A divisão é uma das quatro operações fundamentais da Matemática. A divisão pode ser representada da seguinte forma:
→ Algoritmo da divisão:
Dividendo← a | b → Divisor
Resto ← c d → Quociente
Exemplo:
Dividendo ← 9| 3 → Divisor
Resto ← 0 3 → Quociente
→ Algoritmo fundamental da divisão:
a = b . d + c
Dividendo = Divisor . Quociente + Resto
Exemplo:
9 = 3 . 3 + 0
→ Divisão horizontal exata:
a : b = d
Exemplo:
9 : 3 = 3
→ Fração:
a = d
b
a = Numerador/ Dividendo
b = Denominador/ Divisor
d = Quociente
Exemplo:
9 = 3
3
Observe que a terceira representação da divisão é uma fração, que também pode ser considerada como o quociente entre dois números. Quando isso acontece, a fração é uma razão:
Razão: é o quociente entre dois números.
Para poder compreender melhor esse conceito, acompanhe o exemplo abaixo:
Exemplo: Em uma sala de aula com 50 alunos, 30 são meninos e 20 são meninas. Determine as razões descritas abaixo:
a) Razão entre o número de meninas e a quantidade total de alunos.
Número de meninas: 20
Total de alunos: 50
A razão entre o número de meninas e a quantidade total de alunos é dada pelo quociente, que é uma divisão representada como fração:
20 = 0,4
50
b) Razão entre o número de meninos e a quantidade total de alunos.
Número total de meninos: 30
Número total de alunos: 50
A razão entre o número de meninos e a quantidade total de alunos:
30 = 0,6
50
Já a proporção é obtida pela razão. Veja a seguir a definição de proporção:
Proporção: é a igualdade de duas razões.
Representamos a proporção da seguinte forma:
externo ← a = c → meio
meio ← b d → externo
A proporção obedece à seguinte propriedade: “o produto dos extremos é igual ao produto dos meios”.
a = c
b d
b . c = a . d
Vamos praticar um pouco o conceito estudado por meio dos exemplos abaixo:
Exemplo: Encontre o valor de x nas proporções. Considere que “o produto dos extremos é igual ao produto dos meios”.
a) 2 = 5
x 10
5 . x = 2 . 10
5x = 20
x = 20
5
x = 4
b) 1,5 = x
3 2
3 . x = 2 . 1, 5
3x = 3
x = 3
3
x = 1
Exemplo: Escreva as razões, determine a proporção e encontre o valor de x no problema a seguir:
A razão entre a altura de um prédio vertical e a medida de sua sombra, em determinada hora do dia, é de 15 para 5. Se a sombra medir 4 metros, qual é a altura do prédio?
A fração das duas razões devem ser estruturadas com a medida do prédio no numerador e a medida da sombra no denominador. O que queremos encontrar é a medida do prédio, que chamaremos de x, quando a sombra mede 4 m.
15 = x
5 4
5x = 60
x = 60
5
x = 12 m
O prédio possui 12 metros de altura.
A razão entre dois números é dada pela sua divisão obedecendo a ordem na qual eles foram dados. Tal razão pode ser representada na forma fracionária, decimal e percentual. A relação entre duas ou mais razões é uma importante ferramenta para solucionar problemas práticos, essa igualdade é chamada de proporção.
Leia também: Propriedades da proporção: quais são e para que servem?
Razão e proporção
→ Definição de razão: Considere dois números racionais x e y, com y diferente de zero. A razão de x por y, nessa ordem, é dada pelo quociente:
A razão entre os números:
a) 3 e 4
b) 5 e 7
Devemos ficar bastante atentos à ordem na qual os números são dados, o primeiro número sempre será o numerador, e o segundo número sempre será o denominador. Veja:
→ Definição de proporção: Quando igualamos duas razões, estamos formando uma proporção. Considere duas razões em que b ≠ 0 e y ≠ 0:
A igualdade será uma proporção se a · y = b · x, ou seja, se multiplicando cruzado encontrarmos uma igualdade verdadeira, então teremos uma proporção
Verificar se os números 2, 3, 10 e 15 são proporcionais nessa ordem.
Para isso, devemos montar a razão entre esses números e, em seguida, multiplicar cruzado. Se encontrarmos uma igualdade verdadeira, então eles serão proporcionais, caso contrário, eles não serão proporcionais.
Veja também: Proporcionalidade entre grandezas: tipos e exemplos
Como representar uma razão?
Vimos que uma razão é dada por uma divisão, que, por sua vez, pode ser representada por uma fração. Ao realizar a divisão do numerador pelo denominador dessa fração, obteremos a forma decimal da razão. Com base na forma decimal, podemos escrever a razão em sua forma percentual, bastando multiplicar esse número decimal por 100. Veja os exemplos.
Representação da razão entre 2 e 4 na forma fracionária, decimal e percentual.
A razão entre 2 e 4 é dada por:
Para determinar a forma decimal, basta realizar a divisão do numerador pelo denominador.
2 ÷ 4 = 0,5
Portanto, 0,5 é a representação decimal da razão dos números 2 e 4.
Para escrevermos essa razão na forma percentual, devemos multiplicar por 100 o número 0,5. Veja:
0,5 · 100 = 50%
Portanto:
Exercícios resolvidos
Questão 1 – (Unisinos-RS) Sabendo que a distância entre duas cidades num mapa, na escala 1 : 1 600 000, é de 8 cm, qual é a distância real entre elas?
a) 2 km
b) 12,8 km
c) 20 km
d) 128 km
e) 200 km
Solução
Alternativa d. Do enunciado temos a escala 1 : 1 600 000, ou seja, cada 1 centímetro no mapa corresponde a 1 600 000 centímetros na realidade. Interpretando tal escala como sendo a razão entre 1 e 1 600 000, devemos determinar a media real de uma distância de 8 centímetros no mapa, logo:
Observe que as alternativas são dadas utilizando-se a unidade de medida quilômetro. Para transformar centímetro em quilômetro, devemos dividir o último resultado por 100.000:
12.800.000 ÷ 100.000 = 128 km
Questão 2 – A razão entre a idade de duas pessoas é de 12 para 11. Sabe-se que a soma das idades é 115, determine a idade de cada uma dessas pessoas.
Solução
Como desconhecemos a idade das duas pessoas, vamos nomeá-las a e b. Como a razão entre essas idades é de 12 para 11, podemos montar uma proporção:
Sabemos que a soma das idades é 115, logo:
a + b = 115
a = 115 – b
Substituindo o valor de a na primeira equação, teremos:
11 · a = 12 · b
11 · (115 – b) = 12 · b
1.265 – 11b = 12b
1.265 = 12b + 11b
1.265 = 23b
b = 1.265 ÷ 23
b = 55
Como a = 115 – b, então:
a = 115 – 55
a = 60
Portanto, essas pessoas possuem, respectivamente, 60 anos e 55 anos.
Por Robson Luiz
Professor de Matemática
Uma razão pode ser representada por x:y ou x/y, que nada mais é do que uma fração. Nesta situação as informações importantes são quantas partes existem para x, quantas partes existem para y, o número total de partes presentes no grupo e a razão.
A razão é escrita como x/y da forma mais simplificada possível. Exemplo, se x = 60 e y = 15, 60 e 15 são múltiplos de 15, e por isso a razão de 60/15 é de 4/1.
Veja como resolver Razão e Proporção na prova do Enem ou num Vestibular: – Quando você encontra o número de partes de x e também de y, você é capaz de resolver qualquer problema de razão e proporção. Pois o número total de partes é a soma de todas as partes e a razão é uma fração envolvendo estas partes.
Os problemas desta natureza sempre vão fornecer a possibilidade de montar 2 equações para encontrar 2 incógnitas.O próximo passo é isolar uma das incógnitas em uma das equações e substituí-la na outra equação. Daí por diante é só não errar a álgebra que o problema já era! Você encontrará o número de partes de x e de y.
“Ah, mas eu sempre erro na álgebra”, você pode ter pensado. Então, é hora de se ligar para ficar bem treinado na álgebra. Isto é fundamental para o Enem e no vestibular. Por isso, faça o máximo de cálculos que puder enquanto estuda, pois esse é o caminho para cometer cada vez menos erros algébricos. Quando você encontra x e y é possível alterar a razão e obter uma nova configuração no grupo, e com isso descobrir os novos valores de x e y ou o número total de partes.
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Aula Gratuita
Assista aqui ao vídeo sobre razões e proporções, e depois acompanhe as explicações detalhadas e os exercícios preparados pelo professor Fernando Volpatto:
//www.youtube.com/watch?v=c7JQCEx57t0
Dica 1 – Se você está achando difícil, antes de continuar veja aqui um post com o conteúdo básico sobre Razão e Proporção. Tem um vídeo bem didático da Khan Academy e explicações adicionais do professor Fernando Volpatto também: //blogdoenem.com.br/enem-khan-academy-2/Aí vai um exemplo para ilustrar a explicação:
A razão x/y = 3/5, quando adiciono 10 partes a mais para y a razão fica 3/7. Ao fim desta operação qual o número total de partes?
Vamos dar nomes aos bois: (x/y = 3/5) é a equação 1. Beleza, se aparecer mais uma equação tudo se resolve, mas onde está ela? Quando dizemos “quando adiciono 10 partes a mais para y a razão fica 3/7” em equação quer dizer x/(y+10) = 3/7. Então (x/(y+10) = 3/7) é a equação 2.
Isolando x na equação 1 temos x = 3/5*y e substituindo isso na equação 2 ficamos com (3/5*y)/(y+10 )= 3/7, note que aqui já temos uma única equação em que nossa incógnita é o y.
Ai multiplicando cruzado temos, (3/5*y)*7 = (y+10)*3 => 21/5*y = 3y+30 => 21/5*y-3y = 30 => 21/5*y-15/5*y = 30, lembrando que 3 = 15/5, 6/5*y = 30 => 6y = 30*5 => y = 25. A gente sabe também que x/y = 3/5, então x/2 5= 3/5 =>
x = 3 /5*25 = 15. Enfim, x+y+10 = 15+25+10 = 50, que é o número total de partes no final da operação.
Para quebrar a cabeça dura! Exercício para você martelar até aprender:
Temos x/y = 11/5. Se for adicionado mais 10 partes para y a razão se torna 11/6.
Quantas partes terá y antes e depois da alteração?
Qual o número total de partes antes e depois da alteração?
Vamos lá, aplique agora tudo o que você aprendeu no vídeo e nas explicações.
Deixe para olhar as respostas somente depois de ter feito e refeito.
Respostas: 50; 60 e 160; 170.
Dica 2 – Quer saber o que mais cai em Matemática e as melhores dicas para mandar bem no Enem e no Vestibular? Tudo aqui para você: //blogdoenem.com.br/category/cainaprova/matematica/ Dica 3 – Veja mais vídeos da Khan Academy já traduzidos para o Português pela equipe da Fundação Lemann no //www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/#videos
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