam 9 menit Kakak 240 m per menit Jarak yang ditempuh untuk BAB 3 | Persamaan Linear menyusul adiknya Titik Susul Berdasarkan diagram di atas, ketika kakak menyusul dan bertemu adiknya, maka berlaku persamaan jarak yang ditempuh adik sama dengan jarak yang ditempuh kakak Jika kakak menyusul dan bertemu adik x menit setelah dia meninggalkan rumah, maka kita dapat menyatakan hubungan antara jarak, kecepatan, waktu tempuh pada tabel di bawah ini. Ulasan s adalah jarak v adalah kecepatan Adik Kakak s = v × t dengan: t adalah waktu 240 Kecepatan (m/menit) 60 Kelas VI - I Hlm. 86 Waktu tempuh (menit) x+9 x Adik meninggalkan rumah 9 Jarak (m) 60(x + 9) 240x menit sebelum kakak. Penyelesaian Jika kakak menyusul dan bertemu adik x menit setelah meninggalkan rumah, maka 60(x + 9) = 240x 60x + 540 = 240x 60x – 240x = -540 -180x = -540 x=3 Jika disubstitusikan x = 3 ke dalam persamaan dan keduanya menjadi 720 m kurang dari 1 km. Jadi, kakak dapat menyusul adik 3 menit setelah meninggalkan rumah merupakan penyelesaian dari soal yang diberikan. Jawaban : setelah 3 menit Bab 3 Persamaan Linear 111Soal 5 Berdasarkan Contoh 3 pada halaman sebelumnya, dapatkah penyelesaian Diskusi persamaan dipakai juga ketika jarak dari rumah ke stasiun adalah 600 m? Jelaskan. Sumber: Dokumen Puskurbuk Ketika menggunakan persamaan untuk menyelesaikan soal pada suatu situasi, kadang penyelesaian persamaan tidak dapat menyelesaikan masalah sebenarnya. Oleh karena itu, kita perlu memeriksa apakah penyelesaian yang diperoleh benar-benar menjawab soal. Soal 6 Sebuah truk meninggalkan titik A di jalan tol. Satu jam kemudian sebuah mobil penumpang berangkat dari titik A. Jika kecepatan truk adalah 60 km per jam dan mobil penumpang melaju dengan kecepatan 100 km per jam, berapa lama mobil penumpang dapat menyusul truk? Sumber: Dokumen Puskurbuk Langkah-langkah penyelesaian soal menggunakan persamaan dirangkum di bawah ini. PENTING Langkah-Langkah Penyelesaian Soal Menggunakan Persamaan 1 Tentukan hubungan antara besaran-besaran Biasanya besaran dalam soal. Nyatakanlah menggunakan diagram, yang tidak diketahui tabel, dan persamaan dalam kata-kata. dinyatakan dengan x. 2 Tentukan mana besaran yang diketahui, yang tidak diketahui, dan tetapkan persamaan menggunakan huruf. 3 Selesaikan persamaan. 4 Periksa apakah penyelesaian persamaan menyelesaikan soal sebenarnya. 112 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII2 Perbandingan Tujuan Memahami hubungan rasio menggunakan persamaan linear. Perbandingan Di hari Minggu ibu membuat pempek Sumber: Dokumen Puskurbuk BAB 3 | Persamaan Linear menggunakan 300 gram tepung tapioka dan 90 gram ikan giling. 1 Nyatakanlah rasio banyaknya tepung tapioka dan ikan giling. Gunakanlah bilangan bulat terkecil yang sedekat mungkin. 2 Berapa kali banyaknya ikan giling dibandingkan dengan tepung tapioka? Pada rasio a : b, hasil bagi a , yaitu a dibagi b disebut nilai rasio. Nilai rasio b menyatakan berapa kali b sama dengan a. Sebagai contoh pada , nilai rasio 300 : 90 adalah 300 = 10 90 3 Berdasarkan hal tersebut di atas, kita dapat menentukan banyaknya tepung tapioka yang diperlukan adalah 10 kali ikan giling. 3 Terdapat dua rasio, yaitu a : b dan c : d. Jika nilai rasionya sama, kita katakan bahwa dua rasio tersebut sama, dan dinyatakan sebagai a:b=c:d Hubungan yang menunjukkan rasio-rasio sama disebut perbandingan atau proporsi. Soal 1 Tentukan nilai rasio berikut ini. Carilah rasio-rasio yang sama dan nyatakan sebagai perbandingan. 1 3:4 2 7:5 3 15 : 20 4 6:2 Bab 3 Persamaan Linear 113Menyelesaikan Soal Perbandingan Contoh 1 Hitunglah nilai x pada perbandingan x : 3 = 4 : 5. Cara Tentukan nilai x dengan menggunakan fakta bahwa nilai-nilai rasio kedua sisi adalah sama. Penyelesaian x:3=4:5 Karena nilai rasio kedua sisi x 4 adalah sama, maka 3 = 5 Kalikan kedua sisi dengan 3, 12 5 dan diperoleh x = 12 Jawab : x = 5 Menentukan nilai suatu variabel pada perbandingan disebut menyelesaikan perbandingan. Soal 2 Selesaikanlah perbandingan berikut ini. 1 x:9=4:3 2 8:5=x:6 Perbandingan dari x : 3 = 4 : 5 dari contoh 1 dapat diselesaikan sebagai berikut. Karena nilai rasio pada x:3=4:5 dua sisi sama, x = 4 Kalikan kedua sisi dengan penyebut, 3 5 yaitu 3 dan 5, kita peroleh x × 3 × 5 = 4 ×3×5 3 5 5x = 12 x= 12 5 Dalam hal ini, pernyataan 5x = 12 dari contoh (1), 5x pada sisi kiri merupakan hasil kali dua bilangan luar pada perbandingan, x dan 5. Bilangan 12 pada sisi kanan merupakan hasil kali bilangan-bilangan dalam dari perbandingan, 3 dan 4. Soal 3 Untuk perbandingan pada Soal 2, periksa apakah hasil kali dua bilangan luar dan hasil kali dua bilangan dalam adalah sama. 114 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIISecara umum, perbandingan mempunyai sifat ad berikut ini. a : b = c:d Jika a : b = c : d, maka ad = bc bc Contoh 2 Dengan menggunakan 8 : 6 = 20 : x ad = bc Soal 4 Sifat-sifat perbandingan 8x = 6 × 20 8x 8 : 6 = 20 : x x = 6 × 20 8 6 × 20 x = 15 Selesaikanlah dengan menggunakan sifat-sifat perbandingan. BAB 3 | Persamaan Linear 1 6 : 10 = 9 : x 2 x:4=7:8 4 5 : 8 = (x – 2) : 16 3 1 : x = 2 :9 3 Penerapan Perbandingan Contoh 3 Kopi susu dibuat dengan mencampur 160 ml susu dengan 120 ml kopi. Berapa Sumber: Dokumen Puskurbuk ml susu harus ditambahkan pada 180 ml kopi untuk membuat kopi susu dengan komposisi yang sama? Cara Kopi susu yang akan dibuat harus memiliki komposisi susu dan kopi yang sama dengan yang telah dibuat sebelumnya. Nyatakanlah hubungan antara kopi susu yang sudah dibuat dengan kopi susu yang akan dibuat sebagai perbandingan. Penyelesaian Jika banyaknya susu yang harus ditambahkan adalah x ml, 120 : 160 = 180 : x 120x = 160 × 180 x = 240 Jadi, banyaknya susu yang harus ditambahkan ke 180 ml kopi adalah 240 ml. Jawab : 240 ml Soal 5 Pada Contoh 3, berapa banyaknya kopi yang harus ditambahkan pada 200 ml susu untuk membuat kopi susu dengan komposisi yang sama? Bab 3 Persamaan Linear 115Soal 6 Sebuah tiang setinggi 2 m memiliki 2m 10 m bayangan yang panjangnya 3 m. Berapa 3m ? panjang bayangan pohon yang tingginya 10 m pada saat yang sama? Jawablah sampai satu tempat desimal. Soal 7 Pada peta dengan skala 1 : 100.000, A jarak antara titik A ke B adalah 3 cm. Berapakah jarak sebenarnya dari B A ke B? skala 1 : 100.000 Mari Kita Periksa 2 Penerapan Persamaan Linear 1 Harga total pembelian gabungan perangko 52 yen dan 82 yen adalah 700 yen. Menggunakan Persamaan Linear 1 Nyatakanlah banyaknya perangko 82 yen yang dibeli dalam x, jika x [Hlm.109] Contoh 1 adalah banyaknya perangko 52 yen yang dibeli. 2 Berapakah banyaknya masing-masing perangko yang dibeli? Buatlah persamaan menggunakan hubungan antara harga masing-masing perangko untuk menentukan penyelesaiannya. 2 Kertas lipat dibagikan pada sejumlah siswa. Jika setiap siswa menerima 2 lembar, maka tersisa Menggunakan 8 lembar. Jika setiap siswa menerima 3 lembar, Persamaan Linear maka kurang 4 lembar. Tentukan banyaknya [Hlm.110] Contoh 2 siswa dan berapa lembar kertas lipatnya. 3 Selesaikan perbandingan x : 8 = 7 : 12. Sumber: Dokumen Puskurbuk Penerapan Rasio antara lebar dan panjang sebuah persegi panjang adalah 3 : 5. Jika Perbandingan lebarnya 120 m, berapakah panjangnya? [Hlm.115] Contoh 2 4 Penerapan Perbandingan [Hlm.115] Contoh 3 116 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIIBAB 3 Soal Ringkasan Jawaban hlm. 287, 288 Gagasan Utama BAB 3 | Persamaan Linear 1 Nyatakanlah dengan menggunakan persamaan dan pertidaksamaan. 1 Harga total 10 apel yang harga satuannya x rupiah dan satu keranjang seharga 2.000 rupiah adalah 13.000 rupiah. 2 Sebuah bilangan kurang 3 dari dua kali x adalah lebih besar dari suatu bilangan yang lebih lima dari .x. 2 Persamaan 3x – 5 = 7 diselesaikan di bawah ini. Sifat apa yang digunakan dalam operasi-operasi di (1) dan (2) di bagian kiri? Pilihlah dari (a) – (d). 3x – 5 =7 1 a Jika A = B, maka A + m = B + m 3x = 7 + 5 2 3x = 12 b Jika A = B, maka A – m = B – m x=4 c Jika A = B, maka A × m = B × m A B d Jika A = B, maka m = m (m ≠ 0) 3 Selesaikan persamaan dan perbandingan di bawah ini.1 1 7 x=4 2 3 + 4x = -9 3 8x = -3x + 11 4 7x – 9 = 8x 5 3x –7 = x + 5 6 1– 6x = 4x – 9 7 -2(x + 3) = 9 – 4x 8 0,6x – 1 = -0,7 9 1 x+3= 3 x–2 2 4 10 5 : 2 = 20 : x 11 8 : x = 6 : 21 12 4 : 9 = x : 15 4 Bacalah soal berikut ini, kemudian jawablah. Seorang anak laki-laki 3 tahun lebih tua dari adiknya. Jumlah umur mereka tahun ini adalah 21 tahun. Berapakah usia mereka? 1 Dika membuat pertanyaan berikut ini untuk menyelesaikan soal tersebut. Sebutkan x menyatakan apa. x + (x – 3) = 21 2 Selesaikan (1) dan tentukan jawaban soal di atas. Bab 3 Persamaan Linear 117BAB 3 Soal Ringkasan A B 29 l 10 l 5 Tangki A memuat 29 l air dan tangki B memuat 10 l air. Setelah sebagian air dituang dari B ke A, air di tangki A menjadi dua kali air di tangki B. Tentukan banyaknya air yang dituang dari tangki B ke A. 6 Sebuah mesin dapat memproduksi 510 barang dalam waktu 3 jam. Berapa jam diperlukan mesin untuk memproduksi 850 barang? Sumber: www.mesinkemasan.co Penerapan 1 Selesaikanlah. 2 0,15x – 0,3 = 0,2x – 1 1 5x – 2(x + 3) = 3(1 – 4x) 3 0,3(x – 2) = 0,2x + 1 4 1 x – 1 = 2 x + 1 4 3 3 2 5 x+3 = x–3 6 x+ x–1 =1 2 5 2 2 Tentukan nilai a apabila penyelesaian persamaan dalam x dari 3x – a = 8 adalah 2. 3 Saya mengendarai mobil dari kota A ke B pulang-pergi. Kecepatan mobil ketika berangkat adalah 40 km per jam, dan kecepatan ketika kembali adalah 60 km per jam. Waktu total yang diperlukan adalah 5 jam. Tentukan jarak antara A dan B. Sumber: Dokumen Puskurbuk 4 Yuli semula berencana membeli beberapa barang masing-masing seharga 1.500 rupiah. Ternyata ada potongan harga sebesar 20% sehingga dia dapat membeli tambahan 4 barang lagi dengan harga yang sama. Tentukan berapa uang yang dibelanjakan Yuli. 118 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIIPenggunaan Praktis 1 Ketika mengirim makanan dari daerah produksi makanan sampai ke meja makan, kita dapat menganggapnya sebagai jarak tempuh makanan. Sebagai contoh, ketika mengirim 1 ton makanan sejauh 1 km, kita menyatakan jarak tempuh makanan sebagai 1 tkm (ton-kilometer). Ketika mengirim makanan, kita menggunakan truk, kapal, dan sebagainya. Semakin kecil jarak tempuh, semakin sedikit emisi karbon dioksida. Karena karbon dioksida mempengaruhi pemanasan global. Semakin kecil jarak tempuh, semakin mendukung lingkungan yang lebih baik. Berikut ini diagram yang menjelaskan banyaknya emisi karbon dioksida yang dikeluarkan per jarak tempuh 1 tkm. Jawablah pertanyaan (1) – (3) berikut ini. Karbon dioksida yang dihasilkan setiap jarak tempuh makanan 1 tkm. Truk BAB 3 | Persamaan Linear Kereta Api 167 21 Pesawat Kapal Laut 1510 38 1 Satu kg beras yang diproduksi di daerah A dikirim ke kota B yang jaraknya 897 km, dengan menggunakan truk. Berapa emisi karbondioksida dalam pengangkutan ini? Berikan jawabanmu sampai satu tempat desimal. 2 Ketika 10 ton gandum dikirim dari Amerika ke Jepang, jaraknya adalah 10.447 km, maka banyak emisi karbondioksida adalah 5.990 kg. Jika pengiriman tersebut dengan menggunakan truk dan kapal, hitunglah jarak tempuh makanannya. 3 Jika kita membahas banyaknya emisi karbon dioksida, manakah antara (a) – (c) yang benar? a Bagi orang Jepang, gandum yang diproduksi Amerika Serikat lebih murah dari gandum produksi Jepang, jadi lebih baik mengimpor gandum dari Amerika Serikat. b Ketika mengirim sejumlah gandum, lebih baik menggunakan kereta daripada truk. c Waktu tempuh dengan pesawat lebih cepat dibandingkan dengan kapal, jadi lebih baik dengan pesawat. Bab 3 Persamaan Linear 119Cermati Tingkatkan Menentukan Penyelesaian Pertidaksamaan Pada halaman 96, ketika mencari (3x + 2) g (x + 10) g penyelesaian persamaan 3x + 2 = x +10 , 3x + 2 = x + 10 maka kita substitusikan bilangan-bilangan bulat dari 1 hingga 5. Kita rangkum hasilnya dalam tabel berikut ini. Selanjutnya, selidiki kapan persamaan tersebut berlaku. Nilai dari x Nilai Sebelah Kiri Hubungan Nilai Sebelah Kanan 3x + 2 x + 10 1 < 2 3×1+2=5 < 1 + 10 = 11 3 3×2+2=8 < 2 + 10 = 12 4 3 × 3 + 2 = 11 = 3 + 10 = 13 5 3 × 4 + 2 = 14 > 4 + 10 = 14 3 × 5 + 2 = 17 5 + 10 = 15 Berdasarkan tabel di atas dapat disimpulkan berikut ini. Ketika x = 1, 2, 3, pertidaksamaan 3x + 2 < x + 10 berlaku (bernilai benar). Ketika x = 4, persamaan 3x + 2 = x + 10 berlaku (bernilai benar). Ketika x = 5 pertidaksamaan 3x + 2 > x + 10 berlaku (bernilai benar). Nilai yang membuat persamaan bernilai benar (berlaku), maka kita sebut sebagai penyelesaian persamaan. Demikian juga nilai yang membuat pertidaksamaan berlaku disebut juga penyelesaian pertidaksamaan. 1 Perhatikan soal 1 dan 2 berikut ini. Apakah ada penyelesaian 1 Untuk pertidaksamaan 3x + 2 < x + 10 , yang merupakan adakah penyelesaian lain selain bilangan desimal? x = 1, 2, 3? 2 Untuk pertidaksamaan 3x + 2 > x + 10 , adakah penyelesaian lain selain x = 5? Untuk persamaan linear, hanya terdapat satu penyelesaian. Namun, untuk pertidaksamaan, kemungkinan ada lebih dari satu penyelesaian. 