Persamaan kuadrat kx2 + 4x - 1 = 0 memiliki akar-akar real dan berbeda,maka nilai (k) adalah

Academia.edu no longer supports Internet Explorer.

To browse Academia.edu and the wider internet faster and more securely, please take a few seconds to upgrade your browser.

III. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan

BAB IV PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

BAB I PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN IRASIONAL

Persamaan dan Pertidaksamaan

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR

Sistem PERSAMAAN dan PERTIDAKSAMAAN linier

Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat BAB II

BAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR

BAB II FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Sistem PERSAMAAN dan PERTIDAKSAMAAN linier

Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK PENDAHULUAN

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

You're Reading a Free Preview
Pages 5 to 9 are not shown in this preview.

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat dalam x => ax2 + bx + c =o  (a,b,c  € R) dan a ≠ 0 

Cara menyelesaikan persamaan kuadrat ada 3, yaitu :

1. Memfaktorkan => (x-a) (x-b) = 0

    Contoh :

    a. X2 + 12x +32 = 0 => (x + 4) ( x + 8)

    b. X2  + x – 56   = 0 => (x + 8) (x – 7)

    c. X2 -6x – 27    = 0 => (x – 9) (x + 3)

    d. 2x2 – 5x – 3   = 0 => (2x – 1) (x + 3)

    e. 3x2 – 6x         = 0 => 3x(x – 2)

2. Melengkapi Kuadrat Sempurna => (x - p)2 = q

      Ada beberapa langkah, yaitu :

      1.  Koefisien x2 harus 1

      2. Konstanta pindah ke ruas kanan {-> x2 + mx = n

      3. Diubah ke bentuk kuadrat sempurna (x + p)2 = q

    Contoh :

    a. x2 + 8x + 12           = 0

        x2 + 8x               = -12

        x2 + 8x + (1/2 . 8)2 = -12 + (1/2 . 8)2

        x2   + 8x + 16        = -12 + 16

               (x + 4)2       = 4

                x + 4         = ±√4

                      x       = -4 ± 2

                      x       = -6 , -2

3. RUMUS ABC => x1,2 = { -b ± √(b2 - 4ac) } / 2a

   Contoh :

    a. x2 + 8x + 5 => x1,2 = { -8 ± √(82 – 4.1.5) } / 2.1

                                          = { -8 ± √(64 – 20) } / 2

                                          = ( -8 ± √39 ) / 2 Penjumlahan dan Pekalian akar2 Penyelesaian Persamaan Kuadrat dari x1,2 = { -b ± √(b2 - 4ac) } / 2a dengan D = b2 - 4ac maka x1 = (-b + √D) / 2a dan x2 = (-b - √D) / 2a

* D adalah Deskriminan

1. x1 + x2 = {(-b + √D) / 2a} + {(-b - √D) / 2a}

                    = (-b + √D - b - √D) / 2a

                    = -2b / 2a

                    = -b /a Jadi, x1 + x2 = -b/a

2. x1 - x2 = {(-b + √D) / 2a} - {(-b - √D) / 2a}

                  = (-b + √D + b + √D) / 2a

                  = 2√D / 2a

                  = √D /a

Jadi, x1 - x2 = √D/a

3. x1 . x2 = {(-b + √D) / 2a} {(-b - √D) / 2a}

                  = (b2 - D) / 4a2

                  = b2 - (b2 - 4ac) / 4a2

                  = (b2 - b2 + 4ac) / 4a2

                  = 4ac / 4a2

                  = c/a

Jadi, x1 . x2 = c/a 4. (x1 + x2)2 = x12 + 2(x1 . x2) + x22      (x1 + x2)2 - 2(x1 . x2) = x12 + x22 Jadi, x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2(x1 . x2) 5. (x1 + x2)3 = x13+ 3x12. x2 + 3x1 . x22 + x23        (x1 + x2)3 -  3x12. x2 + 3x1 . x22 = x13 + x23               (x1 + x2)3 -  3x1.x2(x1 + x2)  = x13 + x23 

Jadi, x13 + x23 = (x1 + x2)3 -  3x1.x2(x1 + x2)

contoh soal!

