Bayangan titik (3 oleh translasi T 42 adalah)

1. EKA KURNIATI 5 Soal Refleksi 1. Bayangan titik A oleh refleksi terhadap titik (1, -2) adalah titik A’(3, 5). Tentukan koordinat titik A! a. A(1, 9) b. A(1, 1) c. A(-9, 1) d. A(-1, -9) e. A(9, 1) Pembahasan : x’ = 2 – x ὁ x = 2 – x’ y’ = -4 – y ὁ y = -4 – y’ x = 2 – 3 = -1 y = -4 – 5 = -9 Jadi A(-1, -9) 2. Tentukan bayangan garis 2x – y = 5 apabila dicerminkan terhadap garis x = -1! a. 2x + y + 9 = 0 b. x + 2y + 9 = 0 c. x + y - 9 = 0 d. 2x - y + 9 = 0 e. 2x + y - 9 = 0 Pembahasan : (x, y) ὁ (2a – x, y) x’ = 2(-1) – x ὁ x’ = -2 – x y’ = y 2(-2 – x’) – y’ = 5 1 -y – 2x’ – y’ = 5 2x’ + y’ + 9 = 0 Jadi bayangan 2x + y + 9 = 0 3. Tentukan bayangan garis 2x – y = 5 apabila dicerminkan terhadap garis y = -x! a. x – 2y + 5 = 0 b. x + 2y – 5 = 0 c. x – 2y – 5 = 0 d. 2x – 2y – 5 = 0 e. 2x – 2y + 5 = 0 Pembahasan : (x, y) ὁ (-y, -x) x’ = -y , y’ = -x 2(-y’) – (-x’) = 5 x’ – 2y’ – 5 = 0 Jadi bayangan x – 2y – 5 = 0 4. Tentukan bayangan titik A( 1,-2 ) dan B( -3,5) setelah dicerminkan terhadap sumbu x (y=0). Pembahasan : 𝑥′ 1 Untuk titik A, refleksinya menghasilkan [ ] = [ 𝑦′ 0 0 1 1 ] [ ]=[ ] −1 −2 2 𝑥′ 1 0 −3 −3 Untuk titik B, refleksinya menghasilkan [ ] = [ ] [ ]=[ ] 𝑦′ 0 −1 5 −5 5. Bayangan garis y = 2x + 2 yang dicerminkan terhadap garis y = x adalah … Pembahasan : 2 Refleksi dari titik-titiknya adalah P(x,y) → P'(x’,y’). Jika direfleksikan pada y = x menghasilkan P(x,y) → P' (x , y) sehingga x’ = y dan y’ = x . Persamaannya menjadi : y’ = 2x’ + 2 x = 2y +2 y= 𝑥−2 2 1 y = 2𝑥 −1 5 Soal Rotasi : 1. Tentukan bayangan garis y = 5x + 4 oleh rotasi R(O, -90)! a. x - 5y – 4 = 0 b. x + 5y + 4 = 0 c. 5x + 5y – 4 = 0 d. 5x - 5y – 4 = 0 e. x + 5y – 4 = 0 Pembahasan : (x, y) ὁ (y, -x) x’ = y , y’ = -x x’ = 5(-y’) + 4 x’ + 5y’ – 4 = 0 Jadi bayangan x + 5y – 4 = 0 2. Tentukan bayangan titik (-2, 8) oleh rotasi R(O, 135)! a. (-3√2, -5√2) b. (3√2, 5√2) c. (-3√2,-5√2) d. (3√2, 5√2) e. (-3√2, 5√2) 3 Pembahasan : 3. Tentukan bayangan titik (5,-3) oleh rotasi R(P,90) dengan koordinat titik P(-1, 2)! a. (8, 4) b. (-8, 4) c. (8, -4) d. (-4,- 8) e. (4, 8) Pembahasan : 4. Hasil pencerminan garis x – 2y -2 = 0 terhadap sumbu y dan kemudian diputar dengan adalah …. 4 Pembahasan: Hasil transformasi pencerminan terhadap sumbu y adalah: Sehingga diperoleh x’ = – x dan y’ = y, selanjutnya substitusikan kedua nilai yang diperoleh pada persamaan x – 2y – 2 = 0. Transformasi selanjutnya adalah rotasi sebesar yang berpusat di : Substitusi nilai x’ = y’’ dan y’ = – x’’ pada persamaan -x’ – 2y’ – 2 = 0, akan diperoleh Jadi, hasil pencerminan garis x – 2y -2 = 0 terhadap sumbu y dan kemudian diputar dengan adalah 2x – y + 2 = 0. 5.Peta titik A( 5,-2) karena pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan rotasi 90̊ dengn pusat 0 adalah … a. (-2 , -5) b. (-2 , 5) 5 c. (2 , 5 ) d. (5 , 2) e. (5 , 4) Pembahasan : 𝑥′ 0 −1 1 0 0 1 5 −2 5 [ ]=[ ][ ][ ] = [ ][ ] = [ ] 𝑦′ 1 0 0 −1 −2 1 0 −2 5 Jadi peta nya adalah (-2 , 5 ) 5 Soal Translasi : 1. Titik A(5,-2) ditranslasi oleh T (-3, 1). Tentukan koordinat bayangan titik A tersebut! a. A’(2,1) b. A’(1,1) c. A’(2,2) d. A’(2,-1) e. A’(-2,1) 2. Tentukan bayangan garis y = 3x – 5 oleh translasi T (-2, 1)! a. y = 2x + 2 b. y = 2x - 2 c. y = 3x + 2 d. y = 3x - 2 e. y = 2x + 3 6 Pembahasan : 3. Hasil translasi itik oleh . Komponen translasi dari dilanjutkan dengan menghasilkan titik yang sesuai adalah … Pembahasan: Misalkan Diketahui: Maka Perhatikan proses translasi berikut. 7 Mencari nilai a: Mencari nilai b: Jadi, nilai translasi dari adalah 4. Bayangan dari y = x² + 2x - 1 jika ditranslasi (2, -1) adalah ... Pembahasan : (x + 2, y - 1) = (x', y') x + 2 = x' ⇒ x = x' - 2 y - 1 = y' ⇒ y = y' + 1 Substitusikan ke y = x² + 2x - 1 8 (y' + 1) = (x' - 2)² + 2(x' - 2) - 1 y' + 1 = x'² - 4x' + 4 + 2x' - 4 - 1 y' = x'² - 2x' - 2 Jadi bayangan dari y = x² + 2x - 1 adalah y = x² - 2x - 2 5. Bayangan dari garis 2x - 3y + 5 = 0 oleh translasi (-3, 1) adalah .... Pembahasan : (x - 3, y + 1) = (x', y') x - 3 = x' ⇒ x = x' + 3 y + 1 = y' ⇒ y = y' - 1 Substitusikan ke 2x - 3y + 5 = 0 2(x' + 3) - 3(y' - 1) + 5 = 0 2x' + 6 - 3y' + 3 + 5 = 0 2x' - 3y' + 14 = 0 Jadi bayangan dari 2x - 3y + 5 = 0 adalah 2x - 3y + 14 = 0 9 5 Soal Dilatasi : 1. Tentukan bayangan titik (9, 3) oleh dilatasi [O, 1/3]! a. (1, 3) b. (3, 1) c. (-1, -3) d. (3, -1) e. (1, -3) Pembahasan : 2. Tentukan bayangan garis 3x + 4y – 5 = 0 oleh dilatasi dengan pusat (-2, 1) dan faktor skala 2! a. 3x + 4y + 12 = 0 b. 3x + 4y – 12 = 0 c. 3x – 4y + 12 = 0 d. -3x + 4y + 12 = 0 e. 3x – 4y – 12 = 0 Pembahasan : 10 3. Dilatasi yang berpusat di titik (3, 1) dengan faktor skala 3, memetakan titik (5, b) ke titik (a, 10). Maka nilai a – b adalah …. Pembahasan: Dilatasi dengan pusat (3, 1) dengan faktor skala 3 akan menghasilkan matriks transformasi berikut. 11 Sehingga diperoleh nilai Jadi, nilai . 4. Tentukan bayangan titik (3,9) oleh dilatasi [A91,5)]! Pembahasan : Karena pusat A(1,5) , maka : x’ = k (x-a) + a x’ = 2 (3-1) + 1 x’ = 5 y’ = k (y-b) + b y’ = 2( 9-5) + 5 y’ = 13 Jadi, bayangannya adalah (5,13) 5. Bayangan kurva y = 3x2 + 6x – 1 oleh dilatasi dengan pusat O (0,0) dan faktor skala 3 adalah … Pembahasan : Karena pusat O (0,0) maka , x’ = kx 1 x’ = 3x maka x = 3 𝑥′ y’ = ky 1 y’ = 3y maka y = 3y’ Substitusikan x dan y kedalam persamaan kurva 1 1 1 y’ = 3(3x’)2 + 6 X 3x’ – 1 3 1 1 y’ = 3 X 9x’2 + 2x’ – 1 3 12 1 1 y’ = 3x’2 + 2x’ – 1 3 y’ = x’2 +6x’ – 3 jadi, bayangan kurva adalah y = x2 + 6x -3 13 2. SRI AYU JINGGA LESTARI A. REFLEKSI 1. Titik P(-3,7) dicerminkan terhadap garis y = -x. Tentukanlah koordinat bayangan titik P. Penyelesaian : Matriks transformasi : Dengan menggunakan persamaan matriks untuk menentukan x' dan y', maka: 𝑥 𝑥′ 0 −1 ( ′) = ( ) = (𝑦) 𝑦 −1 0 𝑥′ 0 −1 −3 ⟺ ( ′) = ( )=( ) 𝑦 −1 0 7 0. (−3) + (−1). 7 𝑥′ ⟺ ( ′) = ( ) (−1)(−3) + 0.7 𝑦 𝑥′ 7 ⟺ ( ′) = ( ) 𝑦 3 Jadi, bayangan titik P(-3,7) oleh pencerminan terhadap garis y = -x adalah P'(-7,3). 2. Jika garis x - 2y - 3 = 0 dicerminkan terhadap sumbu Y, maka tentukanlah persamaan bayangannya. Penyelesaian: Garis x - 2y - 3 = 0 dicerminkan terhadap sumbu Y. Matriks transformasi: Dengan menggunakan persamaan matriks untuk menentukan x' dan y', maka: 14 𝑥 𝑥′ −1 0 ( ′) = ( ) = (𝑦) 𝑦 0 1 −𝑥 𝑥′ ⟺ ( ′) = ( 𝑦 ) 𝑦 Dengan demikian : x' = -x => x = -x' y' = y => y = y' Dengan mensubtitusikan x = -x' dan y = y' pada persamaan garis, maka diperoleh: (-x') - 2(y') - 3 = 0 -x' - 2y' - 3 = 0 Jadi, bayangan garis x - 2y - 3 = 0 oleh pencerminan terhadap sumbu Y adalah –x- 2y -3 = 0. 3.Titik A(3,-5) dicerminkan terhadap sumbu x. Tentukan koordinat bayangan titik A. Penyelesaian : Mx : P(3,-5) => P'(x',y') Dengan menggunakan persamaan matriks untuk menentukan x' dan y', maka: Jadi, bayangan titik A(3,-5) oleh pencerminan terhadap sumbu x adalah A'(3,5). 4.Titik P(-3,7) dicerminkan terhadap garis y = -x. Tentukanlah koordinat bayangan titik P. 15 Penyelesaian : Matriks transformasi: Dengan menggunakan persamaan matriks untuk menentukan x' dan y', maka: Jadi, bayangan titik P(-3,7) oleh pencerminan terhadap garis y = -x adalah P'(-7,3). 5.Tentukan bayangan garis 2x – y = 5 apabila dicerminkan terhadap garis y = -x! Penyelesaian : (x, y) ó (-y, -x) x’ = -y , y’ = -x 2(-y’) – (-x’) = 5 x’ – 2y’ – 5 = 0 Jadi bayangan x – 2y – 5 = 0 16 B. ROTASI 6.Tentukan bayangan titik (-2, 8) oleh rotasi R(O, 135)! a. (-3√2, -5√2) b.(3√2, 5√2) c. (-3√2,-5√2) d.(3√2, 5√2) e. (-3√2, 5√2) Penyelesaian : 7.Tentukan bayangan titik (5, -3) oleh rotasi R(P, 90) dengan koordinat titik P(-1, 2)! a. (8, 4) b. (-8, 4) c. (8, -4) d.(-4,- 8) e. (4, 8) Penyelesaian : 17 8.Titik A dirotasikan terhadap titik O(0,0) sejauh 90⁰ berlawanan dengan arah putaran jam. Tentukanlah bayangan titik A. Penyeselaian : Dengan demikian x' = -1 dan y' = 2. Jadi, bayangan titik A(2,1) oleh rotasi terhadap titik O(0,0) sejauh 90⁰ berlawanan arah putaran jam adalah A'(-1,2). 9.Titik B(5,-1) dirotasikan terhadap titik P(2,3) sejauh 90⁰ searah putaran jam. Tentukanlah bayangan titik B tersebut. Penyelesaian : 18 Dengan demikian, x' = -2 dan y' = 0. Jadi, koordinat bayangan titik B(5,-1) oleh rotasi terhadap titik P(2,3) sejauh 90⁰ searah putaran jam adalah B'(-3,0). 10. Jika garis x - 2y = 5 diputar sejauh 90⁰ terhadap titik (2,4) berlawanan arah putaran jam, maka tentukanlah persamaan bayangannya. Penyelesaian: 𝑥′ 𝑥−2 0 −1 2 ( )=( ).( )+( ) 𝑦′ 𝑦 − 4 1 0 4 𝑥′ 4−𝑦 2 ⟺( )=( )+( ) 𝑦′ 4 𝑥−2 𝑥′ 6−𝑦 ⟺( )=( ) 𝑦′ 𝑥+2 Dengan demikian, maka: x' = 6 - y => y = 6 - x' y' = x + 2 => x = y' - 2 Dengan mensubtitusikan x = y' - 2 dan y = 6 - x' pada persamaan garis, diperoleh: (y' - 2) - 2(6 - x') = 5 y' - 2 - 12 + 2x' = 5 2x' + y' = 5 + 2 + 12 2x' + y' = 19 19 Jadi, persamaan bayangan garis x - 2y = 5 oleh rotasi sejauh 90⁰ terhadap titik (2,4) berlawanan arah putaran jam adalah 2x + y = 19. C. TRANSLASI 2 11. Diketahui koordinat titik P adalah (4,-1). Oleh karena translasi ( ) diperoleh 𝑎 bayangan titik P yaitu P'(-2a, -4). Tentukanlah nilai a. Penyelesaian: 2 T =( ) : P(4,-1) → P'(-2a , -4) 𝑎 P'(-2a, -4) = P'(2+4, a+(-1)) P'(-2a, -4) = P'(6, (a-1)) ⟺-2a = 6 6 ⟺a=− ⟺ a = -3 Jadi, nilai a adalah -3 12. Titik P'(2,-4) adalah bayangan titik P(3,5) oleh translasi T. Tentukanlah translasi T. Pembahasan: 𝑎 T = ( ): P(3,5) → P'(3+a , 5+b) = P'(2,-4) 𝑏 Sehingga diperoleh: 3 + a = 2 => a = -1 5 + b = -4 => b = -9 −1 Jadi, translasi T = ( ) −9 2 13. Jika garis y = x + 5 ditranslasikan oleh ( ).maka tentukan persamaan 3 bayangannya. Penyelesaian: 20 𝑥 𝑥′ 2 ( ′ ) = (𝑦) + ( ) 𝑦 3 Dengan demikian: x' = x + 2 => x = x' – 2 y' = y + 3 => y = y' – 3 Dengan mensubtitusikan x = x' - 2 dan y = y' - 3 pada persamaan garis, diperoleh: y' - 3 = (x' - 2) + 5 y' - 3 = x' + 3 y' = x' + 6 2 Jadi, persamaan bayangan garis y = x + 5 oleh translasi ( ). adalah y = x + 6. 3 14. Perhatikan soal berikut ! 7 a. Tentukan bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = ( ). 8 4 b.Tentukan bayangan dari titik A (5, 10) oleh translasi T = ( ). 2 1 c. Tentukan bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = ( ). Dilanjutkan oleh 2 3 translasi U = ( ). 4 Penyelesaian : Bayangan dari titik A oleh suatu transformasi namakan A’ Dua model yang biasa dipakai sebagai berikut: Hasilnya akan sama saja, hanya sedikit beda cara penulisan, sehingga: 7 a. Bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = ( ) 8 b.Bayangan dari titik A (5, 10) oleh translasi 21 1 c. Bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = ( ).dilanjutkan oleh translasi U = 2 3 ( ). 4 15. Tentukan bayangan titik (3,-7) oleh translasi (4,2) Penyelesaian : Misalkan titik P(3,-7). T = (42) : P(3,-7) → P'(3+4 , -7+2) = P'(7,-5) Jadi, bayangan titik (3,-7) oleh translasi (42) adalah (7,-5) D. DILATASI 16. Tentukan bayangan titik P(2,−1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A(3,4) dengan faktor skala (-3). Penyelesaian : Jika P′(x′,y′) adalah koordinat titik bayangan yang dimaksud, maka 22 Jadi, bayangan titik P(2,−1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A(3,4) 17. Tentukan persamaan bayangan garis y=3x+2 oleh dilatasi dengan pusat P(21) dan faktor skala 4. Penyelesaian : Jika A′(x′,y′) adalah koordinat titik bayangan yang dimaksud, maka Dengan demikian maka, 23 Bayangan garis y=3x+2 oleh dilatasi terhadap titik pusat P(“,1) dan faktor skala 4 adalah : garis y = 3x+23 18. Tentukan bayangan titik P(-6, 3) oleh dilatasi terhadap titik pusat O(0, 0) dengan faktor skala -1/2. Penyelesaian : 𝑥′ 𝑘 ( )=( 𝑦′ 0 𝑥 0 ) . (𝑦) 𝑘 −1/2 0 𝑥′ −6 =( )=( ).( ) 𝑦′ 0 −1/2 3 𝑥′ 3 =( )=( ) 𝑦′ −3/2 Dengan demikian, x' = 3 dan y' = -3/2. Jadi, bayangan titik P(-6,3) oleh dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan faktor skala -1/2 adalah P'(3 , -3/2). 19. Suatu persamaan parabola memiliki bayangan 𝑦 = 2𝑥 2 − 3𝑥 + 1 oleh dilatasi dengan faktor skala 2 dan titik pusat (0, 5). Tentukan persamaan awal dari persamaan parabola tersebut ! Penyelesaian : Faktor sakala k = 2 dan titik pusat (a, b) = (0, 5) 24 𝑥′ 𝑘 ( )=( 𝑦′ 0 𝑥−𝑎 𝑎 0 ) . (𝑦 − 𝑏 ) + ( ) 𝑏 𝑘 𝑥′ 𝑥−0 2 0 0 ( )=( ).