120 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIIDari hasil penyelidikan kita di halaman 120, kita mengetahui bahwa penyelesaian persamaan 3x + 2 = x + 10 terletak di antara penyelesaian pertidaksamaan 3x + 2 < x + 10 dan 3x + 2 > x + 10 . Jika kita misalkan nilai x mencakup 0 dan bilangan negatif, kemudian kita tuliskan persamaan dan pertidaksamaan pada garis bilangan, diperoleh berikut ini. penyelesaian persamaan 3x + 2 = x… + 10 x= 4 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x <… 4 x >… 4 penyelesaian pertidaksamaan penyelesaian pertidaksamaan 3x + 2 < x + 10 3x + 2 > x + 10 Dengan menggunakan cara di atas, kita dapat menghitung penyelesaian BAB 3 | Persamaan Linear pertidaksamaan dengan menggunakan penyelesaian persamaan yang berada di antara keduanya. 2 Perhatikan soal berikut ini. Faris berbelanja dengan uang pecahan 10.000 rupiah. Dia ingin membeli beberapa barang dengan harga satuan 1.500 rupiah, tetapi dia harus menyisakan paling sedikit 2.000 rupiah untuk ongkos pulang. Paling banyak berapa buah dari barang tersebut yang dapat dibeli Faris? 1 Misalkan x adalah banyaknya barang yang ia beli. Nyatakanlah hubungan antarbesaran dalam bentuk pertidaksamaan. 2 Faris menyatakan hubungan antarbesaran seperti berikut ini. 10.000 – 1.500x ≥ 2.000 Untuk menemukan penyelesaian pertidaksamaan di atas, selesaikan persamaan 10.000 – 1.500x = 2.000 yang memberikan penyelesaian x= 16 . Berapakah penyelesaian dari 10.000 – 1.500x = 2.000? 3 a x > 16 b x = 16 Sebagai contoh, ketika 3 3 x = 6, jika pertidaksamaan berlaku, maka (a) 3 Dengan menggunakan jawaban pada 2, adalah jawaban soal pertidaksamaan tersebut. temukanlah penyelesaian pada soal di atas. Bab 3 Persamaan Linear 121P e nMd aaltaemr i a n Tantangan dalam Mengajukan Soal Mari kita menyelesaikan dan membuat masalah dalam kehidupan sehari-hari yang dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan dan pertidaksamaan. 1 Yuni mencoba menyelesaikan permasalahan berikut ini. Saya membeli beberapa botol jus dengan harga satuan 1.500 rupiah dengan menggunakan uang pecahan 20.000 rupiah. Saya mendapat kembalian 3.000 rupiah. Berapa botol jus yang saya beli? Akan tetapi, ketika Yuni berusaha Misalkan banyaknya membuat persamaan dan botol jus yang saya beli menyelesaikannya, dia menyadari bahwa adalah x. Gunakan x untuk dia tidak dapat menemukan jawaban. membuat persamaan, Mengapa dia tidak dapat menemukan kemudian diselesaikan. jawaban? Apa yang harus diubah pada soal awal agar dapat diselesaikan? 2 Buatlah soal dari kehidupan sehari-hari yang dapat diselesaikan dengan persamaan dan perbandingan berikut ini. 1 3x + 80 = 230 Kita dapat menyelesaikan Misalkan panjang seutas tali masalah dalam kehidupan menjadi 230 cm, masalah nyata sehari-hari yang berkaitan apa yang dapat kita buat? dengan jual beli. 2 8:x=3:2 122 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIIUlasan Mari kita temukan contoh-contoh perbandingan senilai dan berbalik Dari Sekolah Dasar ke Sekolah Menengah Pertama nilai. Perbandingan senilai dan berbalik nilai merupakan hubungan antara sepasang besaran yang nilainya berubah-ubah. Berat tumpukan Untuk persegi panjang BAB 3 | Persamaan Linear kertas berbanding yang memiliki luas tetap, lurus dengan panjang horisontalnya jumlah lembar. berbanding terbalik dengan panjang vertikalnya. Bab 4 Perbandingan Senilai dan Berbalik Nilai Yang telah kita pelajari sejauh ini [Perbandingan Senilai] [Perbandingan Berbalik Nilai] Terdapat sepasang besaran x dan y yang berubah-ubah nilainya, Terdapat sepasang besaran x dan y yang berubah- ketika x berubah 2 kali, 3 kali, …, maka nilai y berturut-turut ubah nilainya, ketika x berubah 2 kali, 3 kali, …, berubah 2 kali, 3 kali, …. Kita katakan bahwa y berbanding lurus maka nilai y berturut-turut berubah 1 kali, 1 2 3 terhadap x. kali, … Kita katakan bahwa y berbanding terbalik [Persamaan Perbandingan Senilai] terhadap x. Terdapat dua besaran x dan y yang saling berbanding lurus, maka hubungan antara keduanya dapat dinyatakan dalam [Persamaan Perbandingan Berbalik Nilai] Terdapat dua besaran x dan y yang saling berbalik persamaan y = (bilangan tetap) × x. nilai, maka hubungan antara keduanya dapat dinyatakan dalam persamaan [Grafik Perbandingan Senilai] y x × y = bilangan tetap. Grafik yang menyatakan 4 x perbandingan senilai adalah 3 garis yang melalui titik 0 (titik 2 Bab 3 Persamaan Linear 112233 potong sumbu vertikal dan 1 sumbu horisontal). 0 12344BAB KEMENTERIAN PENDIDIKAN, KEBUDAYAAN, RISET, DAN TEKNOLOGI REPUBLIK INDONESIA, 2021 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII Penulis: Tim Gakko Tosho Penyadur: Sugiman & Achmad Dany Fachrudin ISBN: 978-602-244-515-9 (jil.1) Perbandingan Senilai dan Perbandingan Berbalik Nilai Pasangan besaran manakah 1 Fungsi yang berubah bersama-sama? 2 Perbandingan Senilai 3 Perbandingan Berbalik Nilai 4 Menerapkan Perbandingan Senilai dan Perbandingan Berbalik Nilai Sebuah kolam mempunyai panjang 25 m, lebar 13 m, dan tinggi (kedalaman) 1,2 m. Sebelum digunakan, kolam dibersihkan kemudian diisi air dengan kecepatan tetap. Terdapat besaran yang berubah bersama-sama seiring waktu. 1 Marilah kita cari pasangan besaran yang berubah bersama-sama seiring dengan pengisian air ke kolam. Sumber: Dokumen Puskurbuk Jika kita mengubah kecepatan pengisian air ke kolam, besaran apa yang akan ikut berubah? 124 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII2 Carilah pasangan besaran yang berubah bersama-sama pada setiap gambar berikut. │BAB 4 Perbandingan Senilai dan Perbandingan Berbalik Nilai Bagaimana hubungan yang terjadi antara pasangan besaran yang berubah bersama-sama? Hubungan apa yang ada di antara pasangan besaran yang berubah bersama-sama? Hlm. 126 Bab 4 Perbandingan Senilai dan Perbandingan Berbalik Nilai 1251 Fungsi Fungsi Tujuan Siswa dapat menjelaskan hubungan antara pasangan besaran yang berubah bersama-sama. Sebuah jendela geser berbentuk persegi x cm panjang dengan tinggi 90 cm. Misalkan x cm 90 cm adalah lebar, dan y cm adalah keliling bagian terbuka dari jendela tersebut. Mari gunakan tabel di bawah ini untuk merangkum hubungan antara x dan y. Lebar dari jendela bagian 10 20 30 40 50 60 … terbuka 200 220 … Keliling bagian terbuka Huruf-huruf, seperti x dan y, di yang menyajikan nilai-nilai yang berbeda disebut variabel atau peubah. Jika sepasang variabel x dan y berubah bersamaan seperti pada dan jika untuk suatu nilai x yang ditetapkan hanya ada satu nilai y yang bersesuaian, maka dikatakan y adalah fungsi dari x. Keliling merupakan fungsi dari lebar bagian terbuka jendela pada . Contoh 1 Misalkan y cm2 adalah luas bagian terbuka jendela di . Jika jendela dibuka 10 Soal 1 cm, maka luas bagian terbuka adalah 900 cm2. Secara umum, jika untuk suatu nilai x yang ditetapkan terdapat tepat satu nilai y, maka y adalah fungsi dari x. Untuk pernyataan 1 - 3 berikut ini, apakah dapat disimpulkan bahwa y adalah fungsi dari x? 1 Panjang sisi sebuah persegi adalah x cm, luas persegi tersebut adalah y cm2. 2 Pada persegi panjang, kelilingnya adalah x cm dan luasnya y cm2. 3 Terdapat 14 l parafin. Setelah digunakan sebanyak x l, sisanya y l. 126 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIISoal 2 Pada soal halaman 124, kolam diisi air sedemikian hingga ketinggian air naik 8 cm per jam. Misalkan, y adalah ketinggian air setelah x jam sejak mulai mengisi. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini. 1 Gunakan tabel berikut ini untuk menyajikan hubungan antara x dan y. Selang waktu x (jam) 0 1 2 3 4 5 6… Ketinggian air y (cm) 08 … 2 Dapatkah disimpulkan bahwa y adalah fungsi dari x? Dapatkah kita 3 Nyatakan y dalam x menggunakan persamaan menuliskan kalimat dan jelaskan apa hubungan antara x dan y. matematikanya Apakah berhubungan senilai atau berbalik nilai? menggunakan grafik? 4 Sejak mulai diisi air, berapa lama kolam akan terisi penuh? Soal 3 Pada soal di halaman 124, jika mengisi kolam dengan pompa air dan ketinggiannya naik BAB 4 Perbandingan Senilai dan Perbandingan Berbalik Nilai x cm per jam, diperlukan y jam sampai terisi penuh. Jawablah pertanyaan berikut ini. │ 1 Gunakanlah tabel di bawah ini untuk menyajikan hubungan antara x dan y. Kenaikan ketinggian air per … 4 8 12 16 … jam adalah x (cm) Waktu untuk mengisi … 15 … sampai penuh y (jam) 2 Dapatkah disimpulkan bahwa y adalah fungsi dari x? 3 Nyatakan y dalam x dengan menggunakan persamaan. Selain itu, jelaskan hubungan antara x dan y. Apakah senilai atau berbalik nilai? Pada Soal 2 dan Soal 3, ketika nilai x ditentukan, maka terdapat tepat satu nilai y yang bersesuaian. Jadi, perbandingan senilai dan perbandingan berbalik nilai yang telah kita pelajari di Sekolah Dasar dapat juga disebut sebagai fungsi. Di Soal 2, diperlukan 15 jam untuk mengisi penuh kolam. Jadi, jangkauan dari waktu x sejak mulai pengisian hingga penuh adalah lebih dari atau sama dengan nol dan kurang dari atau sama dengan 15. Himpunan semua nilai-nilai yang mungkin dari variabel disebut domain untuk variabel x dan jangkauan untuk variabel y. Domain untuk variabel x, yaitu lebih dari atau sama dengan 0 dan kurang dari atau sama dengan 15 dapat dinyatakan dengan menggunakan pertidaksamaan atau garis bilangan dengan interval sebagai berikut. 0 15 Bab 4 Perbandingan Senilai dan Perbandingan Berbalik Nilai 127Soal 4 Untuk hubungan antara x dan y di Soal 2 di halaman sebelumnya, gunakanlah Soal 5 tanda pertidaksamaan untuk menyatakan jangkauan untuk variabel y. Gunakanlah tanda pertidaksamaan untuk menyatakan domain atau daerah asal pada interval-interval berikut ini. 1 Domain adalah lebih dari atau sama 10 30 dengan 10. 10 30 2 Domain adalah kurang dari 30. 3 Domain adalah lebih dari atau sama dengan 10 dan kurang dari 30. Catatan Ketika menyatakan interval pada garis bilangan, ● artinya bilangan termasuk dan o artinya bilangan tidak termasuk. Variabel dalam domain dan jangkauan pada Dapatkah variabel pada domain perbandingan senilai dan perbandingan dan jangkauan pada perbandingan berbalik nilai adalah lebih dari atau sama senilai dan berbalik nilai bernilai dengan 0, seperti yang telah dipelajari di negatif? Sekolah Dasar. Hlm.129 -149 Mari Kita Periksa 1 Fungsi 1 Sepotong pita panjangnya 10 m. Sepanjang x telah digunakan, sehingga tersisa y. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini. Fungsi 1 Hitunglah nilai y ketika x = 2. ［Hlm.126］ Cth. 1 2 Dapatkah disimpulkan bahwa y merupakan fungsi dari x? ［Hlm.128］ S 4 3 Tentukan jangkauan jika daerah asal 0 ≤ x ≤ 7. Cermati Asal Mula Kata “Kansu” dalam Bahasa Jepang “ 関数 ”(kansu) adalah terjemahan dari .”yang terdiri atas dua kata “ 凾 ” dan “fungsi”. “ 関 ” mempunyai pengucapan yang sama dalam Bahasa Jepang. Kata “ 関 ” Suku kata “fun” dalam “fungsi” berarti ‘mengaitkan’. Jadi “ 関数 ” dapat dipandang sebagai sebuah kata yang diucapkan seperti kata “han” dalam menyatakan hubungan antar bilangan Bahasa Cina 凾 ”, Dalam bahasa Cina kata “ 凾数 ”diucapkan “hansu”. Kata atau besaran. “ 数 ” artinya bilangan. Meskipun dalam Bahasa Jepang juga menggunakan “ 凾 数 ”, mereka mengubah menjadi “ 関数 128 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII2 Perbandingan Senilai 1 Perbandingan Senilai dan Persamaan Tujuan Siswa dapat menjelaskan tentang perbandingan ketika domain dan jangkauan diperluas mencakup bilangan-bilangan negatif. Tangki air tingginya 20 cm. Mula-mula tangki (cm) sebelum kosong, kemudian diisi air seperti ditunjukkan 1 menit pada gambar. Air dimasukkan sehingga 10 ketinggiannya naik 2 cm per menit. Misalkan, 0 8 BAB 4 Perbandingan Senilai dan Perbandingan Berbalik Nilai cm ditetapkan sebagai titik acuan ketinggian air, 6 dan y cm adalah ketinggian air setelah x menit. 4 1 Gunakanlah tabel berikut ini untuk merangkum 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 hubungan antara x dan y. │ 2 kali 3 kali 3 kali –1 menit 2 kali 2 kali 2 kali menyatakan satu menit sebelum x sekarang. (menit) –5 –4 –3 –2 –1 012345 y –2 0 2 4 (menit) kali kali kali kali kali kali 2 Ketika nilai x menjadi 2 kali, 3 kali,…, bagaimana perubahan nilai y? Periksalah untuk kedua domain x > 0 dan x < 0. y x 3 Ketika x ≠ 0, untuk setiap pasangan nilai x dan y, tentukan nilai . 4 Nilai y menyatakan apa? x Ketika menuang air ke dalam tangki dengan kecepatan yang tetap, maka hubungan berikut ini berlaku: (Ketinggian air) = (Kenaikan ketinggian air per menit) × (Waktu) Oleh karena itu, hubungan antara x dan y di dapat dinyatakan dengan persamaan berikut ini: y = 2x. Bab 4 Perbandingan Senilai dan Perbandingan Berbalik Nilai 129Pada persamaan y = 2x, meskipun x dan y Variabel merupakan variabel, koefisien 2 di depan x adalah bilangan tetap yang menyatakan pertambahan y=2x ketinggian air per menit. Bilangan ini tidak berubah bersama perubahan x dan y. Bilangan ini disebut Koefisien konstanta. PENTING Perbandingan Senilai Jika y adalah fungsi dari x dan hubungan antara variabel x dan y dinyatakan sebagai y = ax maka dikatakan bahwa y berbanding lurus dengan x. Perlu diperhatikan bahwa a adalah konstanta yang tidak boleh 0. Dalam hal ini, a disebut konstanta perbandingan. Ketika y berbanding lurus dengan x, jika x ≠ 0, maka nilai y tetap. Inilah x konstanta perbandingan a. Catatan Karena perbandingan y = ax adalah fungsi, Mulai sekarang, perhatikan maka kita juga menyebutnya fungsi y = ax dan bentuk persamaan dan kita baca sebagai persamaan fungsi y = ax. pikirkan jenis fungsi tersebut. Contoh 1 Diberikan kawat dengan berat 20 g per meter. Berat Soal 1 x meter adalah y g. Jika y dinyatakan dalam x dengan persamaan, maka y = 20x. Jadi, y berbanding lurus terhadap x, dan konstanta perbandingannya adalah 20. Untuk soal (1) – (4), nyatakanlah y dalam x dengan menggunakan persamaan. Manakah yang dapat dikatakan y berbanding lurus dengan x? Jika y berbanding lurus dengan x, tentukanlah konstanta perbandingannya. 