Aula 6 Conteúdo: Semelhança de triângulos Aula 6 – 01/05/2020 - Sexta - feira •A ideia de igualdade de triângulos é formalizada através do conceito de congruência. •Intuitivamente, dois triângulos são congruentes se podemos sobrepô-los utilizando movimentos rígidos no espaço, sem deformá-los. Ou seja, quando têm a mesma forma e as mesmas dimensões Congruência: Congruência de Triângulos Semelhança de Figuras Definição: Uma figura será semelhante, quando para quaisquer 2 pontos que eu tomar em uma figura. Eu sempre terei 2 únicos correspondentes na outra figura que estamos comparando e com isso a razão será sempre constante. Semelhança de Polígonos A A’ B B’ D D’ E E’ C C’ Definição: Dois polígonos são semelhantes se os ângulos internos forem ordenadamente congruentes e se os lados que formam ângulos congruentes forem proporcionais. ???????? = ???????? Razão dos Perímetros = Razão de semelhança ???????? ????′????′ = ???????? ????′????′ = ???????? ????′????′ = ???????? ????′????′ = ???????? ????′????′ = ???? Propriedade Aritméticas: ???? ???? = ???? ???? = ???? + ???? ???? + ???? ⇒ ???? ???? = ???? ???? = ???? + ???? ???? + ???? = ???? ???? ???????? + ???????? + ???????? + ???????? + ???????? ????′????′ + ????′????′ + ????′????′ + ????′????′ + ????′????′ = ???? ⇒ ???????? ????????′ = ???? 2p 2p’ OBS. • • • ???? ???????????? ∼ ???? ????′????′????′ Semelhança de Triângulos A A’ B B’ a c b C C’ ???? ????′ = ???? ????′ = ???? ????′ = ???? a' c’ b’ መ ???? = ????′ ???? = ????′ መ ???? = ????′ •Dois triângulos são semelhantes se possuem os três ângulos congruentes e os lados homólogos (homo = mesmo, logos = lugar) proporcionais. 1. DEFINIÇÃO Exemplo: Calcule a razão de semelhança do triângulo abaixo? Como calcular a razão de semelhança? A razão de semelhança entre eles pode ser calculada através da razão entre quaisquer dois comprimentos correspondentes. ???? ????′ + ???? ????′ + ???? ????′ = K Solução: Exemplo: Calcule a razão de semelhança do triângulo abaixo? Como calcular a razão de semelhança? A razão de semelhança entre eles pode ser calculada através da razão entre quaisquer dois comprimentos correspondentes. ???? ????′ + ???? ????′ + ???? ????′ = K Exemplo: A razão de semelhança entre os triângulos MNP e RST abaixo é de 2 3 . Determine a medida de RS. Solução: Exemplo: A razão de semelhança entre os triângulos MNP e RST abaixo é de 2 3 . Determine a medida de RS. Exemplo: No exemplo abaixo, os triângulos são semelhantes e A razão entre a área do menor A2 e a área do maior A1 vale 0,64. Iremos calcular suas dimensões. Solução: Exemplo: No exemplo abaixo, os triângulos são semelhantes e A razão entre a área do menor A2 e a área do maior A1 vale 0,64. Iremos calcular suas dimensões. Dado dois triângulos semelhantes, sabendo que a razão de semelhança é igual a 5/6 e que as medidas dos lados do triângulo maior são iguais a 9 cm, 12 cm e 18 cm, qual é o perímetro do triângulo menor? Exemplo: Num triângulo ABC, os lados medem AB = 4 cm, BC = 5 cm e AC = 6 cm. Calcule os lados de um triângulo semelhante a ABC cujo perímetro mede 20 cm. Solução: Exemplo: Num triângulo ABC, os lados medem AB = 4 cm, BC = 5 cm e AC = 6 cm. Calcule os lados de um triângulo semelhante a ABC cujo perímetro mede 20 cm. Sejam x, y e z os lados do triângulo. Como os dois triângulos são semelhantes, então: ???? 4 = ???? 5 = ???? 6 = ???? + ???? + ???? 4 + 5 + 6 = 20 15 = 4 3 ???? = 16 3 , ???? = 20 3 ???? = 8 ???? ???? ???? 4 5 6 ???? ???? ???? ????′ ????′ ????′ Propriedades dos triângulos semelhantes •Todo triângulo é semelhante a si próprio. •ΔABC ~ ΔABC Reflexiva: •Se um triângulo é semelhante a um outro, este é semelhante ao primeiro. •ΔABC ~ ΔDEF ↔ ΔDEF ~ ΔABC Simétrica: •Se um triângulo é semelhante a um segundo e este é semelhante a um terceiro, então o primeiro é semelhante ao terceiro. •ΔABC ~ ΔDEF e ΔDEF ~ ΔXYZ → ΔABC ~ ΔXYZ Transitiva: Critérios de Semelhança de Triângulos Critério AA =>Ângulo- Ângulo. 