Persiapan Ulangan Harian Persamaan Lingkaran dan Persamaan Garis Singgung Lingkara
Soal dan Pembahasan
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3, –1) dan menyinggung sumbu y.
Penyelesaian: lingkaran menyinggung sumbu y, artinya bagian samping lingkarannya menempel pada sumbu y, dan jari-jari lingkarannya adalah jarak titik pusat ke garis singgungnya.
Jika lingkaran ini kita gambarkan, akan terlihat seperti berikut.
Dan pusat lingkaran P(a, b) = (3, –1), artinya a = 3 dan b = –1
Substitusikan panjang jari-jari lingkaran (r = 3), nilai a = 3 dan b = –1 pada persamaan lingkaran dengan pusat O(a, b), sehingga diperoleh
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
⇔ (x – 3)2 + (y – (–1))2 = 32
⇔ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 9
Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x – 3)2 + (y + 1)2 = 9
2. Tentukan persamaan lingkaran standar dengan pusat T(3,–4) dan menyinggung garis 4x – 3y – 20 = 0.
Penyelesaian:
Karena jari-jarinya masih belum diketahui, maka langkah pertama mengerjakannya adalah mencari jari-jarinya dengan menggunakan rumus jarak titik terhadap garis.
Pada soal diketahui titik pusat lingkarannya T(1,–2)
r = jarak titik ke garis
r = jarak titik ke garis
Substitusikan panjang jari-jari lingkaran yang telah kita peroleh (r = 2), dan titik pusat lingkarannya T(1,–2) pada persamaan lingkaran, sehingga diperoleh
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
⇔ (x – 1)2 + (y – (–2))2 = 22
⇔ (x – 1)2 + (y + 2)2 = 4
Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x – 1)2 + (y + 2)2 = 4
ontoh Soal dan Pembahasan
3. Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan berjari-jari 6 satuan.
Jawaban :
Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r adalah x2 + y2 = r2.
Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 6:
x2 + y2 = 62
x2 + y2 = 36
Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan berjari-jari 6 satuan adalah x2 + y2 = 36.
4. Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan berjari-jari 9 satuan.
Jawaban :
Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r adalah x2 + y2 = r2.
Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 9:
x2 + y2 = 92
x2 + y2 = 81
Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan berjari-jari 9 satuan adalah x2 + y2 = 81.
5. Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan menyinggung garis y = 7.
Jawaban :
Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r adalah x2 + y2 = r2.
Dalam kondisi tersebut, kita dapat menentukan jari-jari lingkaran dengan menghitung jarak titik pusat (0, 0) dengan garis y = 7. Jarak antara titik (0,0) dengan garia y = 7 adalah 7 satuan. Sehingga jari-jari lingkaran tersebut adalah 7 satuan.
Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 7:
x2 + y2 = 72
x2 + y2 = 49
Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan menyinggung garis y = 7 adalah x2 + y2 = 49.
6. Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan menyinggung garis x = -10.
Jawaban :
Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r adalah x2 + y2 = r2.
Dalam kondisi tersebut, kita dapat menentukan jari-jari lingkaran dengan menghitung jarak titik pusat (0, 0) dengan garis x = -10. Jarak antara titik (0,0) dengan garia x = -10 adalah 10 satuan. Sehingga jari-jari lingkaran tersebut adalah 10 satuan.
Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 10:
x2 + y2 = 102
x2 + y2 = 100
Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan menyinggung garis x = -10 adalah x2 + y2 = 100.
7. Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (1, 2) dan berjari-jari 5 satuan.
Jawaban :
Persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2.
Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 2) dan berjari-jari 5:
(x – 1)2 + (y – 2)2 = 52
(x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) = 25
x2 – 2x + 1 + y2 – 4y + 4 – 25 = 0
x2 + y2 – 2x – 4y – 20 = 0
Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (1, 2) dan berjari-jari 5 satuan adalah x2 + y2 – 2x – 4y – 20 = 0.
8. Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (-4, 3) dan berjari-jari 8 satuan.
Jawaban :
Persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2.
Persamaan lingkaran yang berpusat di (-4, 3) dan berjari-jari 8:
(x + 4)2 + (y – 3)2 = 82
(x2 + 8x + 16) + (y2 – 6y + 9) = 64
x2 + 8x + 16 + y2 – 6y + 9 – 64 = 0
x2 + y2 + 8x – 6y – 39 = 0
Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (-4, 3) dan berjari-jari 8 satuan adalah x2 + y2 + 8x – 6y – 39 = 0.
9. Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan melalui titik (-5, 12).
Jawaban :
Dalam menentukan persamaan lingkaran, unsur-unsur yang harus diketahui adalah titik pusat dan jari-jari. Pada soal di atas, jari-jari lingkaran belum diketahui. Perlu diingat bahwa jari-jari adalah jarak titik pusat ke titik pada sekeliling lingkaran. Dengan demikian kita bisa menghitung jari-jari lingkaran dengan menentukan jarak titik (0, 0) ke titik (-5, 12).
Persamaan lingkaran yang berpusat di (4, 1) dan berjari-jari 5:
(x - 4)2 + (y – 1)2 = 52
(x2 - 8x + 16) + (y2 – 2y + 1) = 25
x2 - 8x + 16 + y2 – 2y + 1 – 25 = 0
x2 + y2 - 8x – 2y – 8 = 0
Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (4, 1) dan melalui titik (8, -2) adalah x2 + y2 - 8x – 2y – 8 = 0.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 10 di titik (1, 3).
Jawaban :
Titik (1, 3) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 10.
Maka persamaan garis singgungnya adalah:
x.x1 + y.y1 = 10
x.1 + y.3 = 10
x + 3y = 10
x + 3y – 10 = 0
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 10 di titik (1, 3) adalah x + 3y – 10 = 0.
10. . Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 29 di titik (-2, 5).
Jawaban :
Titik (-2, 5) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 29.
Maka persamaan garis singgungnya adalah:
x.x1 + y.y1 = 29
x.(-2) + y.5 = 29
-2x + 5y = 29
-2x + 5y – 29 = 0
2x – 5y + 29 = 0
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 29 di titik (-2, 5) adalah 2x – 5y + 29 = 0.
11. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x – 3)2 + (y + 1)2 = 17 di titik (2, 3).
Jawaban :
Titik (2, 3) terletak pada lingkaran (x – 3)2 + (y + 1)2 = 17.
Maka persamaan garis singgungnya adalah:
(x – 3)(x1 – 3) + (y + 1)(y1 + 1) = 17
(x – 3)(2 – 3) + (y + 1)(3 + 1) = 17
(x – 3)(-1) + (y + 1)(4) = 17
-x + 3 + 4y + 4 = 17
-x + 4y + 7 – 17 = 0
-x + 4y – 10 = 0
x – 4y + 10 = 0
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran (x – 3)2 + (y + 1)2 = 17 di titik (2, 3) adalah x – 4y + 10 = 0.
12. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x + 5)2 + (y + 2)2 = 52 di titik (-1, 4).
Jawaban :
Titik (2, 3) terletak pada lingkaran (x – 3)2 + (y + 1)2 = 17.
Maka persamaan garis singgungnya adalah:
(x – 3)(x1 – 3) + (y + 1)(y1 + 1) = 17
(x – 3)(2 – 3) + (y + 1)(3 + 1) = 17
(x – 3)(-1) + (y + 1)(4) = 17
-x + 3 + 4y + 4 = 17
-x + 4y + 7 – 17 = 0
-x + 4y – 10 = 0
x – 4y + 10 = 0
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran (x – 3)2 + (y + 1)2 = 17 di titik (2, 3) adalah x – 4y + 10 = 0.
Demikianlah sekilas materi tentang Persamaan lingkaran.
Untuk mempelajari materi tantang persamaan garis singgung lingkaran