1 Sebuah mobil melaju y km selama x jam dengan kecepatan 40 km per jam. 2 Pada belah ketupat, panjang satu sisi adalah x, dan kelilingnya y cm. 3 Jika 4 l jus buah dibagi pada x orang, setiap orang mendapatkan y l. 4 Sebanyak 5% dari x orang adalah y orang. 130 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII(cm) Pada gambar di samping, dari tangki yang 10 terisi penuh setinggi 20 cm, air dikeluarkan 8 6 4 Diskusi dengan pompa. Ketinggian air berkurang 2 2 sebelum 1 Pompa menit cm per menit. Misalkan, 0 adalah titik acuan, 0 -2 dan y cm adalah ketinggian air setelah x -4 menit. -6 -8 -10 1 Gunakan tabel berikut ini untuk menyatakan hubungan antara x dan y. x (menit) –5 –4 –3 –2 –1 0 12345 0 y (cm) 2 2 Dapatkan kita simpulkan bahwa y berbanding lurus dengan x? BAB 4 Perbandingan Senilai dan Perbandingan Berbalik Nilai Jelaskan alasanmu. 3 Apakah nilai y naik ketika x naik? Ataukah turun? │ Pada , hubungan antara x dan y dapat Berpikir Matematis dinyatakan dengan persamaan berikut ini. y = –2x Ketika konstanta perbandingan Jadi, dalam perbandingan dimungkinkan bernilai negatif, tetap dikatakan konstanta perbandingannya a bilangan negatif. bahwa y berbanding lurus dengan Ketika konstanta perbandingan negatif, maka x asalkan hubungan x dan y dapat nilai y turun ketika nilai x naik. dinyatakan sebagai y = ax. Soal 2 Di , air dikeluarkan dari tangki 3 cm per menit. Nyatakanlah y dalam x menggunakan persamaan. Soal 3 Untuk fungsi-fungsi yang dapat dinyatakan dengan persamaan berikut ini, manakah yang menyatakan y berbanding lurus dengan x? Temukan konstanta perbandingannya. a y = 8x b y=x+4 c y = –10x d y = x 4 Bab 4 Perbandingan Senilai dan Perbandingan Berbalik Nilai 131Menyusun Persamaan Perbandingan Senilai Contoh 2 Diketahui bahwa y berbanding lurus dengan x, dan ketika x = 2, maka y = Penyelesaian –8. Nyatakanlah y dalam x menggunakan persamaan. Selain itu, tentukan nilai y ketika x = –5. Karena y berbanding lurus pada x, jika kita tetapkan konstanta perbandingan adalah a, maka y = ax Jika x = 2, maka y = –8. Substitusikan nilai-nilai tersebut pada persamaan sehingga diperoleh, –8 = a × 2 Selesaikan untuk a, sehingga diperoleh a = –4. Jadi, y = –4x. Substitusi x = -5 pada persamaan, y = –4 × (–5) = 20. Jawab: y = –4x, y = 20 Soal 4 Ketika y berbanding lurus pada x, nyatakanlah y dalam x menggunakan persamaan pada (1) dan (2). Kemudian, hitunglah nilai y ketika x = –4. 1 ketika x = –3, y = 15 2 ketika x = –6, y = –18 Soal 5 Sebuah pegas meregang 4 cm ketika berat beban di ujungnya 50 gram. Jika pertambahan panjang berbanding lurus dengan berat beban, jawablah pertanyaan berikut ini. 1 Berapa cm pegas bertambah panjang ketika beban x g digantung pada ujung pegas. Nyatakanlah y dalam x menggunakan persamaan. 2 Berapa cm pegas bertambah panjang ketika berat beban 80 g digantung di ujung pegas? 3 Hitung jangkauan jika domainnya adalah panjang xg 0 ≤ x ≤ 100. peregangan y cm Sekarang kita dapat Kita menggambar grafik perbandingan memahami perbandingan di Sekolah Dasar. Ketika domain dan dengan daerah asal dan jangkauannya diperluas ke bilangan-bilangan jangkauan negatif. negatif, bagaimana menggambar grafiknya? Hlm.133 132 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII2 Koordinat dan Grafik Perbandingan Senilai Tujuan Siswa dapat menjelaskan grafik perbandingan senilai ketika domain dan jangkauannya bilangan-bilangan negatif. Koordinat 30° Kairo Posisi pada peta dapat dinyatakan dalam garis 15° Lintang lintang dan bujur. Sebagai contoh, posisi Kairo Mesir dinyatakan sekitar “30 derajat Lintang Utara, 0° Utara 31 derajat Bujur Timur”. Lintang Temukan tempat yang memiliki 0 lintang dan 0 Selatan bujur. 15° 30° 30° Bujur Bujur Barat Timur 15° 0° 15° Posisi titik-titik pada bidang dapat dinyatakan BAB 4 Perbandingan Senilai dan Perbandingan Berbalik Nilai│ sebagai pasangan bilangan. Temukan contoh seperti kalimat di atas di sekitarmu. Sumber: Dokumen Puskurbuk Kita dapat menggunakan langkah-langkah berikut ini untuk menentukan posisi titik-titik dengan perluasan ke bilangan-bilangan negatif. Buatlah dua garis saling tegak lurus terlebih dahulu, seperti ditunjukkan pada gambar di samping. Garis bilangan horisontal kita sebut sumbu x atau sumbu horisontal. Garis bilangan vertikal sumbu x y kita sebut sumbu y, atau sumbu 5 vertikal. 4 Sumbu x dan sumbu y bersama- sama kita sebut sumbu koordinat. arah positif Titik potong antara kedua sumbu 3 2 1 titik pangkal disebut titik pangkal. Arah –5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5x positif sumbu x adalah ke kanan, –1 arah positif adapun arah positif sumbu y –2 sumbu y adalah ke atas. –3 –4 –5 Bab 4 Perbandingan Senilai dan Perbandingan Berbalik Nilai 133Posisi titik A dapat ditunjukkan pada gambar berikut ini. y 5 Dapat dikatakan y A 3 A ( 2 ，3 ) juga sebagai berikut: dari titik pangkal ke titik A bergerak ke 3 kanan 2 satuan dan 5x kemudian ke atas 3 O2 x -5 O2 satuan. (0，0) -5 Gambarlah dua garis saling tegak lurus dari titik A ke sumbu x dan sumbu y, berikan tanda pada titik potongnya pada sumbu x dan sumbu y. Dengan demikian, posisi titik A dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan (2, 3). Kita katakan bahwa 2 adalah absis dari A dan 3 adalah ordinat dari A. (2, 3) adalah koordinat koordinat A( 2 , 3 ) dari A. Titik A dapat dinyatakan sebagai (2, 3). absis x ordinat y Soal 1 Gambarlah titik B (3, 2) pada gambar di atas. Soal 2 y Soal 3 Temukan titik koordinat A, B, C, D, 5 dan E pada gambar di samping ini. 4 3 A2 Gambarlah titik-titik berikut pada 1 23 D x bidang koordinat. C 45 –5 –4 –3 –2 –1 O 1 P(1, 3) Q(–3, 4) –1 E R(–2, 4) S(3, 2) –2 T(0, 2) U(–4,5, 0) B –3 –4 –5 13 4 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIIGGrraafpikhPoefrbPraonpdoinrtgioann Senilai Marilah kita gambar grafik perbandingan senilai dengan menggunakan koordinat. Kita dapat menggunakan tabel berikut ini untuk menjelaskan fungsi y = 2x. x … –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5… BAB 4 Perbandingan Senilai dan Perbandingan Berbalik Nilai│ 0 2 4 6 8 10 … y … –10 –8 –6 –4 –2 y Gunakanlah pasangan- 10 pasangan nilai-nilai x dan y pada tabel di atas sebagai 5 absis dan ordinat, misalnya (–5, –10), …, (5, 10), kemudian gambarlah titik- titik tersebut. x –5 –4 –5 O 5x y –10 –8 –5 Titik (–5, –10) –10 Soal 4 Tentukan semua nilai x antara –5 Jika kita menggambar dan 5 dengan interval 0,5, kemudian titik-titik semakin gambarlah titik-titik yang bersesuaian banyak, himpunan titik- pada gambar di atas. titik tersebut akan membentuk apa? Bab 4 Perbandingan Senilai dan Perbandingan Berbalik Nilai 135Seperti ditunjukkan pada gambar di bawah ini Berpikir Matematis yang sebelah kiri, jika kita tambah banyaknya Cermati bahwa jika digambar titik-titik dengan koordinat merupakan banyak titik-titik yang koordinatnya pasangan x dan y pada y = 2x, maka kumpulan merupakan pasangan nilai x dan y, titik-titik akhirnya akan membentuk sebuah maka himpunan titik-titik tersebut garis seperti yang ditunjukkan pada gambar di membentuk sebuah garis. sebelah kanan bawah. Garis ini disebut grafik fungsi y = 2x. y y 10 10 55 –5 O 5x –5 O 5 x –5 –5 –10 –10 Grafik untuk perbandingan yang O telah dipelajari di Sekolah Dasar berupa gambar di atas sebelah kanan. Soal 5 Jawablah pertanyaan-pertanyaan tentang fungsi y = –2x berikut ini. 1 Tentukan nilai y yang bersesuaian dengan nilai x pada tabel di bawah ini. x … –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 … y… 0… 2 Gambarlah titik koordinatnya yang merupakan pasangan x dan y pada tabel di atas. 3 Gambarlah grafik dari y = –2x dengan domain semua bilangan. 136 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIISoal 6 Buatlah tabel yang mengaitkan y nilai x dan y pada fungsi berikut ini. 5 Gambarlah grafik pada gambar di samping. O –5 1 y = 3x 2 y = –3x –5 5x 3 y = 1 x 2 4 y=– 1 x 2 Soal 7 Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini. Diskusi 1 Pada fungsi y =2x, ketika nilai x bertambah 1, bagaimana perubahan y? Gunakan tabel atau grafik untuk menjelaskan jawabanmu. BAB 4 Perbandingan Senilai dan Perbandingan Berbalik Nilai│ 2 Pada fungsi y = –2x, kerjakan hal yang sama seperti pada soal (1). 3 Dalam fungsi y = ax, apa perbedaannya ketika konstanta perbandingan a positif? Bagaimana jika a negatif? Apa persamaannya? Jawablah dengan mengacu pada hasil perhitungan di (1) dan (2) dan juga grafik yang dihasilkan di Soal 6. Berdasarkan hasil kajian sejauh ini mengenai grafik perbandingan senilai, kita simpulkan dalam rangkuman berikut ini. PENTING Grafik Perbandingan Senilai Grafik fungsi y = ax yang menyatakan perbandingan senilai merupakan garis yang melalui titik pangkal. 1 Jika a > 0, grafik naik ke arah 2 Jika a < 0, grafik turun ke arah kanan kanan yy naik O naik x naik x turun O Jika nilai x naik, maka nilai y turun Jika nilai x naik, maka nilai y naik Bab 4 Perbandingan Senilai dan Perbandingan Berbalik Nilai 137Karena grafik perbandingan senilai merupakan garis yang melalui titik pangkal, maka kita dapat menggambarkannya jika kita mengetahui titik pangkal O dan satu titik pada grafik. y Contoh 1 Pada fungsi y = 2 x, ketika 5 y = 2 x 3 3 x = 3, y = 2, grafik melalui titik (0, 0) dan O (3, 2) (3, 2). –5 (0, 0) 5 x –5 y Soal 8 5 Gambarlah grafik fungsi pada gambar di –5 O –5 samping menggunakan titik pangkal O dan satu titik lain pada grafik. 5x 1 y= 1 x 2 y= – 5 x 4 2 Periksa apakah garis melalui titik-titik yang tepat setelah grafik digambar. Soal 9 Jawablah pertanyaan-pertanyaan tentang y 1 5 grafik di samping ini. O 5x 1 Pada grafik 1 , apakah konstanta 2 –5 perbandingan positif atau negatif? 2 Hitunglah konstanta perbandingan pada –5 grafik 1 dengan mengetahui bahwa grafik melalui titik (2, 3), kemudian nyatakanlah y dalam x menggunakan persamaan. 3 Pada grafik 2 , nyatakanlah y dalam x menggunakan persamaan. Gunakanlah cara yang diterapkan di 1 dan 2 . Apakah ada hal-hal lain di sekitarmu Dalam perbandingan berbalik nilai, Hlm.141 yang mempunyai hubungan apakah domain dan jangkauan berbanding lurus? variabel-variabel berupa bilangan negatif, seperti pada perbandingan Hlm.149 lurus? 138 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIIMari Kita Periksa 2 Perbandingan 1 Sebuah segitiga mempunyai alas 12 cm. x cm Misalkan, x cm menyatakan tinggi dan y cm2 y cm2 Perbandingan Senilai adalah luasnya. dan Fungsi Jawablah pertanyaan berkut ini. 12 cm ［Hlm.130］ Cth. 1 1 Nyatakanlah y dalam x menggunakan persamaan. 2 Dapatkah kita menyimpulkan y berbanding lurus dengan x? 2 y berbanding lurus dengan x, dan ketika x = 4, maka y = 12. Nyatakanlah y dalam x menggunakan persamaan. Jika x = –6 berapakah y? Menyusun Persamaan Perbandingan Senilai Tentukan koordinat titik A pada gambar di y │BAB 4 Perbandingan Senilai dan Perbandingan Berbalik Nilai samping. Kemudian, gambarlah titik B(3, -1) 5 [Hlm.132] Cth. 2 pada gambar di samping. O 3 –5 Koordinat dan Grafik Perbandingan Senilai [Hlm.134] S 2 S3 5x 4 Gambarlah grafik fungsi y = –x. A –5 Koordinat dan Grafik Perbandingan Senilai y 5 [Hlm.137] S 6 –5 O 5 Pada grafik di samping, nyatakanlah y dalam x menggunakan persamaan. Koordinat dan Grafik Perbandingan Senilai 5x [Hlm.138] S 9 –5 Bab 4 Perbandingan Senilai dan Perbandingan Berbalik Nilai 139Cermati Menggambar Titik-Titik Koordinat Pertanyaan Gambarlah titik-titik berikut ini pada bidang koordinat. Kemudian hubungkan titik-titik tersebut dengan garis secara urut dengan mengikuti tanda panah. Gambar apa yang terbentuk? Mulai (6, 5) (0, 4) (–2, 1) (–2, 3) (–4, 2) (–3, 5) (–6, 6) (–10, 4) (–11, 2) (–6, 1) (–4, 0) (–1, 3) (1, 1) (4, 3) (7, 1) (8, 1) (7, 3) y 5 –10 –5 O 5 10 x –5 (8, 3) (9, 1) (11, 3) (11, 4) (9, 3) (7, 4) (–3, 6) (–3, –7) (–5, –6) (–5,–5) (6, –5) (3, 6) tujuan (–11, 2) (–11, –1) (–9, –4) Titik akhir (–7, 3) Buatlah soal yang serupa dengan soal di atas. 140 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII3 Perbandingan Berbalik Nilai 1 Perbandingan Berbalik Nilai dan Persamaan Tujuan Siswa dapat menjelaskan perbandingan berbalik nilai ketika domain dan jangkauan diperluas mencakup bilangan-bilangan negatif. Mari kita cermati hubungan antara panjang secara horisonal dan vertikal dari sebuah empat persegi panjang dengan luas 6 cm2. 