Persamaan dengan satu yang tidak diketahui, yang, setelah membuka tanda kurung dan mengurangi suku sejenis, berbentuk
kapak + b = 0, di mana a dan b adalah bilangan arbitrer, disebut persamaan linier dengan satu yang tidak diketahui. Hari ini kita akan mencari tahu bagaimana menyelesaikan persamaan linier ini.
Misalnya, semua persamaan:
2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - linier.
Nilai dari yang tidak diketahui yang mengubah persamaan menjadi persamaan sejati disebut keputusan atau akar persamaan .
Misalnya, jika dalam persamaan 3x + 7 \u003d 13 kita mengganti angka 2 alih-alih x yang tidak diketahui, maka kita mendapatkan persamaan yang benar 3 2 + 7 \u003d 13. Ini berarti bahwa nilai x \u003d 2 adalah solusinya atau akar persamaan.
Dan nilai x \u003d 3 tidak mengubah persamaan 3x + 7 \u003d 13 menjadi persamaan sejati, karena 3 2 + 7 13. Oleh karena itu, nilai x \u003d 3 bukanlah solusi atau akar persamaan.
Solusi dari setiap persamaan linier direduksi menjadi solusi persamaan bentuk
kapak + b = 0.
Kami mentransfer istilah bebas dari sisi kiri persamaan ke kanan, sambil mengubah tanda di depan b ke kebalikannya, kami mendapatkan
Jika a 0, maka x = – b/a .
Contoh 1 Selesaikan persamaan 3x + 2 =11.
Kami memindahkan 2 dari sisi kiri persamaan ke kanan, sambil mengubah tanda di depan 2 menjadi kebalikannya, kami mendapatkan
3x \u003d 11 - 2.
Mari kita lakukan pengurangan, lalu
3x = 9.
Untuk menemukan x, Anda perlu membagi produk dengan faktor yang diketahui, yaitu,
x = 9:3.
Jadi nilai x = 3 adalah solusi atau akar persamaan.
Jawabannya: x = 3.
Jika a = 0 dan b = 0, maka kita mendapatkan persamaan 0x \u003d 0. Persamaan ini memiliki banyak solusi tak terhingga, karena ketika mengalikan bilangan apa pun dengan 0, kita mendapatkan 0, tetapi b juga 0. Solusi persamaan ini adalah bilangan apa pun.
Contoh 2 Selesaikan persamaan 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.
Mari kita perluas tanda kurung:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.
5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.
Berikut adalah anggota serupa:
0x = 0.
Jawaban: x adalah bilangan apa saja.
Jika a = 0 dan b 0, maka kita mendapatkan persamaan 0x = - b. Persamaan ini tidak memiliki solusi, karena ketika mengalikan bilangan apa pun dengan 0, kita mendapatkan 0, tetapi b 0.
Contoh 3 Selesaikan persamaan x + 8 = x + 5.
Mari kita kelompokkan istilah yang mengandung yang tidak diketahui di sisi kiri, dan istilah bebas di sisi kanan:
x - x \u003d 5 - 8.
Berikut adalah anggota serupa:
0x = - 3.
Jawaban: tidak ada solusi.
pada Gambar 1 skema untuk menyelesaikan persamaan linier ditunjukkan
Mari kita buat skema umum untuk menyelesaikan persamaan dengan satu variabel. Perhatikan solusi dari contoh 4.
Contoh 4 Ayo selesaikan persamaannya
1) Kalikan semua suku persamaan dengan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebutnya, sama dengan 12.
2) Setelah pengurangan kita dapatkan
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)
3) Untuk memisahkan anggota yang berisi anggota tidak dikenal dan anggota bebas, buka tanda kurung:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.
4) Kami mengelompokkan di satu bagian istilah yang mengandung yang tidak diketahui, dan di bagian lain - istilah bebas:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.
5) Berikut adalah anggota yang serupa:
- 22x = - 154.
6) Bagi dengan - 22 , Kami mendapatkan
x = 7.
Seperti yang Anda lihat, akar persamaannya adalah tujuh.
