Como resolver expressões com raiz quadrada e potência

1º passo: resolvemos a radiciação. 2º passo: como multiplicação e divisão são de mesma prioridade, resolvemos primeiro a multiplicação, pois aparece antes da divisão. 3º passo: resolvemos a divisão. 4º passo: resolvemos a última operação, que é a subtração. → Potenciação e radiciação Em uma expressão numérica, sempre resolva primeiro as potências e raízes antes de qualquer outra operação matemática. A única exceção é para o caso em que aparecem colchetes, chaves ou parênteses. Vale ressaltar que, entre potências e raízes, não há prioridade. Da mesma forma que calculamos a raiz quadrada de um número natural positivo, podemos determinar a raiz de um número fracionário. Para isso, basta calcularmos a raiz do numerador e do denominador. Alguns resultados são obtidos com a fatoração dos números, os quais são agrupados como potência de expoente igual a 2. {} → Chaves Assim como acontece com as operações, esses sinais de associação possuem uma ordem que deve ser respeitada. Primeiro, resolvemos os parênteses, quando acabarem os cálculos dentro dos parênteses, resolvemos os colchetes; e quando não houver mais o que calcular dentro dos colchetes, resolvemos as chaves. Resolver expressões numéricas exige um cuidado, pois há uma prioridade na ordem das operações, começando pelos símbolos, resolvendo: primeiro, as operações que estão dentro do parêntese; depois, as operações que estão entre colchetes; por fim, as operações que estão entre chaves. As expressões numéricas devem ser resolvidas seguindo a seguinte ordem: resolver as operações no interior de parênteses, depois no interior de colchetes....Já a ordem de resolução das operações em si é a seguinte:

• Primeiro, calcular raízes ou potências,
• depois, multiplicações ou divisões.
• e, por fim, adições e subtrações.

Poderíamos terminar logo: a ordem para realizar as operações é parênteses, potências, multiplicações e divisões e adição e subtração. As conjunções de ligação na sentença anterior estão bem posicionadas. "Multiplicações e divisões" e "adição e subtração" têm a mesma prioridade. Assim como acontece com as operações, esses sinais de associação possuem uma ordem que deve ser respeitada. Primeiro, resolvemos os parênteses, quando acabarem os cálculos dentro dos parênteses, resolvemos os colchetes; e quando não houver mais o que calcular dentro dos colchetes, resolvemos as chaves. As expressões numéricas devem ser resolvidas seguindo a seguinte ordem:

1. resolver as operações no interior de parênteses,
2. depois no interior de colchetes.
3. e, por fim, no interior de chaves.

POTENCIAÇÃOConsideremos uma multiplicação em que todos os fatores são iguaisExemplo5x5x5, indicada por 5³ou seja , 5³= 5x5x5=125onde :5 é a base (fator que se repete)3 é o expoente ( o número de vezes que repetimos a base)125 é a potência ( resultado da operação)Outros exemplos :a) 7²= 7x7=49b) 4³= 4x4x4=64c) 5= 5x5x5x5=625d) 2= 2x2x2x2x2=32O expoente 2 é chamado de quadradoO expoente 3 é chamado de cuboO expoente 4 é chamado de quarta potência.O expoente 5 é chamado de quinta potência.Assim:a) 7² Lê-se: sete elevado ao quadradob) 4³ Lê-se: quatro elevado ao cuboc) 5 Lê-se: cinco elevado a quarta potênciad) 2 Lê-se: dois elevado a quinta potênciaPor convenção temos que:1) todo o número elevado ao expoente 1 é igual à própria base,exemploa) 8¹ = 8b) 5¹ = 5c) 15¹ = 152) todo o número elevado ao expoente zero é igual a 1exemploa) 8º=1b) 4º=1c) 12º=1EXERCÍCIOS1) Em 7² = 49, responda:a) Qual é a base?b) Qual é o expoente?c) Qual é a potência?2) Escreva na forma de potência:a) 4x4x4=b) 5x5c) 9x9x9x9x9=d) 7x7x7x7e) 2x2x2x2x2x2x2=f) cxcxcxcxc=3) Calcule a potência:

a) 3² =9

b) 8² =64
c) 2³= 8
d) 3³ = 27e) 6³ = 216
f) 2 = 16
g) 3 = 81
h) 3 = 243i) 1 = 1j) 0 = 0l) 1 = 1
m) 10² =100
n) 10³ =1000
o) 15² =225
p) 17² =289
q) 30² =900 4) Calcule as potências:

a)40² =1600

b)32² =1024
c)15³ = 3375
d) 30³= 27000
e) 11 =14641
f) 300² = 90000
g) 100³ = 1000000
h) 101² = 102015) Calcule as Potências:

a) 11² = 121b) 20² = 400

c) 17² =289
d) 0² = 0e) 0¹ = 0
f) 1⁶ = 1
g) 10³ = 1.000
h) 470¹ = 470i) 11³ = 1331
j) 67⁰ =1k) 1³⁰ = 1l) 10⁵ = 100000m) 1⁵ = 1n) 15³ = 3375
o) 1² = 1
p) 1001⁰= 1

RADICIAÇÃO

Qual o número que elevado ao quadrado é igual a 9?SoluçãoSendo 3² = 9, podemos escrever que √9 = 3Essa operação chama-se radiciação, que é a operação inversa da potenciaçãoExemplosPotenciação------------------------radiciaçãoa) 7² = 49 ---------------------------- √49= 7b) 2³= 8 ------------------------------ ∛8 = 2c) 3⁴= 81 ---------------------------- ∜81 = 3O sinal √ chamamos de radicalO índice 2 significa : raiz quadradaO índice 3 significa: raiz cúbicaO índice 4 significa: raiz quartaassim:√49= 7 lê-se: raiz quadrada de 49∛8 = 2 lê-se : raiz cúbica de 8∜81 = 3 lê-se: raiz quarta de 81Nota:Não é necessário o índice 2 no radical para a raiz quadradaEXERCÍCIOS1)Descubra o número que :a) elevado ao quadrado dá 9b) elevado ao quadrado dá 25c) elevado ao quadrado dá 49d) elevado ao cubo dá 82) Quanto vale x ?

a) x²= 9 (R:3)

b) x²= 25 (R:5)
c) x²= 49 (R:7)
d) x²= 81 (R:9)3) Determine a Raiz quadrada:

a) √9 = 3b) √16 = 4

c) √25 = 5
d) √81 = 9
e) √0 = 0
f) √1 = 1
g) √64 = 8
h) √100 = 104) Resolva as expressões abaixo:

a) √16 + √36 = 4 + 6 = 10

b) √25 + √9 = 5 + 3 = 8
c) √49 - √4 = 7 - 2 = 5
d) √36- √1 = 6 - 1 = 5
e) √9 + √100 = 3 + 10 = 13
f) √4 x √9 = 2 x 3 = 6

PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO

Primeira propriedade

Multiplicação de potências de mesma base Ao multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes. exemplos 3² x 3⁵ = 3²⁺⁵ = 3⁷ conclusão: conservamos a base e somamos os expoentes. EXERCÍCIOS 1) Reduza a uma só potência

a) 4³ x 4 ²= 4⁵

b) 7⁴ x 7⁵ = 7⁹
c) 2⁶ x 2²= 2⁸
d) 6³ x 6 = 6⁴
e) 3⁷ x 3² = 3⁹
f) 9³ x 9 = 9⁴
g) 5 x 5² = 5³
h) 7 x 7⁴ = 7⁵
i) 6 x 6 = 6²
j) 3 x 3 = 3²
l) 9² x 9⁴x 9 = 9⁷
m) 4 x 4² x 4 = 4⁴
n) 4 x 4 x 4= 4³
0) m⁰ x m x m³ = m⁴
p) 15 x 15³ x 15⁴x 15 = 15⁹ 2) Reduza a uma só potência:

a) 7² x 7⁶ = 7⁸

b) 2² x 2⁴= 2⁶
c) 5 x 5³ = 5⁴
d) 8² x 8 = 8³
e) 3⁰ x 3⁰ = 3⁰
f) 4³ x 4 x 4² = 4⁶
g) a² x a² x a² = a⁶
h) m x m x m² = m⁴
i) x⁸ . x . x = x¹⁰
j) m . m . m = m³