1 Gambarlah berbagai persegi panjang yang luasnya 6 cm2. Misalkan titik O adalah salah satu titik sudutnya. BAB 4 Perbandingan Senilai dan Perbandingan Berbalik Nilai│ O (Skala 0,5 cm) 2 Misalkan panjang horisontal adalah x cm dan panjang vertikal adalah y cm. Gunakan tabel untuk merangkum hubungan antara x dan y . x (cm) … 1 2 3 4 5 6 … y (cm) 6 cm2 y (cm) … … x (cm) 3 Jika nilai x menjadi 2 kali lipat, 3 kali lipat, …, bagaimanakah nilai-nilai y yang bersesuaian? Bab 4 Perbandingan Senilai dan Perbandingan Berbalik Nilai 141Karena panjang vertikal kali panjang horisontal sama dengan luas persegi panjang, maka hubungan antara x dan y di pada halaman 141 dapat dinyatakan dalam persamaan berikut ini. xy = 6 Karena panjang vertikal sama dengan luas persegi panjang dibagi panjang horisontal, jika kita nyatakan y dalam x menggunakan persamaan, maka diperoleh persamaan berikut ini. y= 6 x PENTING Perbandingan Berbalik Nilai Jika y adalah fungsi x dan hubungan antara variabel x dan y dapat dinyatakan sebagai y= a x sehingga kita katakan bahwa y berbanding terbalik dengan x. Perlu diingat bahwa a adalah konstanta tidak 0, dan a disebut konstanta perbandingan. Jika y berbanding terbalik dengan x, maka hasil Saya Bertanya kali xy tetap. Nilainya merupakan konstanta perbandingan a. Pada perbandingan berbalik nilai, Diperlukan y jam untuk berjalan sejauh 12 km mengapa a disebut konstanta dengan kecepatan x km per jam. Jawablah pertanyaan berikut ini. perbandingan? Hlm.142 Soal 1 1 Gunakan tabel di bawah ini untuk menyajikan hubungan antara x dan y. x (km/jam) … 1 2 3 4 5 6 … y (jam) … 12 6 … 2 Nyatakan y dalam x menggunakan persamaan. Cermati Pada perbandingan berbalik nilai, mengapa a disebut konstanta perbandingan? Persamaan perbandingan berbalik nilai adalah y = a . Persamaan tersebut dapat juga dipandang x sebagai y = a × 1 . Misalkan 1 adalah suatu bilangan, maka persamaan tersebut dapat xx dituliskan bahwa y berbanding terbalik dengan x. Dengan kata lain, y berbanding lurus dengan 1 , a kita sebut sebagai konstanta perbandingan, sebagaimana pada perbandingan senilai. x 142 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIISoal 2 Untuk pernyataan 1 - 3 , nyatakanlah y dalam x menggunakan persamaan. Selidikilah apakah y berbanding terbalik dengan x. 1 Seutas tali sepanjang 18 m dibagi menjadi x bagian sama panjang. Masing-masing bagian panjangnya y m. 2 Terdapat 500 ml jus buah. Setelah diminum x ml, sisanya y ml. 3 Sebuah segitiga mempunyai alas x cm, luasnya 30 cm2, dan tingginya y cm. Mari kita cermati perbandingan berbalik nilai ketika domain, jangkauan, dan konstanta perbandingan kita perluas mencakup bilangan negatif. Soal 3 Pada fungsi y = – 6 , jawablah pertanyaan berikut ini. x 1 Gunakanlah tabel berikut ini untuk menyajikan hubungan antara x dan y. x … –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 … y… … 2 Ketika x < 0, jika nilai x menjadi 2 kali, 3 kali, …, bagaimana perubahan │BAB 4 Perbandingan Senilai dan Perbandingan Berbalik Nilai nilai-nilai y yang bersesuaian? Catatan Tanda pada tabel di atas artinya abaikan ketika nilai x = 0. Soal 4 Pada fungsi y = – 6 , jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini. x Diskusi 1 Dapatkah kita simpulkan bahwa y berbanding terbalik dengan x? Jelaskan jawabanmu. 2 Gunakanlah tabel berikut ini untuk menyimpulkan hubungan antara x dan y. x … –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 … y… … 3 Ketika x < 0, jika nilai x menjadi 2 kali, 3 kali, …, bagaimana perubahan nilai-nilai y yang bersesuaian? Periksa hasilnya untuk kedua interval x > 0, dan x < 0. Dalam perbandingan berbalik nilai, dimungkinkan konstanta perbandingannya negatif. Fungsi y = – 6 menunjukkan hubungan perbandingan berbalik nilai dengan konstanta perxbandingan –6. Soal 5 Dari fungsi-fungsi yang diberikan berikut ini, manakah yang dapat dikatakan y berbanding terbalik dengan x? Jika y berbanding terbalik dengan x, hitunglah konstanta perbandingannya. 12 c y=– 4 a y = x b y = x x d xy = –20 12 Bab 4 Perbandingan Senilai dan Perbandingan Berbalik Nilai 143
SMeettninygusuupnIPnevresrasme ParaonpPoerrtbioannadliEnqguaantiBoenrbalik Nilai Contoh 1 y berbanding terbalik dengan x, dan ketika x = 12, maka y = 6. Nyatakanlah y Penyelesaian dalam x menggunakan persamaan. Berapa nilai y ketika x = 9? Karena y berbanding terbalik dengan x, jika a adalah konstanta perbandingan, maka y = ax Ketika x = 12 dan y = 6, dengan substitusi nilai-nilai ke dalam persamaan, maka 6 = 1a2 a = 72 Subtitusikan nilai a = 72 pada persamaan awal, sehingga diperoleh 72 y = x Substitusi x = 9 ke dalam persamaan di atas, diperoleh 72 y = 9 = 8 Jawab: y = 8 Soal 6 Ketika y berbanding terbalik dengan x, nyatakanlah y dalam x menggunakan Soal 7 persamaan pada kasus 1 dan 2 . Kemudian, nyatakanlah y dalam x menggunakan persamaan. Tentukan nilai y jika x = –3. 1 jika x = 2, maka y = 9 2 jika x = 6, maka y = –4 Sebuah tangki diisi air selama 1 jam dengan kecepatan 4 l per menit. Jawablah pertanyaan berikut ini. 1 Berapa liter air dapat dituang dalam tangki? 2 Jika diperlukan y menit untuk mengisi penuh tangki dengan kecepatan x l per menit, nyatakanlah y dalam x menggunakan persamaan. 3 Jika kita mengisi air dengan kecepatan 5 l per menit, berapa menit dibutuhkan untuk mengisi penuh tangki? Sekarang kita dapat memahami perbandingan Bagaimana dengan grafik berbalik nilai dengan domain dan jangkauan diperluas mencakup bilangan negatif. perbandingan Hlm.145 berbalik nilai? 14 4 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII
Page 2
Pembagian dan Kebalikannya Bagaimanakah caranya menghitung hasil pembagian bilangan-bilangan BAB 1 Bilangan Bulat pecahan berikut ini? 5 : 2 │ 7 3 Kalian dapat mengubah pembagian menjadi perkalian dengan kebalikan pembagi. Bilangan negatif juga memiliki kebalikannya. Sebagai contoh （- 32）×（- 3 ）= 1 Ulasan 2 Jika hasil kali dua bilangan adalah Jadi, kebalikan dari - 2 adalah - 3 , 1, maka salah satu bilangan 3 2 merupakan kebalikan. 3 2. kebalikannya dari - 2 adalah - 3 Kelas VI - II Hlm. 95 Catatan Karena hasil kali sembarang bilangan dengan 0 menghasilkan 0, dan tidak mungkin 1, maka 0 tidak memiliki kebalikan Soal 5 Tentukan kebalikannya. 1 - 4 2 - 1 3 -5 4 -1 7 6 Marilah kita menggunakan kebalikan untuk mengubah pembagian menjadi perkalian. Hitunglah a dan b kemudian bandingkan hasilnya. a 15 : (-3) b 15 ×（- 13） Berdasarkan di atas, membagi bilangan positif atau negatif sama dengan mengalikan dengan kebalikan pembaginya. Membagi bilangan positif atau negatif sama dengan mengalikan dengan kebalikan pembaginya. Contoh 1 10 : (-6) =10 × ( - 1 ） 2 （- 2 ) :（- 2 ) =（- 2 ）×（- 3） Soal 6 Hitunglah. 6 53 52 = - (10 × 61） = +( 2 × 3 ） 5 2 = - 5 = 3 3 5 1 （- 13 ）: 34 2 （- 3 ) : (- 9 ） Cobalah 3 6 : (- 4） 5 10 Hlm.55 3 4 （- 5 ）: (-3) Pengayaan 2 -2 6 Bab 1 Bilangan Bulat 45Operasi Campuran Perkalian dan Pembagian Benarkah? Yuda menyelesaikan soal 24 : (-3) × 2 seperti 24 : (-3) × 2 ditunjukkan di samping ini. Apakah menurutmu = 24 : (-6) Diskusi benar? Jelaskan alasanmu. = -4 Untuk menyelesaikan pernyataan matematika yang melibatkan perkalian dan juga pembagian, sebaiknya diubah dahulu menjadi bentuk perkalian saja. Contoh 5 4 : (- 6 ) × (-9) Ubah pembagian Jika kita sudah mengubah Soal 7 7 menjadi bentuk pembagian menjadi perkalian. perkalian, maka kita = 4 × (- 7 ) × (-9) dapat menggunakan sifat 6 komutatif dan asosiatif. = + (4 × 7 × 9） 6 = 42 Hitunglah. 2 20 × (-5) : (- 1 ） 1 (-7) : 2 × (-4) 3 3 6 :（- 2 ) × (- 5 ） 4 2 : (- 3 ）: 4 Cobalah 3 9 3 8 Hlm.55 Pengayaan 2 -3 Sekarang kita dapat melakukan Menurut saya, sekarang kita dapat penjumlahan, pengurangan, melakukan hitungan dengan perkalian, dan pembagian menggunakan kombinasi empat operasi bilangan positif dan negatif. tersebut, misalnya 25 + (-2) x 10. Hlm.47 Cermati Dapatkah Kita Membagi dengan 0? Dalam matematika, kita tidak membagi dengan 0, seperti 3 : 0. Berikut ini alasannya. 1 Jika kita menulis 3 : 0 = , 2 Jika kita menulis 0 : 0 = , maka kita dapat menyatakan maka kita dapat menyatakan × 0 = 3. Tidak ada bilangan × 0 = 0. Kita dapat yang jika dituliskan di , Jadi, menempatkan sembarang tidak ada hasil pembagian 3 : 0 bilangan pada . Jadi, tidak ada jawaban pasti untuk 0 : 0 46 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII3 Hitungan dengan Kombinasi Empat Operasi Tujuan Mempelajari hitungan yang melibatkan kombinasi penjumlahan, pengurangan, BAB 1 Bilangan Bulat Diskusi perkalian, dan pembagian. Mia mengerjakan hitungan 25 + (-2) × 10 seperti │ yang ditunjukkan berikut ini. Apakah benar? Jelaskan alasanmu. Berpikir Matematis Benarkah? Dengan menggunakan urutan operasi, jelaskan 25 + (-2) × 10 apakah hitungan yang = 23 × 10 dilakukan benar atau salah. = 230 Penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian disebut empat operasi. Dalam pernyataan yang memuat empat operasi, pikirkan bagaimana urutan mengerjakannya. Contoh 1 5 + (-2) × 4 Dalam melakukan hitungan yang Soal 1 = 5 + (-8) melibatkan penjumlahan, pengurangan, = -3 perkalian, dan pembagian, maka perkalian dan pembagian didahulukan. Hitunglah. 2 8 + (-20) : (-4) 1 -7 + (-3) × 2 4 (-6) × (-5) – (-18) : 6 3 14 – 10 × (-3) Contoh 2 (-12 – 20) : 4 Jika ada tanda kurung, maka Soal 2 = (-32) : 4 kerjakan terlebih dahulu operasi = -8 yang ada di dalam kurung tersebut. Hitunglah. 2 (-2) × (4 – 9) 1 (7 – 19) : 3 4 {6 – (-3)} × 8 3 21 : (-2 – 5) Contoh 3 45 : (-3)2 Jika ada eksponen, maka hitung Soal 3 = 45 : 9 terlebih dahulu eksponen. = 5 2 -32 + 10 3 6 – (-4)2 4 (-6)2 + (-72) Hitunglah. 1 12 : (-2)2 Bab 1 Bilangan Bulat 47Soal 4 Hitunglah. 1 4 + 7 × (6 – 7) 2 10 - (-8 + 5) × 6 3 (6 – 23) × (-3) 4 (-4)2 + 25 : (-52) 5 1 +（- 2 )2 6 1 –3 : 4 3 3 4 7 7 Sifat Distributif Hitunglah soal a dan b di bawah ini, kemudian bandingkan hasilnya. a (-5 ) × {(-4 ) + 6 } b (-5 ) × (-4 ) + (-5 ) × 6 Sifat berikut ini juga berlaku untuk bilangan-bilangan positif dan negatif. a × (b + c) = a × b + a × c b+c a Sifat Distributif { bc (b + c) × a = b × a + c × a Contoh 4 12 × ( 1 – 1 ) = 12 × 1 + 12 × (- 1 ) 2 3 2 3 =6–4 =2 Soal 5 Jawablah soal-soal berikut ini dengan menerapkan sifat distributif. 1 28（- 1 + 1 ） 2 （ 3 – 5 ）× 36 4 7 4 6 3 17 × 9 + 17 × (-8) 4 69 × (-7,2) + 31 × (-7,2) Cobalah Hlm.55 Pengayaan 4-4 Dalam kasus seperti apakah Mari mengulas materi yang telah kita kita perlu melakukan hitungan pelajari sejauh ini tentang hubungan menggunakan bilangan positif dan antarbilangan. negatif? Hlm.50 Hlm.52 48 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIICermati BAB 1 Bilangan Bulat│ Dari Manakah Tanda “＋” dan “ − ” Berasal? Kapan tanda-tanda dalam hitungan yang sekarang kita gunakan ini muncul pertama kali? Sebenarnya, penggunaan simbol-simbol tersebut semuanya diselesaikan antara abad 15 dan 17. Periode antara abad 15 dan 17 adalah Abad Eksplorasi Eropa, yaitu saat negara-negara Eropa berlayar dalam upaya perdagangan dan kolonisasi. Kebutuhan akan pengamatan astronomi untuk navigasi dan keamanan pelayaran, serta menghitung cepat dalam perdagangan memicu lahirnya hitungan menggunakan tanda-tanda dan simbol untuk menyederhanakan dan mempermudah. Sebagai contoh, 5 minus 3 sama dengan 2 5–3=2 Tanda + dan – mula-mula digunakan untuk menunjukkan kelebihan atau kekurangan. Di kemudian hari, tanda tersebut juga digunakan dalam hitungan. Terdapat teori bagaimana sejarah timbulnya simbol-simbol tersebut. Berikut ini dua teori tersebut. adalah Bahasa Latin untuk “dan” artinya “kurang” +，- 1489 Widmann, Jerman = 1557 Recorde, Inggris * 1631 Oughtred, Inggris <，> 1631 Harriot, Inggris / 1659 Rahn, Swiss Tahun simbol-simbol digunakan pertamakali Pada buku Arithmetics karya Widmann, dalam buku dan nama pengarangnya. simbol + dan – dipergunakan untuk menyatakan kekurangan. Selain penemuan tanda-tanda hitungan, banyak perkembangan penting selama Abad Eksplorasi, antara lain penemuan desimal dan berbagai metode hitungan. Akan bermanfaat jika melihat kembali perkembangan masa itu. Bab 1 Bilangan Bulat 494 Penggunaan Bilangan Positif dan Negatif Tujuan Mempelajari bagaimana menggunakan bilangan positif dan negatif pada dunia nyata dan kehidupan sehari-hari. ［ Kegiatan Matematis ］ Penerapan Sebuah uji kebugaran telah dilakukan di Sekolah Menengah Pertama Harapan Bangsa. Berikut ini tabel yang menyajikan lompatan terjauh dari empat anak. Berdasarkan tabel tersebut, hitunglah rata-rata lompatan empat anak tersebut. Sumber: Dokumen Puskurbuk Tabel Data Loncatan Terjauh Nama Toni Ucok Desi Sari Loncatan Terjauh (cm) 181 208 169 194 Bukankah ada cara lebih mudah untuk mengitung Rata-rata sama dengan jumlah total nilai dibagi banyaknya nilai. rata-rata bilangan- bilangan besar? 1 Berdasarkan , Toni mengamati bahwa data keempat anak tersebut lebih dari 150 cm. Dia menyusun kalimat matematika untuk menentukan rata-rata data lompatan. Diambil 150 cm sebagai titik acuan. Toni 181 cm Ucok 208 cm Desi 169 cm Sari 194 cm 0 50 100 150 200 Kalimat matematika: 150 + (31 + 58 + 19 + 44) : 4 Jelaskan arti kalimat matematika Toni di atas. Hitunglah rata-rata menggunakan cara tersebut. Periksa apakah hasilnya sama dengan hitungan menggunakan rumus yang diberikan di . 50 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIIHasan menyusun kalimat matematika untuk menghitung rata-rata data 2 lompatan dengan menetapkan datanya sendiri 194 cm sebagai titik acuan. Isilah dengan kalimat matematika yang sesuai, kemudian hitunglah rata- ratanya. BAB 1 Bilangan Bulat Toni 181 cm │ Ucok 208 cm Desi 169 cm Sari 194 cm 0 50 100 150 200 Kalimat matematika: 194 + ( ):4 Berdasarkan di halaman sebelumnya, titik manakah yang dijadikan titik 3 acuan agar lebih mudah dalam menghitung rata-rata? Tentukan titik acuanmu sendiri, kemudian hitunglah rata-rata dengan menggunakan acuan tersebut. Toni 181 cm Ucok 208 cm Desi 169 cm Sari 194 cm 0 50 100 150 200 4 Tabel di samping ini menunjukkan data (Satuan: detik) kecepatan lari 50 m dengan peserta 12 anak 9,1 8,7 8,5 perempuan di kelas Marni. Tentukan titik acuan, 9,5 9,0 8,6 kemudian hitung rata-ratanya. 