1. Persamaan kuadrat -2x2 +4x-5=0 akar2nya α dan β

    Tentukan : a.  α + β                 d. α3 + β3

                        b. α . β                    e. 1/α + 1/β

                        c. α2 + β2                f. 1/(α+2) + 1/(β+2)

   Jawaban :

   a. α + β     = -b/a = 2

   b. α . β      = c/a   = 5/2

   c. α2 + β2 = (α + β)2 - 2(α . β)

                    = 22 - 2.5/2

                    = 4 - 5

                    = -1

   d. α3 + β3 = (α + β)3 - 3α.β (α+β )

                    = 23  - 3.5/2.2

                    = 8 - 15

                    = -7

   e. 1/α + 1/β = (α + β) / αβ

                        = 2 / (5/2)

                        = 4/5

   f. 1/(α+2) + 1/(β+2) = {(α+2) + (β+2)} / {(α+2) (β+2)}

                                      = {(α+β) + 4} / {α.β + 2(α+β) + 4}

                                      = (2+4) / (5/2 + 2.2 + 4)

                                      = 6 / (21/2)

                                      = 12/21 

                                      = 4/7

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru 

Ada 2 cara untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang akar2nya x1 dan x2 yaitu,

1. (x - x1) (x - x2) = 0

Contoh soal : Susunlah Persamaan kuadrat baru yang akar2nya adalah

a. 2 dan 7 => PKB = (x - 2) (x -7)

                                  = x2 - 9x +14

b. -3 dan -4 => PKB = {x-(-3)} {x-(-4)}

                                    = (x+3) (x+4)

                                    = x2 + 7x + 12

c. -7 dan 2 => PKB = {x-(-7)} (x-2)

                                   = (x+7) (x-2)

                                   = x2 + 5x - 14

d. 5 dan -2 => PKB = (x-5) {x-(-2)}

                                   = (x-5) (x+2)

                                   = x2 - 3x - 10

2. x2 - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0

 Contoh soal : 

1. Susunlah Persamaan Kuadrat baru yang akar2nya adalah 2+√5 dan 2-√5!

    Jawaban :  x1 + x2 = (2+√5) +(2-√5) = 4 

                            x1.x2 = (2+√5) (2-√5)  = -1

    Jadi, PKB => x2 - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0

                       =>                    x2 - 4x - 1 = 0

2. x1 dan x2 adalah akar2 persamaan kuadrat  x2 - 2x + 5 = 0. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar2nya 3 lebihnya dari akar2 persamaan kuadrat yang diletahui.

Jawaban  : x1 + x2 = -b/a = 2 dan x1.x2 = c/a = 5

                     x1 = (x1 + 3) dan x2 = (x2 + 3)

maka, x1 + x2 = (x1 + 3) + (x2 + 3)                  dan             x1.x2 = (x1 + 3) (x2 + 3)     

                         = (x1 + x2) + 6                                                       = x1.x2 + 3(x1+x2) + 9

                         = 2 + 6                                                                   = 5 + 3.2 + 9

                         = 8                                                                          = 20

Jadi, PKB => x2 - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0

                    =>                x2 - 8x + 20 = 0

                    * Deskriminan (D) => D = b2 - 4ac *

untuk menentukan jenis akar2 persamaan kuadrat, rumusnya :

a. D = 0 => Mempunyai 2 akar yang sama

b. D < 0 => Tidak mempunyai akar nyata (akar2nya imajiner)

c. D ≥ 0 => Mempunyai 2 akar nyata

d . D > 0 => Mempunyai 2 akar nyata dan berlawanan

Contoh Soal :

1. Tentukan nilai k agar persamaan kuadrat kx2 + 3x + k = 0 mempunyai 2 akar sama/kembar

    Jawaban : Syarat akar kembar D = 0, maka

                        b2 - 4ac = 32 - 4.k.k

                                     0 = 9 - 4k2

                                 4k2 = 9

                                     k = √(9/4)