Secara umum, seperti persamaan dapat diselesaikan sebagai berikut:
a) bawa persamaan ke bentuk bilangan bulat;
b) kurung terbuka;
c) kelompokkan suku-suku yang mengandung yang tidak diketahui di satu bagian persamaan, dan suku-suku bebas di bagian lain;
d) membawa anggota serupa;
e) selesaikan persamaan bentuk aх = b, yang diperoleh setelah membawa suku-suku sejenis.
Namun, skema ini tidak diperlukan untuk setiap persamaan. Ketika memecahkan banyak persamaan yang lebih sederhana, seseorang harus memulai bukan dari yang pertama, tetapi dari yang kedua ( Contoh. 2), ketiga ( Contoh. tigabelas) dan bahkan dari tahap kelima, seperti pada contoh 5.
Contoh 5 Selesaikan persamaan 2x = 1/4.
Kami menemukan x \u003d 1/4: 2 yang tidak diketahui,
x = 1/8 .
Pertimbangkan solusi dari beberapa persamaan linier yang ditemui dalam ujian negara bagian utama.
Contoh 6 Selesaikan persamaan 2 (x + 3) = 5 - 6x.
2x + 6 = 5 - 6x
2x + 6x = 5 - 6
Jawaban: - 0,125
Contoh 7 Selesaikan persamaan - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x - 8x = - 7 +30
Jawaban: 2.3
Contoh 8 Selesaikan Persamaan
3(3x - 4) = 4 7x + 24
9x - 12 = 28x + 24
9x - 28x = 24 + 12
Contoh 9 Cari f(6) jika f (x + 2) = 3 7's
Keputusan
Karena kita perlu mencari f(6), dan kita tahu f (x + 2),
maka x + 2 = 6.
Kami memecahkan persamaan linier x + 2 = 6,
kita mendapatkan x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.
Jika x = 4 maka
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Jawaban: 27.
Jika Anda masih memiliki pertanyaan, ada keinginan untuk memahami solusi persamaan lebih menyeluruh, daftar untuk pelajaran saya di JADWAL. Saya akan dengan senang hati membantu Anda!
TutorOnline juga merekomendasikan untuk menonton video tutorial baru dari tutor kami Olga Alexandrovna, yang akan membantu Anda memahami persamaan linear dan lainnya.
situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.
Kami akan menganalisis dua jenis sistem penyelesaian persamaan:
1. Penyelesaian sistem dengan metode substitusi.
2. Penyelesaian sistem dengan penambahan (pengurangan) suku demi suku dari persamaan sistem.
Untuk menyelesaikan sistem persamaan metode substitusi Anda harus mengikuti algoritma sederhana: 1. Kami mengungkapkan. Dari persamaan apa pun, kami menyatakan satu variabel. 2. Pengganti. Kami mengganti persamaan lain alih-alih variabel yang dinyatakan, nilai yang dihasilkan.
3. Kami memecahkan persamaan yang dihasilkan dengan satu variabel. Kami menemukan solusi untuk sistem.
Menyelesaikan sistem dengan penambahan suku demi suku (pengurangan) membutuhkan: 1. Pilih variabel yang koefisiennya sama. 2. Kami menambah atau mengurangi persamaan, sehingga kami mendapatkan persamaan dengan satu variabel.
3. Kami memecahkan persamaan linier yang dihasilkan. Kami menemukan solusi untuk sistem.
Penyelesaian sistem adalah titik potong grafik fungsi.
Mari kita pertimbangkan secara rinci solusi sistem menggunakan contoh.
Contoh 1:
Mari kita selesaikan dengan metode substitusi
Memecahkan sistem persamaan dengan metode substitusi2x+5y=1 (1 persamaan)
x-10y=3 (persamaan ke-2)
1. Ekspres Dapat dilihat bahwa pada persamaan kedua terdapat variabel x dengan koefisien 1, maka ternyata variabel x paling mudah diekspresikan dari persamaan kedua.
x=3+10y
2. Setelah dinyatakan, kita substitusikan 3 + 10y ke persamaan pertama sebagai ganti variabel x.
2(3+10th)+5th=1
3. Kami memecahkan persamaan yang dihasilkan dengan satu variabel. 2(3+10y)+5y=1 (kurung terbuka) 6+20th+5y=1 25th=1-6 25th=-5 |: (25) y=-5:25
y=-0,2
Penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah titik potong grafik, oleh karena itu kita perlu mencari x dan y, karena titik potong terdiri dari x dan y. Mari kita cari x, di paragraf pertama di mana kita menyatakan kita mensubstitusi y di sana. x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Merupakan kebiasaan untuk menulis poin di tempat pertama, kami menulis variabel x, dan di tempat kedua variabel y.