8,3 8,8 9,2 9,1 8,7 9,3 5 Berdasarkan yang telah kita pelajari dari 1 sampai dengan 4 , buatlah rangkuman bagaimana kita memudahkan dalam menghitung rata-rata. Bab 1 Bilangan Bulat 515 Himpunan Bilangan dan Empat Operasi Hitung Tujuan Merangkum materi yang sudah kita pelajari sejauh ini tentang kaitan antara bilangan. Diberikan bilangan-bilangan berikut ini. Manakah yang merupakan bilangan asli? Bilangan manakah yang merupakan bilangan bulat? -50， -3， -1,5， 0， 1， 7 ， 2 3 Kelompok yang dibentuk dengan syarat keanggotaan tertentu, seperti “semua bilangan asli” atau “semua bilangan bulat” disebut himpunan. Berdasarkan , di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa himpunan bilangan asli merupakan subset (himpunan bagian) dari himpunan semua bilangan bulat. Himpunan bilangan bulat merupakan subset dari himpunan semua bilangan. Hubungan antara himpunan semua bilangan asli, himpunan bilangan bulat, dan himpunan semua bilangan dapat digambarkan dalam diagram. Penyajian himpunan dalam bentuk diagram disebut Diagram Venn. Semua Bilangan 0,7 1 2 8 1 5 6,9 18 3 Bilangan Bulat 7 0 Bilangan Asli 3 21 74 1 5 13 48 Soal 1 Termasuk dalam kelompok yang manakah bilangan berikut ini pada gambar di atas? Tulislah bilangan-bilangan berikut pada tempat yang sesuai pada gambar. 1 -16， 92， 1.000， 0,3， - 60 52 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIIHubungan antara Himpunan Bilangan dan Hitungan Empat Operasi Diberikan empat operasi berikut ini. Jika kita isi dengan sembarang BAB 1 Bilangan Bulat bilangan asli, operasi manakah yang selalu menghasilkan bilangan asli? │ a+ b - c× d: Berdasarkan , di atas, penjumlahan dan perkalian dua bilangan asli selalu menghasilkan bilangan asli. Akan tetapi, selisih dan hasil bagi dua bilangan asli bukan merupakan bilangan asli. Dengan kata lain, jika kita membatasi pada himpunan bilangan asli, maka penjumlahan dan perkalian selalu dapat dikerjakan, tetapi tidak demikian dengan pengurangan dan pembagian. Soal 2 Pada tabel berikut ini kita melakukan empat operasi dengan membatasi pada himpunan yang ditentukan di kolom pertama. Apabila kita selalu dapat melakukan operasi pada himpunan tersebut, maka isilah dengan . Jika operasi tidak selalu dapat dilakukan, maka isilah dengan X. Jika jawabmu X, berikan contoh yang menunjukkan operasi tidak dapat dikerjakan. Catatan: Pembagian dengan nol tidak diperbolehkan. Penjumlahan Pengurangan Perkalian Pembagian Bilangan asli Contoh Contoh Bilangan bulat Semua bilangan Dengan himpunan semua bilangan asli, penjumlahan dan perkalian dapat selalu dilakukan. Jika kita memperluas menjadi himpunan semua bilangan bulat, maka penjumlahan, perkalian, dan pengurangan juga selalu dapat dijalankan. Dengan memperluas lebih lanjut menjadi himpunan semua bilangan, dengan mengeluarkan 0 sebagai pembagi, maka semua operasi dapat dilakukan. Himpunan bilangan-bilangan telah diperluas agar dapat melakukan semua operasi secara bebas. Bab 1 Bilangan Bulat 53Mari Kita Periksa 3 Perkalian dan Pembagian 1 Hitunglah. 2 (-7) × (-3) 1 (+8) × (-9) 4 8 × (-2) × (-4) Perkalian 3 -10 × 6 6 -62 ［Hlm.38］ Cth. 1 5 (-7)2 Cth. 2 ［Hlm.41］ S 12 ［Hlm.42］ Cth. 6 2 Hitunglah. 2 (-30) : (-6) 1 (-27) : (+3) Pembagian 3 15 : (-9) 4 （- 5 ）:（- 3） ［Hlm.43］ Cth. 2 8 4 ［Hlm.44］ Cth. 3 ［Hlm.45］ Cth. 4 3 Hitunglah. 2 5 × (-4) : 2 1 18 : (-6) × (-2) 3 Hitungan dengan Perkalian dan Hitunglah. 2 (-4) – 15 : (-3) Pembagian 1 10 + 2 × (-7) 4 18 + 4 × (1 – 7) ［Hlm.46］ Cth. 5 3 -5 × (6 – 9) 6 12 – 52 5 16 : (-4)2 4 Hitunglah berikut ini dengan sifat distributif. Hitungan Menggunakan 1 18（- 1 + 7） Empat Operasi 69 ［Hlm.47］ Cth. 1 2 (-6) × 55 + (-6) × 45 Cth. 2 Cth. 3 5 Sifat Distributif ［Hlm.48］ Cth. 4 6 Di antara empat operasi, nyatakan operasi yang selalu dapat dilakukan untuk himpunan bilangan asli. Sebutkan operasi yang selalu dapat Himpunan dilakukan pada himpunan bilangan bulat. Bilangan- Bilangan dan Empat Operasi ［Hlm.53］ S 2 5 4 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIIPengayaan 2 Perkalian dan Pembagian Mari kita terapkan yang telah kita BAB 1 Bilangan Bulat pelajari untuk belajar mandiri dan latihan. 1 Perkalian 3 Hitungan dengan Operasi Perkalian │ 1 (+2) × (+5) dan Pembagian 1 (-4) : (-2) × 7 2 (+3) × (-8) 2 20 × (-3) : (-5) 3 6 : (-9) × 15 3 (-4) × (+9) 4 (-3) × 6 : (-12) 4 (-6) × (-7) 5 2 × (-6) × (+10) 6 -3 × 8 × (-2) 5 (-48) : (-8) : (-4) 7 (-9)2 6 23 : (- 9 ) × 4 4 8 -92 7 1 × (- 10）+（- 154） 7 9 9 (-4)3 10 0,72 4 Hitungan dengan Kombinasi Empat Operasi 11 （- 3 ) × (+ 5 ） 1 (-4) + 2 × (-3) 5 8 2 -8 – 6 × 3 3 18 – 72 : (-9) 12 8 × ( - 1 ) × (-7) 4 3 × ((-7) – 5) 4 2 Pembagian 5 (5 - 19) : (-2) 1 (+12) : (+6) 6 4 × (-2) + (-14) : 2 7 36 : (-2)2 2 (+10) : (-2) 8 10 - 42 9 (-5)2 + (-52) 3 (-18) : (+6) 4 (-42) : (-7) 5 0 : (-3) 6 (+3,2) : (-8) 10 (-45) : 32 + 15 7 (- 2 ):6 11 20 + 6 × (7 – 10) 3 12 12 – 7 × {8 + (-9)} 8 (-12) : (- 4） 7 13 3 + (- 2 ):2 4 3 9 5 : (- 3 ） 8 4 14 7 – (- 1 )2 9 3 Jawaban di hlm.285, 286 Bab 1 Bilangan Bulat 55BAB 1 Soal Ringkasan Jawaban di hlm.287 Gagasan Utama Nyatakanlah bilangan atau kata yang cocok diisikan ke . 1 ; bilangan 6 lebih 1 Bilangan yang tiga lebih kecil dari dua adalah besar dari -4 adalah . 2 Jika kita menyatakan “lima tahun yang lalu” sebagai -5 tahun, kita dapat menyatakan “+5 tahun dari sekarang” sebagai . 3 Bilangan yang memiliki nilai mutlak 7 adalah dan . 4 Jika bilangan negatif ditambahkan ke suatu bilangan, maka hasilnya dibandingkan bilangan awal. Jika bilangan negatif dikurangkan dari sebuah bilangan, maka hasilnya adalah dibandingkan bilangan awalnya. 2 Hubungkanlah bilangan-bilangan berikut ini dengan menggunakan tanda pertidaksamaan. 1 -3，1 2 -6，-7 3 4，-5，-2 3 Hitunglah. 2 (-1) + (-9) 3 (-7) – (+8) 1 6 + (-4) 6 3 – (+4) – (-9) 4 (- 2 ) – (- 1 ） 5 -2 + 6 – 5 + 7 9 0,4 × (-0,2) 33 8 （- 43 )2 12 （- 9 ) : ( 6 ) 7 (-8) × (+2) 11 9 : (-12) 14 7 10 (-28) : (-4) 4 Hitunglah. 2 3 : (-6) × 8 1 -2 × 9 × (-5) 4 -2 × (5 – 9) 6 36 : (-32) 3 9 + 2 × (-3) 8 5 – 1 : (-3) 5 (-6) × 2 – 21 : (-7) 62 7 ( 1 – 2 ) × 12 4 3 56 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII5 Tabel berikut ini menunjukkan suhu maksimum dan minimum harian di Kota BAB 1 Bilangan Bulat Tsuruoka Jepang sejak tanggal 20 sampai 28 Februari 2013. │ Suhu maksimum dan minimum harian di Kota Tsuruoka Jepang sejak tanggal 20 sampai tanggal 28 Februari 2013 Tanggal 20 21 22 23 24 25 26 27 28 Suhu maksimum 0,8 -0,2 2,1 2,1 1,7 -0,4 3,0 7,5 8,5 (oC) Suhu minimum -4,7 -4,4 -2,6 -4,8 -5,1 -4,2 -3,5 -7,3 0,9 (oC) 1 Tanggal berapakah yang selisih suhu maksimum dan minimum hariannya yang paling besar? 2 Tanggal berapakah yang selisih suhu maksimum dan minimum hariannya yang paling kecil? Penerapan 1 Hitunglah. 2 17 2 – 4 – (- 5 ) 1 -2,4 : (-0,6) × 3 9 18 3 -62 – (5 – 8)2 4 (-4)2 + 16 : (-42) 5 -5 + 6× 1 6 1 – (- 7 ) : 7 14 7 3 3 82 7 1 – (- 3 )2 : 3 8 6 : (- 23 ）+ 5 × (-4) 8 4 2 2 Tabel di samping ini menunjukkan ABCDE skor hasil uji kebugaran yang dilakukan lima orang A, B, C, D, E baris pertama. Baris kedua menunjukkan skor 52 56 55 60 47 skor. Baris ketiga menunjukkan skor jika skor C dijadikan sebagai titik Skor (C sebagai titik +1 0 acuan. Jawablah pertanyaan berikut acuan) ini. 1 Lengkapi tabel tersebut. 2 Dengan menetapkan C sebagai titik acuan, hitunglah rata-rata skor lima orang tersebut. Tuliskan kalimat matematika yang kamu gunakan untuk menghitung hasilnya. Bab 1 Bilangan Bulat 57BAB 1 Soal Ringkasan Penggunaan Praktis 1 Joko memasang panel surya di atap rumahnya untuk membangkitkan tenaga listrik untuk memenuhi kebutuhan rumah tangganya. Dia Sumber: poskotanews.com berpikir “Jika tenaga listrik yang dihasilkan melebihi kebutuhan, maka Joko tidak perlu membayar listrik”. Tabel berikut ini menunjukkan tenaga listrik yang dibangkitkan, listrik yang dikonsumsi atau digunakan, dan kelebihan(surplus) selama 24 jam. (Surplus) = (tenaga yang dibangkitkan) – (tenaga yang dikonsumsi/ digunakan). Durasi (jam) 0〜2 2〜4 4〜6 6〜8 8〜10 10〜12 Tenaga dibangkitkan (kWh) 0 0 0,02 1,12 2,53 Tenaga digunakan (kWh) 0,9 0,8 2,4 1,6 0,8 Surplus (kWh) -0,9 -0,6 -1,28 0,93 2,3 12〜14 14〜16 16〜18 18〜20 20〜22 22〜24 2,98 2,05 1,41 0 0,6 1,2 3,46 2,74 2,2 2,38 0,85 -1 -2,63 -2,74 -2,2 1 kWh (kilowatt jam) merupakan satuan energi sama dengan 1 kWh yang dibangkitkan (dikonsumsi) dalam satu jam. 1 Ada hari di mana energi listrik yang dihasilkan adalah 0. Jelaskan mengapa? Lengkapi tabel di atas. 2 Nyatakan kapan surplusnya terbesar dan terkecil. 3 Berdasarkan data di atas, dapatkah kita mengatakan kalau Joko tidak perlu membayar listrik? Jelaskan alasan kesimpulanmu. (Kamu tidak perlu menemukan jawaban). 2 Estimasi atau taksiran. Sebuah truk menghasilkan emisi gas karbon monoksida (CO) sebesar 2,8 g/km. Jika truk tersebut telah menempuh perjalanan sejauh 4,129 km. Dengan melakukan pembulatan bilangan ke satuan terdekat, kita dapat menentukan estimasi emisi yang dihasilkan oleh truk tersebut. Emisi yang dihasilkan: 3 g/km (pembulatan ke atas) Jarak yang ditempuh: 4 km (pembulatan ke bawah) 3 x 4 = 12 g. Berdasarkan penjelasan di atas, jika truk tersebut menempuh jarak 21,891 km setiap harinya, tentukan estimasi emisi yang dihasilkan oleh truk tersebut selama setahun (365 hari). Jelaskan. Jadi, estimasi emisi yang dihasilkan selama perjalanan adalah 12 g. Pekerjaan Terkait 58 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII ［Insinyur］PenMdaaltaemri an Masalah Perbedaan Zona Waktu BAB 1 Bilangan Bulat │ Waktu yang kita acu bergantung pada bagian mana kita berada. Perbedaan waktu antara berbagai tempat dan negara-negara disebut perbedaan zona waktu. Gambar berikut ini menunjukkan perbedaan-perbedaan zona waktu berbagai kota di dunia. Kita tetapkan Tokyo sebagai titik acuan. London 0 Tokyo Honolulu New York -14 -9 -6 Doha -19 -8 Milan Sydney +1 Rio de Janeiro -12 Date line Wellington +3 Berdasarkan gambar di atas, ketika Tokyo pukul 20.00, kita tahu bahwa: Waktu di Sydney adalah 20 + 1 atau jam 21.00. Waktu di London adalah 20 – 9 atau jam 11.00. 1 Tentukan waktu di Wellington dan Rio de Janeiro, ketika di Tokyo pukul 20.00. 2 Jika kita tetapkan waktu London sebagai acuan, tentukan perbedaan zona waktu Doha dan Honolulu. Nyatakanlah dalam bilangan positif dan negatif. 3 Suatu pertandingan sepakbola direncanakan tanggal 1 Desember mulai pukul 21.00 waktu Milan. Pada tanggal dan jam berapakah orang di Tokyo harus menghidupkan TV-nya supaya dapat menyaksikan siaran langsung? Sumber: Dokumen Puskurbuk Bab 1 Bilangan Bulat 59BAB KEMENTERIAN PENDIDIKAN, KEBUDAYAAN, RISET, DAN TEKNOLOGI REPUBLIK INDONESIA, 2021 2 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII Penulis: Tim Gakko Tosho Penyadur: Sugiman & Achmad Dany Fachrudin ISBN: 978-602-244-515-9 (jil.1) Aljabar 1 Aljabar dalam Kalimat Matematika 2 Menyederhanakan Bentuk Aljabar Berapa banyak lidi yang kita perlukan? Persegi dapat dibentuk dengan menghubungkan lidi-lidi yang panjangnya sama secara berdampingan. Berapa banyak lidi diperlukan untuk membentuk 4 persegi? Berapa banyak lidi diperlukan untuk membentuk 10 persegi? Untuk membuat 2 persegi kita butuh 7 lidi. Yuni menggunakan kalimat matematika berikut untuk menentukan 1 banyaknya lidi yang diperlukan untuk membentuk empat persegi berdampingan. Jelaskan idenya. Bilangan-bilangan 1, 3, dan 4 menyajikan apa? 1+4×3 ??? 60 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIIDengan menggunakan cara Yuni, bagaimana BAB 2 Aljabar│ 2 menyusun kalimat matematika untuk menghitung banyaknya lidi yang diperlukan untuk membentuk 5 persegi, 6 persegi? Bagaimana dengan 10 persegi? Heru menyajikan kalimat matematika untuk menentukan banyaknya lidi yang 3 diperlukan untuk membuat empat persegi. Jelaskan gagasannya. 4 + (4 – 1) × 3 Mari kita pikirkan cara lain untuk menghitung banyaknya lidi yang diperlukan Bagaimana cara yang tepat untuk menentukan banyaknya lidi? Gunakan cara yang berbeda dengan Heru dan Yuni. Susunlah kalimat 4 matematika dari cerita di atas, kemudian hitunglah banyaknya lidi yang dibutuhkan. Jelaskan idemu. Dengan menggunakan cara seperti di Mengapa ada banyak sekali pernyataan atas, susunlah penyataan matematika berbeda, tetapi jawabannya sama? untuk menentukan banyaknya lidi yang diperlukan untuk membentuk persegi- persegi yang diminta. Hlm.62 Hlm.82 Bab 2 Aljabar 611Aljabar dalam Kalimat Matematika 1 Kalimat Matematika Menggunakan Huruf atau Variabel Tujuan Siswa mampu menyusun pernyataan tentang hubungan antarbilangan dengan kalimat matematika dengan menggunakan huruf atau variabel Pada soal-soal di halaman 60 dan 61, jika banyaknya persegi bertambah, bagaimana perubahan kalimat matematika yang digunakan untuk menentukan banyaknya lidi yang diperlukan? Mari kita cermati cara Yuni. ［Banyaknya persegi］ ［Kalimat matematika untuk menentukan banyaknya lidi yang diperlukan］ 1 2 1+(1× 3 ) 3 1+(2× 3 ) 4 1+(3× 3 ) 1+(4× 3 ) Pada , 3 lidi ditambahkan setiap kali Berpikir Matematis menambah satu persegi. Banyaknya lidi yang diperlukan selalu dapat ditentukan Kita membuat berbagai pernyataan ketika banyaknya persegi diketahui. Kalimat matematis dengan mengubah matematika untuk menentukan banyaknya lidi banyaknya persegi, kemudian kita adalah sebagai berikut: dapat menentukan banyaknya lidi yang diperlukan. Dengan demikian, kita 1 + 3 × (banyaknya persegi). mampu menentukan bentuk umum. Jika banyaknya persegi kita nyatakan sebagai a, Pernyataan matematika untuk maka kalimat matematikanya menjadi menghitung banyaknya lidi yang diperlukan 1 + 3 × a. 1 + 3 × ( banyaknya persegi ) Kalimat matematika dengan menggunakan huruf disebut bentuk aljabar. 