( )+( ) 𝑦′ 𝑦−5 0 2 5 𝑥′ 2𝑥 0 ( )=( )+( ) 𝑦′ 2𝑦 − 10 5 𝑥′ 2𝑥 ( )=( ) 𝑦′ 2𝑦 − 5 Substitusikan bentuk x’ = 2x dan y’ = 2y – 5, sehingga : 𝑦 ′ = 2𝑥′2 − 3𝑥 ′ + 1 2𝑦 − 5 = 2(2𝑥)2 − 3(2𝑥) + 1 2𝑦 − 5 = 8𝑥 2 − 6𝑥 + 1 2𝑦 = 8𝑥 2 − 6𝑥 + 1 + 5 2𝑦 = 8𝑥 2 − 6𝑥 + 6 𝑦 = 4𝑥 2 − 3𝑥 + 3 Jadi persamaan awal fungsi parabola adalah 𝑦 = 4𝑥 2 − 3𝑥 + 3 20. Tentukan bayangan persamaan 4𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0 oleh dilatasi dengan skor skala 2 dan pusat (0, 0) ! Pembahasan : 𝑥′ 𝑘 ( )=( 𝑦′ 0 0 𝑥 )( ) 𝑘 𝑦 𝑥′ 2 0 𝑥 ( )=( )( ) 𝑦′ 0 2 𝑦 𝑥′ 2𝑥 ( )=( ) 𝑦′ 2𝑦 25 Kita peroleh : 1 𝑥 ′ = 2𝑥 → 𝑥 = 2 𝑥′ 1 𝑦 ′ = 2𝑦 → 𝑦 = 2 𝑦′ Substitusi kepersamaan awal : 4𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0 1 1 4 (2 𝑥 ′ ) + 3 (2 𝑦′) − 5 = 0 4𝑦′ + 3𝑦′ − 10 = 0 Jadi persamaan bayangannya adalah 4𝑦′ + 3𝑦′ − 10 = 0 atau 4𝑦 + 3𝑦 − 10 = 0 26 3. LISA DELVIA SOAL TRANSLASI 1) Bayangan dari titik A(2, -5) jika ditranslasikan oleh T(3, 1) adalah ... Jawab A'(2 + 3, -5 + 1) A'(5, -4) 2) Bayangan dari titik B(9, -2) jika ditranslasikan oleh T(a, b) adalah B'(-4, 3). Nilai dari 2a + b adalah .... Jawab B'(9 + a, -2 + b) = B'(-4, 3) 9 + a = -4 ⇒ a = -4 - 9 = -13 -2 + b = 3 ⇒ b = 3 + 2 = 5 Jadi nilai 2a + b adalah = 2(-13) + 5 = -26 + 5 = -21 3) Bayangan dari titik C oleh translasi T(-1, -4) adalah C'(4, -1). Koordinat dari titik C adalah ... Jawab 27 C'(x - 1, y - 4) = C'(4, -1) x-1=4⇒x=4+1=5 y - 4 = -1 ⇒ y = -1 + 4 = 3 Jadi koordinat titik C adalah C(5, 3) 4) Bayangan dari y = x² + 2x - 1 jika ditranslasi (2, -1) adalah ... Jawab (x + 2, y - 1) = (x', y') x + 2 = x' ⇒ x = x' - 2 y - 1 = y' ⇒ y = y' + 1 Substitusikan ke y = x² + 2x - 1 (y' + 1) = (x' - 2)² + 2(x' - 2) - 1 y' + 1 = x'² - 4x' + 4 + 2x' - 4 – 1 y' = x'² - 2x' - 2 Jadi bayangan dari y = x² + 2x - 1 adalah y = x² - 2x - 2 5) Bayangan dari garis 2x - 3y + 5 = 0 oleh translasi (-3, 1) adalah .... Jawab (x - 3, y + 1) = (x', y') 28 x - 3 = x' ⇒ x = x' + 3 y + 1 = y' ⇒ y = y' - 1 Substitusikan ke 2x - 3y + 5 = 0 2(x' + 3) - 3(y' - 1) + 5 = 0 2x' + 6 - 3y' + 3 + 5 = 0 2x' - 3y' + 14 = 0 Jadi bayangan dari 2x - 3y + 5 = 0 adalah 2x - 3y + 14 = 0 SOAL REFLEKSI 1) Titik D(-2, 6) jika dicerminkan terhadap garis y = -x memiliki bayangan di titik .... Jawab D'(-y, -x) = D'(-6, -(-2)) = D'(-6, 2) 2) Bayangan dari titik E(-6, 7) jika dicerminkan terhadap sumbu y adalah ... Jawab E'(-x, y) = E'(-(-6), 7) 29 = E'(6, 7) 3) Bayangan dari titik F(3, 8) jika dicerminkan terhadap garis y = 3 adalah ... Jawab F'(x, 2b - y) = F'(3, 2(3) - 8) = F'(3, 6 - 8) = F'(3, -2) 4) Bayangan dari kurva y = x² - 5 jika dicerminkan terhadap sumbu x adalah ... Jawab (x, -y) = (x', y') x = x' -y = y' ⇒ y = -y' Substitusikan ke y = x² - 5 -y' = x'² - 5 y' = 5 - x'² Jadi bayangan dari y = x² - 5 adalah y = 5 - x² 30 5) Bayangan dari garis y = 3x + 7 jika dicerminkan terhadap garis x = 4 adalah ... Jawab (2a - x, y) = (x', y') (2(4) - x, y) = (x', y') (8 - x, y) = (x', y') 8 - x = x' ⇒ x = 8 - x' y = y' Substitusikan ke y = 3x + 7 y' = 3(8 - x') + 7 y' = 24 - 3x' + 7 y' = 31 - 3x' Jadi bayangan dari garis y = 3x + 7 adalah garis y = 31 - 3x SOAL TENTANG DILATASI 1. Dilatasi yang berpusat di titik (3, 1) dengan faktor skala 3, memetakan titik (5, b) ke titik (a, 10). Maka nilai a – b adalah …. 31 2. Tentukan bayangan garis 3x + 4y – 5 = 0 oleh dilatasi dengan pusat (-2, 1) dan faktor skala 2! Pembahasan : 3. Bayangan kurva y = 3x – 9x^2 jika di rotasi dengan pusat O (0, 0) sejauh 90^0 dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat O (0, 0) dan faktor skala 3 adalah 32 4. Tentukan bayangan persamaan 4x + 3y – 5 = 0 oleh dilatasi dengan faktor skala 2 dan pusat (0,0) ! 1 5. Sebuah lingkaran ( x – 3 )2 + ( y + 2 )2 = 16. Dilatasi oleh D [ 𝑃(1,4), ]. Tentukan 2 persamaan bayangannya dan luas bayangan dari lingkarannya? 33 Pembahasan : 34 SOAL ROTASI 1. Tentukan bayangan garis y = 5x + 4 oleh rotasi R(O, -90)! Pembahasan : (x, y) ó (y, -x) x’ = y , y’ = -x x’ = 5(-y’) + 4 x’ + 5y’ – 4 = 0 Jadi bayangan x + 5y – 4 = 0 2. Tentukan bayangan titik (-2, 8) oleh rotasi R(O, 135)! Pembahasan : 3. Tentukan bayangan titik (5, -3) oleh rotasi R(P, 90) dengan koordinat titik P(-1, 2)! Pembahasan : 4. Tentukan bayangan titik (9, 3) oleh dilatasi [O, 1/3]! 35 Pembahasan : 5. Transformasi T berupa rotasi yang disusul dengan pencerminan terhadap garis y = x. Jika rotasi itu berupa rotasi sebesar 90^0 terhadap pusat koordinat dalam arah transformasi dapat ditulis sebagai... Pembahasan : 36 4. SARAH MONICA Rotasi 1. Titik A(1 , 2) diputar 30 derajat berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam terhadap titik asal O(0 , 0). Bayangan titik A oleh rotasi tersebut adalah .... A. A'(1/2√3 - 1 , 1/2 + √3) B. A'(1/2√3 + 1 , 1/2 + √3) C. A'(1/2√3 - 1 , 1/2 - √3) D. A'(1/2√3 + 1 , 1/2 - √3) E. A'(1/2√3 - 1 , √3) Pembahasan Tentukan bayangan titik A: x' = x cos α - y sin α x' = 1 cos 30 - 2 sin 30 x' = 1/2√3 - 1 Bayangan titik y: y' = x sin α + y cos α y' = 1 sin 30 + 2 cos 30 y' = 1/2 + √3 Jadi bayangan A = A'(1/2√3 - 1 , 1/2 + √3) Jawaban: A 37 2. Segitiga ABC dengan A(4 , 0), B(0 , -2), C(-2 , -4) diputar 60 derajat berlawanan arah putaran jarum jam terhadap titik pusat O(0 , 0). Hasil transformasi tersebut adalah... A. A'(2 , 2), B'(√3 , -1), C'(-1 + 2√3 , -√3 - 2) B. A'(2 , 2√3), B'(√3 , 1), C'(-1 + 2√3 , -√3 - 2) C. A'(2 , 2√3), B'(√3 , -1), C'(1 + 2√3 , -√3 - 2) D. A'(2 , 2√3), B'(√3 , -1), C'(-1 + 2√3 , √3 - 2) E. A'(2 , 2√3), B'(√3 , -1), C'(-1 + 2√3 , -√3 - 2) Pembahasan Tentukan bayangan titik A(4 , 0) (cara seperti nomor 1) x' = x cos α - y sin α = 4 cos 60 - 0 sin 60 = 2 y' = x sin α + y cos α = 4 sin 60 + 0 cos 60 = 2√3 Jadi A'(2 , 2√3) Bayangan titik B(0 , -2): x' = x cos α - y sin α = 0 cos 60 - (-2) sin 60 = √3 y' = x sin α + y cos α = 0 sin 60 + (-2) cos 60 = -1 Jadi B'(√3 , -1) Bayangan titik C(-2 , -4) x' = x cos α - y sin α = -2 cos 60 - (-4) sin 60 = -1 + 2√3 y' = x sin α + y cos α = -2 sin 60 + (-4) cos 60 = -√3 - 2 Jadi C'(-1 + 2√3 , -√3 - 2) 38 Jadi bayangan segitiga ABC adalah A'(2 , 2√3), B'(√3 , -1), C'(-1 + 2√3 , -√3 - 2) Jawaban: E 3. Titik A(2 , 3) diputar terhadap titik B(-1 , -2) dengan arah berlawanan putaran jarum jam sebesar 45 derajat. Bayangan titik A adalah... A. A'(√2 - 1 , 4√2 -2) B. A'(-√2 + 1 , 4√2 -2) C. A'(-√2 - 1 , 4√2 + 2) D. A'(-√2 + 1 , 4√2 -2) E. A'(-√2 - 1 , 4√2 -2) Pembahasan : Karena diputar bukan terhadap titik asal maka cara menentukan bayangannya sebagai berikut: x' - a = (x - a) cos α - (y - b) sin α x' - (-1) = (2 - (-1)) cos 45 - (3 - (-2)) sin 45 x' = 3/2 √2 - 5/2√2 - 1 = -√2 - 1 - 5/2√2 - 1 = -√2 - 1 y' - b = (x - a) sin α + (y - b) cos α y' - (-2) = (2 - (-1)) sin 45 + (3 - (-2)) cos 45 y' = 3/2 √2 + 5/2√2 - 2 = 4√2 -2 Jadi A'(-√2 - 1 , 4√2 -2) Jawaban: E 39 4. Sebuah segitiga ABC dengan A(1 , 0), B(4 , 0), C(3 , 4) diputar berlawanan jarum jam sebesar 180 derajat dengan pusat P(a , b). Apabila diperoleh bayangan segitiga A'B'C' dengan A'(-1 , -2), B'(r , s), C'(3 , 2), maka koordinat B' adalah..... A. B'(-4 , -2) B. B'(4 , -2) C. B'(-4 , 2) D. B'(4 , 2) E. B'(-2 , -4) Pembahasan Tentukan terlebih dahulu pusat perputaran P(a , b) dengan menggunakan bayangan A'(-1 , -2): x' - a = (x - a) cos α - (y - b) sin α -1 - a = (1 - a) cos 180 - (0 - b) sin 180 -1 - a = (1 - a) -1 - (-b) 0 -1 - a = -1 + a 0 = 2a a = 0/2 = 0 y' - b = (x - a) sin α + (y - b) cos α -2 - b = (1 - a) sin 180 + (0 - b) cos 180 -2 - b = (1 - a) 0 + (-b) -1 -2 - b = b 40 -2 = 2b b = -2 / 2 = -1 Jadi titik pusat P(0 , -1) Menentukan koordinat B' dengan B(4 , 0) x' - a = (x - a) cos α - (y - b) sin α x' - 0 = (4 - 0) cos 180 - (0 - (-1)) sin 180 x' = 4 . -1 - 1 . 0 x' = -4 y' - b = (x - a) sin α + (y - b) cos α y' - (-1) = (4 - 0) sin 180 + (0 - (-1)) cos 180 y' + 1 = 4 . 0 + 1 . -1 y' = -1 - 1 = -2 Jadi koordinat B'(-4 , -2) Jawaban: A 5. Titik A dirotasikan terhadap titik O(0,0) sejauh 90⁰ berlawanan dengan arah putaran jam. Tentukanlah bayangan titik A. Pembahasan: (x′y′)=(01−10).(xy) ⟺(x′y′)=(01−10).(21) ⟺ (x′y′)=(−12) 41 Dengan demikian x' = -1 dan y' = 2. Jadi, bayangan titik A(2,1) oleh rotasi terhadap titik O(0,0) sejauh 90⁰ berlawanan arah putaran jam adalah A'(-1,2). 42 REFLEKSI 1) Titik D(-2, 6) jika dicerminkan terhadap garis y = -x memiliki bayangan di titik .... Jawab D'(-y, -x) = D'(-6, -(-2)) = D'(-6, 2) 2) Bayangan dari titik E(-6, 7) jika dicerminkan terhadap sumbu y adalah ... Jawab E'(-x, y) = E'(-(-6), 7) = E'(6, 7) 3) Bayangan dari titik F(3, 8) jika dicerminkan terhadap garis y = 3 adalah ... Jawab F'(x, 2b - y) = F'(3, 2(3) - 8) = F'(3, 6 - 8) = F'(3, -2) 4) Bayangan dari kurva y = x² - 5 jika dicerminkan terhadap sumbu x adalah ... Jawab 43 (x, -y) = (x', y') x = x' -y = y' ⇒ y = -y' Substitusikan ke y = x² - 5 -y' = x'² - 5 y' = 5 - x'² Jadi bayangan dari y = x² - 5 adalah y = 5 - x² 5) Bayangan dari garis y = 3x + 7 jika dicerminkan terhadap garis x = 4 adalah ... Jawab (2a - x, y) = (x', y') (2(4) - x, y) = (x', y') (8 - x, y) = (x', y') 8 - x = x' ⇒ x = 8 - x' y = y' Substitusikan ke y = 3x + 7 y' = 3(8 - x') + 7 y' = 24 - 3x' + 7 44 y' = 31 - 3x' Jadi bayangan dari garis y = 3x + 7 adalah garis y = 31 - 3x 45 DILATASI 1. Tentukan bayangan titik (9, 3) oleh dilatasi [O, 1/3]! A. (1, 3) B. (3, 1) C. (-1, -3) D. (3, -1) E. (1, -3) Pembahasan: 2. Tentukan bayangan garis 3x + 4y – 5 = 0 oleh dilatasi dengan pusat (-2, 1) dan faktor skala 2! A. 3x + 4y + 12 = 0 B. 3x + 4y – 12 = 0 C. 3x – 4y + 12 = 0 D. -3x + 4y + 12 = 0 46 E. 3x – 4y – 12 = 0 Pembahasan : 3. Tentukanla bayangan titik P(-6,3) oleh dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan faktor skala -1/2 . Pembahasan: Dengan demikian, x' = 3 dan y' = -3/2. Jadi, bayangan titik P(-6,3) oleh dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan faktor skala -1/2 adalah P'(3 , -3/2). 47 4. Tentukanlah bayangan titik P(2,-1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A(3,4) dengan faktor skala -3. Pembahasan: (x′y′)=(k00k).(x−ay−b)+(ab) ⟺ (x′y′)=(−300−3).(2−3−1−4)+(34) ⟺ (x′y′)=(−300−3).(−1−5)+(34) ⟺ (x′y′)=(315)+(34) ⟺ (x′y′)=(619) Dengan demikian x' = 6 dan y' = 19. Jadi, bayangan titik P(2,-1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A(3,4) adalah P'(6,19). 5. Tentukan bayangan titik P(2,−1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A(3,4) dengan faktor skala (-3). Penyelesaian ; Jika P′(x′,y′) adalah koordinat titik bayangan yang dimaksud, maka Jadi, bayangan titik P(2,−1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A(3,4) dengan faktor skala (-3) adalah P(6,19). 48 TRANSLASI 1. Hasil translasi itik titik oleh dilanjutkan dengan . Komponen translasi dari menghasilkan yang sesuai adalah …. Pembahasan: Misalkan Diketahui: Maka Perhatikan proses translasi berikut. 