Jawaban: (1; -0,2)
Contoh #2:
Mari kita selesaikan dengan penambahan suku demi suku (pengurangan).
Memecahkan sistem persamaan dengan metode penjumlahan3x-2y=1 (1 persamaan)
2x-3y=-10 (persamaan ke-2)
1. Pilih sebuah variabel, misalkan kita memilih x. Dalam persamaan pertama, variabel x memiliki koefisien 3, dalam persamaan kedua - 2. Kita perlu membuat koefisiennya sama, untuk ini kita memiliki hak untuk mengalikan persamaan atau membaginya dengan angka berapa pun. Kami mengalikan persamaan pertama dengan 2, dan yang kedua dengan 3 dan mendapatkan koefisien total 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Dari persamaan pertama, kurangi persamaan kedua untuk menghilangkan variabel x. Kita selesaikan persamaan liniernya.
__6x-4y=2
5th=32 | :5
y=6.4
3. Temukan x. Kami mengganti y yang ditemukan di salah satu persamaan, katakanlah dalam persamaan pertama. 3x-2y=1 3x-2*6.4=1 3x-12.8=1 3x=1+12.8 3x=13.8 |:3
x=4.6
Titik potongnya adalah x=4.6; y=6.4
Jawaban: (4.6; 6.4)
Apakah Anda ingin mempersiapkan ujian secara gratis? Guru online gratis. Tidak bercanda.
Dalam pelajaran matematika kelas 7, mereka pertama kali bertemu dengan persamaan dengan dua variabel, tetapi mereka dipelajari hanya dalam konteks sistem persamaan dengan dua yang tidak diketahui. Itulah sebabnya sejumlah masalah tidak terlihat, di mana kondisi tertentu diperkenalkan pada koefisien persamaan yang membatasi mereka. Selain itu, metode untuk memecahkan masalah seperti "Memecahkan persamaan dalam bilangan asli atau bilangan bulat" juga diabaikan, meskipun masalah seperti ini lebih sering ditemui dalam materi USE dan pada ujian masuk.
Persamaan manakah yang disebut persamaan dengan dua variabel?
Jadi, misalnya, persamaan 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, atau xy = 12 adalah persamaan dua variabel.
Perhatikan persamaan 2x - y = 1. Berubah menjadi persamaan sejati pada x = 2 dan y = 3, sehingga pasangan nilai variabel ini merupakan solusi dari persamaan yang sedang dipertimbangkan.
Jadi, solusi dari setiap persamaan dengan dua variabel adalah himpunan pasangan terurut (x; y), nilai-nilai variabel yang persamaan ini berubah menjadi persamaan numerik yang benar.
Persamaan dengan dua yang tidak diketahui dapat:
sebuah) punya satu solusi. Misalnya, persamaan x 2 + 5y 2 = 0 memiliki solusi unik (0; 0);
b) memiliki banyak solusi. Misalnya, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 memiliki 4 solusi: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
di) tidak memiliki solusi. Misalnya, persamaan x 2 + y 2 + 1 = 0 tidak memiliki solusi;
G) memiliki banyak solusi tak terhingga. Misalnya, x + y = 3. Solusi persamaan ini adalah bilangan yang jumlahnya 3. Himpunan solusi persamaan ini dapat ditulis sebagai (k; 3 - k), di mana k adalah sembarang bilangan real.
Metode utama untuk menyelesaikan persamaan dengan dua variabel adalah metode yang didasarkan pada dekomposisi ekspresi menjadi faktor, pemilihan kuadrat penuh, penggunaan sifat-sifat persamaan kuadrat, batasan ekspresi, dan metode evaluasi. Persamaan, sebagai suatu peraturan, ditransformasikan ke dalam bentuk dari mana sistem untuk menemukan yang tidak diketahui dapat diperoleh.