1 + 3× 1 + 3 × a a persegi 62 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIISoal 1 Gunakan metode pada halaman sebelumnya untuk menentukan berapa Soal 2 lidi dibutuhkan untuk membuat 20 persegi. Berapa lidi yang diperlukan untuk membuat 30 persegi? Pada kalimat matematika di halaman 60 dan 61, jika kita menggunakan cara Heru untuk menentukan banyaknya lidi yang diperlukan untuk membuat a persegi, maka kalimat matematikanya adalah 4 + 3 × (a – 1). Lengkapi penjelasan di bawah ini dengan mengisi dengan bilangan atau kalimat BAB 2 Aljabar matematika. │ Banyaknya lidi yang diperlukan untuk a persegi membentuk persegi pertama adalah ( ) persegi . Setelah membuat persegi pertama, kita menambahkan lidi untuk membentuk persegi lagi. Jika persegi pertama tidak disertakan, maka ada a persegi. Jadi, banyaknya persegi adalah . Kesimpulannya, kalimat matematika untuk menentukan banyaknya lidi yang diperlukan adalah 4 + 3 ( a – 1). Soal 3 Menggunakan pendekatan pada Soal 2, tentukan banyaknya lidi yang diperlukan untuk membentuk 20 persegi dan 30 persegi. Bandingkan jawabanmu dengan jawaban di Soal 1. Soal 4 Dengan menggunakan metode pada halaman 62, kalimat matematika untuk menentukan banyaknya lidi yang diperlukan membentuk a persegi dinyatakan sebagai 1 + a × 3. Banyaknya lidi yang dapat dinyatakan sebagai (1 + 3 × a). Dengan kata lain, pernyataan matematika dengan menggunakan huruf berperan sebagai cara untuk menentukan banyaknya lidi, dan menyatakan hasil perhitungan. Dengan menggunakan Soal 2, dapatkah kamu menyatakan banyaknya lidi yang diperlukan untuk membuat a persegi? Kalimat matematika dengan Dapatkah kamu menyatakan menggunakan huruf membuat kita hubungan berbagai besaran mampu menemukan banyaknya dengan menggunakan huruf? lidi yang diperlukan berapa pun banyaknya persegi yang diminta. Hlm.64 Bab 2 Aljabar 63Tujuan Siswa mampu menjelaskan hubungan antarbesaran dengan menggunakan bentuk aljabar. Contoh 1 Kita dapat menyatakan berat 5 kotak yang masing-masing beratnya a kg sebagai (5 × a) kg. a kg a kg a kg a kg a kg Soal 5 Tentukan total berat kotak di Contoh 1 jika masing-masing beratnya 12 kg. Soal 6 Nyatakan besaran-besaran berikut ini dengan menggunakan bentuk Contoh 2 aljabar. 1 Total harga 8 satuan jika masing-masing harganya x rupiah. 2 Kembalian yang diterima ketika membeli barang seharga a rupiah dengan uang selembar 10.000 rupiah. 3 Panjang sepotong pita yang diperoleh dengan memotong pita sepanjang x meter menjadi 4 bagian sama panjang. Berapa biaya total untuk membeli a pensil yang masing-masing harganya 6.000 rupiah dan b buku yang masing-masing harganya 10.000? Penyelesaian Harga a pensil yang harga satuannya 6.000 a pensil rupiah adalah (a × 6.000) 6.000 rupiah per pensil Harga b buku yang harga satuannya 10.000 rupiah adalah (b × 10.000) b buku 10.000 rupiah per buku Jadi, harga total dapat dinyatakan sebagai: (a × 6.000 ＋ b × 10.000) Jawab: (6.000a ＋ 10.000b) rupiah Soal 7 Tentukan harga total 5 pensil dan 3 buku pada Contoh 2. Soal 8 Nyatakan besaran-besaran berikut ini menggunakan bentuk aljabar. 1 Total harga x perangko yang masing-masing seharga 520 rupiah, dan y perangko masing-masing seharga 820 rupiah. 2 Berat total 3 barang masing-masing seberat a gram dan sebuah barang seberat b gram. Dengan menggunakan huruf, kita Ada aturan dalam menuliskan dapat menyatakan hubungan bentuk aljabar. Mari kita selidiki antarbesaran dengan bentuk aturan-atauran tersebut. aljabar. Hlm.65 6 4 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII2 Menuliskan Bentuk Aljabar Tujuan Siswa mampu menyatakan perkalian dan pembagian bentuk aljabar Cara Menyatakan Perkalian Banyaknya materai dalam satu lembar adalah a BAB 2 Aljabar│ buah. Nyatakan banyaknya materai pada gambar di samping ini ke dalam bentuk aljabar. 3 materai a materai a materai Aturan berikut ini berlaku untuk menyatakan perkalian dalam bentuk aljabar. PENTING Cara Menyatakan Perkalian 1 Dalam bentuk aljabar hapus tanda perkalian (×). 2 Ketika mengalikan bilangan dan huruf, tulislah bilangan di depan huruf. Contoh 1 1 3 × a = 3a 2 x × (-4) = -4x 3 b × a = ab 4 x × 6 × y = 6xy 5 (x + y) × 2 = 2(x + y) 6 10 – a × 2 = 10 - 2a Catatan Jika dua huruf dikalikan, misalnya b × a, biasanya hasil kalinya dinyatakan terurut secara alpabetis, yaitu ab. Soal 1 Nyatakan besaran-besaran berikut ini menggunakan bentuk aljabar. 1 12 × x 2 a×7 3 (-5) × a 5 x × 0,4 6 y × 10 × x 4 y × 2 8 x×6-3 9 x×2+3×y 3 7 (a - b) × (-8) 1 × a ditulis a, tidak ditulis 1a. Angka 1 di depan a 1 × a = a (-1) × a = -a dihapus. (-1) × a ditulis -a, bukan -1a. Akan tetapi, untuk 0, tetap ditulis 0. 1 Aljabar dalam Kalimat Matematika Bab 2 Aljabar 65Soal 2 Nyatakanlah bentuk perkalian berikut ini menggunakan aturan penulisan bentuk Soal 3 aljabar. 1 x×1 2 a × (-1) × b 3 y × (-0,1) Nyatakanlah kalimat-kalimat berikut ini dengan bentuk aljabar dan gunakanlah aturan penulisan bentuk aljabar. 1 Panjang total x gulungan pita yang masing-masing panjangnya 2 m. 2 Berat total sebuah kotak seberat a kg dan lima kotak yang masing-masing beratnya b kg. Cara Menyatakan Perpangkatan Bentuk Aljabar Nyatakan besaran-besaran berikut ini a cm a cm a cm menggunakan bentuk aljabar. a cm 1 Luas persegi dengan sisi a cm. a cm 2 Volume kubus dengan panjang sisi a cm. Kita telah menyajikan 5 × 5 sebagai 52, dan 5 × 5 × 5 a3 Eksponen sebagai 53. Kita dapat menyatakan a × a sebagai a2 dan a × a × a sebagai a3. Berpikir Matematis Aturan berikut ini berlaku dalam menyatakan perkalian huruf yang sama menggunakan bentuk Kita dapat menyatakan bentuk aljabar aljabar. sama dengan perpangkatan dalam bentuk eksponen dalam menyatakan PENTING bilangan-bilangan. Cara Menyatakan Perpangkatan Bentuk Aljabar Saya Bertanya Hasil kali huruf yang sama ditulis dengan menggunakan eksponen. Dapatkah kita menulis a1 dan a0? Hlm.71 Contoh 2 1 x × x × 3 = 3x2 2 a × (-1) × a × a = -a3 3 a × a × a × b × b = a3b2 Soal 4 Nyatakanlah pernyataan berikut ini dengan menggunakan eksponen. 1 a×7×a 2 x × x × (-2) × x 3 x×y×y×x×y Soal 5 Nyatakanlah pernyataan berikut ini dengan menggunakan tanda perkalian (×). 1 -8x 2 3a + 5b 3 4y2 66 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIICara Menyatakan Hasil Bagi Bentuk Alajbar Seorang atlet lompat jauh melakukan dua kali Sumber: Dokumen Puskurbuk BAB 2 Aljabar lompatan. Lompatan pertama sejauh a cm, dan lompatan kedua sejauh b cm. Nyatakan rata- rata dari dua kali lompatan tersebut dengan menggunakan bentuk aljabar. Gunakan aturan penulisan bentuk aljabar berikut ini untuk menyelesaikannya. │ PENTING Cara Menyatakan Hasil Bagi Di dalam bentuk aljabar yang digunakan adalah bentuk pecahan, bukan simbol pembagian. Contoh 3 x 2 5:a= 5 1 x:3= 3 a 3 (a + b) : 2 = a+b 4 x : (-4) = x = - x 2 -4 4 Catatan x : 3 sama dengan x × 1 ; x dapat dinyatakan juga sebagai 1 x. Dengan cara yang sama, kita 33 3 dapat menyajikan a + b . 2 Soal 6 Nyatakanlah bentuk berikut ini menggunakan aturan penulisan bentuk aljabar. 1 x:6 2 a:b 3 (x - y) : 5 4 a : (-7) Soal 7 Nyatakanlah besaran-besaran berikut ini dalam bentuk aljabar. Gunakan aturan penulisan bentuk aljabar yang sesuai. 1 Panjang sepotong pita yang diperoleh dengan menggunting satu gulung pita yang panjangnya a meter menjadi lima bagian sama panjang. 2 Lebar empat persegi panjang yang panjangnya x cm dan luasnya 20 cm2. 3 Rata-rata panjang kotak yang beratnya masing-masing a kg, b kg, dan c kg Soal 8 Nyatakanlah pernyataan berikut ini menggunakan tanda pembagian ( : ) . a 2 x+y 3 9x - y 17 3 5 Bab 2 Aljabar 67Cara Menyatakan Besaran Sumber: Dokumen Puskurbuk Berapa jarak yang ditempuh jika kita Ulasan melakukan perjalanan selama 2 jam dengan kecepatan 80 km per jam? Berapa v = s : t dengan: s adalah jarak jarak tempuhnya jika waktu tempuhnya a v adalah kecepatan jam? s=v×t t adalah waktu Kita telah mempelajari hubungan antara kecepatan, jarak, dan waktu tempuh di SD. Kelas VI - I Hlm. 83 Contoh 4 Mia berjalan 1.500 m dari rumahnya ke sekolah dengan kecepatan 70 m per menit. Berapa jarak Mia ke sekolah setelah a menit berangkat dari rumah? Cara Jarak antara Mia ke sekolah adalah selisih antara jarak rumah ke sekolah dengan jarak yang telah ditempuh Mia. Penyelesaian Jarak tempuh selama a menit dengan 70 m per menit kecepatan 70 m per menit adalah 70 × a. Rumah Sekolah Jadi, jarak antara Mia dengan sekolah adalah (1.500 – 70a) m. 70a ｍ ？ Jawab: (1.500 – 70a) m 1500 ｍ Soal 9 Pada Contoh 4, tentukan jarak antara Mia ke sekolah setelah dia berjalan Soal 10 selama 12 menit. Nyatakanlah besaran-besaran berikut ini dengan bentuk aljabar. 1 Jarak yang ditempuh setelah berjalan a menit dengan kecepatan 60 m per menit. 2 Waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak x km dengan kecepatan 4 km per jam. 3 Kecepatan ketika menempuh 1.200 m selama a menit. 4 Jarak yang tersisa setelah 2 jam menempuh perjalanan dengan kecepatan x km per jam di jalan raya yang panjangnya 140 km. 68 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIIContoh 5 Berapa orang kah 5% dari 200 orang? Ulasan Berapakah 40% dari 5.000? 1％ … 1100 ，0,01 Pada bulan Juli, 31% pengunjung akuarium 10％ … 110 ，0,1 raksasa adalah anak-anak. Jika ada x pengunjung, berapa banyak anak-anak yang Kelas V - II Hlm. 60 mengunjungi akuarium di bulan Juli? BAB 2 Aljabar Cara Banyaknya anak-anak yang mengunjungi │ akuarium raksasa di bulan Juli dapat dinyatakan sebagai: Sumber: news.detik.com (Total banyaknya pengunjung) kali (persentase) Penyelesaian 31% disajikan dalam bentuk pecahan Jika kita menyajikan persentase dalam menjadi 31 bentuk desimal, 100 bagaimanakah kita menyatakan Jadi, 31% dari x orang adalah banyaknya orang? x × 31 = 31 x 100 100 Jawab: 31 x 100 Soal 11 Pada Contoh 5, berapakah banyaknya anak-anak jika total pengunjung adalah 1.400 orang? Soal 12 Nyatakanlah pernyataan berikut dengan menggunakan bentuk aljabar. Soal 13 1 9％ dari x g 2 12％ dari y rupiah 3 3％ dari a orang Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini. 1 Di tahun 2013, produsen beras utama di Jawa Barat adalah Cianjur, yang memproduksi 7,7% produksi nasional. Jika kita nyatakan jumlah beras yang dihasilkan di 2013 adalah x ton, berapa ton beras yang dihasilkan Cianjur? Sumber: Dokumen Puskurbuk 2 Sebuah toko memberikan potongan 20%. Berapakah harga suatu barang jika harga normalnya a rupiah? 3 Sebuah sekolah menengah pertama dengan x siswa tahun lalu, tahun ini meningkat 3%. Berapakah banyaknya siswa tahun ini? Bab 2 Aljabar 69Hitung luas jajargenjang dengan alas 10 cm 6 cm dan tinggi 6 cm. Hitung luas segitiga dengan 10 cm alas dan tinggi yang sama dengan alas dan tinggi jajargenjang. h cm a cm Contoh 6 Karena luas jajargenjang adalah (alas) kali (tinggi), maka luas jajargenjang yang alasnya a cm dan tingginya h cm dapat dinyatakan sebagai ah cm2. Soal 14 Nyatakanlah luas berikut ini dengan bentuk aljabar. 1 Sebuah segitiga dengan 2 Sebuah trapesium dengan alas atas a alas a cm dan tinggi h cm. cm, alas bawah b cm, dan tinggi h cm. a cm h cm h cm a cm b cm Menyatakan Besaran Menggunakan Bentuk Aljabar Contoh 7 Harga karcis masuk kebun binatang adalah x rupiah untuk orang dewasa dan y rupiah untuk pelajar. Harga karcis untuk dua orang dewasa dan tujuh pelajar adalah (2x + 7y) rupiah. Sumber: trivindo.com Soal 15 Berdasarkan Contoh 7, tentukan makna dari: a. 5x rupiah b. (x + 14y) rupiah 70 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIISoal 16 Saya bersepeda dari rumah ke perpustakaan dengan kecepatan 250 m Soal 17 per menit pada jarak a m. Kemudian dilanjutkan berjalan b meter dengan kecepatan 40 m per menit. Menyatakan apakah kalimat matematika di bawah ini? Sebutkan satuan besarannya. 2 a + b 1 a+b 250 40 Perhatikan persegi panjang seperti pada gambar aｍ BAB 2 Aljabar di samping. Jelaskan bentuk matematika berikut ini dan sebutkan satuannya. │ 1 3a 2 2 (a + 3) 3 a+a+3+3 3ｍ Marilah kita mencoba Pada Soal 17 (2) dan (3) besarnya sama. meletakkan beberapa Apakah ada cara lebih baik dalam bilangan dalam bentuk menyatakan bentuk aljabar? matematika. Hlm.75 Hlm.72 Cermati Tingkatkan Dapatkah Kita Menggunakan a1 dan a0? Kita dapat menyatakan hasil kali dari huruf-huruf yang sama dengan menggunakan eksponen, seperti a × a = a2 dan a × a × a = a3. Dapatkah kita menggunakan 1 dan 0 sebagai eksponen dan menuliskan a1 dan a0? Seperti ditunjukkan pada gambar di samping, eksponen a4 = a × a × a × a :a bertambah 1, artinya dikalikan ×a :a dengan a. Jadi, menurunkan :a eksponen 1, artinya membagi a3 = a × a × a :a dengan a. ×a a2 = a × a ×a a1 = a × a a0 = 1 Marilah kita pikirkan -1 sebagai eksponen. Kapankah eksponen nya menjadi negatif, misalnya a-1. Apa artinya? Bab 2 Aljabar 713 Substitusi Bentuk Aljabar Tujuan Siswa mampu menentukan substitusi bentuk aljabar dengan mengganti huruf dengan bilangan Berdasarkan soal di halaman 60 dan 61, Persegi 1 Persegi 2 Persegi a banyaknya lidi yang diperlukan untuk membuat a persegi berdampingan dapat (1 + 3a) lidi dinyatakan sebagai (1 + 3a). Dengan menggunakan kalimat matematika, hitunglah banyaknya lidi yang diperlukan untuk membuat 50 persegi. Mengganti huruf dengan bilangan dalam 1+3a bentuk aljabar disebut mensubstitusi bilangan ke bentuk aljabar. = 1 + a × 3 Substitusi = 1 + 50 × a a = 50 = 151 (Nilai bentuk aljabar) Contoh 1 Tentukan nilai 3x – 5 untuk x = -2 Penyelesaian 3x – 5 Gunakan tanda kurung = 3 × (-2) – 5 ketika mensubstitusikan = -6 – 5 bilangan negatif. Substitusi x dengan -2 = -11 Jawab: -11 Soal 1 Hitunglah nilai bentuk aljabar untuk x = 5. Lalu hitung kembali untuk x = -3. Soal 2 1 -8x 2 4x + 7 3 16 – 2x 4 x–5 2 Hitunglah nilainya untuk a = 1 . 