49 Mencari nilai a: Mencari nilai b: Jadi, nilai translasi dari adalah Jawaban: B 2. Bayangan dari titik A(2, -5) jika ditranslasikan oleh T(3, 1) adalah ... Jawab A'(2 + 3, -5 + 1) A'(5, -4) 3. Bayangan dari titik B(9, -2) jika ditranslasikan oleh T(a, b) adalah B'(-4, 3). Nilai dari 2a + b adalah .... Jawab 50 B'(9 + a, -2 + b) = B'(-4, 3) 9 + a = -4 ⇒ a = -4 - 9 = -13 -2 + b = 3 ⇒ b = 3 + 2 = 5 Jadi nilai 2a + b adalah = 2(-13) + 5 = -26 + 5 = -21 4. Bayangan dari titik C oleh translasi T(-1, -4) adalah C'(4, -1). Koordinat dari titik C adalah ... Jawab C'(x - 1, y - 4) = C'(4, -1) x-1=4⇒x=4+1=5 y - 4 = -1 ⇒ y = -1 + 4 = 3 Jadi koordinat titik C adalah C(5, 3) 5. Bayangan dari y = x² + 2x - 1 jika ditranslasi (2, -1) adalah ... Jawab (x + 2, y - 1) = (x', y') x + 2 = x' ⇒ x = x' - 2 y - 1 = y' ⇒ y = y' + 1 51 Substitusikan ke y = x² + 2x - 1 (y' + 1) = (x' - 2)² + 2(x' - 2) - 1 y' + 1 = x'² - 4x' + 4 + 2x' - 4 - 1 y' = x'² - 2x' - 2 Jadi bayangan dari y = x² + 2x - 1 adalah y = x² - 2x - 2 6. Bayangan dari garis 2x - 3y + 5 = 0 oleh translasi (-3, 1) adalah .... Jawab (x - 3, y + 1) = (x', y') x - 3 = x' ⇒ x = x' + 3 y + 1 = y' ⇒ y = y' - 1 Substitusikan ke 2x - 3y + 5 = 0 2(x' + 3) - 3(y' - 1) + 5 = 0 2x' + 6 - 3y' + 3 + 5 = 0 2x' - 3y' + 14 = 0 Jadi bayangan dari 2x - 3y + 5 = 0 adalah 2x - 3y + 14 = 0 52 5. EVA SRI RAHAYU SIAHAAN KUMPULAN SOAL TRANSFORMASI Soal Translasi 2 1. Hasil translasi titik P1(3,-2) oleh T1 dilanjutkan dengan T2 = ( ) menghasilkan 1 titik P2(8,7) komponen translasi dari T1 yang sesuai adalah..... Penyelesaian 𝑎 misalkan T1 = ( ) 𝑏 2 diketahui T2 = ( ) 1 maka : 𝑎+2 ) 𝑏+1 T1 * T2 = ( Perhatikan proses translasi berikut : 𝑎 T1 = ( ) 𝑏 P1 (3,-2) 2 T2 = ( ) 1 P’1 P2 (8,7) Mencari nilai a: mencari nilai b: 3+a+2=8 -2 + b + 1 = 7 a+5 b–1 =8 a=8–5=3 =7 b=7+1=8 3 jadi nilai translasi dari T1 adalah ( ) 8 53 2. Titik A(5,-2) ditranslasi oleh T (-3,1). Tentukan koordinat bayangan titik A tersebut.... Penyelesaian 𝑥′ −3 5 = ( ′) = ( ) + ( ) 𝑦 1 −2 5−3 ) −2 + 1 2 =( ) −1 =( 3. Tentukan bayangan garis y = 3x – 5 oleh translasi T (-2, 1)..... Penyelesaian ;  𝑦 ′ − 1 = 3(𝑥 ′ + 2) − 5  𝑦 ′ − 1 = 3𝑥 ′ + 6 − 5  𝑦′ = 3𝑥 ′ + 2 4. Tentukan bayangan titik A(2,-5) jika ditranslasikan oleh matriks ( −1 ) ......... 3 Penyelesaian : Menentukan bayangan titik A(2,-5) 𝑥 𝑎 𝑥′ ( )= (𝑦) + ( ) 𝑏 𝑦′ 2 −1 )+( ) −5 3 1 =( ) −2 =( 𝑎 5. Translasi T = ( ) memetakan titik A(7,-1) ke A’ (2,-3)......... 𝑏 Penyelesaian : Menentukan bayangan segitiga dengan titik A(1,3) 54 𝑥+𝑎 𝑥′ ( )= (𝑦 + 𝑏) 𝑦′ −4 + (−5) =( ) 2 + (−2) −9 ) 0 =( Titik C(-1,-5) 𝑥 𝑥+𝑎 (𝑦′)= (𝑦 + 𝑏) −1 + (−5) =( ) −5 + (−2) −6 ) −7 =( Jadi bayangan dari segitiga ABC adalah A’ (-4,1) , B’ (-9,0) dan C’ (-6,-7) Soal dilatasi : 6. ABCD adalah sebuah persegi dengan koordinat titik-titik sudut A(1,1), B(2,1), C(2,2) dan D(1,2). Tentukan peta atau bayangan dari titik-titik sudut persegi itu oleh dilatasi [O,2]....... Penyelesaian : Peta atau bayangan titik-titik sudut persegi oleh dilatasi [O,2] 2 0 Matriks yang bersesuaian dengan dilatasi [0,2] adalah ( 0 ) 2 Peta atau bayangan dari titik sudut persegi A(1,1), B(2,1), C(2,2) dan D(1,2) adalah 2 0 ( 0 1 )( 2 1 2 1 2 2 2 1 )=( 2 2 4 2 4 4 2 ) 4 Jadi peta dari titik-titik sudut ABCD adalah A’(2,2), B’(4,2), C’(4,4) dan D’(2,4) 55 7. Tentukan persamaan peta dari garis 3𝑥 − 5𝑦 + 15 = 0 oleh dilatasi terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala 5........ Penyelesaian: 3𝑥 − 5𝑦 + 15 = 0 didilatasi terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala 5, maka: 1 𝑥′ 𝑥 5𝑥 0 𝑥 ) (𝑦) = ( ) → (𝑦) = (15 ) 5𝑦 5 𝑦′ 𝑥′ 5 ( )=( 𝑦′ 0 5 1 1 Sehingga diperoleh 𝑥 = 5 𝑥′ dan = 5 𝑦′ . Maka bayangannya adalah : 1 1 3(5 𝑥′) − 5(5 𝑦′) + 15 = 0 3 5 5 𝑥′ − 5 𝑦′ + 15 = 0 3𝑥′ − 5𝑦′ + 75 = 0 → 3𝑥 − 5𝑦 + 75 = 0 Jadi peta dari dilatasi garis 3𝑥 − 5𝑦 + 15 = 0 terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala 5 adalah 3𝑥 − 5𝑦 + 75 = 0 1 8. Diketahui titik P(12,-5) dan A(-2,1). Bayangan titik P oleh dilatasi [𝐴, 2] adalah…. Penyelesaian: 1 1 Titik P(12,-5) didilatasi [𝑦, 2]. Artinya titik P(12,-5) didilatasi [(-2,1),2], maka: 1 𝑥′ ( ) = (2 𝑦 0 =( 1 0 12 − (−2)) + (−2) → (𝑥 ′ ) = ( 2 ) ( 1 𝑦′ 1 −5 − 1 0 2 0 14 1 ) (−6) + 2 ( −2 ) 1 7 5 −2 )+( )=( ) −3 −2 1 1 Jadi bayangan Titik P(12,-5) yang didilatasi [𝐴, 2] adalahP’(5,-2) . 56 9. Bayangan titik P(-2,3) oleh dilatasi [O,k] adalah P’(4,-6) sehingga bayangan titik Q(3,-2) oleh [O,4k] adalah…. Penyelesaian: titik P(-2,3) didilatasi [O,k] adalah P’(4,-6) 𝑥′ 𝑘 ( )=( 𝑦′ 0 0 𝑥 )( ) 𝑘 𝑦 𝑥′ 𝑘𝑥 → ( ) =( ) 𝑦′ 𝑘𝑦 4 −2𝑘 )=( ) −6 3𝑘 →( 4 = −2𝑘 → 𝑘 = −2 . diperoleh nilai k = -2 Sehingga mencari bayangan titik Q(3,-2) oleh [O,4k] sama saja dengan mencari bayangan titik Q(3,-2) oleh [O,4(-2)] = [O,-8], diperoleh: 𝑥′ −8 0 3 ( )=( )( ) 𝑦′ 0 −8 −2 =( −24 ) 16 sehingga bayangan titik Q(3,-2) oleh [O,4k] adalah Q’(-24,16) 10. Lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0. Jika ditransformasikan dengan dilatasi [O,4], persamaan bayangannya adalah…. Penyelesaiaan: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0 didilatasi [O,4] , maka: 1 𝑥′ 𝑥 𝑥′ 4𝑥 4 0 𝑥 ( )=( ) (𝑦) = ( ) → ( 𝑦) = (14 ) 𝑦′ 4𝑦 0 4 𝑦′ 4 1 1 Sehingga diperoleh : 𝑥 = 4 𝑥′ dan 𝑦 = 4 𝑦′. Maka bayangannya adalah: 1 1 1 1 𝑥 𝑦 3 1 (4 𝑥′)2 + (4 𝑦′)2 − 6(4 𝑥 ′ ) + 2(4 𝑦 ′ ) + 1 = 0 → (4)2 + ( 4)2 − 2 𝑥 + 2 𝑦 + 1 = 0 𝑥2 𝑦2 3 1 → 16 + 16 − 2 𝑥 + 2 𝑦 + 1 = 0 → 𝑥 2 + 𝑦 2 − 24𝑥 + 8𝑦 + 16 = 0 57 Jadi bayangan lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0 yang didilatasi [O,4] adalah 𝑥 2 + 𝑦 2 − 24𝑥 + 8𝑦 + 16 = 0 Soal Refleksi 11. Tentukan bayangan titik P(-4,5) oleh refleksi terhadap garis 𝑦 = −𝑥 dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis 𝑥 = 2! Penyelesaiaan: P(-4,5) refleksi terhadap garis 𝑦 = −𝑥 P’(𝑎′ , 𝑏′) 𝑎′ 0 −1 −4 ( )=( )( ) −1 0 5 𝑏′ −5 = ( ) 4 P(-4,5) refleksi terhadap garis 𝑦 = −𝑥 P’(−5,4) kemudian refleksi terhadap garis 𝑥 = 2 P’(−5,4) refleksi terhadap garis 𝑥 = 2 P”(𝑎", 𝑏") 𝑎′′ −1 0 −5 2(2) )=( )( ) + ( ) 0 1 𝑏′′ 4 0 4 5 =( )+( ) 0 4 9 =( ) 4 ( P’(−5,4) refleksi terhadap garis 𝑥 = 2 P”(9,4)  Jadi bayangan titik P(-4,5) oleh refleksi terhadap garis 𝑦 = −𝑥 dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis 𝑥 = 2 adalah P”(9,4) 12. Tentukan persamaan bayangan lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 20 = 0 oleh refleksi terhadap sumbu 𝑦 dilanjutkan dilatasi [O,2] ! Penyelesaian: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 20 = 0 dicerminkan terhadap sumbu 𝑦, maka : 𝑥′ −1 ( )=( 𝑦′ 0 −𝑥 𝑥 −𝑥′ 0 𝑥 ) (𝑦) = ( 𝑦 ) → ( 𝑦) = ( ) 𝑦′ 1 Sehingga diperoleh : 𝑥 = −𝑥′ dan 𝑦 = 𝑦′. Maka bayangannya adalah: 58 (−𝑥′)2 + (𝑦′)2 − 4(−𝑥 ′ ) − 20 = 0 → 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 20 = 0 Jadi peta dari garis 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 20 = 0 yang dicerminkan terhadap sumbu 𝑦 adalah 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 20 = 0 Kemudian 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 20 = 0 didilatasi [O,2] diperoleh: 1 𝑥′′ 2𝑥′ 𝑥′ 0 𝑥′ ) ( ) = ( ) → ( ) = (12 ) 2𝑦′ 𝑦′ 2 𝑦′ 𝑦′′ 𝑥′′ 2 ( )=( 𝑦′′ 0 2 1 1 Sehingga diperoleh : 𝑥′ = 2 𝑥′′ dan 𝑦′ = 2 𝑦′′. Maka bayangannya adalah: 1 1 1 𝑥 𝑦 (2 𝑥′′)2 + (2 𝑦′′)2 + 4(2 𝑥 ′′ ) − 20 = 0 → (2)2 + ( 2)2 + 2𝑥 − 20 = 0 → 𝑥2 4 + 𝑦2 4 + 2𝑥 − 20 = 0 → 𝑥 2 + 𝑦 2 + 8𝑥 − 80 = 0  Jadi bayangan lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 20 = 0 oleh refleksi terhadap sumbu 𝑦 dilanjutkan dilatasi [O,2] adalah 𝑥 2 + 𝑦 2 + 8𝑥 − 80 = 0 13. Titik A(𝑎, 𝑏) dicerminkan terhadap garis 𝑥 = 2 menghasilkan bayangan titik A’(0,2), maka nilai (𝑎, 𝑏)adalah…. Penyelesaian : Misal A(𝑎, 𝑏) direfleksikan terhadap 𝑥 = 2 A’(𝑎′ , 𝑏′) diket: A(𝑎, 𝑏) direfleksikan terhadap 𝑥 = 2 A’(0 , 2) maka: 𝑎′ −1 0 𝑎 2(2) ( )=( )( )+ ( ) 0 1 𝑏 𝑏′ 0 −𝑎 4 0 ( )=( )+( ) 𝑏 0 2 −𝑎 + 4 0 ( )=( ) 𝑏+0 2 −𝑎 + 4 = 0  𝑎=4  𝑏=2 59  Sehingga didapat bahwa nilai (𝑎, 𝑏)adalah (4,2) 14. Jika titik A(15,8) dicerminkan terhadap garis 𝑥 = 7, maka bayangan titik A adalah titik A’ dengan koordinat…. Penyelesaian: A(15,8) direfleksikan terhadap garis 𝑥 = 7 A’(𝑎′ , 𝑏′) 𝑎′ −1 0 15 2(7) ( )=( )( ) + ( ) 0 1 8 𝑏′ 0 14 −15 = ( )+( ) 0 8 −1 =( ) 8 A(15,8) direfleksikan terhadap garis 𝑥 = 7 A’(−1,8)  Jadi bayangan titik A(15,8) dicerminkan terhadap garis 𝑥 = 7 adalah A’(−1,8) 15. Tentukan persamaan peta dari garis 3𝑥 − 5𝑦 + 15 = 0 oleh pencerminan terhadap sumbu 𝑥! Penyelesaiaan: 3𝑥 − 5𝑦 + 15 = 0 dicerminkan terhadap sumbu 𝑥, maka : 𝑥 𝑥 𝑥′ 1 0 ( )=( ) (𝑦) = (−𝑦) 𝑦′ 0 −1 𝑥 𝑥′ ( 𝑦) = ( ) −𝑦′ Sehingga diperoleh : 𝑥 = 𝑥′ dan 𝑦 = −𝑦′. Maka bayangannya adalah: 3𝑥 ′ − 5(−𝑦 ′ ) + 15 = 0 → 3𝑥 ′ + 5𝑦 ′ + 15 = 0 → 3𝑥 + 5𝑦 + 15 = 0  Jadi peta dari garis 3𝑥 − 5𝑦 + 15 = 0 yang dicerminkan terhadap sumbu 𝑥 adalah 3𝑥 + 5𝑦 + 15 = 0 60 Soal Rotasi 16. Titik P ( 4,3 ) akan diputar 30o berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam terhadap titik asal A( 1,1 ). Tentukanlah bayangan titi P tersebut! Penyelesaian : rotasi terhadap ttik asal A( m,n ) adalah: x’ = a + (x - a) cos 𝜃 - (y - b) sin 𝜃 y’ = b + ( x – a) sin 𝜃 - (y – b) cos 𝜃, maka rotasi titik P(4,3) sebesar 30o berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal A(1,1) adalah : x’ = a + (x – a) cos  - (y – b) sin  = 1 + (4 – 1) cos 30 - (3 – 1) sin 30 = 1 + 3 cos 30 2 sin 30 1 1 = 1 + 3 (2 √3) - 2 (2) = 2+2√3−2 2 = 3√3 2 3 = √3 2 y’ = b + (x – a) sin  - (y – b) cos  = 1 + (4 – 1) sin 30 - (3 – 1) cos 30 = 1 + 3 sin 30 - 2 cos 30 1 1 = 1 + 3(2) − 2 (2 √3) = 2+3−2√3 2 = 5−2√3 2 3 jadi, posisi titik P (4,3) setelah rotasi adalah P’ (x’ , y’) = P’ ( 2 √3 , 5−2√3 ) 2 61 17. Tentukan bayangan garis y = 5x + 4 yang telah dirotasikan oleh R( O, -900) Pembahasan : bayangan oleh R(O, -900) adalah x’ = y dan y’ = -x, maka : x’ = y, maka y = x’ y’ = -x, maka x = -y’ y = 5x + 4 x’ =5 ( -y’ ) +4 x’ = -5 y’ + 4 x’ + 5y’ – 4 = 0 5y’+ x’ – 4 = 0 Jadi, bayangan dari garis y = 5x + 4 oleh R( O, -900) adalah 5y’+ x’ – 4 = 0. 18. Tentukan bayangan P(8, -5) jika dirotasi 90 dengan pusat di rotasi A (5, 4)... Penyelesaian : P(8 , -5) = P(a,b) a’ = (a – x) cos  - (b – y) sin  + x A(5 ,4) = A(x , y) b’ = (a – x) sin  + (b – y) cos  + y R(A, ) P(a,b) P’ (a’ , b’) A’ = (8 – 5) cos 90 - (-5 – 4) sin 90 + 5 =0+4+5 =9 B’ = (8 – 5) sin 90 + (-5 – 4) cos 90 + 4 =3–0+4 = -1 Jadi, hasil dari rotasi diatas yaitu P’(a’ , b’) = P’(9 , -1) 62 19. Tentukan bayangan titik (5, -3) oleh rotasi R(P, 90) dengan koordinat titik P(-1, 2)............... Penyelesaian : 20. Segitiga AB dengan A(4,0), B(0,-2) diputar 60O berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal O(0,0). Tentukan posisi segitiga A’B’ tersebut. Penyelesaian : A’ =..... X’ = x cos  - y sin  = 4 cos 60 - 0 sin 60 1 1 y’ = x sin  + y cos  = 4 sin 60 - (-2) sin 60 1 1 = 4 (2) - 0 (2 √3) = 4(2 √3) + 0 (2) =2 = 2√3 Jadi nilai A’ (x’ , y’) yaitu A’(2 , 2√3) B’ = ..... X’ = x cos  - y sin  = 0 cos 60 - (-2) sin 60 1 1 y’ = x sin  - y cos  = 0 sin 60 + (-2) cos 60 1 1 = 0(2) + 2(2 √3) = 0 (2 √3) − 2 (2) = - √3 = -1 Jadi, nilai B’ (x’ , y’) yaitu B’(- √3 , -1) 63 6. CINDY KRISMAYAWATI SOAL DAN PEMBAHASAN TENTANG REFLEKSI 1. Bayangan titik A(1 , 2) jika dicerminkan terhadap sumbu X adalah... A. (2 , 1) B. (-2 , 1) C. (2 , -1) D. (1 , -2) E. (-1 , 2) Pembahasan : Perhatikan penggambaran bayangannya: Jadi bayangannya A'(1 , -2) Jawaban: D 2. Bayangan titik B(2 , 3) jika dicerminkan terhadap sumbu Y adalah .... A. (3 , 2) B. (-3 , 2) C. (3 , -2) D. (2 , 3) E. (2 , -3) Pembahasan : Perhatikan gambar dibawah ini: 64 Jadi bayangannya B'(2, -3) Jawaban: E 3. Sebuah segitiga ABC dengan A(2 , 1), B (5 , 3), C(3 , 4). Bayangan segitiga ABC jika dicerminkan terhadap sumbu X adalah .... A. A'(2 , -1), B'(5 , -3), C'(3 , -4) B. A'(2 , 1), B'(5 , 3), C'(3 , -4) C. A'(2 , -1), B'(-5 , 3), C'(3 , 4) D. A'(2 , -1), B'(-5 , -3), C'(-3 , -4) E. A'(-2 , -1), B'(-5 , -3), C'(3 , -4) Pembahasan : Untuk menentukan bayangan segitiga ABC dengan cara menentukan bayangan A, B, dan C terhadap sumbu X: Bayangan A(2 , 1) = A'(2 , -1) Bayangan B(5 , 3) = B'(5 , -3) Bayangan C(3 , 4) = C'(3 , -4) (cara menentukan bayangan A, B , C lihat nomor 1) Jawaban: A 4. Sebuah persegipanjang ABCD dengan A(3 , 0), B(6 , 4), P(3 , 4) dengan P adalah perpotongan diagonal AC dengan BD. Bayangan persegipanjang oleh pencerminan terhadap garis y = x adalah... A. A'(0 , 3), B'(4 , 6), C'(8 , 3), D'(4 , 0) B. A'(0 , - 3), B'(4 , -6), C'(8 , -3), D'(4 , 0) C. A'(0 , 3), B'(-4 , 6), C'(-8 , 3), D'(4 , 0) D. A'(0 , -3), B'(-4 , 6), C'(-8 , 3), D'(-4 , 0) E. A'(0 , 3), B'(-4 , -6), C'(-8 , -3), D'(-4 , 0) Pembahasan : 65 Tentukan terlebih dahulu titik koordinat C: 2 xP = xA + xC xC = 2 xP - xA = 2 . 3 - 3 = 3 yC = 2 yP - yA = 2 . 4 - 0 = 8 C(3 , 8) Tentukan titik koordinat D xD = 2 xP - xB = 2 . 3 - 6 = 0 yD = 2 yP - yB = 2 . 4 - 4 = 4 D(0 , 4) Tentukan bayangan titik A, B, C, D terhadap garis y =x A(3 , 0) = A'(0 , 3) B(6 , 4) = B'(4 , 6) C(3 , 8) = C'(8 , 3) D(0 , 4) = D'(4 , 0) Jawaban: A 5. Titik P(-3,7) dicerminkan terhadap garis y = -x. Tentukanlah koordinat bayangan titik P. Pembahasan: Matriks transformasi: Dengan menggunakan persamaan matriks untuk menentukan x' dan y', maka: (x′y′)=(0−1−10)=(xy) ⟺ (x′y′)=(0−1−10)=(−37) ⟺ (x′y′)=(0.