01 Critério LAL =>Lado- Ângulo- Lado. 02 Critério LLL =>Lado- Lado- Lado. 03 1° Caso: Ângulo-Ângulo. •Se dois triângulos têm dois ângulos internos correspondentes congruentes, então os triângulos são semelhantes. Caso AA: Ângulo-Ângulo 2° Caso: Lado-Ângulo-Lado •Se as medidas de dois dos lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos do outro triângulo e o ângulo determinado por este lados for congruente. Caso LAL: Lado-Ângulo-Lado. 3° Caso: Lado-Lado-Lado •Se as medidas dos lados de um triângulo são respectivamente proporcionais às medidas dos lados correspondentes de outro triângulo, então os triângulos são semelhantes. Caso LLL: Lado-Lado-Lado: Aplicações dos casos de semelhança de triângulos •Em qualquer triângulo retângulo, a altura relativa ao vértice do â reto divide o triângulo em dois triângulos menores que são semelhantes entre si e também semelhante ao triangulo original. Teorema Qual o valor de x no triângulo a seguir? Qual é a medida do segmento AB? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Na imagem a seguir, é possível perceber dois triângulos que compartilham parte de dois lados. Sabendo que os segmentos BA e DE são paralelos, qual a medida de x? a) 210 m b) 220 m c) 230 m d) 240 m e) 250 m Renata precisava medir a altura de uma árvore. Para isso, colocou um pedaço de cano enterrado no chão, formando um ângulo de 90º com o solo. Depois mediu os comprimentos das sombras da árvore do cano, obtendo as medidas indicadas na figura abaixo. Qual é a medida aproximada da altura dessa árvore? (Unirio) Numa cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em forma de disco, que estacionou a 50 m do solo, aproximadamente. Um helicóptero do exército, situado a aproximadamente 30 m acima do objeto, iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura anterior. Sendo assim, pode-se afirmar que o raio do disco mede, em m, aproximadamente: a) 3,0 b) 3,5 c) 4,0 d) 4,5 e) 5,0 Um prédio projeta no solo uma sombra de 30 m de extensão no mesmo instante em que uma pessoa de 1,80 m projeta uma sombra de 2,0 m. Pode-se afirmar que a altura do prédio vale a) 27 m b) 30 m c) 33 m d) 36 m e) 40 m Observe a figura abaixo Aplicações dos casos de semelhança de triângulos •Se dois triângulos são semelhantes, com razão de semelhança igual a k, então a razão entre os comprimentos de duas de suas alturas, medianas ou bissetrizes correspondentes também é igual a k. Teorema Aplicações dos casos de semelhança de triângulos •Toda homotetia é uma semelhança . Teorema Homotetia é a ampliação ou a redução de distâncias e áreas a partir de um ponto fixo. Teorema Fundamental Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro. Na figura, MN // BC. Calcule o valor de AB. Solução: Na figura, MN // BC. Calcule o valor de AB. O triângulo abaixo mostra duas retas paralelas, determine o valor de x. O triângulo abaixo mostra duas retas paralelas, determine o valor de x. • ???????? ????????,???? = ???? ????,???? •22,5x=67,5 •X= ????????,???? ????????,???? •X=3 Solução: APLICAÇÃO: EXEMPLO: ???? ???? ???? ???? ???? ???????? = ???????????? ???????? = ???????????? ???? ???????????????????? = ? Solução: APLICAÇÃO: EXEMPLO: ???? ???? ???? ???? ???? ???????? = ???????????? ???????? = ???????????? ???? ???????????????????? = ? ???? ???? ???? − ???? ∆???????????? ~∆???????????? ???? ???? = ???? − ???? ???? ???????? = ???????? − ???????? ???????? = ???????? ???? = ???????? ???? ???????????????????? = ???? ∗ ???????? ???? ???????????????????? = ???????? ???? ???????????????????? = ????, ???? ???????? APLICAÇÃO: EXEMPLO: ???? ???? ???? =? ???? Solução: APLICAÇÃO: EXEMPLO: ???? ???? ???? =? ???? ???? = ???? → ???????????????? ???? é ???????????? ???????????????????????? ???????? ???????????????????????????????? ???? ???? ???????????????????? ???????????????????????????????? ????