Diketahui ukuran sebuah segitiga adalah 5 12 16 maka segitiga yang terbentuk adalah

Pada artikel kali ini kita akan membahas mengenai Pythagoras.

Pada materi bangun datar tentu kalian mempelajari materi segitiga. Terdapat beberapa jenis segitiga diantaranya segitiga lancip, segitiga tumpul, dan segitiga siku-siku.

Terdapat salah satu materi yang berkaitan degan segitiga siku-siku yaitu teorema Pythagoras. Teorema ini berkaitan dengan salah satu tokoh matematika bernama Pythagoras.

Apakah kalian mengetahui bagaimana teorema Pythagoras itu?

Untuk memahaminya, perhatikan penjelasan berikut.

Definisi Pythagoras

Pythagoras merupakan salah satu teorema atau aturan dalam matematika yang membahasa mengenai keterkaitan sisi-sisi segitiga, dalam hal ini merupakan segitiga siku-siku.

Teorema pythagoras ditemukan oleh seorang filsum Yunani bernama Pythagoras. Teorem ini ditemukan pada abad ke-6.

Perhatikan penjelasan mengenai contoh penerapan pythagoras berikut.

Penerapan Pythagoras

Contoh penerapan pythagoras dapat dilihat pada bidang pertukangan. Tukang bangunan biasanya menggunakan penggaris siku untuk menentukan bahwa sudut yang dibentuk oleh pondasi bangunan merupakan sudut siku-siku.

Selain itu, tukang biasanya juga membuat kerangka atap yang menerapkan konsep pythagoras.

Selain itu juga untuk menentukan jarak terdekat dari dua posisi dapat dengan mudah ditentukan menggunakan teorema pythagoras.

Selanjutnya akan dijelaskan mengenai teorema pythagoras.

Teorema Pythagoras

Teorema pythagoras menyatakan bahwa kuadrat sisi miring segitiga siku-siku [hipotenusa] sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang saling berpenyiku.

Atau secara sederhana dapat dijelaskan bahwa jika sisi terpanjang segitiga siku-siku dikuadratkan maka akan sama dengan jumlah dari kuadrat sisi yang lainnya.

Selanjutnya akan dijelaskan mengenai rumus pythagoras.

Rumus Pythagoras

Dari pembuktian di atas dapat dirumuskan teorema pythagoras sebagai berikut.

Misalkan terdapat segitiga siku-siku dengan ukuran sisi masing-masing adalah a, b, dan c.

Rumus Pythagoras dari segitiga siku-siku di atas adalah a2 + b2 = c2

Keterangan:

a, b, c  : ukuran sisi-sisi segitiga.

Bagaimana jika a2 + b2 < c2 atau a2 + b2 > c2?

• Jika a2 + b2 < c2 maka jenis segitiganya adalah segitiga lancip.
• Jika a2 + b2 > c2 maka jenis segitiganya adalah segitiga tumpul.
• Jika a2 + b2 = c2 maka jenis segitiganya adalah segitiga siku-siku.

Berikut akan dijelaskan salah satu pembuktian teorema pythagoras.

Pembuktian Teorema Pythagoras

Terdapat banyak metode/cara dalam pembuktian teorema pythagoras. Pembuktian ini disebut sebagai pembuktian Bhaskara diambil dari nama penemunya yaitu Bhaskara dari India.

Perhatikan gambar berikut.

Pada gambar tersebut terdapat persegi dengan sisi berukuran c dan persegi kecil dengan ukuran [b – a], serta empat buah segitiga siku-siku dengan ukuran sisi a, b, dan c. Pembuktian teorema pythagorasn yaitu sebagai berikut.

Luas persegi kecil + [4 x luas segitiga siku-siku] = Luas persegi besar

[b – a] [b – a] + [ 4 x ½ x a x b] = c x c

b2 + a2 – 2ab + 2ab = c2

b2 + a2 = c2

atau dapat ditulis

a2 + b2 = c2

Keterangan:

a, b, c : ukuran sisi-sisi segitiga/persegi.

Selanjutnya akan dibahas mengenai tripel Pythagoras. Baca juga Persamaan Kuadrat.

Tripel Pythagoras

Apa itu tripel pythagoras?

Tripel pythagoras merupakan kombinasi tiga bilangan yang menyatakan ukuran sisi-sisi segitiga siku-siku sehingga berlaku a2 + b2 = c2.

Berapa saja kombinasi dari tripel pythagoras?

Terdapat banyak sekali tripel pythagoras. Perhatikan beberapa tripel pythagoras berikut.

• Bilangan 3, 4, 5. Karena 32 + 42 = 52.
• Bilangan 5, 12, 13. Karena 52 + 122 = 132
• Bilangan 7, 24, 25. Karena 72 + 242 = 252.
• Bilangan 8, 15, 17. Karena 82 + 152 = 172.
• Bilangan 9, 40, 41. Karena 92 + 402 = 412.

Dan masih banyak tripel pythagoras yang lainnya.

Tripel pythagoras berlaku kelipatan, misalnya salah satu tripel pythagoras adalah 3, 4, dan 5. Tripel pythagoras kelipatannya yaitu [6, 8, 10], [9, 12, 15], [12, 16, 20], dan sebagainya.

Terdapat beberapa contoh soal pythagoras. Kerjakan soal berikut, kemudian cek jawabanmu dengan pembahasan yang ada.

Contoh Soal Pythagoras

1. Terdapat suatu segitiga siku-siku dengan ukuran dua sisi yang berpenyiku adalah 21 cm dan 28 cm. Tentukan panjang sisi yang lainnya.

Pembahasan

Sisi yang dimaksud merupakan sisi miring segitiga siku-siku [hipotenusa].

Sehingga:

c2 = a2 + b2

= 212 + 282 = 441 + 784 = 1.225

c = √1.225 = 35 cm

Cara cepat:

Dengan menggunakan tripel [3, 4, 5] maka setiap sisi segitiga dikali dengan 7 sehingga

[3 x 7, 4 x 7, 5x 7] sehingga [21, 28, 35]

Panjang sisi yang lain adalah 35 cm.

2. Terdapat segitiga siku-siku sama kaki dengan ukuran sisi miringnya adalah 5√2 cm. Tentukan panjang sisi yang lainnya.

Pembahasan

Karena merupakan segitiga siku-siku sama kaki, maka panjang sisi yang berpenyiku sama. Sehingga:

Misalkan panjang sisi berpenyiku adalah a, dab panjang sisi miring adalah c.

a2 + a2 = c2

2 x a2 = [5√2]2

2 x a2 = 50

a2 = 25

a = ± 5

Karena panjang sisi tidak mungkin negatif, maka panjang sisi berpenyiku adalah 5 cm.

3. Diketahui ukuran dua sisi yang berpenyiku dari segitiga siku-siku adalah 12 cm dan 16 cm. Tentukan ukuran sisi yang lainnya.

Pembahasan

Ukuran sisi: 12 cm dan 16 cm

Ukuran sisi ketiga

c2 = a2 + b2

c2 = 122 + 162

c2 = 144 + 256 = 400

c = √400 = 20 cm

4. Diketahui suatu bayangan menara memiliki panjang 10 m, jika jarak ujung menara dengan ujung bayangan menara adalah 26 m, tentukan tinggi menara tersebut.

Pembahasan

c2 = a2 + b2

b2 = c2 – a2

b2 = 262 – 102

b2 = 676 – 100

b2 = 576

b = √576 = 24 m

5. Tentukan apakah ukuran sisi-sisi berikut merupakan tripel phytagoras.

12, 15,dan 20.

Pembahasan

Sisi terpanjang: 20

Sehingga,

122 + 152 = 144+ 225 = 369

202 = 400

Karena 122 + 152 ≠ 202 maka 12, 15, dan 20 bukan tripel phytagoras.

Mari kita simpulkan bersama.

Kesimpulan

• Teorem pythagoras merupakan salah satu teorema atau aturan dalam matematika yang berkaitan dengan hubungan antar sisi segititas siku-siku.
• Teorema pythagoras menyatakan bahwa kuadrat sisi miring segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang lainnya.

Rumus teorema pythagoras yaitu a2 + b2 = c2.

• Beberapa tripel pythagoras yaitu [3, 4, 5], [5, 12, 13], [7, 24, 25], [8, 15, 17], [9, 40, 41], dan sebagainya. Tripel pythagoras berlaku kelipatannya.

Demikian pembahasan mengenai pythagoras dalam artikel ini, semoga bermanfaat. Baca juga Trigonometri.

Masih ingatkah Anda, ada berapa jenis-jenis segitiga? Jenis-jenis suatu segitiga dapat dibedakan berdasarkan panjang sisi-sisinya, besar sudut-sudutnya, dan panjang sisi dan besar sudutnya [silahkan baca: pengertian dan jenis-jenis segitiga].

Jika ditinjau dari sisinya maka segitiga dibedakan menjadi: segitiga sembarang, segitiga sama sisi, dan segitiga sama kaki. Jika ditinjau dari besar sudutnya, ada tiga jenis segitiga yakni segitiga lancip [0° < x < 90°], segitiga siku-siku [90°], dan segitiga tumpul [90° < x < 180°].

Selain dengan meninjau besar sudutnya, suatu segitiga dapat diketahui jenisnya dengan menggunakan teorema phytagoras. Nah pada postingan sebelumnya Mafia Online sudah membahas tentang cara membuktikan teorema phytagoras dan penerapannya dalam mencari panjang salah satu sisi segitiga siku-siku.

Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Perhatikan gambar [i] di atas merupakan sebuah segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di titik B yang memiliki sisi a, b, dan c, sehingga berlaku rumus:

b2 = a2 + c2

Sekarang perhatikan gammbar [ii] juga merupakan sebuah segitiga siku-siku PQR dengan siku-siku di titik Q yang memiliki panjang a, q, dan c, karena ∆PQR siku-siku, maka berlaku rumus:

q2 = a2 + c2

Dari kedua rumus di atas maka akan diperoleh bahwa:

b2 = a2 + c2 = q2

b2 = q2

b = q

Jadi, ∆ABC sama dengan ∆PQR. Jika kita mengimpitkan sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua segitiga maka akan diperoleh sebuah bangun datar persegi panjang. Masih ingatkah Anda dengan sifat-sifat persegi panjang? Salah satu sifat persegi panjang adalah keempat sudutnya sama besar dan merupakan sudut siku-siku [90°]. Dengan demikian, ∠ABC = ∠PQR = 90°. Jadi, ∆ABC adalah segitiga siku-siku di B.

Berdasarkan penjelasan di atas maka dapat ditarik kesimpulan bahwa untuk setiap segitiga jika jumlah kuadrat panjang dua sisi yang saling tegak lurus sama dengan kuadrat panjang sisi miring maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku.

Sekarang perhatikan lagi gambar di bawah ini.

Pada gambar [iii] merupakan segitiga ABC lancip. Sekarang kuadratkan panjang AB dan jumlahkan kuadrat panjang sisi AC dan BC, maka:

AB2 = 92 

AB2 = 81

AC2 + BC2 = 62 + 82

AC2 + BC2 = 36 + 64
AC2 + BC2 = 100

Ternyata pada segitiga lancip ABC pada gambar [iii] berlaku: AB2 < AC2 + BC2. Jadi pada segitiga lancip akan berlaku bahwa kuadrat sisi miring lebih kecil dari jumlah kuadrat sisi yang lain.

Sekarang perhatikan gambar [iv] merupakan segitiga PQR tumpul. Sekarang kuadratkan panjang AB dan jumlahkan kuadrat panjang sisi AC dan BC, maka:

PQ2 = 122 

PQ2 = 144

PR2 + QR2 = 62 + 82

PR2 + QR2 = 36 + 64

Ternyata pada segitiga tumpul PQR gambar [iv] berlaku: PQ2 > PR2 + QR2. Jadi pada segitiga tumpul akan berlaku bahwa kuadrat sisi miring lebih besar dari jumlah kuadrat sisi yang lain. 

Kesimpulan**

Berdasarkan penjelasan di atas maka pada suatu segitiga berlaku:

a. jika kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi yang lain maka segitiga tersebut siku-siku.

b. jika kuadrat sisi miring lebih kecil dari jumlah kuadrat sisi yang lain maka segitiga tersebut lancip.

c. jika kuadrat sisi miring lebih besar dari jumlah kuadrat sisi yang lain maka segitiga tersebut tumpul.

Masih bingung dengan penjelasan di atas? Nah untuk menghilangkan sedikit kebingungan Anda silahkan simak beberapa contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal

Tentukan jenis segitiga dengan panjang sisi-sisi sebagai berikut.

a]. 12 cm, 16 cm, 19 cm

b]. 12 cm, 16 cm, 20 cm

c]. 12 cm, 16 cm, 21 cm

Penyelesaian:

Misalkan a = panjang sisi miring, sedangkan b dan c panjang sisi yang lain, maka:

a]. kudaratkan sisi miring dan jumlahkan kaudrat sisi lainnya, maka diperoleh:

a = 19 cm, b = 12 cm, c = 16 cm

a2 = 192

a2 = 361

b2 + c2 = 122 + 162

b2 + c2 = 144 + 256

b2 + c2 = 400

Karena 192 < 122 + 162, maka segitiga ini termasuk jenis segitiga lancip.

b] kudaratkan sisi miring dan jumlahkan kaudrat sisi lainnya, maka diperoleh:

a = 20 cm, b = 12 cm, c = 16 cm

a2 = 202

a2 = 400

b2 + c2 = 122 + 162

b2 + c2 = 144 + 256

b2 + c2 = 400

Karena 192 = 122 + 162, maka segitiga ini termasuk jenis segitiga siku-siku.

b] kudaratkan sisi miring dan jumlahkan kaudrat sisi lainnya, maka diperoleh:

a = 21 cm, b = 12 cm, c = 16 cm

a2 = 212

a2 = 441

b2 + c2 = 122 + 162

b2 + c2 = 144 + 256

b2 + c2 = 400

Karena 192 > 122 + 162, maka segitiga ini termasuk jenis segitiga tumpul.

Demikianlah tentang cara menentukan jenis suatu segitiga dengan menggunakan teorema Pythagoras. Mohon maaf jika ada kata-kata atau perhitungan yang salah dalam postingan di atas. Jika ada permasalahan mengenai pembahasan di atas silahkan tanyakan di kolom komentar. Salam Mafia.

Video yang berhubungan