(−3)+(−1).7(−1)(−3)+0.7) ⟺ (x′y′)=(−73) Jadi, bayangan titik P(-3,7) oleh pencerminan terhadap garis y = -x adalah P'(7,3). SOAL DAN PEMBAHASAN TENTANG ROTASI 1. Titik A(1 , 2) diputar 30 derajat berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam terhadap titik asal O(0 , 0). Bayangan titik A oleh rotasi tersebut adalah .... A. A'(1/2√3 - 1 , 1/2 + √3) 66 B. A'(1/2√3 + 1 , 1/2 + √3) C. A'(1/2√3 - 1 , 1/2 - √3) D. A'(1/2√3 + 1 , 1/2 - √3) E. A'(1/2√3 - 1 , √3) Pembahasan : Tentukan bayangan titik A: x' = x cos α - y sin α x' = 1 cos 30 - 2 sin 30 x' = 1/2√3 - 1 Bayangan titik y: y' = x sin α + y cos α y' = 1 sin 30 + 2 cos 30 y' = 1/2 + √3 Jadi bayangan A = A'(1/2√3 - 1 , 1/2 + √3) Jawaban: A 2. Segitiga ABC dengan A(4 , 0), B(0 , -2), C(-2 , -4) diputar 60 derajat berlawanan arah putaran jarum jam terhadap titik pusat O(0 , 0). Hasil transformasi tersebut adalah... A. A'(2 , 2), B'(√3 , -1), C'(-1 + 2√3 , -√3 - 2) B. A'(2 , 2√3), B'(√3 , 1), C'(-1 + 2√3 , -√3 - 2) C. A'(2 , 2√3), B'(√3 , -1), C'(1 + 2√3 , -√3 - 2) D. A'(2 , 2√3), B'(√3 , -1), C'(-1 + 2√3 , √3 - 2) E. A'(2 , 2√3), B'(√3 , -1), C'(-1 + 2√3 , -√3 - 2) Pembahasan : Tentukan bayangan titik A(4 , 0) (cara seperti nomor 1) x’ = x cos α – y sin α = 4 cos 60 – 0 sin 60 = 2 y’ = x sin α + y cos α = 4 sin 60 + 0 cos 60 = 2√3 Jadi A’(2 , 2√3) Bayangan titik B(0 , -2): x’ = x cos α – y sin α = 0 cos 60 – (-2) sin 60 = √3 y’ = x sin α + y cos α = 0 sin 60 + (-2) cos 60 = -1 Jadi B’(√3 , -1) Bayangan titik C(-2 , -4) x’ = x cos α – y sin α = -2 cos 60 – (-4) sin 60 = -1 + 2√3 y’ = x sin α + y cos α = -2 sin 60 + (-4) cos 60 = -√3 – 2 Jadi C’(-1 + 2√3 , -√3 – 2) Jadi bayangan segitiga ABC adalah A’(2 , 2√3), B’(√3 , -1), C’(-1 + 2√3 , -√3 – 2) Jawaban: E 67 3. Titik A(2 , 3) diputar terhadap titik B(-1 , -2) dengan arah berlawanan putaran jarum jam sebesar 45 derajat. Bayangan titik A adalah... A. A’(√2 – 1 , 4√2 -2) B. A’(-√2 + 1 , 4√2 -2) C. A’(-√2 – 1 , 4√2 + 2) D. A’(-√2 + 1 , 4√2 -2) E. A’(-√2 – 1 , 4√2 -2) Pembahasan : Karena diputar bukan terhadap titik asal maka cara menentukan bayangannya sebagai berikut: x' - a = (x - a) cos α - (y - b) sin α x' - (-1) = (2 - (-1)) cos 45 - (3 - (-2)) sin 45 x' = 3/2 √2 - 5/2√2 - 1 = -√2 - 1 - 5/2√2 - 1 = -√2 - 1 y' - b = (x - a) sin α + (y - b) cos α y' - (-2) = (2 - (-1)) sin 45 + (3 - (-2)) cos 45 y' = 3/2 √2 + 5/2√2 - 2 = 4√2 -2 Jadi A'(-√2 - 1 , 4√2 -2) Jawaban: E 4. Sebuah segitiga ABC dengan A(1 , 0), B(4 , 0), C(3 , 4) diputar berlawanan jarum jam sebesar 180 derajat dengan pusat P(a , b). Apabila diperoleh bayangan segitiga A'B'C' dengan A'(-1 , -2), B'(r , s), C'(3 , 2), maka koordinat B' adalah..... A. B'(-4 , -2) B. B'(4 , -2) C. B'(-4 , 2) D. B'(4 , 2) E. B'(-2 , -4) Pembahasan : Tentukan terlebih dahulu pusat perputaran P(a , b) dengan menggunakan bayangan A'(-1 , -2): x' - a = (x - a) cos α - (y - b) sin α -1 - a = (1 - a) cos 180 - (0 - b) sin 180 -1 - a = (1 - a) -1 - (-b) 0 -1 - a = -1 + a 0 = 2a a = 0/2 = 0 y' - b = (x - a) sin α + (y - b) cos α -2 - b = (1 - a) sin 180 + (0 - b) cos 180 -2 - b = (1 - a) 0 + (-b) -1 -2 - b = b 68 -2 = 2b b = -2 / 2 = -1 Jadi titik pusat P(0 , -1) Menentukan koordinat B' dengan B(4 , 0) x' - a = (x - a) cos α - (y - b) sin α x' - 0 = (4 - 0) cos 180 - (0 - (-1)) sin 180 x' = 4 . -1 - 1 . 0 x' = -4 y' - b = (x - a) sin α + (y - b) cos α y' - (-1) = (4 - 0) sin 180 + (0 - (-1)) cos 180 y' + 1 = 4 . 0 + 1 . -1 y' = -1 - 1 = -2 Jadi koordinat B'(-4 , -2) Jawaban: A 5. Titik A dirotasikan terhadap titik O(0,0) sejauh 90⁰ berlawanan dengan arah putaran jam. Tentukanlah bayangan titik A. Pembahasan: (x′y′)=(01−10).(xy) ⟺(x′y′)=(01−10).(21) ⟺ (x′y′)=(−12) Dengan demikian x' = -1 dan y' = 2. Jadi, bayangan titik A(2,1) oleh rotasi terhadap titik O(0,0) sejauh 90⁰ berlawanan arah putaran jam adalah A'(-1,2). 69 SOAL DAN PEMBAHASAN TENTANG TRANSLASI 1. Bayangan dari titik A(2, -5) jika ditranslasikan oleh T(3, 1) adalah ... Pembahasan : A'(2 + 3, -5 + 1) A'(5, -4) 2. Bayangan dari titik B(9, -2) jika ditranslasikan oleh T(a, b) adalah B'(-4, 3). Nilai dari 2a + b adalah Pembahasan : B'(9 + a, -2 + b) = B'(-4, 3) 9 + a = -4 ⇒ a = -4 - 9 = -13 -2 + b = 3 ⇒ b = 3 + 2 = 5 Jadi nilai 2a + b adalah = 2(-13) + 5 = -26 + 5 = -21 3. Bayangan dari titik C oleh translasi T(-1, -4) adalah C'(4, -1). Koordinat dari titik C adalah ... Pembahasan : C'(x - 1, y - 4) = C'(4, -1) x-1=4⇒x=4+1=5 y - 4 = -1 ⇒ y = -1 + 4 = 3 Jadi koordinat titik C adalah C(5, 3) 4. Bayangan dari y = x² + 2x - 1 jika ditranslasi (2, -1) adalah ... Pembahasan : (x + 2, y - 1) = (x', y') 70 x + 2 = x' ⇒ x = x' - 2 y - 1 = y' ⇒ y = y' + 1 Substitusikan ke y = x² + 2x - 1 (y' + 1) = (x' - 2)² + 2(x' - 2) - 1 y' + 1 = x'² - 4x' + 4 + 2x' - 4 - 1 y' = x'² - 2x' - 2 Jadi bayangan dari y = x² + 2x - 1 adalah y = x² - 2x - 2 5. Bayangan dari garis 2x - 3y + 5 = 0 oleh translasi (-3, 1) adalah .... Pembahasan : (x - 3, y + 1) = (x', y') x - 3 = x' ⇒ x = x' + 3 y + 1 = y' ⇒ y = y' - 1 Substitusikan ke 2x - 3y + 5 = 0 2(x' + 3) - 3(y' - 1) + 5 = 0 2x' + 6 - 3y' + 3 + 5 = 0 2x' - 3y' + 14 = 0 Jadi bayangan dari 2x - 3y + 5 = 0 adalah 2x - 3y + 14 = 0 71 SOAL DAN PEMBAHASAN TENTANG DILATASI 1. Tentukan bayangan titik P(2,−1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A(3,4) dengan faktor skala (-3). Penyelesaian ; Jika P′(x′,y′) adalah koordinat titik bayangan yang dimaksud, maka Jadi, bayangan titik P(2,−1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A(3,4) dengan faktor skala (-3) adalah P(6,19). 2. Tentukan persamaan bayangan garis y=3x+2 oleh dilatasi dengan pusat P(21) dan faktor skala 4. Penyelesaian: Jika A′(x′,y′) adalah koordinat titik bayangan yang dimaksud, maka Dengan demikian maka, 72 3. Tentukanla bayangan titik P(-6,3) oleh dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan faktor skala -1/2 . Pembahasan: Dengan demikian, x' = 3 dan y' = -3/2. Jadi, bayangan titik P(-6,3) oleh dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan faktor skala -1/2 adalah P'(3 , -3/2). 4. Tentukanlah bayangan titik P(2,-1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A(3,4) dengan faktor skala -3. Pembahasan: (x′y′)=(k00k).(x−ay−b)+(ab) ⟺ (x′y′)=(−300−3).(2−3−1−4)+(34) ⟺ (x′y′)=(−300−3).(−1−5)+(34) ⟺ (x′y′)=(315)+(34) ⟺ (x′y′)=(619) Dengan demikian x' = 6 dan y' = 19. Jadi, bayangan titik P(2,-1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A(3,4) adalah P'(6,19). 5. Diketahui sebuah segitiga ABC dengan titik sudut A ( 2,3), B ( 7,1) dan C(-2,-5). Jika segitiga ABC tersebut di-dilatasi 3 dengan pusat M (1,3). Tentukanlah bayangan segitiga ABC atau A’B’C’. Hitunglah luas segitiga yang baru. 73 Penyelesaian : Nilai (a,b) merupakan pusat dilatasi yaitu (1,3). kita akan menggunakan rumus di atas. Sekarang akan ambil untuk titik A terlebih dahulu. x’ = 3(2-1) + 1 = 4 dan y’ = 3(3-1)+1 = 7. Maka A’ (4,7) Lakukan hal yang sama untuk titik B dan C. 74 7. LULU HIDAYATI HRP SOAL DILATASI DAN PENYELESAIANNYA 1. Tentukan bayangan garis 3x + 4y – 5 = 0 oleh dilatasi dengan pusat (-2, 1) dan faktor skala 2! a. 3x + 4y + 12 = 0 b. 3x + 4y – 12 = 0 c. 3x – 4y + 12 = 0 d. -3x + 4y + 12 = 0 e. 3x – 4y – 12 = 0 Penyelesaian : 2. Tentukan bayangan titik (9, 3) oleh dilatasi [O, 1/3]! a. (1, 3) b. (3, 1) c. (-1, -3) 75 d. (3, -1) e. (1, -3) Pembahasan: 3. Tentukan bayangan titik P(2,−1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A(3,4) dengan faktor skala (-3). Penyelesaian : Jika P′(x′,y′) adalah koordinat titik bayangan yang dimaksud, maka Jadi, bayangan titik P(2,−1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A(3,4) dengan faktor skala (-3) adalah P(6,19). 76 4. Tentukan persamaan bayangan garis y=3x+2 oleh dilatasi dengan pusat P(21) dan faktor skala 4. Penyelesaian : Jika A′(x′,y′) adalah koordinat titik bayangan yang dimaksud, maka Dengan demikian maka, Bayangan garis y=3x+2 oleh dilatasi terhadap titik pusat P(“,1) dan faktor skala 4 adalah : garis y = 3x+23 5. Tentukan bayangan oleh titik P(5,6) jika didilatasikan oleh : a. [0.3] 77 b. [f(2,3),4] Penyelesaian : SOAL TRANSLASI DAN PENYELESAIANNYA 6. Titik A(5,-2) ditranslasi oleh T (-3, 1). Tentukan koordinat bayangan titik A tersebut! a. A’(2,1) b. A’(1,1) c. A’(2,2) d. A’(2,-1) e. A’(-2,1) Penyelesaian : 7. Tentukan bayangan garis y = 3x – 5 oleh translasi T (-2, 1)! a. y = 2x + 2 b. y = 2x – 2 c. y = 3x + 2 78 d. y = 3x – 2 e. y = 2x + 3 Penyelesaian : 8. Tentukan bayangan titik (3,-7) oleh translasi (4,2) Penyelesaian : Misalkan titik P(3,-7). T = (42) : P(3,-7) → P'(3+4 , -7+2) = P'(7,-5) Jadi, bayangan titik (3,-7) oleh translasi (42) adalah (7,-5) 9. Jika garis y = x + 5 ditranslasikan oleh (23), maka tentukan persamaan bayangannya. Penyelesaian : (x′y′)=(xy)+(23) Dengan demikian: x' = x + 2 => x = x' – 2 y' = y + 3 => y = y' – 3 Dengan mensubtitusikan x = x' - 2 dan y = y' - 3 pada persamaan 79 garis, diperoleh: y' - 3 = (x' - 2) + 5 y' - 3 = x' + 3 y' = x' + 6 Jadi, persamaan bayangan garis y = x + 5 oleh translasi (23) adalah y = x + 6. 10. Titik P'(2,-4) adalah bayangan titik P(3,5) oleh translasi T. Tentukanlah translasi T. Penyelesaian : T = (ab) : P(3,5) → P'(3+a , 5+b) = P'(2,-4) Sehingga diperoleh: 5 + a = 2 => a = -1 5 + b = -4 => b = -9 Jadi, translasi T = (−1−9). SOAL ROTASI DAN PENYELESAIANNYA 11. Tentukan bayangan garis y = 5x + 4 oleh rotasi R(O, -90)! a. x - 5y – 4 = 0 b. x + 5y + 4 = 0 c. 5x + 5y – 4 = 0 d. 5x - 5y – 4 = 0 e. x + 5y – 4 = 0 80 Penyelesaian : (x, y)  (y, -x) x’ = y , y’ = -x x’ = 5(-y’) + 4 x’ + 5y’ – 4 = 0 Jadi bayangan x + 5y – 4 = 0 12. Tentukan bayangan titik (-2, 8) oleh rotasi R(O, 135)! f. (-3√2, -5√2) g. (3√2, 5√2) h. (-3√2,-5√2) i. (3√2, 5√2) j. (-3√2, 5√2) Penyelesaian : 13. Tentukan bayangan titik (5, -3) oleh rotasi R(P, 90) dengan koordinat titik P(1, 2)! f. (8, 4) 81 g. (-8, 4) h. (8, -4) i. (-4,- 8) j. (4, 8) Penyelesaian : 14. Titik A dirotasikan terhadap titik O(0,0) sejauh 90⁰ berlawanan dengan arah putaran jam. Tentukanlah bayangan titik A. Penyeselaian : Dengan demikian x' = -1 dan y' = 2. Jadi, bayangan titik A(2,1) oleh rotasi terhadap titik O(0,0) sejauh 90⁰ berlawanan arah putaran jam adalah A'(-1,2). 82 15. Titik B(5,-1) dirotasikan terhadap titik P(2,3) sejauh 90⁰ searah putaran jam. Tentukanlah bayangan titik B tersebut. Penyelesaian : Dengan demikian, x' = -2 dan y' = 0. Jadi, koordinat bayangan titik B(5,-1) oleh rotasi terhadap titik P(2,3) sejauh 90⁰ searah putaran jam adalah B'(-3,0). SOAL REFLEKSI DAN PENYELESAIANNYA 16. Bayangan titik A oleh refleksi terhadap titik (1, -2) adalah titik A’(3, 5). Tentukan koordinat titik A! a. A(1, 9) b. A(1, 1) c. A(-9, 1) 83 d. A(-1, -9) e. A(9, 1) Pembahasan : x’ = 2 – x  x = 2 – x’ y’ = -4 – y  y = -4 – y’ x = 2 – 3 = -1 y = -4 – 5 = -9 Jadi A(-1, -9) 17. Tentukan bayangan garis 2x – y = 5 apabila dicerminkan terhadap garis x = 1! a. 2x + y + 9 = 0 b. x + 2y + 9 = 0 c. x+y-9=0 d. 2x - y + 9 = 0 e. 2x + y - 9 = 0 Pembahasan : (x, y)  (2a – x, y) x’ = 2(-1) – x x’ = -2 – x y’ = y 84 2(-2 – x’) – y’ = 5 -y – 2x’ – y’ = 5 2x’ + y’ + 9 = 0 Jadi bayangan 2x + y + 9 = 0 18. Tentukan bayangan garis 2x – y = 5 apabila dicerminkan terhadap garis y = x! a. x – 2y + 5 = 0 b. x + 2y – 5 = 0 c. x – 2y – 5 = 0 d. 2x – 2y – 5 = 0 e. 2x – 2y + 5 = 0 Penyelesaian : (x, y)  (-y, -x) x’ = -y , y’ = -x 2(-y’) – (-x’) = 5 x’ – 2y’ – 5 = 0 Jadi bayangan x – 2y – 5 = 0 19. Titik A(3,-5) dicerminkan terhadap sumbu x. Tentukan koordinat bayangan titik A. 85 Penyelesaian : Mx : P(3,-5) => P'(x',y') Dengan menggunakan persamaan matriks untuk menentukan x' dan y', maka: Jadi, bayangan titik A(3,-5) oleh pencerminan terhadap sumbu x adalah A'(3,5). 