ã???? é ????????????????????????????????????????????????! ???? ???? = ???? − ???? ???? − ???? ???? ???? − ???? = ???? ???? − ???? ????2 − ???????? = ???????? − ???????? ???? = ???????? → ∓???? ???? − ???? ???? − ???? ???? ???? ???? ???? ???? APLICAÇÃO: EXEMPLO: ???????? ???????? ???? ???? ???????????????????????????????? ???? ???????????????????????? ???????? ????????????????é???????????? ????????????â???????????????????? ???????? ???????????????????????? ???? ????????????????????????: APLICAÇÃO:1 EXEMPLO: ???????? ???????? ???? ???? ???????? = ???????? ???????? ???????? = ???????? ????????, ???? = ? ???????????????????????????????? ???? ???????????????????????? ???????? ????????????????é???????????? ????????????â???????????????????? ???????? ???????????????????????? ???? ????????????????????????: ???? 18 = 50 ???? ????2 = 900 X=30 ????2 = ℎ2 + 182 900 = ℎ2 + 182 ℎ2 = 302 − 182 ℎ2 = 40 ∗ 12 ℎ = 4 ∗ 12 ∗ 12 ℎ = 24 No interior de um triângulo retângulo foram colocados dois retângulos congruentes, como mostra a figura abaixo. Se cada retângulo possui dimensões 6 cm e 16 cm, determine o valor de x. Os lados de um triângulo ABC medem AB = 8cm, BC = 18cm e CA = 12cm. Calcule as medidas dos lados de um triângulo semelhante a esse, cujo perímetro é 76cm. Observe os dois retângulos semelhantes a seguir e calcule o que se pede: a) Razão de semelhança entre o primeiro e o segundo retângulo: b) Razão dos perímetros entre o primeiro e o segundo retângulo: c) Razão das áreas entre o primeiro e o segundo retângulo Um obelisco de 12 m de altura projeta, num certo momento, uma sombra de 4,8 m de extensão. Calcule a distância máxima que uma pessoa de 1,80 m de altura poderá se afastar do centro da base do obelisco, ao longo da sombra, para, em pé, continuar totalmente na sombra.
A semelhança de triângulos consiste, de modo geral, na proporção entre dois ou mais triângulos, ou seja, são proporcionais se, e somente se, todos os seus lados e ângulos internos forem proporcionais ao outro triângulo. Convenhamos que verificar todos esses elementos um a um gera um pouco de trabalho. A fim de facilitar o processo, vamos estudar os casos de semelhança nos quais é necessário verificar somente três desses elementos.
Leia também: Propriedades do triângulo equilátero
Triângulos semelhantes
Dados dois triângulos ABC e A’B’C’, vamos dizer que eles são semelhantes se, e somente se, os ângulos correspondentes são congruentes na mesma ordem, ou seja, se os ângulos são iguais e se os lados correspondentes são ordenadamente proporcionais. Veja:
Ângulos correspondentes congruentes:
A = A'
B = A'
C = A'
Lados correspondentes proporcionais:
A'B' = B'C' = A'C' = k
AB BC AC
O número k nas razões entre os lados é chamado de constante de proporcionalidade, e as razões são chamadas de razões de proporcionalidade.
Exemplo
Vamos verificar se os triângulos a seguir são proporcionais.
Observe que a correspondência entre os ângulos dos triângulos azul e vermelho é dada por:
A = 65° = B’
B = 45° = A’
C = 70° = C’
Veja também que o lado A’B’ está para o lado AB, que o lado B’C’ está para o lado AC e que o lado A’C’ está para o lado BC, ou seja:
Note que, nessa ordem, podemos encontrar uma proporção entre os lados em que a constante de proporcionalidade é igual a 1/3, ou seja, para construir o triângulo A’B’C’, basta multiplicar cada lado do triângulo ABC por 1/3. Assim, temos que os triângulos são semelhantes na seguinte ordem:
ABC ~ B’A’C’
Veja também: Condição de existência de um triângulo
Teorema fundamental da semelhança de triângulos
Considere inicialmente um triângulo DEF e considere uma reta paralela GH ao lado.
“O teorema fundamental da semelhança de triângulos afirma que toda reta paralela a um dos lados do triângulo que intercepta os outros dois lados determina um segundo triângulo semelhante ao primeiro.”