Segunda Propriedade

Divisão de Potência de mesma base Ao dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes. Exemplo a) 8⁹: 8² = 8⁹⁻² = 8⁷ b) 5⁴ : 5 = 5⁴⁻¹ = 5³ conclusão : conservamos a base e subtraimos os expoentes EXERCÍCIOS 1) Reduza a uma só potência

a) 5⁴ : 5² = 5²

b) 8⁷ : 8³ = 8⁴
c) 9⁵ : 9² = 9³
d) 4³ : 4² = 4¹e) 9⁶ : 9³ = 9³
f) 9⁵ : 9 = 9⁴
g) 5⁴ : 5³ = 5¹
h) 6⁶ : 6 = 6⁷
i) a⁵ : a³ = a²
j) m² : m = m¹
k) x⁸ : x = x⁷
l) a⁷ : a⁶ = a¹ 2) Reduza a uma só potência: a) 2⁵ : 2³ = b) 7⁸ : 7³= c) 9⁴ : 9 = d) 5⁹ : 5³ = e) 8⁴ : 8⁰ = f) 7⁰ : 7⁰ =

Teceira Propriedade

Potência de Potência Ao elevar uma potência a um outro expoente, repetimos a base e multiplicamos os expoentes. (7²)³ = 7²΄³ = 7⁶ conclusão: conservamos a base e multiplicamos os expoentes. EXERCÍCIOS 1) Reduza a uma só potência: a) (5⁴)² b) (7²)⁴ c) (3²)⁵ d) (4³)² e) (9⁴)⁴ f) (5²)⁷ g) (6³)⁵ h) (a²)³ i) (m³)⁴ j) (m³)⁴ k) (x⁵)² l) (a³)⁰ m) (x⁵)⁰ 2) Reduza a uma só potência: a) (7²)³ = b) (4⁴)⁵ = c) (8³)⁵ = d) (2⁷)³ = e) (a²)³ = f) (m³)⁴ = g) (a⁴)⁴ = h) (m²)⁷ =

EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM POTENCIAÇÃO

Para resolver uma expressão numérica, efetuamos as operações obedecendo à seguinte ordem : 1°) Potenciação 2°) Multiplicações e divisões 3°) Adições e Subtrações EXEMPLOS 1) 5 + 3² x 2 = = 5 + 9 x 2 = = 5 + 18 = = 23 2) 7² - 4 x 2 + 3 = = 49 – 8 + 3 = = 41 + 3 = = 44 Há expressões onde aparecem os sinais de associação e que devem ser eliminados nesta ordem: 1°) parênteses ( ) 2°) colchetes [ ] 3°) chaves { } exemplos 1°) 40 – [5² + ( 2³ - 7 )] = = 40 – [5² + ( 8 - 7 )] = 40 – [25 + 1 ]= = 40 – 26 = = 14 2°) 50 –{ 15 + [ 4² : ( 10 – 2 ) + 5 x 2 ] } = = 50 –{ 15 + [ 16 : 8 + 10 ]}= = 50 – { 15 + [ 2 + 10 ] } = = 50 – { 15 +12 } = = 50 – 27 = = 23 Exercícios 1) Calcule o valor das expressões:

a) 7² - 4 = (R:45)

b) 2³ + 10 = (R:18)
c) 5² - 6 = (R:19)
d) 4² + 7⁰= (R:17)e) 5⁰+ 5³= (R: 126)
f) 2³+ 2⁴ = (R: 24)
g) 10³ - 10² = (R: 900)
h) 80¹ + 1⁸⁰ = (R: 81)
i) 5² - 3² = (R: 16)
j) 1⁸⁰ + 0⁷⁰ = (R: 1) 2) Calcule

a) 3² + 5 = (R: 14)b) 3 + 5² = (R: 28)

c) 3² + 5² = (R: 34)
d) 5² - 3² = (R: 16)
e) 18 - 7⁰ = (R: 17)f) 5³ - 2² = (R: 121)
g) 10 + 10² = (R: 110)
h) 10³ - 10² = (R: 900)
i) 10³ - 1¹ = (R: 999) 3) Calcule o valor das expressões

a) 2³ x 5 + 3² = (R: 49)