20. Titik P(-3,7) dicerminkan terhadap garis y = -x. Tentukanlah koordinat bayangan titik P. Penyelesaian : Matriks transformasi: Dengan menggunakan persamaan matriks untuk menentukan x' dan y', maka: 86 Jadi, bayangan titik P(-3,7) oleh pencerminan terhadap garis y = -x adalah P'(7,3). 87 8. NURUL SUCI RAMADHANI TRANSLASI (Pergeseran) 1. 4 Tentukan bayangan titik ( 3,-7 ) oleh translasi ( ) 2 Pembahasan: Misalkan titik P(3,-7). 4 T = ( ) : P( 3, -7 ) → P'( 3 + 4 , -7 + 2) = P'( 7, -5 ) 2 4 Jadi, bayangan titik ( 3,-7 ) oleh translasi ( ) adalah ( 7, -5 ) 2 2. 2 Diketahui koordinat titik P adalah (4,-1). Oleh karena translasi ( ) diperoleh 𝑎 bayangan titik P yaitu P'(-2a, -4). Tentukanlah nilai a. Pembahasan: 2 T =( ) : P(4,-1) → P'(-2a , -4) 𝑎 P'(-2a, -4) = P'(2+4, a+(-1)) P'(-2a, -4) = P'(6, (a-1)) ⟺-2a = 6 6 ⟺a=− ⟺ a = -3 Jadi, nilai a adalah -3 3. Titik P'(2,-4) adalah bayangan titik P(3,5) oleh translasi T. Tentukanlah translasi T. Pembahasan: 𝑎 T = ( ): P(3,5) → P'(3+a , 5+b) = P'(2,-4) 𝑏 Sehingga diperoleh: 3 + a = 2 => a = -1 5 + b = -4 => b = -9 −1 ) −9 Jadi, translasi T = ( 88 4. 2 Jika garis y = x + 5 ditranslasikan oleh ( ).maka tentukan persamaan 3 bayangannya. Pembahasan: 𝑥 𝑥′ 2 ( ′ ) = (𝑦) + ( ) 𝑦 3 Dengan demikian: x' = x + 2 => x = x' – 2 y' = y + 3 => y = y' – 3 Dengan mensubtitusikan x = x' - 2 dan y = y' - 3 pada persamaan garis, diperoleh: y' - 3 = (x' - 2) + 5 y' - 3 = x' + 3 y' = x' + 6 2 Jadi, persamaan bayangan garis y = x + 5 oleh translasi ( ). adalah y = x + 6. 3 5. Perhatikan soal berikut ! 7 d. Tentukan bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = ( ). 8 4 e. Tentukan bayangan dari titik A (5, 10) oleh translasi T = ( ). 2 1 f. Tentukan bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = ( ). Dilanjutkan 2 3 oleh translasi U = ( ). 4 Pembahasan : Bayangan dari titik A oleh suatu transformasi namakan A’ Dua model yang biasa dipakai sebagai berikut: Hasilnya akan sama saja, hanya sedikit beda cara penulisan, sehingga: 89 7 d. Bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = ( ) 8 e. Bayangan dari titik A (5, 10) oleh translasi 1 f. Bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = ( ).dilanjutkan oleh translasi U 2 3 = ( ). 4 REFLEKSI (Pencerminan) 6. Titik A(3,-5) dicerminkan terhadap sumbu x. Tentukan koordinat bayangan titik A. Pembahasan: Mx : P(3,-5) => P'(x',y') Dengan menggunakan persamaan matriks untuk menentukan x' dan y', maka : 𝑥′ 1 0 3 ( ′) = ( )=( ) 𝑦 0 −1 −5 ′ 𝑥 1 0 3 ⟺ ( ′) = ( )=( ) 𝑦 0 −1 −5 90 7. 1.3 + 0(−5) 𝑥′ 3 ⟺ ( ′) = ( )=( ) 0.3 + (−1)(−5) 𝑦 5 Jadi, bayangan titik A(3,-5) oleh pencerminan terhadap sumbu x adalah A'(3,5) Titik P(-3,7) dicerminkan terhadap garis y = -x. Tentukanlah koordinat bayangan titik P. Pembahasan: Matriks transformasi : Dengan menggunakan persamaan matriks untuk menentukan x' dan y', maka: 𝑥 𝑥′ 0 −1 ( ′) = ( ) = (𝑦 ) 𝑦 −1 0 ′ 𝑥 0 −1 −3 ⟺ ( ′) = ( )=( ) 𝑦 −1 0 7 0. (−3) + (−1). 7 𝑥′ ⟺ ( ′) = ( ) (−1)(−3) + 0.7 𝑦 𝑥′ 7 ⟺ ( ′) = ( ) 𝑦 3 Jadi, bayangan titik P(-3,7) oleh pencerminan terhadap garis y = -x adalah P'(7,3). 8. Jika garis x - 2y - 3 = 0 dicerminkan terhadap sumbu Y, maka tentukanlah persamaan bayangannya. Pembahasan: Garis x - 2y - 3 = 0 dicerminkan terhadap sumbu Y. Matriks transformasi: Dengan menggunakan persamaan matriks untuk menentukan x' dan y', maka: 91 𝑥 𝑥′ −1 0 ( ′) = ( ) = (𝑦) 𝑦 0 1 −𝑥 𝑥′ ⟺ ( ′) = ( 𝑦 ) 𝑦 Dengan demikian : x' = -x => x = -x' y' = y => y = y' Dengan mensubtitusikan x = -x' dan y = y' pada persamaan garis, maka diperoleh: (-x') - 2(y') - 3 = 0 -x' - 2y' - 3 = 0 Jadi, bayangan garis x - 2y - 3 = 0 oleh pencerminan terhadap sumbu Y adalah – x- 2y -3 = 0. 9. Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A. a. Terhadap garis x = 10 b. Terhadap garis y = 8 Pembahasan: Pencerminan sebuah titik terhadap garis x = h atau y = k a. Terhadap garis x = 10 x=h (a, b) ----------> (2h − a, b) x=h (3, 5) ----------> ( 2(10) − 3, 5) = (17, 5) b. Terhadap garis y = 8 y=k (a, b) ----------> (a, 2k − b) y=k (3, 5) ----------> ( 3, 2(8) − 5) = (3, 11) 92 10. Persamaan bayangan dari lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0 transformasi yang berkaitan dengan matriks ( oleh 0 1 ) adalah.. −1 0 Pembahasan : 𝑥′ 0 1 𝑥 ( ′) = ( )( ) 𝑦 −1 0 𝑦 𝑦 ) −𝑥 =( 𝑥 ′ = 𝑦 𝑑𝑎𝑛 𝑦 ′ = −𝑥 → −𝑦 ′ = 𝑥 Substitusikan pada persamaan lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0 menjadi : (−𝑦 ′ )2 + (𝑥 ′ )2 − 4𝑦 − 6𝑥 − 3 = 0 → 𝑦′2 + 𝑥′2 − 4𝑦 − 6𝑥 − 3 = 0 → 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 4𝑦 − 3 = 0 ROTASI (Perputaran) 11. Titik A dirotasikan terhadap titik O(0,0) sejauh 90⁰ berlawanan dengan arah putaran jam. Tentukanlah bayangan titik A. Pembahasan: 𝑥 𝑥′ 0 −1 ( )=( ) . (𝑦) 𝑦′ 1 0 𝑥′ 0 −1 2 ⟺( )=( ).( ) 𝑦′ 1 0 1 𝑥′ −1 ⟺( )=( ) 𝑦′ 2 93 Dengan demikian x' = -1 dan y' = 2. Jadi, bayangan titik A(2,1) oleh rotasi terhadap titik O(0,0) sejauh 90⁰ berlawanan arah putaran jam adalah A'(-1,2). 12. Bayangan titik A oleh rotasi R(0,45⁰) adalah (-√2,√2). Tentukanlah koordinat titik A. Pembahasan: 13. Titik B(5,-1) dirotasikan terhadap titik P(2,3) sejauh 90⁰ searah putaran jam. Tentukanlah bayangan titik B tersebut. Pembahasan: 𝑥−𝑎 𝑥′ 𝑎 0 1 ( )=( ) . (𝑦 − 𝑏 ) + ( ) 𝑦′ 𝑏 −1 0 𝑥′ 0 1 2 5−2 ⟺( )=( ).( )+( ) 𝑦′ −1 0 3 −1 − 3 𝑥′ 0 1 2 3 ⟺( )=( ).( )+( ) 𝑦′ −1 0 3 −4 94 𝑥′ −4 2 ⟺( )= ( )+( ) 𝑦′ −3 3 𝑥′ −2 ⟺( )= ( ) 𝑦′ 0 Dengan demikian, x' = -2 dan y' = 0. Jadi, koordinat bayangan titik B(5,-1) oleh rotasi terhadap titik P(2,3) sejauh 90⁰ searah putaran jam adalah B'(-3,0). 14. Jika garis x - 2y = 5 diputar sejauh 90⁰ terhadap titik (2,4) berlawanan arah putaran jam, maka tentukanlah persamaan bayangannya. Pembahasan: 𝑥′ 𝑥−2 0 −1 2 ( )=( ).( )+( ) 𝑦′ 𝑦−4 1 0 4 𝑥′ 4−𝑦 2 ⟺( )=( )+( ) 𝑦′ 4 𝑥−2 𝑥′ 6−𝑦 ⟺( )=( ) 𝑦′ 𝑥+2 Dengan demikian, maka: x' = 6 - y => y = 6 - x' y' = x + 2 => x = y' - 2 Dengan mensubtitusikan x = y' - 2 dan y = 6 - x' pada persamaan garis, diperoleh: (y' - 2) - 2(6 - x') = 5 y' - 2 - 12 + 2x' = 5 2x' + y' = 5 + 2 + 12 2x' + y' = 19 Jadi, persamaan bayangan garis x - 2y = 5 oleh rotasi sejauh 90⁰ terhadap titik (2,4) berlawanan arah putaran jam adalah 2x + y = 19. 15. Tentukan bayangan titik (5, -3) oleh rotasi R(P, 90) dengan koordinat titik P (-1, 2) ! Pembahasan : 95 𝑥′ cos 90 ( )=( 𝑦′ sin 90 𝑎 −𝑠𝑖𝑛90 𝑥 − 𝑎 ) (𝑦 − 𝑏 ) + ( ) 𝑏 cos 90 0 −1 5+1 −1 )( )+( ) 1 0 2 −3 − 2 0 −1 5+1 −1 =( )( )+( ) 1 0 2 −3 − 2 0 −1 6 −1 =( )( )+( ) 1 0 −5 2 6 −1 5 =( )+( )=( ) −5 2 −3 =( Jadi bayangnya (5, -3) DILATASI (Perkalian) 16. Tentukan bayangan titik P(-6, 3) oleh dilatasi terhadap titik pusat O(0, 0) dengan faktor skala -1/2. Pembahasan : 𝑥′ 𝑘 ( )=( 𝑦′ 0 𝑥 0 ) . (𝑦) 𝑘 −1/2 0 𝑥′ −6 =( )=( ).( ) 𝑦′ 0 −1/2 3 𝑥′ 3 =( )=( ) 𝑦′ −3/2 Dengan demikian, x' = 3 dan y' = -3/2. Jadi, bayangan titik P(-6,3) oleh dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan faktor skala -1/2 adalah P'(3 , -3/2). 96 17. Tentukanlah bayangan titik P(2,-1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A(3,4) dengan faktor skala -3. Pembahasan: 𝑥′ 𝑘 ( )=( 𝑦′ 0 𝑥−𝑎 𝑎 0 ) . (𝑦 − 𝑏) + ( ) 𝑏 𝑘 𝑥′ −3 0 2−3 3 =( )=( ).( )+( ) 𝑦′ 0 −3 −1 − 4 4 𝑥′ −3 0 −1 3 =( )=( ).( )+( ) 𝑦′ 0 −3 −5 4 𝑥′ 3 3 =( )=( )+( ) 𝑦′ 15 4 𝑥′ 6 =( )= ( ) 𝑦′ 19 Dengan demikian x' = 6 dan y' = 19. Jadi, bayangan titik P(2, -1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A(3,4) adalah P'(6, 19). 18. Suatu persamaan parabola memiliki bayangan 𝑦 = 2𝑥 2 − 3𝑥 + 1 oleh dilatasi dengan faktor skala 2 dan titik pusat (0, 5). Tentukan persamaan awal dari persamaan parabola tersebut ! Pembahasan : Faktor sakala k = 2 dan titik pusat (a, b) = (0, 5) 𝑥′ 𝑘 ( )=( 𝑦′ 0 𝑥−𝑎 𝑎 0 ) . (𝑦 − 𝑏) + ( ) 𝑏 𝑘 𝑥′ 𝑥−0 2 0 0 ( )=( ).( )+( ) 𝑦′ 𝑦−5 0 2 5 𝑥′ 2𝑥 0 ( )=( )+( ) 𝑦′ 2𝑦 − 10 5 97 𝑥′ 2𝑥 ( )=( ) 𝑦′ 2𝑦 − 5 Substitusikan bentuk x’ = 2x dan y’ = 2y – 5, sehingga : 𝑦 ′ = 2𝑥′2 − 3𝑥 ′ + 1 2𝑦 − 5 = 2(2𝑥)2 − 3(2𝑥) + 1 2𝑦 − 5 = 8𝑥 2 − 6𝑥 + 1 2𝑦 = 8𝑥 2 − 6𝑥 + 1 + 5 2𝑦 = 8𝑥 2 − 6𝑥 + 6 𝑦 = 4𝑥 2 − 3𝑥 + 3 Jadi persamaan awal fungsi parabola adalah 𝑦 = 4𝑥 2 − 3𝑥 + 3 19. Tentukan bayangan persamaan 4𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0 oleh dilatasi dengan skor skala 2 dan pusat (0, 0) ! Pembahasan : 𝑥′ 𝑘 ( )=( 𝑦′ 0 0 𝑥 )( ) 𝑘 𝑦 𝑥′ 2 0 𝑥 ( )=( )( ) 𝑦′ 0 2 𝑦 𝑥′ 2𝑥 ( )=( ) 𝑦′ 2𝑦 Kita peroleh : 1 𝑥 ′ = 2𝑥 → 𝑥 = 2 𝑥′ 1 𝑦 ′ = 2𝑦 → 𝑦 = 2 𝑦′ Substitusi kepersamaan awal : 98 4𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0 1 1 4 (2 𝑥 ′ ) + 3 (2 𝑦′) − 5 = 0 4𝑥 ′ + 3𝑦 ′ − 10 = 0 Jadi persamaan bayangannya adalah 4𝑥 ′ + 3𝑦 ′ − 10 = 0 atau 4𝑥 + 3𝑦 − 10 = 0 20. Tentukan bayangan titik (9, 3) oleh dilatasi [0, 1/3]! Pembahasan : 𝑥 𝑥′ ( ) = 𝑘 (𝑦 ) 𝑦′ 𝑥′ 9 ( ) = 1/3 ( ) 𝑦′ 3 𝑥′ 3 ( )=( ) 𝑦′ 1 Jadi bayangan (3, 1) 99 9. TETTY ADRYANI NST Kumpulan soal dan pembahasan a. 5 soal Refleksi 1. Bayangan dari titik F(3,8) jika dicerminkan terhadap garis y = 3 adalah Penyelesaian : 𝐹 ′ (𝑥, 2𝑏 − 𝑦) = 𝐹′(3, 2(3) − 8) = 𝐹′(3, 6 − 8) = 𝐹′(3, 2) 2. Pencerminan fungsi tentukan bayangan kurva y  2 x 2  3 oleh pencerminan terhadap sumbu x Penyelesaian :  x '  1  '    y  0 1 x   1  y  x'  x   '     y    y Jadi diperoleh x'  x  x  x' y'   y  y   y' Substitusikan ke y  2 x 2  3   y '  2( x ' )  3  y '  2 x 2  3 Jadi bayangan adalah y  2 x 2  3 3. Tentukan bayangan titik A(1,-2) dan B(-3,5) setelah dicerminan terhadap sumbu x(y = 0). 100 Penyelesaian :  x'  1 0  1  1  Untuk setiap titik A, refleksinya menghasilkan           y' 0  1  2 2 x' 1 0   3  3 Untuk titik B, refleksinya menghasilkan           y ' 0  1 5   5 4. Sebuah titik P(10,5) dicerminkan terhadap sumbu 𝑦(𝑥 = 0) kemudian dilanjutkan dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 𝑥. Tentukan bayangan titik tersebut. Penyelesaian : 𝑥′ −1 0 10 −10 Refleksi pada x = 0 menghasilkan [ ] = [ ][ ] = [ ] 𝑦′ 0 1 5 5 Selanjutnya, hasi tersebut direfleksikan lagi terhadap 𝑦 = 𝑥 menghasilkan 𝑥" 0 1 −10 5 [ ]=[ ][ ]=[ ] 𝑦" 1 0 5 −10 5. Bayangan garis 𝑦 = 2𝑥 + 2 yang dicerminkan garis 𝑦 = 𝑥 adalah Penyelesaian : Refleksi dari titik – titiknya adalah 𝑃(𝑥 ∙ 𝑦) → 𝑃′(𝑥 ′ ∙ 𝑦 ′ ). Jika direfleksikan pada 𝑦 = 𝑥 menghasilkan 𝑃(𝑥 ∙ 𝑦) → 𝑃′(𝑥 ′ ∙ 𝑦 ′ ) sehingga 𝑥 ′ = 𝑦 𝑑𝑎𝑛 𝑦 ′ = 𝑥. Persamaannya menjadi : 𝑦 ′ = 2𝑥 ′ + 2 𝑥 = 2𝑦 + 2 𝑥−2 2 1 𝑦 = 𝑥−1 2 𝑦= 101 b. 5 soal Rotasi 1. Titik A dirotasi terhadap titi O(0,0) sejauh 90˚ berlawanan dengan arah putaran jam. Tentukanlah bayangan titik A. Penyelesaian :  x '   0  1  x         y '  1 0    y    x '   0  1  2      '    0  1   y  1  x '    1   '      y   2 Dengan demikian 𝑥 ′ = −1 dan 𝑦 ′ = 2. Jadi, bayangan titik A(2,1) oleh rotasi terhadap titik O(0,0) sejauh 90° berawalan arah putaran jam adalah 𝐴′ (−1,2). 2. Jika garis 𝑥 − 2𝑦 = 5 diputar sejauh 90°terhadap titik (2,4) berlawanan arah putaran jam, maka tentukanlah persamaan bayangannya. Penyelesaian :  x'   0  2   x  2   2             y '   1 0   y  4  4     x'   4  y   2         y'    x  2    4        '  x  6  y      y'    x  2      Dengan demikian, maka : x'  6  y  y  6  x' y '  x  2  x  y '2 Dengan mensubtitusikan 𝑥 = 𝑦 ′ − 2 dan 𝑦 = 6 − 𝑥′ pada persamaan garis, diperoleh: (𝑦 ′ − 2) − 2(6 − 𝑥 ′ ) = 5 𝑦 ′ − 2 − 12 + 2𝑥 ′ = 5 2𝑥 ′ + 𝑦 ′ = 5 + 2 + 12 102 2𝑥 ′ + 𝑦 ′ = 19 Jadi, persamaan bayangan garis 𝑥 − 2𝑦 = 5oleh rotasi sejauh 90° terhadap titik (2,4) berlawanan arah putaran jam adalah 2𝑥 ′ + 𝑦 = 19 3. Titik B(5,-1) dirotasikan terhadap titik P(2,3) sejauh 90° searah putaran jam. Tentukanlah bayangan titik B tersebut. Penyelesaian : 1  x  a   a   x'   0             y'    1 0   y  b   b  1  5  2   2   x'   0              y'    1 0    1  3  3   x'    4   2            y'    3   3   x'    2         y'   0  Dengan demikian, 𝑥 ′ = −2 dan 𝑦 ′ = 0. Jadi, koordinat bayangan titik B (5, -1) oleh rotasi terhadap titik P(2,3) sejauh 90° searah putaran jam adalah 𝐵 ′ (3,0). 