No triângulo acima, vamos ter a seguinte semelhança:
DFE ~ GFH
Exemplo
No triângulo ABC, o segmento DE é paralelo ao lado BC. Sabe-se também que AB = 8 cm, AC = 10 cm e AD = 2 cm. Determine o comprimento dos segmentos AE e EC.
Como o segmento DE é paralelo ao lado BC do triângulo ABC, pelo teorema fundamental da semelhança de triângulos, temos que os triângulos ABC e ADE são semelhantes, logo seus lados, de modo ordenado, são proporcionais, então:
Veja também que o lado AC é dado pela soma AE + EC. Substituindo os valores de cada lado, temos:
AC = AE + EC
10 = 2,5 + EC
10 – 2,5 = EC
EC = 7,5 cm
Portanto, AE = 2,5 cm e EC = 7,5 cm.
Saiba também: Relações no triângulo retângulo
Casos de semelhança de triângulos
Vimos que, para verificar se dois triângulos são, de fato, semelhantes ,é necessário que todos os ângulos correspondentes sejam iguais e que os lados correspondentes sejam proporcionais, entretanto não é necessário verificar as seis condições. Veremos a seguir casos de semelhança que facilitam tal verificação.
Vamos dizer que dois triângulos são semelhantes se dois ângulos de um triângulo são iguais a dois ângulos do outro triângulo.
Se dois ângulos são congruentes, os triângulos são semelhantes e a volta também é verdadeira, isto é, caso dois triângulos sejam semelhantes, então podemos afirmar que dois ângulos correspondentes são iguais.
Dizemos que dois triângulos são semelhantes se dois lados são proporcionais e os ângulos entre esses lados são congruentes, isto é, iguais.
A condição para que esses dois triângulos sejam semelhantes é que a razão entre AB e A’B’ seja igual à razão entre os lados AC e A’C’, ou seja, que os lados sejam proporcionais. Além disso, o ângulo compreendido entre esses lados deve ser igual: Â = Â.
Nesse caso, também vale a volta da afirmação, ou seja, se dois triângulos são semelhantes, então podemos afirmar que dois de seus lados são proporcionais e que os ângulos entre esses lados são iguais.
Dois triângulos são ditos semelhantes se os três lados do primeiro triângulo são ordenadamente proporcionais aos lados do segundo triângulo.
Nesse caso, para que os triângulos sejam semelhantes, os lados correspondentes devem ser iguais.
Exemplo
Considere os triângulos a seguir. Sabendo que eles são semelhantes, determine os valores de a, b e c. O perímetro do triângulo maior é igual a 84 cm.
Por hipótese, os triângulos são semelhantes. Podemos dizer ainda que a semelhança é pelo caso LLL, ou seja, ABC ~ A’B’C’, portanto:
Como o perímetro do triângulo maior é igual a 84 cm, temos que:
a + b + c = 84
7k + 9k + 5k = 84
21k = 84
k =4
Substituindo os valores de k nas igualdades, temos:
a = 7 · (4) → a = 28 cm
b = 9 · (4) → b = 36 cm
c = 5 · (4) → c = 20 cm
Exercícios resolvidos
Questão 1 – (PUC-Campinas) Os triângulos ABC e AED, representados na figura a seguir, são semelhantes, sendo os ângulos D e C congruentes.
Se BC = 16 cm, AC = 20 cm, AD = 10 cm e AE = 10,4 cm, o perímetro do quadrilátero BCED, em centímetros, é:
a) 32,6
b) 36,4
c) 40,8
d) 42,6
e) 44,4
Solução
Alternativa e.
Os triângulos ABC e AED são semelhantes, logo seus lados, nessa ordem, formam uma proporção. Das propriedades de proporção, temos:
Multiplicando cruzado as duas primeiras frações, temos:
20 · DE = 10 · 16
20 · DE = 160
DE = 8 cm
Agora, multiplicando cruzado a primeira fração com a terceira, temos:
20 · 10,4 = 10 · (10 + BD)
208 = 100 + 10 · BD
10 ·BD = 208 – 100
10 · BD = 108
BD = 10,8 cm
Note que o lado AC é dado por AE + CE. Substituindo os valores conhecidos, temos:
AC = AE + CE
20 = 10,4 + CE
CE = 20 – 10,4
CE = 9,6 cm
E portanto o perímetro do quadrilátero BCED é:
BC + CE + DE + DB
16 + 9,6 + 8 + 10,8
44,4 cm