                        k = ± 3/2

2. Tentukan m agar persamaan kuadrat berikut x2 - 2x + (m+1) = 0 Tidak mempunyai akar nyata.

     Jawaban : Syarat tidak mempunyai akar nyata D < 0, maka

                                 b2 - 4ac < 0

                       22 - 4.1.(m+1) < 0

                               4 - 4m - 4 < 0

                                    0 - 4m < 0

                                       - 4m < 0

                                            m > 0

3. Tentukan P agar persamaan kuadrat x2 + px + p = 0 mempunyai 2 akar real dan berbeda.

     Jawaban : Syarat akar real dan berbeda D > 0, maka

                             b2 - 4ac > 0

                           p2 - 4.1.p > 0

                               p2 - 4p > 0

                              p(p - 4) > 0 

    Jadi, p < 0 dan p > 4 

 Contoh soal persamaan kuadrat dan pembahasannyaNomor 1Akar-akar dari persamaan x2 

- 7 x - 18 = 0 adalah... A. 2 dan 9 B. -2 dan 9 C. 2 dan -9 D. -2 dan -9

E. 1/2 dan 9

Pembahasan
Faktorkan saja x2 - 7 x - 18 = 0 diperoleh (x - 9) (x + 2) = 0
Jadi, x1 = 9 dan x2 = -2Jawaban: B

Nomor 2
Persamaan kuadrat 2x2 - 3x - 1 = 0 akar-akarnya adalah x1 dan x2, maka nilai dari x13  + x23

adalah... A. 15/8 B. 25/8 C. 35/8 D. 45/8

E. 55/8

Pembahasan
a = 2, b = -3, dan c = -1
x1 + x2 = -b/a = - (-3)/2 = 3/2
x1 . x2 = c/a = 2/-1 = - 1/2

x13  + x23 = (x1 + x2)3– 3 x1 . x2 (x1 + x2) = = (3/2)3 – 3 (-1/2) . 3/2 = 27/8 + 9/4

 x13  + x23 = 27/8 + 18/8 = 45/8

Jawaban: D

Nomor 3

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2 adalah...

A. x2 + 7x + 10 = 0

B. x2 - 7x + 10 = 0

C. x2 + 3x + 10 = 0

D. x2 + 3x - 10 = 0

E. x2 - 3x - 10 = 0

Pembahasan:

A = 5 dan B = -2 maka:

(x - 5) (x + 2) = 0

x2 - 5x + 2x - 10 = 0

x2 - 3x - 10 = 0

Jawaban: E

Nomor 4

Jika p dan q akar-akar persamaan 3x2 - 2x - 5 = 0 maka persamaan yang akar-akarnya (p + 2) dan (q + 2) adalah....

A. 3x2 - 11x + 14 = 0

B. 3x2 - 14x + 11 = 0

C. x2 - 14x + 11 = 0

D. x2 + 3x - 10 = 0

E. x2 - 3x - 10 = 0

Jawaban

Ganti semua x dengan x - 2 sehingga:

3(x - 2)2 + 7(x - 2) + 10 = 0

3(x2 - 4x + 4) + 7x - 14 + 10 = 0

3x2 - 14x + 11 = 0

Jawaban: B

Nomor 5

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali dari akar-akar persamaan kuadrat x2 + 18x + 10 = 0 adalah...

A. x2 + 16x + 20 = 0 

B. x2 + 16x + 40 = 0 

C. x2 + 16x + 80 = 0 

D. x2 + 16x + 120 = 0 

E. x2 + 16x + 180 = 0 

Pembahasan

Sisipkan angka 2 (dari kata 2 kali)

x2 + 8 . 2 x + 22 10 = 0 

x2 + 16 x + 40 = 0 

Jawaban: B

Nomor 6

Jika persamaan kuadrat (p + 1) x2 - 2 (p + 3) x + 3p = 0 mempunyai dua akar sama, maka konstanta p = ...