4. Sebuah segitiga ABC dengan A(1,0), B(4,0), C(3,4) diputar berlawanan jarum jam sebesar 180° dengan pusat P(a,b). Apabila diperoleh bayangan segitga A’ B’ C’ dengan A(-1, -2), B’(r, s), C’(3, 2), maka koordinat B’ adalah: Penyelesaian : Tentuka pusat P(a, b) dengan bayangn A’(-1, -2): 𝑥 ′ − 𝑎 = (𝑥 − 𝑎) cos 𝑎 − (𝑦 − 𝑏) sin 𝑎 −1 − 𝑎 = (1 − 𝑎) cos 180 − (0 − 𝑏) sin 180 −1 − 𝑎 = (1 − 𝑎) − 1 − (−𝑏)0 0 = 2𝑎 103 𝑎= 0 =0 2 𝑦 ′ − 𝑏 = (𝑥 − 𝑎) sin 𝑎 + (𝑦 − 𝑏) cos 𝑎 −2 − 𝑏 = (1 − 𝑎) sin 180 + (0 − 𝑏) cos 180 −2 − 𝑏 = (1 − 𝑎)0 + (−𝑏) − 1 −2 = 2𝑏 −2 = −1 2 Jadi titik [usat P(0,1) 𝑎=− Menentukan koordinat B’ dengan B(4,0) 𝑥 ′ − 𝑎 = (𝑥 − 𝑎) cos 𝑎 − (𝑦 − 𝑏) sin 𝑎 𝑥 ′ − 0 = (4 − 0) cos 180 − (0 − 1))sin 180 𝑥 ′ = 4 ∙ −1 − 1 ∙ 0 𝑥′ = 4 𝑦 ′ − 𝑏 = (𝑥 − 𝑎) sin 𝑎 − (𝑦 − 𝑏) cos 𝑎 𝑦 ′ − (−1) = (4 − 0) sin 180 − (0 − (−1))cos 180 𝑦 ′ + 1 = 4 ∙ 0 + 1 ∙ −1 𝑦 ′ = −1 − 1 = 2 Jadi koordinat B’(-4, -2) 5. Titik A(1,2) dibuar 30° berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam terhadap titik asal O(0, 0). Bayangan titik A oleh rotasi tersebut adalah Penyelesaian : 104 Tentukan bayangan titik A : 𝑥 ′ = 𝑐 cos 𝑎 − 𝑦 sin 𝑎 𝑥 ′ = 1 cos 30 − 2 sin 30 1 𝑥 ′ = √3 − 1 2 Bayangan titik y : 𝑦 ′ = 𝑥 sin 𝑎 + 𝑦 cos 𝑎 𝑦 ′ = 1 cos 30 − 2 sin 30 𝑦′ = 1 + √3 2 1 Jadi bayangan 𝐴 = 𝐴′(2 √3 − 1, 1 2 + √3 c. 5 soal Tranlasi 1. Bayangan dari titik A(2, -5) jika ditranslasikan oleh T(3, 1) adalah Penyelesaian : 𝐴′ (2 + 3, −5 + 1) 105 𝐴′ (5, −4) 2. Titik A(5, -2) ditranslasi oleh T (-3, 1). Tentukan koodinat bayangan tittik A tersebut Penyelesaian :  x'   5    3  5   3  2              y '    2   1    2  1   1            3. Tentukan bayangan garis y  3 x  5 oleh tranlasi T (-2 , 1) Penyelesaian : y '  1  3( x '  2)  5 y '  1  3x '  6  5 y '  3x '  2 4. Bayangkan dari garis 2𝑥 − 3𝑦 + 5 = 0 oleh translasi (-3,1) adalah Penyelesaian : (𝑥 − 3, 𝑦 + 1) = (𝑥 ′ , 𝑦 ′ ) ∙ 𝑥 − 3 = 𝑥′ → 𝑥 = 𝑥′ + 3 ∙ 𝑦 + 1 = 𝑦′ → 𝑦 = 𝑦′ − 1 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑠𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑘𝑒 2𝑥 − 3𝑦 + 5 = 0 2(𝑥 ′ + 3) − 3(𝑦 ′ − 1) + 5 = 0 2𝑥 ′ + 6 − 3𝑦 ′ + 3 + 5 = 0 2𝑥 ′ − 3𝑦 ′ + 14 = 0 Jadi bayangan dari 2𝑥 − 3𝑦 + 5 = 0 adalah 2𝑥 − 3𝑦 + 14 = 0 5. Bayangan dari titik B(9, -2) jika ditranslasikan oleh T(a,b) adalah B’(4,3). Nilai dari 2a + b adalah 106 Penyelesaian : 𝐵 ′ (9 + 𝑎, −2 + 𝑏) = 𝐵 ′ (−4, 3) ∙ 9 + 𝑎 = −4 → 𝑎 = −4 − 9 = −13 ∙ −2 + 𝑏 = 3 → 𝑏 = 3 + 2 = 5 Jadi nilai 2a + b adalah = 2(−13) + 5 = 26 + 5 = −21 d. 5 soal Dilatasi 1. Sebuah garis 𝑔 ∶ 2𝑥 − 3𝑦 − 6 = 0 di dilatasikan dengan factor k = 3 dan pusat dilatasi pada titik P(1, -2). Tentukan bayangnna. Menggunakan persamaan (17) untuk mendefenisikan 𝑥 ′ 𝑑𝑎𝑛 𝑦′ 𝑥−1 𝑥′ 1 [ ] = 3[ ]+[ ] 𝑦+2 𝑦′ −2 Penyelesaian : Menghasilkan 𝑥 ′ = 3𝑥 − 2 dan 𝑦 ′ = 3𝑦 + 4. Subtitusikan 𝑥 = 𝑦= 𝑦′ 3 𝑥 ′ +2 3 dan ke dalam persamaan semula menghasilkan persamaan hasil dilatasi : 𝑥′ + 2 𝑦′ − 4 2[ ] − 3[ ]−6= 0 3 3 2𝑥 ′ − 3𝑦 ′ − 2 = 0 2. Tentukan bayangan garis 3𝑥 + 4𝑦 − 5 = 0 oleh dilatasi dengan pusat (2,1) dan factor skala 2 Penyelesaian : 107 𝑥 ′ = −2 + 2(𝑥 + 2) = 2𝑥 + 2 𝑦 ′ = 1 + 2(𝑦 − 1) = 2𝑦 − 1 𝑥=( 𝑥 ′ −2 2 ) 𝑦 ′ +1 𝑦=( 2 ) 𝑥′ − 2 𝑦′ + 1 3( ) + 4( )−5= 0 2 2 Jadi bayangan 3𝑥 ′ + 4𝑥 ′ − 12 = 0 3. Jika titik P(x,y) di dilatasikan terhadap titik pusat O(0,0) dengan factor skala k, maka bayangannya adalah P’(x’, y’) dengan x’ = kx dan y’=ky. Secara pemetaan dapat ditulis : [𝑂, 𝑘]: 𝑃(𝑥, 𝑦) → 𝑃′ (𝑘𝑥, 𝑘𝑦) Dengan persamaan matriks pemetaan diaats dapat ditulis : 𝑥 𝑥′ 𝑘 0 ( )=( ) ∙ (𝑦) 𝑦′ 0 𝑘 Matriks ( 𝑘 0 ) dinamakan matriks yang bersesuaian dengan dilatasi 0 𝑘 [0, 𝑘] 4. Matriks transformasi yang mewakili dilatasi [𝑂, −2]dilanjutkan oleh refleksi terhadap sumbu x adalah Penyelesaian : Matriks transformasi yang mewakili dilatasi [𝑂, −2]: 𝐷=( −2 0 ) 0 −2 Matriks transformasi yang mewakili refleksi terhadap sumbu x: 𝑀=( 1 0 ) 0 −1 5. Tentukan bayangan masing-masing titik A(2,3) di dilatasi dengan titik pusat adalah pusat koordinat dan factor skala -2 108 Penyelesaian : Titik A(2,3) di dilatasi dengan titik pusat adalah pusat koordinat dan factor skala -2 −2 0 ) 0 −2  Factor skala -2 artinya k = -2, matriksnya : 𝑀 = (  Menentukan bayangan titik A(2,3): 𝑥′ 𝑘 ( )=( 𝑦′ 0 0 𝑥 )( ) 𝑘 𝑦 −2 0 2 )( ) 0 −2 3 −4 =( ) −6 =( 10. INDRI HANDANI DILATASI ( Perkalian ) 109 1. ABCD adalah sebuah persegi dengan koordinat titik-titik sudut A(1,1), B(2,1), C(2,2) dan D(1,2). Tentukan peta atau bayangan dari titik-titik sudut persegi itu oleh dilatasi [O,2]! Penyelesaiaan: Peta atau bayangan titik-titik sudut persegi oleh dilatasi [O,2] 2 0 ) 0 2 Matriks yang bersesuaian dengan dilatasi [0,2] adalah ( Peta atau bayangan dari titik sudut persegi A(1,1), B(2,1), C(2,2) dan D(1,2) adalah 2 0 1 )( 0 2 1 (  2 2 1 2 1 2 )=( 2 2 4 4 2 ) 2 4 4 Jadi peta dari titik-titik sudut ABCD adalah A(2,2), B(4,2), C(4,4) dan D(2,4) 2. Titik A(-16,24) merupakan bayangan dari titik A(𝑥, 𝑦) yang didilatasikan dengan pusat O(0,0) dan faktor skala -4. Koordinat titik A adalah…. Penyelesaian: 1 − 𝑥′ 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥′ −4𝑥 −4 0 ( )=( ) (𝑦) = ( ) → ( 𝑦) = ( 14 ) → ( 𝑦) = 𝑦′ −4𝑦 0 −4 − 𝑦′ 4 1 − (−16) 4 ( 41 )=( ) −6 − 4 (24) Jadi titik A(-16, 24) merupakan bayangan dari titik A(4, −6) yang didilatasikan dengan pusat O(0,0) dan faktor skala -4. 3. Tentukan persamaan peta dari garis 3𝑥 − 5𝑦 + 15 = 0 oleh dilatasi terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala 5! Penyelesaian: 3𝑥 − 5𝑦 + 15 = 0 didilatasi terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala 5, maka: 110 1 𝑥′ 𝑥 𝑥′ 5𝑥 5 0 𝑥 ( )=( ) (𝑦) = ( ) → (𝑦) = (15 ) 𝑦′ 5𝑦 0 5 𝑦′ 5 1 1 Sehingga diperoleh 𝑥 = 5 𝑥′ dan = 5 𝑦′ . Maka bayangannya adalah : 1 1 3(5 𝑥′) − 5(5 𝑦 ′ ) + 15 = 0 3 5 5 𝑥′ − 5 𝑦 ′ + 15 = 0 3𝑥′ − 5𝑦′ + 75 = 0 → 3𝑥 − 5𝑦 + 75 = 0  Jadi peta dari dilatasi garis 3𝑥 − 5𝑦 + 15 = 0 terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala 5 adalah 3𝑥 − 5𝑦 + 75 = 0 4. Lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0. Jika ditransformasikan dengan dilatasi [O,4], persamaan bayangannya adalah…. Penyelesaiaan: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0 didilatasi [O,4] , maka: 1 𝑥′ 𝑥 𝑥′ 4𝑥 4 0 𝑥 ( )=( ) (𝑦) = ( ) → ( 𝑦) = (14 ) 𝑦′ 4𝑦 0 4 𝑦′ 4 1 1 Sehingga diperoleh : 𝑥 = 4 𝑥′ dan 𝑦 = 4 𝑦′. Maka bayangannya adalah: 1 1 1 1 𝑥 𝑦 3 1 (4 𝑥′)2 + (4 𝑦′)2 − 6(4 𝑥 ′ ) + 2(4 𝑦 ′ ) + 1 = 0 → (4)2 + ( 4)2 − 2 𝑥 + 2 𝑦 + 1 = 0 →  𝑥2 16 + 𝑦2 16 3 1 2 2 − 𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 → 𝑥 2 + 𝑦 2 − 24𝑥 + 8𝑦 + 16 = 0 Jadi bayangan lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0 yang didilatasi [O,4] adalah 𝑥 2 + 𝑦 2 − 24𝑥 + 8𝑦 + 16 = 0 1 5. Diketahui titik P(12,-5) dan A(-2,1). Bayangan titik P oleh dilatasi [𝐴, 2] adalah…. Penyelesaian: 111 1 1 Titik P(12,-5) didilatasi [𝐴, 2]. Artinya titik P(12,-5) didilatasi [(-2,1),2], maka: 1 1 0 12 − (−2) 0 14 𝑥′ 𝑥′ −2 −2 ( ′) = ( 2 1 ) ( ) + ( ) → ( ′) = ( 2 1 ) ( ) + ( ) 𝑦 𝑦 −6 1 1 −5 − 1 0 0 2 =(  2 7 −2 5 )+( )=( ) −3 1 −2 1 Jadi bayangan Titik P(12,-5) yang didilatasi [𝐴, 2] adalahP’(5,-2) . REFLEKSI (Pencerminan) 1. Jika titik A(15, 8) dicerminkan terhadap garis 𝑥 = 7, maka bayangan titik A adalah titik A’ dengan koordinat…. Penyelesaian: A(15,8) direfleksikan terhadap garis 𝑥 = 7 A’(𝑎′ , 𝑏′) 𝑎′ −1 0 15 2(7) ( )=( )( )+ ( ) 0 1 8 𝑏′ 0 14 −15 = ( )+( ) 0 8 −1 =( ) 8 A(15,8) direfleksikan terhadap garis 𝑥 = 7 A’(−1, 8)  Jadi bayangan titik A(15,8) dicerminkan terhadap garis 𝑥 = 7 adalah A’(−1, 8) 2. Titik A(𝑎, 𝑏) dicerminkan terhadap garis 𝑥 = 2 menghasilkan bayangan titik A’(0,2), maka nilai (𝑎, 𝑏)adalah…. Penyelesaian: Misal A(𝑎, 𝑏) direfleksikan terhadap 𝑥 = 2 A’(𝑎′ , 𝑏′) diket: A(𝑎, 𝑏) direfleksikan terhadap 𝑥 = 2 A’(0 , 2) 112 maka: 𝑎′ −1 0 𝑎 2(2) ( )=( )( )+ ( ) 0 1 𝑏 𝑏′ 0 −𝑎 4 0 ( )=( )+( ) 𝑏 0 2 −𝑎 + 4 0 ( )=( ) 𝑏+0 2 −𝑎 + 4 = 0   𝑎=4  𝑏=2 Sehingga didapat bahwa nilai (𝑎, 𝑏)adalah (4,2) 3. Tentukan persamaan peta dari garis 3𝑥 − 5𝑦 + 15 = 0 oleh pencerminan terhadap sumbu 𝑥! Penyelesaiaan: 3𝑥 − 5𝑦 + 15 = 0 dicerminkan terhadap sumbu 𝑥, maka : 𝑥 𝑥 𝑥′ 1 0 ( )=( ) (𝑦) = (−𝑦) 𝑦′ 0 −1 𝑥 𝑥′ ( 𝑦) = ( ) −𝑦′ Sehingga diperoleh : 𝑥 = 𝑥′ dan 𝑦 = −𝑦′. Maka bayangannya adalah: 3𝑥 ′ − 5(−𝑦 ′ ) + 15 = 0 → 3𝑥 ′ + 5𝑦 ′ + 15 = 0 → 3𝑥 + 5𝑦 + 15 = 0  Jadi peta dari garis 3𝑥 − 5𝑦 + 15 = 0 yang dicerminkan terhadap sumbu 𝑥 adalah 3𝑥 + 5𝑦 + 15 = 0 4. Tentukan bayangan titik P(-4,5) oleh refleksi terhadap garis 𝑦 = −𝑥 dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis 𝑥 = 2! Penyelesaiaan: P(-4,5) refleksi terhadap garis 𝑦 = −𝑥 P’(𝑎′ , 𝑏′) 𝑎′ 0 −1 −4 ( )=( )( ) −1 0 5 𝑏′ −5 = ( ) 4 113 P(-4,5) refleksi terhadap garis 𝑦 = −𝑥 P’(−5,4) kemudian refleksi terhadap garis 𝑥 = 2 P’(−5,4) refleksi terhadap garis 𝑥 = 2 P”(𝑎", 𝑏") 𝑎′′ −1 0 −5 2(2) )=( )( )+ ( ) 0 1 𝑏′′ 4 0 4 5 =( )+( ) 0 4 9 =( ) 4 ( P’(−5,4) refleksi terhadap garis 𝑥 = 2 P”(9,4)  Jadi bayangan titik P(-4,5) oleh refleksi terhadap garis 𝑦 = −𝑥 dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis 𝑥 = 2 adalah P”(9,4) 5. Sebuah persamaan lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 6𝑦 − 8 = 0 dicerminkan terhadap 𝑦 = 𝑥 + 3, maka bayangannya adalah…. Penyelesaian: Matriks pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝑥 + 𝑐 adalah : 𝑥 𝑥′ 0 1 0 ( )=( ) (𝑦 − 𝑐) + ( ) 𝑦′ 1 0 𝑐 Sehingga untuk mencari persamaan lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 6𝑦 − 8 = 0 dicerminkan terhadap 𝑦 = 𝑥 + 3 maka bayangannya adalah : 𝑥 𝑥′ 0 1 0 ( )=( ) (𝑦 − 𝑐) + ( ) 𝑦′ 1 0 𝑐 𝑥′ 𝑦−𝑐 0 ( )=( )+( ) 𝑦′ 𝑥 𝑐 𝑦−𝑐 𝑥′ ( )=( ) 𝑥+𝑐 𝑦′ Untuk c = 3 didapat : 𝑥′ 𝑦 𝑦−3 𝑥′ + 3 ( )=( )→( )=( ′ ) 𝑦′ 𝑥 𝑦 −3 𝑥+3 Sehingga diperoleh 𝑥 = 𝑦 ′ − 3 dan 𝑦 = 𝑥 ′ + 3. Maka bayangannya adalah (𝑦 ′ − 3)2 + (𝑥 ′ + 3)2 − 4(𝑦 ′ − 3) + 6(𝑥 ′ + 3) − 8 = 0 (𝑦 ′ )2 − 6𝑦 ′ + 9 + (𝑥 ′ )2 + 6𝑥 ′ + 9 − 4𝑦 ′ + 12 + 6𝑥 ′ + 18 − 8 = 0 114 (𝑥 ′ )2 + (𝑦 ′ )2 + 12𝑥 ′ − 10𝑦 ′ + 40 = 0 (𝑥)2 + (𝑦)2 + 12𝑥 − 10𝑦 + 40 = 0  Jadi bayangan persamaan lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 6𝑦 − 8 = 0 yang dicerminkan terhadap 𝑦 = 𝑥 + 3 adalah 𝑥 2 + 𝑦 2 + 12𝑥 − 10𝑦 + 40 = 0 TRANSLASI ( Pergeseran) −2 ) adalah . . . 3 1. Bayangan titik ( 3, 5 ) oleh translasi T ( Penyelesaian : −2 ) : P (3, 5)  P ( 3 +(-2), 5 + 3) = (1,8) 3 −2 Jadi bayangan titik P(3,5) oleh translasi T = ( ) adalah (1, 8) 3 4 2. Tentukan bayangan garis y = 2x – 4 oleh translasi T( ) 5 T= ( Penyelesaian : y - 5 = 2(x + 4) – 4 y - 5 = 2x + 8 – 4 y = 2x + 4 + 5 y = 2x + 9 3. Suatu persamaan garis lurus y = 3x + 5. 2 Tentukan persamaan garis lurus yang dihasilkan oleh translasi T = ( ) 1 Penyelesaian : 2 Posisi titik (x, y) oleh translasi T ( ) adalah : 1 x = x + 2  x = x - 2 115 y = y + 1  y = y - 1 masukkan nilai x dan y yang baru ke persamaan asal y = 3x + 5 ( y - 1) = 3(x - 2) + 5 y – 1 = 3x – 6 + 5 y = 3x – 1 + 1 y = 3x 2 4. Titik A (5, 6) ditranslasikan oleh T ( ). Tentukan titik hasil translasinya! 3 Penyelesaian : A = (5, 6) + ( 2, 3) =A+T = ( 5 + 2, 6 + 3) = (7, 9) Jadi hasil translasinya adalah A = ( 7, 9 ) 5. Diketahui segitiga ABC dengan titik sudut A (1,2), B (3,4), dan C (5,7). 1 Tentukan koordinat segitiga ABC jika digeser oleh T ( ) 2 Penyelesaian : 1+1 1 1 2 A = A + T = ( ) + ( ) = ( )=( ) 2+2 2 2 4 3+1 4 3 1 B = B + T = ( ) + ( ) = ( )=( ) 4+2 6 4 2 5+1 6 1 5 C = C + T = ( ) + ( ) = ( )=( ) 9 2 7+2 7 Jadi peta segitiga ABC adalah ABC dengan titik sudut A ( 2, 4 ), B(4, 6) dan C (6, 9) ROTASI ( Perputaran ) 1. Titik A (1, 3) dirotasikan terhadap titik (0, 0). 