Faktorisasi
Contoh 1
Selesaikan persamaan: xy - 2 = 2x - y.
Keputusan.
Kami mengelompokkan istilah untuk tujuan pemfaktoran:
(xy + y) - (2x + 2) = 0. Keluarkan faktor persekutuan dari setiap kurung:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y - 2) = 0. Kami memiliki:
y = 2, x adalah sembarang bilangan real atau x = -1, y adalah sembarang bilangan real.
Dengan demikian, jawabannya adalah semua pasangan bentuk (x; 2), x € R dan (-1; y), y € R.
Persamaan dengan nol dari bilangan non-negatif
Contoh 2
Selesaikan persamaan: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Keputusan.
Pengelompokan:
(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Sekarang setiap kurung dapat diciutkan menggunakan rumus selisih kuadrat.
(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.
Jumlah dua ekspresi non-negatif adalah nol hanya jika 3x - 2 = 0 dan 2y - 3 = 0.
Jadi x = 2/3 dan y = 3/2.
Jawaban: (2/3; 3/2).
Metode evaluasi
Contoh 3
Selesaikan persamaan: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.
Keputusan.
Di setiap braket, pilih kotak penuh:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Taksir
(x + 1) 2 + 1 1 dan (y - 2) 2 + 2 2, maka ruas kiri persamaan selalu paling sedikit 2. Persamaan dimungkinkan jika:
(x + 1) 2 + 1 = 1 dan (y - 2) 2 + 2 = 2, jadi x = -1, y = 2.
Jawaban: (-1; 2).
Mari berkenalan dengan metode lain untuk menyelesaikan persamaan dengan dua variabel tingkat kedua. Metode ini adalah bahwa persamaan dianggap sebagai persegi sehubungan dengan beberapa variabel.
Contoh 4
Selesaikan persamaan: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.
Keputusan.
Mari selesaikan persamaan tersebut sebagai persamaan kuadrat terhadap x. Mari kita cari diskriminannya:
D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . Persamaan hanya akan memiliki solusi jika D = 0, yaitu, jika y = 4. Kami mengganti nilai y ke dalam persamaan asli dan menemukan bahwa x = 3.
Jawab: (3; 4).
Seringkali dalam persamaan dengan dua yang tidak diketahui menunjukkan pembatasan variabel.
Contoh 5
Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Keputusan.
Mari kita tulis ulang persamaan dalam bentuk x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Ruas kanan persamaan yang dihasilkan, jika dibagi 5, memberikan sisa 2. Oleh karena itu, x 2 tidak habis dibagi 5. Tetapi kuadrat bilangan yang tidak habis dibagi 5 memberikan sisa 1 atau 4. Jadi persamaan tidak mungkin dan tidak ada solusi.
Jawaban: tidak ada akar.
Contoh 6
Selesaikan persamaan: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.
Keputusan.
Mari kita pilih kotak penuh di setiap braket:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Ruas kiri persamaan selalu lebih besar dari atau sama dengan 3. Persamaan dimungkinkan jika |x| – 2 = 0 dan y + 3 = 0. Jadi, x = ± 2, y = -3.
Jawaban: (2; -3) dan (-2; -3).
Contoh 7
Untuk setiap pasangan bilangan bulat negatif (x; y) yang memenuhi persamaan
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, hitung jumlah (x + y). Jawab jumlah terkecil.
Keputusan.
Pilih kotak penuh:
(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Karena x dan y bilangan bulat, kuadratnya juga bilangan bulat. Jumlah kuadrat dua bilangan bulat, sama dengan 37, kita dapatkan jika kita menambahkan 1 + 36. Oleh karena itu:
(x - y) 2 = 36 dan (y + 2) 2 = 1
(x - y) 2 = 1 dan (y + 2) 2 = 36.
Memecahkan sistem ini dan dengan mempertimbangkan bahwa x dan y negatif, kami menemukan solusi: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Jawaban: -17.
Jangan putus asa jika Anda mengalami kesulitan saat menyelesaikan persamaan dengan dua yang tidak diketahui. Dengan sedikit latihan, Anda akan dapat menguasai persamaan apa pun.
Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak tahu bagaimana menyelesaikan persamaan dengan dua variabel?
Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.
Pelajaran pertama gratis!
situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.