2 9a – 2 3 1 -12a 72 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIIContoh 2 Jika x = -7, maka nilai untuk -x dan x2 adalah sebagai berikut. 1 -x 2 x2 Kapan nilai x menjadi = (-1) × x = (-7)2 bilangan positif? = (-1) × (-7) = (-7) × (-7) = 7 = 49 Soal 3 Hitunglah nilai dari bentuk aljabar berikut untuk a = -4. BAB 2 Aljabar │ 1 -a 2 a2 3 -2a2 Contoh 3 Hitunglah nilai dari 2x + 4y untuk x = 3 dan y = -5. Penyelesaian 2x + 4y = 2 × 3 + 4 × (-5) 2 x + 4 y = 6 – 20 = 2 × x + 4 × y = -14 = 2 × 3 + 4 × (-5) Jawab: -14 Hitunglah nilai bentuk di bawah ini untuk x = -2 dan y = 4. Soal 4 1 2x + 5y 2 3x – 4y 3 x2 – y Contoh 4 Kecepatan suara bergantung pada angin dan suhu. Jika suhu toC, kecepatan suara dapat dinyatakan sebagai (331,5 + 0,6t) m/dtk. Jika suhu udara 10oC, maka (331,5 + 0,6 × 10) = 337,5. Jadi, kecepatan suaranya adalah 337,5 m/dtk. Soal 5 Ulang tahun Jakarta diperingati dengan pesta kembang api di Monas. Ketika menyaksikan dari rumah, suara kembang api terdengar tepat 2 Sumber: jakrev.com detik setelah sinar kembang api terlihat. Suhu udara hari itu adalah 30oC. Tentukan jarak dari Monas ke rumah. Bab 2 Aljabar 73Mari Kita Periksa 1 Bentuk Aljabar 1 Nyatakan dalam bentuk aljabar (gunakan aturan penulisan aljabar). Menuliskan Bentuk 1 x×5 2 (- 1 ) × a Aljabar 3 (x - y) × 6 4 ［Hlm.65］Cth. 1 4 (-1) × x × y ［Hlm.66］Cth. 2 ［Hlm.67］Cth. 3 5 y×4×y 6 2×x+y×8 2 7 a:9 8 (a + b) : 5 Menuliskan Bentuk Nyatakan besaran-besaran berikut ini dengan menggunakan bentuk Aljabar ［Hlm.66］ S 3 aljabar. ［Hlm.67］ S 7 1 Berat a koper jika masing-masing beratnya 5 kg. ［Hlm.68］ Cth. 4 2 Banyaknya air yang diterima setiap orang jika x l air dibagi sama banyak ［Hlm.69］ Cth. 5 ke 3 orang. 3 Banyaknya orang secara keseluruhan, jika ada 4 tim masing-masing terdiri dari a orang dan 7 tim masing-masing terdiri a dari b orang. 3 Saya membeli 5 apel masing- harga sebutir apel a rupiah masing harganya a rupiah. Menyatakan Saya membayar dengan uang 3 5a ＋ 1 Besaran dengan pecahan 10.000 rupiah. Besaran Menggunakan apakah yang dinyatakan bentuk Bentuk Aljabar matematika berikut ini? ［Hlm.70］Cth. 7 1 5a rupiah 4 2 (10.000 - 5a) rupiah Substitusi Bentuk Aljabar Tentukan nilainya ketika a = -3. ［Hlm.72］Cth. 1 ［Hlm.73］Cth. 2 1 -4a 2 a2 5 Hitung nilai dari 2x – 3y untuk x = 10 dan y = -7. Substitusi Bentuk Aljabar ［Hlm.73］ Cth. 3 74 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII23. Menyederhanakan Bentuk Aljabar 1 Bentuk Aljabar Linear BAB 2 Aljabar Tujuan Siswa memahami cara menggabungkan suku-suku bentuk aljabar │ Suku dan Koefisien Nyatakanlah luas tiga persegi panjang pada gambar 3 di samping ini dengan menggunakan bentuk aljabar. a Hitunglah selisih luas antara dua gambar di (1) dan (2) (3) (1) 7 (2) 2 1 a Selisih luas persegi panjang di jika dibandingkan dengan 1 dapat dinyatakan sebagai 3a - 7. Dengan menggunakan tanda +, pernyataan tersebut dapat dituliskan Koefisien sebagai 3a + (-7), 3a dan 7 disebut suku-suku. Pada suku 3a, bilangan 3 disebut koefisien dari a. 3 a + (-7) Suku Contoh 1 Karena -2x – 5 = -2x + (-5), maka suku- suku pada bentuk aljabar -2x – 5 adalah -2x dan -5. Koefisien dari x pada Kita telah belajar tentang suku -2x adalah -2. bilangan positif dan negatif. Suku-suku akan mudah dilihat ketika bentuk diubah ke dalam bentuk matematika penjumlahan saja. Soal 1 Sebutkanlah suku-sukunya. Tentukan koefisien dari huruf-huruf pada bentuk Soal 2 aljabar berikut ini. x 4 2 + 7 1 5a – 20 2 -9a + 8 3 4–x Berdasarkan , di atas, bandingkan luas (3) dengan luas (2) dan nyatakanlah selisih luas tersebut menggunakan bentuk aljabar. Sebutkan suku-sukunya. Untuk suku dengan huruf, sebutkan koefisiennya. Bab 2 Aljabar 75Ketika terdapat suku-suku dengan huruf yang 3 sama seperti pada Soal 2 di halaman 75, kita dapat a menerapkan sifat distributif untuk menggabungkan suku-suku dengan huruf yang sama. 3a - 2a = (3 – 2)a = a Contoh 2 1 a + 5a = (1 + 5)a 2 4x – 6x = (4 – 6)x Soal 3 = 6a = -2x Contoh 3 Sederhanakan. 2 9a – 6a 3 -7b + b Soal 4 1 5x + 2x 5 0,4x + 0,6x 4 -y – 4y 6 4a – 1a 5 5 7a + 5 – a – 8 = 7a – a + 5 – 8 Susunlah ulang suku-sukunya. 6a dan -3 tidak = (7 – 1)a + 5 – 8 bisa digabungkan = 6a – 3 Kumpulkan suku-suku lebih lanjut dalam dengan huruf yang sama, satu kelompok. juga suku-suku bilangan. Sederhanakanlah. 2 -3a + 5 + 9a – 2 Cobalah 1 4x + 7 + 5x + 8 4 -a + 2 – 3 – 8a 3 2x – 12 – 6x + 15 Hlm.85 Pengayaan 3 -1 Suku yang dinyatakan sebagai hasil kali satu huruf Saya Bertanya dan bilangan positif atau negatif seperti 2x atau -8a disebut suku linear. Bagaimana pendapatmu tentang suku-suku kuadrat pada bentuk aljabar? Hlm.81 Soal 5 Manakah yang merupakan bentuk aljabar linear? a -8x b x2 + 1 c 2a + 8 d 2 a – 7 5 Sekarang kita dapat menggabungkan Kita dapat melakukan berbagai operasi suku-suku yang memuat huruf yang sama dengan menerapkan sifat hitung yang telah kita pelajari untuk distributif. menggabungkan suku-suku yang memuat huruf yang sama. Hlm.77 76 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII2 Menyederhanakan Bentuk Linear Tujuan Siswa mampu menyederhanakan bentuk aljabar linear Penjumlahan dan Pengurangan dalam Bentuk Linear Ketika pita kakak sepanjang a cm saya potong, maka pitanya berkurang 7 BAB 2 Aljabar│ cm. Ketika saya memotong pita adik sebanyak dua potong masing-masing sepanjang a cm, maka pitanya tinggal 5 cm. 7 cm pita kakak a cm 5 cm pita adik a cm a cm 1 Berapakah panjang pita kakak digabungkan dengan pita adik mula-mula? 2 Berapa cm pita adik lebih panjang dari pita kakak? Contoh 1 (a - 7) + (2a + 5) a–7 Ketika menghitung secara = a – 7 + 2a + 5 2a + 5 vertikal pastikan suku-suku = a + 2a – 7 + 5 + yang memuat huruf dan = 3a – 2 3a – 2 suku-suku bilangan sejajar secara vertikal. Ketika menambahkan dua bentuk aljabar linear, gabungkan suku-suku yang memuat huruf yang sama. Demikian juga suku-suku bilangan. Tujuannya adalah untuk menyederhanakan bentuk aljabar tersebut. Soal 1 Sederhanakanlah. 1 (5x – 4) + (3x – 6) 3 (3a + 5) + (-2a + 8) 2 (2x + 9) + (4x – 3) 5 (-7 + 5x) + (2 – 5x) 4 (-7a – 1) + (a + 4) 6 （ 3 x – 32 ）+（ 2 x + 1 ) 5 5 3 Bab 2 Aljabar 77Contoh 2 Sederhanakanlah (2a + 5) – (a – 7). Ulasan Cara Ubahlah tanda negatif pada a – 7, Dalam melakukan pengurangan, Kemudian jumlahkan dengan bentuk aljabar linear lain. kamu dapat mengubah suku bertanda negatif menjadi suku bertanda positif. (+3) - (+5) = (+3) + (-5) Hlm.28 Penyelesaian (2a + 5) – (a – 7) = (2a + 5) + (-a + 7) 2a + 5 = 2a + 5 – a + 7 a–7 _ = a + 12 2a + 5 - a + 7 Jawab: a + 12 a + 12 + Ketika mengurangkan bentuk aljabar linear, ubahlah tanda dari pengurang, kemudian jumlahkan pada suku linear lainnya. Soal 2 Sederhanakanlah. 1 (7x + 2) – (3x – 1) 3 (-4a + 9) – (a + 3) 2 (x – 8) – (2x – 5) 5 (7 – x) – (2x + 8) 4 (5a + 6) – (-2a + 6) Cobalah 6 （ 1 x – 2) –（12 x – 5) Hlm.85 3 Pengayaan 3 -2 Perkalian Bentuk Aljabar dan Bilangan Terdapat 5 orang yang masing-masing menerima 4 buah kotak berisi kelengkeng. Tiap kota tersebut berisi seberat a gram kelengkeng. Nyatakan berat total kelengkeng (yang diterima 5 orang) tersebut. Pastikan berat kotak tidak dihitung. Sumber: Dokumen Puskurbuk Contoh 3 1 4a × 5 2 8 × (-x) = 4 × a × 5 = 8 × (-1) × x =4×5×a = -8x = 20a 78 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIISoal 3 Sederhanakanlah. 1 6x × 2 4 -b × (-9) 2 (-7) × 2y 3 -3a × 4 5 10 × 0,8x 6 2 a × 6 3 Contoh 4 Sederhanakanlah 2(x + 4). Ulasan Cara hapus tanda kurung dengan menerapkan sifat a(b + c) = ab + ac BAB 2 Aljabar│ distributif. b+c Penyelesaian 2(x + 4) a ab ac = 2 × x + 2 × 4 = 2x + 8 Jawab: 2x + 8 bc Contoh 5 1 (2x + 5) × (-3) Ulasan = 2x × (-3) + 5 × (-3) Soal 4 = -6x – 15 (b + c)a = ab + ac Contoh 6 Soal 5 2 -(7x – 8) Kelas VII Hlm. 92, 127 = (-1) × (7x – 8) = (-1) × 7x + (-1) × (-8) = -7x + 8 Sederhanakanlah. 2 -2(4x + 5) 3 (1 – 6x) × 3 5 -(-9x + 8) 1 5(x + 2) 6 2 (9y + 6) 4 (a – 4) × (-6) 3 x–5 ×6 = x –2 5 ×6 (x – 5) × 6 2 2 = (x – 5) × 3 = (x – 5) × 3 =3x – 15 Sederhanakanlah. 2 12 × x – 3 1 3x + 1 × 4 4 2 Bab 2 Aljabar 79Pembagian Bentuk Aljabar dengan Bilangan Contoh 7 Sederhanakanlah 6x : 4. Penyelesaian ① Diubah ke perkalian. ② Diubah ke bentuk pecahan 6x : 4 = 6x × 1 6x : 4 = 6x 4 4 =6× 1 × x = 3x Jawab: 3x 4 2 2 = 3 x Jawab : 3 x 2 2 Catatan Jawaban Contoh 7 adalah 3 x atau dapat ditulis juga 3x . Koefisien 3 merupakan pecahan 2 22 tidak sebenarnya dari suku 3 x. 2 Soal 6 Sederhanakanlah. 1 8x : 2 2 12x : (-4) 3 -10x : (-5) 4 -a : 5 5 9x : 12 6 15x : (- 3 ) 2 Contoh 8 (3x + 9) : 3 = (3x + 9) × 1 Ubah pembagian menjadi perkalian. 3 1 1 Hapus tanda kurung dengan = 3x × 3 +9× 3 menerapkan sifat distributif. =x+3 Soal 7 Sederhanakanlah. 2 (12a – 8) : (-4) 3 (10x – 5) : 5 Soal 8 1 (2x + 6) : 2 2 Ilzar mengubah (8x – 3) : 2 ke dalam pecahan Benarkah? seperti ditunjukkan di samping ini. Apakah yang dilakukan Ilzar benar? Koreksilah (8x – 3) : 2 kesalahannya jika ada. 4 Cobalah = 8x 2- 3 Hlm.85 1 Pengayaan 3 -3 = 4x – 3 80 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIIBerbagai Penyederhanaan Contoh 9 2(a – 4) + 3(5a + 2) Hapus tanda kurung dengan = 2a – 8 + 15a + 6 menerapkan sifat distributif. = 17a – 2 Contoh 10 3(2x + 1) – 8(x – 2) -8 ( x – 2 ) BAB 2 Aljabar = 6x + 3 – 8x + 16 = ( -8 ) × x + ( -8 ) × (-2) = -8x + 16 │ = -2x + 19 2 2(-a + 6) + 4(a – 3) Soal 9 Sederhanakanlah. 4 2(a + 5) – 8(a + 1) 6 -(a – 8) – 5(-2a + 4) 1 (6x + 1) + 3(x + 2) 3 -3(3x – 5) + 7(2x – 1) 5 6(x – 2) – 2(3x – 7) Soal 10 Sederhanakanlah. 1 1 (6x + 4) + (6x – 3) 2 Cobalah 2 2 (9a – 6) – 1 (2a – 10) 3 2 Hlm.85 Pengayaan 3 -4 Sekarang kita dapat Berdasarkan apa yang telah kita pelajari menyederhanakan bentuk aljabar dengan cara sejauh ini, pikirkan kembali soal di halaman 60 menerapkan sifat distributif. dan 61. Hllm.82 Cermati Tingkatkan Apa Pengertian Suku Aljabar Kuadrat dan Bentuk Aljabar Kuadrat? Suku-suku yang menyatakan hasil kali dua huruf dan bilangan seperti 2x2 atau -5a2b disebut suku aljabar kuadrat. Bentuk aljabar yang memuat suku kuadrat disebut bentuk aljabar kuadrat. Contoh ［Bentuk Aljabar kuadrat］ 3x2 + 2x + 1 ; -4xy + 3 ; 5a2 Bab 2 Aljabar 813 Menggunakan Aljabar dengan Huruf Tujuan Siswa mampu menyelesaikan soal-soal bentuk aljabar di halaman 60 dan 61 ［ aktivitas matematika ］ Komunikasi Pada soal di halaman 60 dan 61, Yuni dan Heru menyusun kalimat matematika berikut ini untuk menentukan banyaknya lidi yang diperlukan membentuk empat persegi. Pemikiran Yuni Pemikiran Heru Kalimat matematika 1+4×3 Kalimat matematika 4 + (4 – 1) × 3 1 Jelaskan ide di balik kalimat matematika yang diajukan Yuni dan Heru. 2 Dengan menggunakan ide Yuni dan Heru, tentukan banyaknya lidi yang diperlukan untuk membentuk 10 persegi. 1 Kita akan membuat bentuk aljabar menentukan Berpikir Matematis banyaknya lidi yang diperlukan untuk menyusun Jelaskan bagaimana membuat persegi menggunakan ide Heru dan Yuni. Jelaskan kalimat matematika menggunakan bagaimana membuat bentuk aljabar dengan cara penyusunan lidi dan cara meningkatkan banyaknya persegi. mengisi dengan bilangan atau kalimat matematika yang sesuai. a persegi Banyaknya lidi yang disusun vertikal, satu lebih banyak dibanding banyaknya persegi ( ). Banyaknya lidi yang disusun secara horisontal dalam satu baris sama dengan banyaknya persegi ( ). Karena terdapat dua baris lidi yang disusun secara horisontal, maka total lidi yang disusun secara horisontal adalah ( ). Oleh karena itu, bentuk aljabar untuk menghitung banyaknya lidi secara total adalah Kalimat matematika (a + 1) + 2a 82 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII2 Dengan menggunakan ide Yuni dan Heru, jelaskan bagaimana membuat bentuk aljabar berikut ini. a persegi (a – 1) menyatakan besaran apa? Kalimat matematika 4a – (a – 1) 3 Dengan menggunakan ide Yuni dan Heru, banyaknya lidi yang diperlukan untuk BAB 2 Aljabar│ menyusun a persegi dapat dinyatakan sebagai a persegi Yuni Kalimat 1 + 3a matematika a persegi Heru Kalimat 4 + 3(a – 1) matematika (a - 1) persegi Sederhanakanlah kalimat matematika Heru, kemudian bandingkan dengan bentuk aljabar Yuni. 4 Beberapa segitiga digabungkan dengan sisi menghadap ke bawah dan ke atas menggunakan lidi yang panjangnya sama. Perhatikan gambar di bawah ini. Berapa banyak lidi diperlukan untuk membuat a segitiga? Pikirkan beberapa cara menggunakan bentuk aljabar untuk menghitungnya. a segitiga Sederhanakan bentuk aljabar yang sudah kamu buat. 5 Apa keuntungan menggunakan bentuk aljabar dalam mencari banyaknya lidi yang dibutuhkan? Rangkumlah hasil pemikiranmu sambil mengingat kembali apa saja yang telah kamu pelajari sejauh ini. Bab 2 Aljabar 83Mari Kita Periksa 2 Menyederhanakan Bentuk Aljabar 1 Sebutkan suku-sukunya dan koefisiennya berdasarkan huruf-hurufnya. Bentuk Aljabar 1 -5x + 9 2 a –5 Linear 3 Cth. 1 Sederhanakanlah. 