116 Tentukan bayangan titik A apabila titik A dirotasikan sejauh 90 berlawanan arah dengan jarum jam. Penyelesaian : 𝑥 0 −1 𝑥 ( )=( ) (𝑦 ) 𝑦 1 0 𝑥 0 −1 1 ( )=( )( ) 𝑦 1 0 3 𝑥 0 + (−3) ( )=( ) 𝑦 1+ 0 𝑥 −3 ( )=( ) 𝑦 1 2. Titik B ( 4, 6) dirotasikan terhadap titik (0, 0) Tentukan bayangan titik B apabila titik B dirotasikan sejauh 90 searah dengan jarum jam. Penyelesaian : 𝑥 0 1 𝑥 ( )=( )( ) 𝑦 −1 0 𝑦 𝑥 0 1 4 ( )=( )( ) 𝑦 −1 0 6 𝑥 0+6 ( )=( ) 𝑦 −4 + 0 𝑥 6 ( )=( ) 𝑦 −4 117 3. Tentukan bayangan titik (7, -3) oleh rotasi R ( P, 90) dengan koordinat titik P ( -2, 3) Penyelesaian : 𝑥 𝑎 cos 90 −𝑠𝑖𝑛90 𝑥 − 𝑎 ( )=( ) (𝑦 − 𝑏 ) + ( ) 𝑦 𝑏 𝑠𝑖𝑛90 cos 90 𝑥 0 −1 7+2 −2 ( ) =( )( )+ ( ) 𝑦 1 0 −3 − 3 3 0 −1 9 −2 ) ( )+ ( ) 1 0 −6 3 6 −2 =( )+ ( ) 9 3 4 =( ) 12 =( 4. Tentukan bayangan garis y = 5x + 4 oleh rotasi R (0, - 90) Penyelesaian : (x, y)  ( y, -x) x = y . y = -x x = 5(-y) + 4 x + 5y - 4 = 0 x + 5y – 4 = 0 Jadi bayangannya adalah x + 5y – 4 = 0 5. Diketahui titik A (4, 5), Tentukan bayangan akibat rotasi 90 dengan titik pusat O(0,0) dan dengan titik pusat P(1,1) Penyelesaian : Rotasi dengan titik pusat O (0,0) dan  = 90 x cos 90  −sin90 4 ( )=( ) ( ) y 5 sin90 cos 90 0 −1 4 =( )( ) 1 0 5 0 + (−5) =( ) 4+0 118 5 =( ) 4 Rotasi dengan titik pusat P (1,1) x − 1 cos 90  −sin90 4 − 1 ( )=( ) ( ) y − 1 5−1 sin90 cos 90 0 −1 3 =( )( ) 1 0 4 0 + (−4) =( ) 3+0 −4 =( ) 3 x −4 + 1 ( ) =( ) y 3+1 −3 ) 4 =( Jadi bayangan titik A (4, 5) akibat rotasi 90 dengan titik pusat O(0,0) adalah A ( -5, 4) dan bayangan titik A (4, 5) akibat rotasi 90 dengan titik pusat P(1,1) adalah A ( -3,4) 11. SITI HAJAR 119 Dilatasi 1. Tentukan bayangan titik (9,3) oleh dilatasi (0,1\3) Pembahasan : P (a,b) X’ = a + k (x – a) Y’ = b + k (y - b) x’ = -2 + 2(x + 2) = 2x + 2 y’ = 1 + 2 ( y -1) = 2y – 1 x’ = x’ – 2 y’ = y’ + 1 2 3 (x’ – 2) 2 + 4 (y’ + 1) 2 - 5 =0 2 3 (x’ – 2) + 4 (y’ + 1) – 10 = 0 3x’ + 4x’- 12 = 0 Jadi bayangan 3x’ + 4x – 12 = 0 2. Tentukan koordinat titik bayangan dari titik P(2 , 6). Oleh dilatasi [ O, 2 ] Pembahasan : Bayangan dari titik bayangan dari titik P(2,6) oleh dilatasi [ O, 2 ] : P(2,6) [O,2] P’ ( 4, 12) 3. Tentukan koordinat titik bayangan dari titik P(6 , 12). Oleh dilatasi [ O, -1/2 ] Pembahasan : Bayangan dari titik bayangan dari titik P(2 , 6) oleh dilatasi [ O, -1/2 ] : 120 P(6, 12) [O, -1/2] P’ (-3, -6) 4. Diketahui titik P ( 5, 4) dan titik M (1,2) tentukan bayangan dari titik P oleh dilatasi [ M, ½] Pembahasan : Bayangan dari titik P ( 5, 4] oleh dilatasi [ M(1, 2), ½ ] P ( 5, 4) [ M(1, 2), ½ ] P’( 1 + ½ (5-1), 2 + ½ (4-2) = P’ ( 3, 3) 5. Diketahui titik P ( 4, 5) dan titik M (2,3) tentukan bayangan dari titik P oleh dilatasi [ M, - ½] Pembahasan : Bayangan dari titik P ( 4, 5] oleh dilatasi [ M (2, 3), -½ ] P ( 4, 5) [ M(2, 3), -½ ] P’( 2 +(- ½ (5-3), 3 + ( -½ (4-2) = P’ ( 1, 2) Translasi 1. Tentukan bayangan dari titik P ( 1, 4), oleh translasi T = 2 3 121 Penyelesaian : Bayangan dari titik P (1, 4) P ( 1, 4) T= 2 3 P’ (1 + 2, 4 + 3) = p’ (3, 7) 3 2. Bayangan dari titik A(6, 3) jika di translasikan oleh T (6, 2) adalah Penyelesaian : A’ = (6 + 6, 3 + 2) A’ = ( 12, 5) 3. Bayangan dari titik B(9, -2) jika di translasikan oleh T ( a,b) adalah adalah B’ (-4, 3). Nilai dari 2a + b adalah.... Penyelesaian : B’ ( 9 + a, -2 + b) = B’ (-4, 3)  9 + a = -4 a = -4 – 9 = -13  -2 + b = 3 b=3+ 2=5 Jadi nilai 2a + b adalah = 2 (-13) + 5 = -26 + 5 = -21 4. Bayangan dari titik C oleh translasi T (-1, -4 ) adalah adalah C’ (4, -1). Koordinat dari titik C adalah Penyelesaian : C’ (x-1, y-1) = C’ (4, -1)  x -1 = 4 x=4+1=5  y - 4 = -1 y = -1 + 4 = 3 jadi koordinat titik C adalah C (5, 3) 5. Bayangan dari garis 2x – 3y + 5 = 0 oleh translasi (-3, 1) adalah Penyelesaian : 122 (x- 3, y + 1) = (x’ , y’)  x – 3 = x’ x = x’ + 3  y + 1 = y’ y = y’ – 1 substitusikan ke 2x – 3y + 5 = 0 2(x’ + 3) – 3(y’ – 1) + 5 = 0 2x’ + 6 – 3y’ + 3 + 5 = 0 2x’ – 3y’ +14 = 0 Jadi bayangan dari 2x – 3y + 5 = 0 adalah 2x – 3y + 14 = 0 Refleksi 1) Titik D (-8, 8) jika dicerminkan terhadap garis y = -x memiliki bayangan di titik ... 123 Jawab : D'(-y, -x) = D'(8, -(-2)) = D'(8, 2) 2) Bayangan dari titik E (-9, 21) jika dicerminkan terhadap sumbu y adalah .... Jawab E'(-x, y) = E'(-(-9), 21) = E'(9, 21) 3) Bayangan dari titik F (2, 7) jika dicerminkan terhadap garis y = 8 adalah ..... Jawab : 124 F'(x, 2b - y) = F'(2, 2(8) - 7) = F'(2, 16 - 7) = F'(2, 9) 4) Bayangan dari kurva = x² - 9 jika dicerminkan pada sumbu x adalah .... jawab (x, -y) = (x', y') x = x' -y = y' ⇒ y = -y' Substitusi ke y = x² - 9 -y' = x'² - 9 y' = 9 - x'² 125 jadi bayangan dari y = x² - 9 adalah y = 9 - x² 5) bayangan dari garis y = 3x + 7 jika dicerminkan terhadap x = 4 adalah .... jawab (2a - x, y) = (x', y') (2(4) - x, y) = (x', y') (8 - x, y) = (x', y') 8 - x = x' ⇒ x = 8 - x' y = y' substitusikan ke y = 3x + 7 y' = 3(8 - x') + 7 y' = 24 - 3x' + 7 126 y' = 31 - 3x' jadi bayangan garis y = 3x + 7 adalah garis y = 31 - 3x Rotasi 1. Persamaan bayagan garis 2x - y + 6 = 0 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat pada sudut putaran -90o , adalah …. 127 R-90o berarti : x’ = x cos (-90) – y sin (-90) y’ = x sin (-90) + y cos (-90) x’ = 0 – y(-1) = y y’ = x(-1) + 0 = -x’ atau dengan matriks :  x'   0 1   x         y '  1 0      y R-90o berarti : x’ = y → y = x’ y’ = -x → x = -y’ disubtitusi ke: 2x - y + 6 = 0 2(-y’) - x’ + 6 = 0 -2y’ – x’ + 6 = 0 x’ + 2y’ – 6 = 0 Jadi bayangannya : x + y – 6 = 0 2. Persamaan bayangan garis x + y = 6 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dalam sudut putaran +90o, adalah …. Pembahasan R+90o berarti : x’ = -y → y = -x’ y’ = x → x = y’ disubtitusikan ke: x + y = 6 y’ + (-x’) = 6 y’ – x’ = 6 → x’ – y’ = -6 jadi bayangannnya : x – y = -6 3. Persamaan bayangan parabola = 3x2 – 6x + 1 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut putaran +180o, adalah …. 128 H berarti: x’ = -x → x = -x’ y’ = -y → y = -y’ disubtitusikan ke : y = 3x2 – 6x + 1 -y’= 3(-x’)2 – 6(-x’) + 1 -y’ = 3(x’)2 + 6x + 1 (dikali-1) Jadi bayangannnya : y = -3x2 – 6x – 1 4. Bayangan titik (-4, 5) oleh rotasi terhadap titik pusat dengan sudut putar 30° adalah …. R(0, 30⁰) (-4, 5) x′ (x′, y′) Cos 30⁰ = y′ Sin 30⁰ x′ 1/2√3 y′ 1/2 -sin 30⁰ y′ = 5 cos 30⁰ -1/2 -4 1/2√3 = x′ -4 -2√3 -5/2 -2 5/2√3 5 = 5. Persamaan bayangan garis x + y = 10 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dalam sudut putaran +90o, adalah …. Pembahasan R+90o berarti : x’ = -y → y = -x’ 129 y’ = x → x = y’ disubtitusikan ke: x + y = 10 y’ + (-x’) = 10 y’ – x’ = 10 → x’ – y’ = -10 jadi bayangannnya : x – y = -10 12. FADILATUL HUSNA A. TRANSLASI 130 𝑎 3 1. Diketahui translasi T1 = ( ) dan T2 = ( ) titik – titik A' dan B' berturut – 2 𝑏 turut adalah bayangan titik- titik A dan B oleh komposisi transformasi T1 ͦ T2. Jika A(-1, 2), A'(1, 11), B'(12, 13) Maka koordinat titik B adalah... Pembahasan: 𝑎 3 Diketahui: translasi T1 = ( ) dan T2 = ( ) 2 𝑏 Dengan komposisi transformasi T1 ͦ T2 Titik A(-1, 2) mempunyai bayangan A'(1, 11) maka 𝑎 3 1 −1 ( )=( )+ ( )+ ( ) 2 𝑏 11 2 2+𝑎 =( ) 4+𝑏 Sehingga a = -1 dan b = 7. Jadi, titik B(x, y) yang mempunyai bayangan B'(12, 13) adalah: 𝑥 12 3 −1 ( ) = (𝑦 ) + ( ) + ( ) 13 7 2 𝑥+2 12 ( )=( ) 𝑦+9 13 Sehingga x = 10 dan y = 4 jadi, titik B(10, 4) 2. Titik P(x, y) ditransformasikan dari matriks ( ditransfomasikan oleh matriks ( −1 0 ). Bayangannya 0 1 0 −1 ). Bayangan titik P adalah... 1 0 Pembahasan: Diketahui: T1 = ( −1 0 0 −1 ) dan T2 = ( ) 0 1 1 0 Sehingga, 0 −1 −1 0 0 −1 T2 ͦ T1 = ( )( )=( ) 1 0 0 1 1 0 Jadi, bayangan titik P(x, y) dengan transformasi T1 dilanjutkan T2 adalah: −𝑦 𝑥′ 0 −1 𝑥 ( )=( ) (𝑦) = ( ) −𝑥 𝑦′ 1 0 Jadi, bayangan titik P(x, y) adalah (-y, -x) 𝑎+2 𝑎 3. Oleh matriks A = ( ) titik P(1, 2) dan titik Q masing 0 masing 1 𝑎+1 ditransformasikan ke titik P'(2, 3) dan Q'(2, 0). Koordinat titik Q adalah... 131 Pembahasan: 𝑎+2 𝑎 ) titik P(1, 2) mempunyai bayangan 1 𝑎+1 Diketahui: matriks A = ( P'(2, 3). Maka, 𝑎+2 𝑎 3𝑎 + 2 2 1 ( )=( )( ) = ( ) 1 𝑎+1 2 2𝑎 + 3 3 Diperoleh 2 = 3a + 2 atau 3 = 3 + 2a → a = 0 2 0 ) jika titik Q (x, y) 1 1 ditransformasikan matriks A diperoleh bayangan Q'(2, 0) maka: 2𝑥 2 2 0 𝑥 ( )=( ) (𝑦) = ( ) 𝑥 +𝑦 0 1 1 Diperoleh: 2 = 2x → x = 1 dan x + y = 0 → y = -1 Jadi, titik Q(1, -1) Sehingga, matriks transformasi A adalah ( 4. Titik A(x, 12) ditranslasikan secara berurutan oleh T1 = (-3, 7) T2 = (2, 3) dan T3(4, -1) sehingga menghasilkan bayangan A'(8, y). Nilai – nilai x dan y adalah... Pembahasan: Diketahui: titik A(x, 12) ditranslasikan secara berurutan oleh T1 = (-3, 7) T2 = (2, 3) dan T3(4, -1) sehingga menghasilkan bayangan A'(8, y) maka, 8 𝑥−3+2+4 𝑥+3 ( )=( )=( ) 𝑦 12 + 7 + 3 − 1 21 Diperoleh: 8 = x + 3 → x = 5 dan y = 21 5. Parabola y = x2 – 6x + 8 digeser kekanan sejauh 2 satuan searah dengan sumbu x dan digeser kebawah sejauh 3 satuan. Jika parabola hasil pergeseran ini memotong sumbu x di x1 dan x2 maka x1 + x2 adalah... Pembahasan: Misal: (x, y) → (x', y') Maka: x' = x + 2 → x = x' – 2 y' = y – 3 → y = y' + 3 sehingga, bayangan dari y = x2 – 6x + 8 adalah: (y' + 3) = (x' – 2)2 – 6(x' – 2) + 8 y' + 3 = x'2 – 4x' + 4 – 6x' + 12 + 8 y' = x'2 – 10x' + 21 132 atau y = x2 – 10x = 21 memotong sumbu x (y = 0) dititik x1 dan x2 maka, x1 + x2 = −10 −1 = 10 B. REFLEKSI 6. Persamaan bayangan garis y = 2x – 3 karena refleksi terhadap garis y = -x, dilanjutkan refleksi terhadap y = x adalah... Pembahasan: Garis y = 2x – 3 direfleksikan terhadap garis y = -x dilanjutkan terhadap garis y = x. 0 −1 0 1 T1 = ( ) dan T2 = ( ) maka matriks tranformasi adalah −1 0 1 0 0 −1 0 1 −1 0 T1 ͦ T2 = ( )( )=( ) −1 0 1 0 0 −1 𝑥 −𝑥 𝑥′ −1 0 ( )=( ) (𝑦) = (−𝑦) 𝑦′ 0 −1 Jadi, bayangan dari y = 2x – 3 adalah –y = -2x -3 atau y – 2x -3 = 0 1 0 7. Bayangan kurva y = x + 1 jika ditransformasikan oleh matriks ( 2 ), 1 kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu x adalah... Pembahasan: 1 2 Kurva y = x + 1 ditransformasikan oleh matriks ( ) dan dilanjutkan 0 1 terhadap pencerminan terhadap sumbu x maka matriks transformasinya adalah: 1 0 1 2 1 2 ( )( )=( ) sehingga: 0 −1 0 1 0 −1 𝑥 𝑥′ 1 2 ( )=( ) (𝑦) 𝑦′ 0 −1 𝑥 + 2𝑦 𝑥′ ( )= ( ) −𝑦 𝑦′ x = x' – 2y y = -y' maka, kurva y = x + 1 mempunyai bayangan -y' = x' – 2y + 1 -y' = x' + 2y' + 1 x' + 3y' + 1 = 0 atau x + 3y + 1= 0 133 8. Persamaan bayangan garis 2y – 5x – 10 = 0 oleh rotasi (0, 90°) dilanjutkan refleksi terhadap garis y = -x adalah... Pembahasan: 0 −1 T1 = rotasi (0, 90°) maka matriks T1 = ( ) 1 0 T2 = refleksi terhadap garis y = -x maka matriks T2 = ( 0 −1 ) −1 0 Sehingga matriks transformasi: 0 −1 0 −1 −1 0 T2 ͦ T1 = ( )( )=( ) −1 0 1 0 0 1 Maka: 𝑥′ −1 0 𝑥 ( )=( )( ) 𝑦′ 0 1 𝑦 x' = -x atau x = -x' dan y' = y jadi, bayangan garis 2y – 5x – 10 = 0 yang ditransformasikan T2 ͦ T1 adalah: 2y' – 5(-x') – 10 = 0 2y – 5x – 10 = 0 9. Persamaan peta garis x – 2y + 4 = 0 yang dirotasikan dengan pusat O(0, 0) sejauh +90°, dilanjutkan dnegan pencerminan terhadap garis y = x adalah... Pembahasan: 0 1 −1 0 1 ) dan garis y = x = T2 = ( ) 0 1 0 0 1 0 −1 1 0 T2 ͦ T1 = ( )( )=( ) sehingga: 1 0 1 0 0 −1 𝑥 𝑥 𝑥′ 1 0 ( ′) = ( ) (𝑦) = (𝑦) 𝑦 0 −1 Diperoleh x = x' dan y = -y' jadi, bayangan dari x – 2y + 4 = 0 adalah x' – 2(-y') + 4 = 0 atau x + 2y + 4 = 0 Rotasi sejauh 90° = T1 = ( 10. Persamaan peta garis y = -3x + 3 oleh refleksi terhadap sumbu x dilanjutkan refleksi terhadap garis y = x adalah... Pembahasan: 0 ) −1 0 1 T2 (refleksi terhadap garis y = x ) = ( ) 1 0 Sehingga: T1 (refleksi terhadap sumbu x) = ( 1 0 134 0 1 1 0 0 −1 T2 ͦ T2 = ( )( )= ( ) maka, 1 0 0 −1 1 0 −𝑦 𝑥′ 0 −1 𝑥 ( ′) = ( ) (𝑦 ) = ( ) 𝑥 𝑦 1 0 Diperoleh y = -x' dan x = y' jadi bayangan garis y = -3x + 3 adalah: -x' = -3y' + 3 3y' = x' + 3 1 1 y' = 3x' + 1 atau y = 3x + 1 C. ROTASI 11. Transformasi T berupa rotasi yang disusun dengan pencerminan terhadap garis y = x. Jika rotasi itu berupa rotasi sebesar 90° terhadap pusat koordinat dalam arah transformasi dapat ditulis sebagai... Pembahasan: 0 −1 ) 1 0 T1 (rotasi sebesar 90°) = ( T2 (garis y = x) = ( 0 1 1 ) 0 Sehingga, 0 T2 ͦ T2 = ( 1 1 0 −1 1 )( )= ( 0 1 0 0 0 ) −1 12. Bayangan dari A(2, 1), B(6, 1), C(5, 3) karena refleksi terhadap sumbu Y dilanjutkan rotasi (O, 90°) adalah... Pembahasan: 0 −1 −1 0 0 −1 T2 ͦ T2 = ( )( )= ( ) 1 0 0 1 −1 0 Sehingga: 0 −1 2 −1 A'' = ( )( )=( ) −1 0 1 −2 0 −1 6 −1 B'' = ( )( ) = ( ) −1 0 −6 1 0 −1 5 −3 C'' = ( ) ( ) =( ) −1 0 −5 3 135 13. Persamaan bayangan dari lingkaran x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0 oleh transformasi rotasi dengan pusat O(0, 0) sejauh 90° searah putaran jarum jam adalah... Pembahasan: Diketahui: Lingkaran x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = maka, 1 1 Pusat = (− 2 (4), − 2 (−6)) = (-2, 3) 1 Jari – jari = √4 (4)2 + 1 4 (−6)2 − (−3) = √16 = 4 Jadi, persamaan bayangannya adalah (x + 3)2 + (y + 2)2 = 42 x2 +6x + 9 + y2 + 4y + 4 = 16 x2 + y2 + 6x + 