b) 70⁰+ 0⁷⁰ - 1 = (R: 0 )
c) 3 x 7¹ - 4 x 5⁰ = (R: 17)
d) 3⁴- 2⁴: 8 – 3 x 4 = (R: 67)
e) 5² + 3 x 2 – 4 = (R: 27)
f) 5 x 2² + 3 – 8 = (R: 15)
g) 5² - 3 x 2² - 1 = (R: 12)
h) 16 : 2 – 1 + 7² = (R: 56) 4) calcule o valor das expressões:

a) 5² : ( 5 +1 -1)+ 4 x 2 = (R: 13)

b) (3 +1)² +2 x 5 - 10⁰ = (R: 25)
c) c) 3²: ( 4 – 1) + 3 x 2² = (R: 15)
d) 70 –[ 5 x (2² : 4) + 3²] = (R: 56)
e) ( 7 + 4) x ( 3² - 2³) = (R: 11)
f) 5² + 2³ - 2 x (3 + 9) = (R: 9)
g) 6² : 3² + 4 x 10 – 12 = (R: 32)
h) (7² - 1 ) : 3 + 2 x 5 = (R: 26) 5) calcule o valor das expressões:

a) 5 + 4²- 1 = (R: 20)

b) 3⁴ - 6 + 2³ = (R: 83)
c) 2⁵ - 3² + 1⁹ = (R: 24)
d) 10²- 3² + 5 = (R: 96)e) 11² - 3² + 5 = (R: 117)
f) 5 x 3² x 4 = (R: 180)
g) 5 x 2³ + 4² = (R: 56)
h) 5³ x 2² - 12 = (R: 488) 6) Calcule o valor das expressões:

a) ( 4 + 3)² - 1 = (R: 48)

b) ( 5 + 1 )² + 10 = (R: 46)
c) ( 9 – 7 )³ x 8 = (R: 64)
d) ( 7² - 5²) + ( 5² - 3 ) = (R: 46)e) 6² : 2 - 1⁴ x 5 = (R: 13)
f) 3² x 2³ + 2² x 5² = (R: 172) 7) Calcule o valor das expressões:

a) 4²- 10 + (2³ - 5) = (R: 9)b) 30 – (2 + 1)²+ 2³ = (R: 29)

c) 30 + [6² : ( 5 – 3) + 1 ] = (R: 49)
d) 20 – [6 – 4 x( 10 - 3²) + 1] = (R: 17)
e) 50 + [ 3³ : ( 1 + 2) + 4 x 3] = (R: 71)f) 100 –[ 5² : (10 – 5 ) + 2⁴ x 1 ] = (R: 79)
g) [ 4² + ( 5 – 3)³] : ( 9 – 7)³ = (R: 3 )h) 7²+ 2 x[(3 + 1)² - 4 x 1³] = (R: 73)
i) 25 + { 3³ : 9 +[ 3² x 5 – 3 x (2³- 5¹)]} = (R: 64) 8) Calcule as expressões:

a) ( 8 : 2) . 4 + {[(3² - 2³) . 2⁴ - 5⁰] . 4¹}= (R:76)

b) ( 3² - 2³) . 3³ - 2³ + 2² . 4² = ( R:83)
c) ( 2⁵ - 3³) . (2² - 2 ) = (R: 10)
d) [2 . (10 - 4² : 2) + 6²] : ( 2³ - 2²) = ( R:10)
e) (18 – 4 . 2) . 3 + 2⁴ . 3 - 3² . ( 5 – 2) = (R: 51)
f) 4² . [2⁴ : ( 10 – 2 + 8 ) ] + 2⁰ = (R: 17)
g) [( 4² + 2 . 3²) + ( 16 : 8)² - 35]² + 1¹⁰ - 10⁰ = (R : 9)
h) 13 + ( 10 – 8 + (7 – 4)) = (R: 18)
i) (10 . 4 + 18 – ( 2 . 3 +6)) = (R:46)
j) 7 . ( 74 – ( 4 + 7 . 10)) = (R: 0)
k) ( 19 : ( 5 + 3 . 8 – 10)) = (R : 1)
l) (( 2³ + 2⁴) . 3 -4) + 3² = (R: 77)
m) 3 + 2 . ((3²- 2⁰) + ( 5¹ - 2²)) + 1 = (R: 22)

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