2 4x + x 1 2a – 9a 4 -x + 9 + 5x – 2 ［Hlm.75］ 3 3a – 7 + 6a – 1 2 Manakah yang merupakan bentuk aljabar linear? Bentuk Aljabar a 6x + 1 b 3x2 c 10 – 7x Linear Cth. 2 Cth. 3 ［Hlm.76］ 3 Bentuk Linear ［Hlm.76］ S5 4 Sederhanakanlah. 2 (2x – 4) + (-x + 6) 1 (3a + 1) + (5a – 8) 4 (-3a – 5) – (-9a – 7) Menyederhanakan 3 (x – 7) – (-8x + 3) Bentuk Aljabar 2 (-6) × (-5x) Linear Sederhanakanlah. 4 (x – 8) × (-3) ［Hlm.77］Cth. 1 1 4a × (-2) 6 (-18a) : 6 ［Hlm.78］Cth. 2 3 2(3x – 7) 8 (20a – 12) : 4 5 2x – 1 × 6 5 2 6(5x + 3) + 4(-7x – 4) 3 4 -2(-3a + 1) - 5(a – 8) Perkalian Bentuk 7 4x : 10 Aljabar dan Bilangan Sederhanakanlah. 1 2(3a – 4) + 3(a + 2) ［Hlm.78］Cth. 3 3 7(x + 2) – 4(2x – 5) ［Hlm.79］Cth. 4 Cth. 5 Cth. 6 Pembagian Bentuk Linear dengan Bilangan ［Hlm.80］Cth. 7 Cth. 8 6 Berbagai Penyederhanaan ［Hlm.81］Cth. 9 Cth.10 8 4 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIIPengayaan 3 Menyederhanakan Pernyataan Aljabar Mari kita terapkan materi yang telah kita pelajari untuk latihan dan belajar mandiri. . 1 Aljabar Linear 4 1 2 × 4a 1 4a + 3a 3 2 8a – 6a 3 -2x – 4x 5 -3(a + 7) BAB 2 Aljabar 4 9a – 10a 6 (6x – 5) × 4 │ 7 1 (8a – 6) 2 8 12x – 5 × 8 3 5 -2x + 7x 6 4a + 6 + a + 3 9 15y : 5 7 -5x + 10 + 3x – 9 10 21a : (-3) 8 7 – 8a – a + 6 11 (-8x) : 20 9 2,7x – 1,4x 12 10a : 5 12 10 2 y + 5y 13 (10x – 35) : 5 3 6 14 (-6a + 9) : (-3) 2 Penjumlahan dan Pengurangan 15 (12x + 4) : 2 Bentuk Aljabar 3 1 (6x + 2) + (2x – 9) 2 (5 – 6x) + (9x – 7) 4 Berbagai Penyederhanaan 1 4x + 5(2x – 7) 3 （ 4 x – 5 ） +（ 5 x + 4 ） 9 3 9 3 2 7(2a – 1) + 6(-3a + 2) 4 (7x + 4) – (5x – 1) 3 -(4a + 7) + 3(a + 5) 5 (-2y + 8) – (3y + 6) 4 9x – 2(x – 8) 6 (14 – a) - (-9 – a) 5 8(y – 1) - (7y + 2) 7 （ 1 y + 6) - ( - 1 y – 3） 6 -5(x – 1) - 4(2x + 1) 4 2 7 6(2a + 4) - 8(3 - a) 3 Aljabar Linear dan Perkalian serta Pembagian dengan Bilangan 8 1 (x – 8) + 1 (x – 4) 4 2 1 9a × 3 9 1 (3x + 7) – 1 (x + 2) 2 (-5) × 8x 9 3 3 -0,6y × 4 Jawaban di hlm.286 Bab 2 Aljabar 85BAB 2 Soal Ringkasan Jawaban di hlm. 287 Gagasan Utama 1 Nyatakanlah bentuk aljabar berikut ini dengan menerapkan aturan penulisan bentuk aljabar. 1 x×x×8 2 7:x 3 5×a+1×b 4 (x – 1) : 2 2 Nyatakanlah besaran-besaran berikut ini dengan bentuk aljabar. 1 Harga total 7 koper yang masing-masing harganya a rupiah dan 3 koper yang masing-masing harganya b rupiah. 2 Banyaknya air adalah 20% dari x liter. 3 Jarak yang tersisa dari 10 km jika kamu berjalan selama x jam dengan kecepatan 3 km per jam. 4 Luas belah ketupat dengan diagonal a cm dan b cm. 3 Tentukan nilai bentuk aljabar di bawah ini jika x = -9 dan y = 2. 1 2x + 8 2 4x2 3 3x + 5y 4 6y – x 4 Hitunglah. 2 x + 9 – 4x – 1 1 -5x + 7x 4 (-3a + 7) + (2a – 4) 3 a– 2 a 5 6 7a × (-8) 5 (x – 1) – (3x – 4) 7 3 × 0,2x 8 (-8x) : 4 3 2 9 (-2x + 8) × 5 10 (-8x + 20) : (-4) 11 3a – 2(a + 1) 12 4(4x – 3) + 2(5 – 6x) 5 Berikanlah contoh besaran di sekitarmu yang dapat kamu nyatakan dalam bentuk aljabar 100 – 4x. 86 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIIPenerapan 1 Sederhanakanlah. 2 （ 32 x – 3) + ( x + 3 ） 1 0,5x – 1,8 – 1,3x + 2,4 2 4 3 - 4 (6x – 3 ） 4 1 (8 + x) – 5 (2x – 16) 3 8 4 8 2 Tentukan nilai bentuk aljabarnya untuk x = -6 dan y = 9. │BAB 2 Aljabar 1 xy + y2 2 x2 - (- 2 y) 2 3 3 Bilangan-bilangan berikut ini diurutkan. 5 adalah suku pertama. 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, ... Tira menyajikan bilangan ke-a dengan bentuk aljabar 3a + 2. 1 Apakah bentuk aljabarnya benar? 2 Tentukan bilangan ke-30. x butir 4 Kancing disusun untuk membuat persegi seperti ditunjukkan pada gambar di samping, x menyatakan banyaknya kancing pada satu x butir sisi. 1 Meta menghitung banyaknya kancing dengan membagi persegi menjadi empat bagian seperti ditunjukkan pada gambar di samping. Tulislah bentuk aljabar yang menyajikan metode penghitungan Meta. 2 Gunakanlah cara yang berbeda dengan Meta untuk menghitung banyaknya kancing. Tunjukkan caramu dengan gambar yang tersedia di samping ini. Tulislah bentuk aljabar yang menyajikan caramu. Bab 2 Aljabar 87BAB 2 Soal Ringkasan Penggunaan praktis 1 Salah satu jembatan gantung (jembatan suspensi) yang ada di Indonesia adalah Jembatan Barito. Salah satu penopang jembatan ini adalah kabel. Kabel terdiri atas untaian kawat yang terbuat dari sejenis fiber. Fiber Penampang melintang tali Jembatan Barito Sumber: baritokualakab.go.id 1 Tedi sedang memikirkan berapa banyaknya fiber pada untaian kawat tersebut jika panjang sisi segi enam dinaikkan satu fiber. Ketika sisi penampang melintang segi enam ditambah 1 fiber, banyaknya fiber bertambah satu lapisan terluar. Sebagai contoh, sisi bertambah dari 3 ke 4 fiber, maka banyaknya fiber tambahan yang diperlukan adalah 4 × 6 – 6 = 18. Dengan menggunakan cara Tedi, nyatakanlah kenaikan jumlah total fiber pada untai jika sisi penampang melintang segi enam ditambah dari 1 fiber sampai n fiber. Gunakanlah bentuk aljabar. 2 Berapa banyaknya fiber yang diperlukan untuk membuat penampang melintang segi enam dengan panjang sisi 5 fiber? Pekerjaan Terkait ［Teknisi Teknik Sipil］ 88 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIIPenMdaaltaemri an Rahasia di Balik Bilangan pada Kalender Tingkatkan Pernahkah terpikir olehmu rahasia di balik bilangan- MSSRK J S BAB 2 Aljabar bilangan pada kalender? 123 4 5 6 7 8 9 10 │ 11 12 13 14 15 16 17 1 Lihatlah berbagai cara menyusun bilangan- 18 19 20 21 22 23 24 bilangan pada kalender di samping ini. 25 26 27 28 29 30 31 2 Muhamad Ilzar mengetahui bahwa “jumlah …2… setiap 3 angka berurutan yang tersusun …9… … 16 … vertikal sama dengan tiga kali bilangan yang 2 + 9 + 16 = 27 = 9 × 3 di tengah”, seperti ditunjukkan pada gambar di samping. Periksalah apakah hal ini berlaku di tempat-tempat lain dalam kalender ini. 3 Apa penjelasannya di balik fakta pada 2? Valen menjelaskan sebagai berikut. Isilah dengan bilangan yang sesuai. Jika kita perhatikan tiga bilangan tersusun vertikal, kita ambil bilangan di tengah sebagai acuan, maka bilangan yang di atasnya selalu lebih kecil dan bilangan yang di bawahnya selalu lebih besar. Jadi, jika kita jumlahkan ketiga bilangan tersebut, - dan + saling meniadakan (menjadi 0), sehingga jumlahnya sama dengan tiga kali bilangan di tengah. 4 Jika kita sajikan a sebagai bilangan yang di tengah dari tiga bilangan berurutan vertikal, bagaimana kita menyatakan bilangan-bilangan yang di atas dan yang di bawah a? Apa yang dapat kita simpulkan tentang jumlah tiga bilangan tersebut? 5 Temukan aturan lain selain yang dijelaskan di nomor 1. Jelaskan temuanmu dan gunakanlah huruf untuk menyatakannya. …… 3 11 12 … 7…9 …… 19 8 9 10 … 15 15 … … … 21 23 Apa yang kamu amati Berapakah jumlah ketika membandingkan Bagaimana dengan jumlah lima bilangan tiga bilangan tersusun jumlah dua bilangan seperti yang tersusun pada gambar di atas? diagonal? secara diagonal? Bab 2 Aljabar 893BAB KEMENTERIAN PENDIDIKAN, KEBUDAYAAN, RISET, DAN TEKNOLOGI REPUBLIK INDONESIA, 2021 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII Penulis: Tim Gakko Tosho Penyadur: Sugiman & Achmad Dany Fachrudin ISBN: 978-602-244-515-9 (jil.1) Persamaan Linear 1 Persamaan 2 Penerapan Persamaan Linear Apa hubungan antara dua besaran? Permen dan uang logam 100 rupiah diletakkan pada kotak. Tini, Yudi, Yuni, dan Tomi masing-masing mengambil secara acak segenggam permen dan uang logam 100 rupiah dari kotak. Banyaknya permen dan uang yang mereka dapatkan ditunjukkan sebagai berikut. Tini 3 Yudi 5 2 3 Permen Permen Uang Uang Yuni 2 Tomi 1 4 10 Permen Permen Uang Uang 9 0 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII1 Sebuah timbangan digunakan untuk membandingkan berat permen dan uang logam pecahan 100 rupiah yang diperoleh setiap anak. Hasilnya ditunjukkan berikut ini. 12 Tini Yudi Tomi Yuni 3 4 BAB 3 | Persamaan Linear Yuni Yudi Tini Tomi 2 Jika berat sebutir permen adalah x g, dan berat satu keping uang logam 100 rupiah adalah 1 g, maka dari pernyataan matematika pada 1 mana yang dapat dipakai untuk menentukan berat 1 permen? Bagaimana cara kita menentukan beratnya? Karena satu permen Kita dapat menyatakan setiap berat beratnya x g, dapatkah permen dan logam tersebut ke dalam kita menggunakan kalimat matematika, tapi bagaimana bentuk aljabar? kita dapat menemukan hubungan antara kedua berat tersebut? Bagaimanakah menyatakan hubungan Bagaimana cara kita menghitung antara dua besaran dengan kalimat berat 1 permen? matematika yang menggunakan huruf? Hlm. 96, 98 Hlm. 92 Bab 3 Persamaan Linear 911 Persamaan dan Pertidaksamaan 1 Pertidaksamaan Tujuan Mampu menyatakan hubungan antara dua besaran. Bandingkanlah dua kalimat matematika di kiri dan kanan, kemudian isilah dengan salah satu tanda =, < atau >. 1 5 + 3 12 – 5 2 20 – 8 7 × 2 3 120 : 4 (-5) × (-6) 4 9 – (-1) 9 + (-1) Gambar di samping ini memperlihatkan timbangan dari 1 (1) . Ditetapkan bahwa berat satuan permen adalah x g, berat di timbangan sebelah kiri adalah (3x + 2)g, berat yang di sebelah kanan adalah (3x + 2) g (5x + 3) g (5x + 3)g. Dalam hal ini sisi sebelah kanan lebih berat, sehingga kita dapat menyatakan hubungan antara sisi kiri dan kanan sebagai: (3x + 2) < (5x + 3) Kalimat matematika yang menggunakan tanda 3x + 2 < 5x + 3 < atau > untuk menyatakan hubungan antara dua besaran disebut pertidaksamaan. Kita menyatakan “a lebih besar dari b” sebagai” a > b”, “a kurang dari b” sebagai “a < b”. Timbangan di 1 (4) menunjukkan bahwa berat (3x + 2)g (x + 10)g pada sisi kiri adalah (3x + 2) g dan berat pada sisi kanan adalah (x + 10) g. Dalam hal ini, sisi kiri dan (3x + 2) = (x + 10) kanan seimbang (sama beratnya). Jadi, kita dapat menyatakan hubungan antara sisi kiri dan kanan sebagai (3x + 2) = (x + 10) Kalimat matematika yang menggunakan tanda sama dengan untuk menyatakan hubungan antara dua besaran disebut persamaan. 92 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIISoal 1 Nyatakanlah hubungan antara (2) dan (3) dari 1 pada halaman 91 sebagai persamaan. 2 (x + 10)g (2x + 4)g 3 (2x + 4) g (5x + 3) g Untuk persamaan dan pertidaksamaan, Persamaan 3x + 2 = x + 10 bagian di sebelah kiri tanda persamaan atau pertidaksamaan disebut sisi kiri, bagian Pertidaksamaan 3x + 2 < 5x + 3 di sebelah kanan tanda disebut sisi kanan. Sisi kiri Sisi Kanan BAB 3 | Persamaan Linear Contoh 1 Harga karcis masuk Museum Angkut (di Batu, Malang) adalah a rupiah untuk dewasa dan b rupiah untuk anak-anak. Jika hubungan antara dua besaran pada (1) dan (2) di bawah ini menggunakan persamaan dan pertidaksamaan, maka diperoleh hasil sebagai Museum Angkut Batu Malang berikut. Sumber: Travelspromo.com 1 “Saya membayar karcis masuk untuk satu orang dewasa dan dua anak-anak dengan uang pecahan 10.000 rupiah, dan saya menerima kembalian.” Kalimat tersebut dituangkan dalam diagram sebagai berikut. a rupiah b rupiah b rupiah kembalian 10.000 rupiah Sehingga dapat kita nyatakan a + 2b < 10.000, dengan: a adalah harga karcis dewasa dan b adalah harga karcis anak-anak. 2 “Total harga karcis untuk 3 orang dewasa dan 2 anak-anak adalah 15.000 rupiah”. Dinyatakan dalam diagram sebagai berikut. a rupiah a rupiah a rupiah b rupiah b rupiah 15.000 rupiah Sehingga dapat kita nyatakan 3a + 2b = 15.000, dengan: a adalah harga karcis dewasa dan b adalah harga karcis anak-anak. Bab 3 Persamaan Linear 93
Soal 2 Nyatakanlah dengan menggunakan tanda persamaan dan pertidaksamaan. 1 Menambahkan 5 ke 3 kali x menghasilkan 17. 2 Perlu waktu kurang dari 15 menit untuk berlari 3.600 m dengan kecepatan x meter per menit. 3 Harga total dari 3 pensil masing-masing seharga Ulasan a rupiah dan 2 penghapus masing-masing kurang dari a atau lebih kecil dari a seharga b rupiah lebih dari 9.000 rupiah. SD Kelas IV 4 Berat total a koper masing-masing seberat 3 kg dan b koper masing-masing seberat 5 kg adalah 40 kg. Ketika hubungan antara dua besaran yang tidak Ulasan kurang dari atau tidak lebih dari, maka kita nyatakan: Tidak kurang dari a atau lebih besar sama dengan a “a tidak kurang dari b” sebagai ≥ Tidak lebih dari a atau lebih kecil sama “a tidak lebih dari b” sebagai ≤ dengan a Kita juga menyebut tanda < dan > sebagai tanda pertidaksamaan. Pernyataan matematika SD Kelas IV yang menggunakan tanda tersebut disebut pertidaksamaan. Tanda tersebut untuk menyatakan hubungan antara dua besaran. Catatan merupakan gabungan a > b atau a = b, demikian juga a < b atau a = b Contoh 2 1 Untuk membentuk tim kasti terdiri atas siswa kelas VII, dipilih a siswa dari grup 1 dan b siswa dari grup 2. Perlu dipastikan banyaknya siswa tidak kurang dari 12. Kita nyatakan: a + b ≥ 12 Permainan kasti Sumber: tintapendidikanindonesia.com 2 Seorang pekerja beratnya 60 kg masuk elevator membawa a kotak masing-masing beratnya 20 kg. Harus dipastikan bahwa berat total tidak melebihi 300 kg. Kita dapat menyatakan 20a + 60 < 300 9 4 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII