Blog Koma - Setelah sebelumnya kita mempelajari pengertian program linear dan "Persamaan dan Grafik Bentuk Linear", pada artikel ini kita akan melanjutkan tahapan dalam menyelesaikan masalah program linear yaitu materi Menentukan Daerah Penyelesaian (Arsiran) sistem Pertidaksamaan. Pada materi Menentukan Daerah Penyelesaian (Arsiran) sistem Pertidaksamaan ini kita akan bahas cara-cara menentukan daerah penyelesaiannya (arsiran) yang biasa disingkat DHP (Daerah Himpunan Penyelesaian) dengan cara uji sembarang titik.
Pada materi ini kita akan mulai dari menentukan DHP untuk satu pertidaksamaan linear dua variabel, kemudian dilanjutkan dengan beberapa pertidaksamaan linear dua variabel. Sistem pertidaksamaan merupakan kumpulan dari beberapa pertidaksamaan yang memiliki DHP yang sama.
Pengertian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Pertidaksamaan linear dua variabel adalah kalimat terbuka matematika yang memuat dua variabel, dengan masing-masing variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaan yang dimaksud adalah $ >, <, \leq, \, $ atau $ \, \geq $ .
Contoh pertidaksamaan linear dua variabel : 1). Berikut adalah beberapa contoh pertidaksamaan linear dua variabel : a). $ 2x + 3 \geq 3 $ b). $ -x + 2y \leq 20 $ c). $ 5x - 4y < -25 $ d). $ -3x - 2y > 17 $
Perbedaan Persamaan (baik linear atau tidak) dengan Pertidaksamaan
Perbedaan mendasar antara persamaan dan pertidaksamaan yaitu :
Persamaan hasilnya berupa grafik (untuk persamaan linear berupa garis), sedangkan Pertidaksamaan hasilnya berupa daerah arsiran.
Hasil yang dimaksud disini adalah nilai semua variabel yang memenuhi persamaan atau pertidaksamaan.
Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) untuk satu pertidaksamaan dengan metode uji sembarang titik
Langkah-langkah Menentukan DHP nya : i). Gambarlah terlebih dahulu pertidaksamaannya (berupa grafik) dengan mengubah tanda ketaksamaannya ($>, \geq, \leq, <$) menjadi $ = $. ii). Pilih satu titik sembarang yang tidak dilalui oleh garis, kemudian substitusi ke pertidaksamaannya. Jika titik tersebut memenuhi pertidaksamaan, maka daerah yang memuat titik yang diuji tersebut adalah DHP nya. Jika titik yang diuji tidak memenuhi pertidaksamaan, maka DPH nya adalah daerah yang tidak memuat titik tersebut.
iii). Beri tanda DHP nya berupa arsiran.
Catatan : Perbedaan penggunakan $ \leq , \, \geq \, $ dengan $ \, >, \, < \, $ yaitu : *). Bentuk $ \leq , \, \geq \, $ artinya titik-titik yang ada pada garis juga ikut sebagai penyelesaian sehingga digambar utuh (tanpa putus) garisnya. *). Bentuk $ \leq , \, \geq \, $ artinya titik-titik yang ada pada garis tidak ikut sebagai penyelesaian sehingga digambar putus-putus garisnya. Contoh soal Menentukan DHP nya : 2). Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan : a). $ 2x - y \leq 6 $ b). $ 5x + 3y > 15 $ c). $ x \geq 3 $ d). $ y < -1 $ Penyelesaian :Silahkan baca : "Cara membuat grafik bentuk linear".
a). $ 2x - y \leq 6 $ *). Menggambar grafik dari $ 2x - y = 6 \, $ dengan menentukan titik potong (tipot) sumbu-sumbunya : Tipot sumbu X, substitusi $ y = 0 $ , $ 2x - y = 6 \rightarrow 2x - 0 = 6 \rightarrow 2x = 6 \rightarrow x = 3 $. tipotnya adalah (3,0). Tipot sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ , $ 2x - y = 6 \rightarrow 2.0 - y = 6 \rightarrow -y = 6 \rightarrow y = -6 $. tipotnya adalah (0,-6). gambar grafiknya yaitu :
Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) sistem Pertidaksamaan
Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan adalah daerah penyelesaian (DHP) yang memenuhi semua pertidaksamaan yang ada. Langkah-langkah menentukan DHP nya : 1). Gambar masing-masing grafik pertidaksamaan dan tentukan DHP nya. 2). Tandai DHP nya. Ada dua cara untuk menandai DHP nya yaitu : i). DHP nya ditandai dengan daerah arsiran, maksudnya kita arsir daerah yang benar dan kita cari daerah yang terkena arsiran paling banyak dan itulah DHP nya. Terapi, cara ini kurang efektif karena kita terkadang mengalami kesulitan untuk menentukan daerah mana yang terkena arsiran yang paling banyak apalagi kita hanya menggunakan satu warna untuk mengarsirnya.
ii). DHP nya daerah yang bersih, maksudnya kita arsir daerah yang salah dan setelah semua pertidaksamaan kita selesaikan kemudian kita cari daerah yang bersih, daerah tersebutlah DHP nya.
Contoh soal Menentukan DHP sistem pertidaksamaan : 3). Tentukan daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel berikut ini: $ 3x + 2y \leq 12, \, x - y \leq 3, \, x \geq 0, $ dan $ y \geq 0 \, $ untuk $ x, y \in R$. Penyelesaian : *). Menggambar dan menentukan DHP masing-masing pertidaksamaan : Menentukan titik potong terhadap sumbu-sumbu seperti tabel berikut ini :
Menentukan Sistem Pertidaksamaan jika diketahui DHP nya
Pada bagian terakhir dari artikel ini kita membahas kebalikannya yaitu diketahui Daerah Himpunan Penyelesaiannya dan kita diminta untuk menentukan sistem pertidaksamaannya. Langkah-langkahnya : i). Menentukan persamaan semua garis yang menjadi pembatas DHP nya.
ii). Menentukan tanda ketaksamaannya ($>, \, \leq , \, \geq , \, < $) sesuia DHP nya dengan uji sembarang titik yang ada pada DHP.
Contoh soal : 4). Tentukan sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang daerah himpunan penyelesaiannya ditunjukkan pada gambar berikut!
Silahkan baca : "Cara menyusun persamaan linear diketahui grafiknya".
*). Menentukan persamaan masing-masing garis :
$ x - 2y \geq - 4 , \, 4x + 5y \leq 20 , \, x \geq 0 , \, $ dan $ \, y \geq 0 $ .