A. -3 dan 3/2

B. 1 dan 3

C. 2 dan -3

D. -3/2 atau 3

E. 3 dan -9

Pembahasan

a = (p + 1), b = -2(p + 3), dan c = 3p.

syarat mempunyai dua akar yang sama adalah D = 0 dengan D = b2 - 4 . a . c

0 = (-2(p + 3)2 - 4 . (p + 1) . 3p

0 =  -2p2 + 3p + 9 = 0 lalu faktorkan sehingga didapat p = 6/2 = 3 dan p = -3/2.

Jawaban: D

Nomor 7

 A dan B adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 4x + a - 4 = 0. Jika A = 3B maka nilai a yang memenuhi adalah...

A. 1

B. 3

C. 4

D. 7

E. 8

Pembahasan

A + B = - b/a = -4/1 = -4

A . B = c/a = a - 4 / 1 = a - 4

Karena A = 3B maka A + B = 3B + B = 4B = -4

B = -1

Masukkan nilai B = x = -1 ke dalam  x2 + 4x + a - 4 = 0, sehingga diperoleh:

(-1)2 + 4(-1) + a - 4 = 0

1 - 4 + a - 4 = 0

a = 7

Jawaban: D

Soal latihan persamaan kuadrat

Nomor 1
Bila x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan x2 + px + q = 0, maka (x1 - x2)22

- 4q C. p(p - 4q) D. p - 4 q

E. p (1 - 4q)

Nomor 2
Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan x2 + kx + k = 0 dan x12 + x22

= 15 maka nilai k sama dengan... A. - 5 B. - 1 C. 0 D. 1

E. 5

Nomor 3
A dan B adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 3x + k - 13 = 0. Jika A2 - B2

= 21, maka nilai k adalah... A. -12 B. - 3 C. 3 D. 12

E. 13

Nomor 4
Jika jumlah kedua akar persamaan x2 + (2p - 3) x + 4p2

- 25 = 0 sama dengan nol, maka akar-akar itu adalah... A. 3/2 dan - 3/2 B. 5/2 dan - 5/2 C. 3 dan - 3 D. 4 dan - 4

E. 5 dan - 5

Nomor 5
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar persamaan 2x2 - 3x + 5 = 0 ialah...
A. 2x2 - 5x + 3 = 0
B. 2x2 + 3 x + 5 = 0
C. 3x2 - 2x + 5 = 0
D. 3x2 - 5x + 2 = 0
E. 5x2 - 3x + 2 = 0Nomor 6
Persamaan kuadrat x2 - 5x + 6 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 - 3 dan x2 - 3 adalah...
A. x2 - 2x = 0
B. x2 - 2x + 30 = 0
C. x2 + x = 0
D. x2 + x - 30 = 0
E. x2 + x + 30 = 0Nomor 7
Nilai p supaya persamaan kuadrat x2

- 6x + p = 0 mempunyai dua akar yang berlainan dan positif adalah... A. p > 0 B. p < 9 C. 0 < p < 9 D. p > 9

E. p < 0

Nomor 8
Persamaan kuadrat x2

+ mx + m = 0 mempunyai dua akar negatif yang berbeda. Ini dimungkinkan jika... A. m < 0 B. B > 4 C. 0 < m < 4 D. m < 0 atau m > 4

E. m = 4

Nomor 9
Jika n bilangan nyata, maka persamaan kuadrat nx2

- (n + 6) x + 3 = 0 mempunyai... A. 2 akar positif B. 2 akar negatif C. 2 akar sama D. 2 akar real berlainan

E. akar tidak riil

Nomor 10
Akar-akar persamaan 2x2 + ax - 3 = 0 diketahui saling berkebalikan dengan akar-akar persamaan 3x2

+ 5x + 2b = 0. Nilai AB = ... A. - 10 B. - 5 C. 2 D. 5

E. 10