4y – 3 = 0 14. Garis dengan persamaan y = 2x + 3 dicerminkan terhadap sumbu x kemudian diputar dengan R(O, 90°). Persamaa bayangannya adalah.. Pembahasan: 1 0 T1 (dicerminkan terhadap sb x) = ( 0 ) −1 0 −1 ) 1 0 −1 1 0 0 1 )( ) =( ) 0 0 −1 1 0 T2 (O, 90°) = ( 0 T2 ͦ T2 = ( 1 Sehingga: 𝑦 𝑥′ 0 1 𝑥 ( ′) = ( ) (𝑦 ) = ( ) 𝑥 𝑦 1 0 Diperoleh x' = y dan y' = x jadi, bayangan dari garis y = 2x + 3 adalah x' = 2y' + 3 atau x – 2y – 3 = 0 15. Titik B(5, -1) dirotasikan dengan titik P(2, 3) sejauh 90° searah putaran jam. Tentukanlah bayangan titik B tersebu... Pembahasan: 𝑎 𝑥′ 0 1 𝑥−𝑎 ( ′) = ( ) (𝑦 − 𝑏 ) + ( ) 𝑏 𝑦 −1 0 ′ 𝑥 0 1 2 5−2 ( ′) = ( )( )+( ) 𝑦 −1 0 −1 − 3 3 ′ 𝑥 0 1 2 3 ( ′) = ( )( ) + ( ) 𝑦 −1 0 −4 3 136 𝑥′ −4 2 ( ′) = ( ) + ( ) 𝑦 −3 3 ′ 𝑥 −2 ( ′) = ( ) 𝑦 0 Diperoleh x' = -2 dan y' = 0 jadi, koordinat bayanga titik B(5, 1) oeh rotasi terhadap titik P(2, 3) sejauh 90° searah putaran jam adalah (-2, 0) D. DILATASI 16. Tentukan bayangan dari titik P(2, -1) jika didilatasikan dengan pusat titik A(1 2, 6) dan faktor sklanya adalah 2 ! Pembahasan: 𝑎 𝑥′ 𝑘 0 𝑥−𝑎 ( ′) = ( ) (𝑦 − 𝑏 ) + ( ) 𝑏 𝑦 0 𝑘 1 0 𝑥′ 2+2 −2 ( ′) = ( 2 1 ) ( )+( ) 𝑦 −1 − 4 4 0 2 1 0 4 𝑥′ −2 ( ′) = ( 2 1 ) ( ) + ( ) 𝑦 5 4 0 2 2 0 𝑥′ −2 ( ′ ) = (−5) + ( ) = ( 3 ) 𝑦 4 2 2 Jadi, bayangan titik P(2, 1) adalah P'(0, 3/2) 17. Bayangan titik P(-1, 2) dilatasi terhadap titik pusat A(2, 3) dengan faktor skala 1 − 2 adalah... Pembahasan: 𝑎 𝑥′ 𝑘 0 𝑥−𝑎 ( ′) = ( ) (𝑦 − 𝑏 ) + ( ) 𝑏 𝑦 0 𝑘 1 7 − 0 𝑥′ −1 − 2 2 2 ( ′) = ( 2 1) ( 2 − 3 ) + (3) = (7) 𝑦 0 −2 2 Jadi bayangan tiitk P(-1, 2) dilatasi terhadap titik pusat ½ adalah P'(7/2 , 7/2) 137 18. Tentukanlah bayangan titik P(2, -1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A(3, 4) dengan faktor skala -3 adalah... Pembahasan: 𝑎 𝑥′ 𝑘 0 𝑥−𝑎 ( ′) = ( ) (𝑦 − 𝑏 ) + ( ) 𝑏 𝑦 0 𝑘 ′ 𝑥 −3 0 2−3 3 ( ′) = ( )( )+( ) 𝑦 0 −3 −1 − 4 4 ′ 𝑥 −3 0 −1 3 ( ′) = ( )( ) + ( ) 𝑦 0 −3 −5 4 𝑥′ 3 6 3 ( ′) = ( ) + ( ) = ( ) 𝑦 15 19 4 Denga demikian x' = 6 dan y' = 19. Jadi bayangan titik P(2, -1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A(3, 4) adalah P'(6, 19). 19. Tentukanlah bayangan titik P(-6, 3) oleh dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan faktor skala -1/2 adalah... Pembahasan: 𝑥′ 𝑘 0 𝑥 ( ′) = ( )( ) 𝑦 0 𝑘 𝑦 −1/2 0 𝑥′ −6 ( ′) = ( )( ) 𝑦 0 −1/2 3 ′ 3 𝑥 ( ′) = ( ) −3/2 𝑦 Jadi bayangan titik P(-6, 3) oleh dilatasi terhadap titik pusat O(0, 0) dengan faktor skala -1/2 adalah P'(3, -3/2). 20. Dilatasi yang berpusat di titik (3, 1) dengan faktor skala 3, memetaan titik (5, b) ke titik (a, 10), maka niali a – b adalah... Pembahasan: 𝑎 𝑥′ 𝑘 0 𝑥−𝑎 ( ′) = ( ) (𝑦 − 𝑏 ) + ( ) 𝑏 𝑦 0 𝑘 ′ 𝑥 3 0 5−3 3 ( ′) = ( )( )+( ) 𝑦 0 3 𝑏−1 1 ′ 𝑥 3 0 2 3 ( ′) = ( )( )+( ) 𝑦 0 3 𝑏−1 1 138 𝑥′ 6 9 3 ( ′) = ( )+( )=( ) 𝑦 3𝑏 − 3 3𝑏 − 2 1 Sehingga diperoleh nilai: a=8 3b – 2 = 10 → b = 4 Jadi, nilai a – b = 8 – 4 = 4 13. IKA HANDAYANI Br. Tambunan A. TRANSLASI Soal : 139 3 )! −2 1. Tentukan koordinat titik A( 2, -4 ) jika ditranslasikan terhadap ( Penyelesaian : 𝑎 𝑏 𝑟=( ) P( x, y )→ 𝑟=( P( 2, -4 ) → P′( x + a, y + b ) 3 ) −2 P′( 2 + 3, -4 – 2 ) = P′( 5, -6 ) Jadi, koordinat titik A setelah ditranslasikan adalah P′( 5, -6 ). −7 )! 5 2. Tentukan koordinat titik A( -3, 5 ) jika ditranslasikan terhadap ( Penyelesaian : 𝑎 𝑏 𝑟=( ) P( x, y )→ 𝑟=( P( -7, 5 )→ P′( x + a, y + b ) −3 ) 5 P′( -3 – 7, 5 + 5 ) = P′( -10, 10 ) Jadi, koordinat titik A setelah ditranslasikan adalah P′( -10, 10 ). 3. Tentukan bayangan dari titik A( 3, 2 ) oleh Translasi ( 5, 4 ) ! Penyelesaian : A( 3, 2 ) → A′( 3 + 5 ; 2 + 4 ) A′( 8, 6 ) 140 4. Tentukan bayangan dari titik A( 5, -8 ) oleh Translasi ( 4, -5 )! Penyelesaian : A(5, -8) → A′( 5 + 5, -8 -5 ) A′(10, -13 ) 5. Titik E( -3, 1 ) ditranslasi oleh ( 4, 3 ) Tentukan koordinat bayangan titik tersebut ! Penyelesaian : E( -3, 1 ) → E′( -3+ 4, 1 + 3 ) E′( 1, 4 ) B. DILATASI Soal : 1. Tentukan koordinat titik bayangan dari titik P( 2, 6 ) oleh dilatasi [𝑂, 2 ] 141 Penyelesaian : Bayangan dari titik P( 2, 6 ) oleh dilatasi [𝑂, 2 ] [0,2 ] P( 2, 6 ) → P′( 4, 12 ). 2. Diketahui titik P( 5, 4 ) dan titik M( 1, 2 ) Tentukan bayangan dari titik P oleh 1 dilatasi [𝑀, 2] Penyelesaian : Untuk menentukan koordinat bayangan dari titik P( x, y ) oleh dilatasi yang berpusat di M( a, b ) dengan faktor skala K, gunakan hubungan : [𝑀 ( 𝑎,𝑏 ),𝑘 ] P( x, y ) → P′( 𝑎 + k ( x – 𝑎 ), b + k ( y – b )) 1 Bayangan dari titik P( 5, 4 ) oleh dilatasi [𝑀 ( 1, 2 ), 2 ] : 1 2 [𝑀 ( 1, 2 ), )] P( 5, 4 ) → 1 1 P′( 1 + 2 ( 5 – 1 ), 2 + 2 ( 4 – 2 ) = P′( 3, 3 ) 3. Dengan menggunakan matriks dilatasi yang bersesuaian, Tentukan koordinat bayangan titik P( -2, -3 ) oleh dilatasi [𝑂, 3 ] Penyelesaian : 3 0 ] misalkan titik 0 3 P( -2, -3 ) dipetakan ke P′(x′, y′ ), dengan x′ dan y′ ditentukan melalui persamaan matriks berikut : Matriks yang bersesuaian dengan dilatasi [𝑂, 3 ] adalah [ x′ 3 [ ]=[ y′ 0 0 −2 −6 ][ ]=[ ] 3 −3 −9 = P′( -6, -9 ) Jadi, bayangan atau petaa dari titik P( -2, -3 ) oleh dilatasi [𝑂, 3 ] adalah P′( -6, -9 ). 142 4. Diketahui titik P( 5, 4 ) dan titik M( 1 , 2 ) Tentukan bayangan dari titik P oleh 1 dilatasi [𝑀, − 2]. Penyelesaian : Untuk menentukan koordinat bayangan dari titik P( x, y ) oleh dilatasi yang berpusat di M( a, b ) dengan faktor skala K, gunakan hubungan : [𝑀 ( 𝑎,𝑏 ),𝑘 ] P( x, y ) → P′( a + k ( x – 𝑎 ), b + k ( y – b )) Bayangan dari titik P( 5, 4 ) oleh dilatasi [𝑀 ( 1, 2 ), − 1 2 [𝑀 ( 1, 2 ),− )] P( 5, 4 ) → 1 1 2 ]: 1 P′( 1 +( - 2 )( 5 – 1 ), 2 + (− 2 ) ( 4 – 2 ) = P′(-1, 1 ) 5. Dengan menggunakan matriks dilatasi yang bersesuaian, Tentukan koordinat bayangan titik P( -2, -3 ) oleh dilatasi [𝑂, −2 ] Penyelesaian : −2 0 Matriks yang bersesuaian dengan dilatasi [𝑂, −2 ] adalah [ ] misalkan 0 −2 titik P( -2, -3 ) dipetakan ke P′(x′, y′ ), dengan x′ dan y′ ditentukan melalui persamaan matriks berikut : x′ −2 0 −2 4 [ ]=[ ][ ]=[ ] y′ 0 −2 −3 6 = P′( 4, 6 ) Jadi, bayangan atau petaa dari titik P( -2, -3 ) oleh dilatasi [𝑂, −2 ] adalah P′(4, 6 ) C. ROTASI Soal : 143 1. Titik P( a, b ) di rotasi dengan titik pusat di O( 0, 0 ) sehingga diperoleh bayangan titik P′( 𝑎 ′, b′ ). Tentukan koordinat titik bayangan P′( 𝑎 ′, b′ ) jika jauh rotasinya + 90°. Penyelesaian : Bayangan dari P(𝑎, b ) oleh rotasi [𝑜, +90°] [𝑜,+90°] P( a, b ) → P′( 𝑎 cos 90° - b sin 90°, 𝑎 sin 90° + b cos 90° ) = P′ ( -b, 𝑎 ) Jadi, bayangan dari P(𝑎, b ) oleh rotasi [𝑜, +90°] adalah P′ ( -b, 𝑎 ). 2. Tentukan matriks rotasi yang bersesuaian dengan rotasi berikut [0, 𝜋] Penyelesaian : rotasi [0, 𝜋] berarti 𝜃 = - 𝜋 matriks rotasinya adalah : cos( −𝜋 ) − sin(−𝜋) −1 0 ( )=( ). sin( −𝜋 ) cos( −𝜋 ) 0 −1 3. Tentukan bayangan atau peta dari titik P( -2, 5 ) oleh rotasi dengan pusat di 𝜋 O( 0, 0 ) sejauh 2 radian. Penyelesaian : Matriks yang bersesuaian dengan rotasi terhadap O( 0, 0 ) sejauh 𝜋 0 −1 rotasi [0, 2 ] adalah : [ ] 1 0 𝜋 2 radian atau Misalkan titik P( -2, 5 ) dipetakan ke P′( x′, y′ ), dengan x′dan y′ ditentukan melalui perkalian x′ 0 − 1 −2 −5 [ ′] = [ ][ ]=[ ] y 1 0 5 −2 P′ = ( -5, -2 ) 144 Jadi, bayangan atau peta dari titik P( −2, 5 ) oleh rotasi dengan pusat di 𝜋 O( 0, 0 ) sejauh 2 radian adalah P′( -5, -2 ). 𝜋 4. Tentukan matriks rotasi yang bersesuaian dengan rotasi berikut [0, 2 ] ! Penyelesaian : Bentuk matriks rotasi [0, 𝜃] ditentukan oleh [ 𝜋 cos𝜃 −𝑠𝑖𝑛𝜃 ] sin 𝜃 cos 𝜃 𝜋 Rotasi [0, 2 ] berarti 𝜃 = 2 , matriks rotasinya adalah : 𝜋 [ 𝜋 cos 2 −𝑠𝑖𝑛 2 𝜋 sin 2 𝜋] cos 2 0 −1 =[ ]. 1 0 5. Pada soal Nomor 1 tentukan jika jauh rotasinya -180°! Penyelesaian : Bayangan dari P(𝑎, b ) oleh rotasi [𝑜, −180°] [𝑜,−180°] P( a, b ) → P′( 𝑎 cos ( -180° ) - b sin (−180° ) 𝑎 sin (−180° )+ b cos (−180° ) = P′ ( -a, -b ) Jadi, bayangan dari P(𝑎, b ) oleh rotasi [𝑜, (−180° )] adalah P′ (-a, -b ). D. Refleksi Soal : 145 1. Tentukan koordinat titik bayangannya, jika titik A( 4, 3 ) berikut ini dicerminkan terhadap sumbu X ! Penyelesaian : Bayangan dari titik A( 4, 3 ) 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑥 A( 4, 3 ) → A′( 4, -3 ). 2. Tentukan koordinat titik bayangannya, jika titik B( 10, -2 ) berikut ini dicerminkan terhadap sumbu X ! Penyelesaian : Bayangan dari titik B(10, -2) 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑥 B(10, -2 ) → B′( 10, -(-2)) = B′( 10, 2 ). 3. Tentukan koordinat titik bayangannya, jika titik A( 3, 5 ) berikut ini dicerminkan terhadap sumbu Y ! Penyelesaian : Bayangan dari titik A( 3, 5 ) 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑦 A( 3, 5 ) → A′( -3, 5 ). 4. Tentukan koordinat titik bayangannya, jika titik B( -4, 2 ) berikut ini dicerminkan terhadap sumbu Y ! Penyelesaian : Bayangan dari titik B(-4, 2 ) 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑦 B(-4, 2 ) → B′(-(-4), 2 ) = B′( 4, 2 ). 146 5. Tentukan koordinat titik bayangannya, jika titik berikut ini dicerminkan terhadap garis y = x a. A( 5, 2 ) b. ( -7, 2 ) Penyelesaian : a. Bayangan dari titik A( 5, 2 ) : 𝑦=𝑥 A( 5, 2 ) → A'( 2, 5 ) b. Bayangan dari titik B( -7, -2 ) 𝑦=𝑥 A(-7, -2) → B'(-2, -7). 14. PUTRI ANJILIA 147 A. TRANSLASI 1. Titik A(6,-2) ditranslasi oleh T(-3,4). Tentukan koordinat bayangan titik A tersebut! Penyelesaian : 6+ −2 + 𝑥′ 6 (𝑦′ ) = (−2 ) + (−3 )=( 4 −3 2 ) = (−2 ) 4 2. Tentukan bayangan garis y = 3x-5 oleh translasi T (-2, 1)! Penyelesaian : y' – 1 = 3(x' + 2) – 5 y' – 1 = 3x' + 6 – 5 y' = 3x' + 2 3. Bayangan dari titik B(9, -2) jika ditranslasikan oleh T(a, b) adalah B'(-4, 3). Nilai dari 2a + b adalah ... Penyelesaian : B'(9 + a, -2 + b) = B'(-4, 3) = -13  9 + a = -4 ⇒ a = -4 – 9 = -13  -2 + b = 3 ⇒ b =3 + 2 = 5 jadi nilai 2a + b adalah = 2(-13) + 5 = -26 + 5 = -21 4. Bayangan dari titik C oleh translasi T(-1, -4) adalah C'(4, -1). Koordinat dari titik C adalah... Penyelesaian : 148 C'(x – 1, y – 4) = C'(4, -1)  x -1=4 ⇒x=4+1  y – 4 = -1 ⇒ y = -1 + 4 = 3 =5 Jadi koordinat titik C adalah C(5, 3) 5. Bayangan dari garis 2x – 3y + 5 = 0 oleh translasi (-3, 1) adalah ... Penyelesaian : (x – 3, y + 1) = (x', y')  x – 3 = x' ⇒ x = x' + 3  y + 1 = y' ⇒ y = y' – 1 Substitusikan ke : 2x – 3y + 5 = 0 2(x' + 3) – 3(y' – 1) + 5 = 0 2x' + 6 – 3y' + 3 + 5 = 0 2x' – 3y' + 14 = 0 Jadi bayangan dari 2x – 3y + 5 = 0 adalah 2x – 3y + 14 = 0 149 B. REFLEKSI 1. Titik D(-3, 9) jika dicerminkan terhadap garis y = -x memiliki bayangan di titik ... Penyelesaian : D' (-y, -x) = D' (-9, -(-3)) = D' (-9, 3) 2. Bayangan dari titik E(-10, 5) jika dicerminkan terhadap sumbu y adalah ... Penyelesaian : E' (-x, y) = E' (-(10), 5) = E' (10, 5) 3. Bayangan dari titik F(6, 10) jika dicerminkan terhadap geris y = 2 adalah ... Penyelesaian : F' (x, 2b – y) = F' (6, 2(2) – 10) = F' (6, 4 – 10) = F' (6, -6) 4. Bayangan titik A oleh refleksi terhadap titik (1, -2) adalah titik A' (3, 5). Tentukan koordinat titik A! Penyelesaian : x' = 2 – x x = 2 - x' y' = -4 – y y = -4 – y x = 2 – 3 = -1 y = -4 – 5 = -9 Jadi A(-1, 9) 150 5. Bayangan dari garis y = 3x + 7 jika dicerminkan terhadap garis x = 4 adalah... Penyelesaian : (2a – x, y) = (x', y') (2(4) – x, y) = (x', y') (8 – x, y) = (x', y')  8 – x = x' ⇒ x = 8 - x'  y = y' Substitusikan ke : y = 3x + 7 y' = 3(8 - x') + 7 y' = 24 – 3x' + 7 y' = 31 – 3x' Jadi bayangan dari garis y = 3x + 7 adalah garis y = 31 – 3x 151 C. ROTASI 1. Titik P(a, b) dirotasi dengan titik pusat di O(0, 0) sehingga diperoleh bayangan titik P'(a', b'). Tentukan koordinat titik bayangan P'(a', b') jika rotasinya +90ᵒ adalah ... Penyelesaian : Bayangan dari P(a, b) oleh rotasi [O, +90ᵒ] [𝑂,+90ᵒ P(a, b) → P' (a cos 90ᵒ - b sin 90ᵒ, a sin 90ᵒ + b cos 90ᵒ) = P'(-b, a) Jadi bayangan dari P(a, b) oleh rotasi [O, +90ᵒ] adalah P'(-b, a). 𝜋 2. Tentukan matriks rotasi yang bersesuaian dengan rotasi-rotasi [O, 2 ] Penyelesaian : 𝜋 𝜋 Rotasi [O, 2 ] berarti θ = 2 matriks rotasinya adalah 𝜋 ( 𝜋 cos 2 − sin 2 sin 2 cos 2 𝜋 𝜋 0 1 )=( −1 ) 0 3. Tentukan matriks rotasi yang bersesuaian dengan rotasi-rotasi [O, -π] Penyelesaian : Rotasi [O, -π] berarti θ = -π . matriks rotasinya adalah cos(−𝜋) ( sin (−𝜋) − sin (−𝜋) −1 0 )=( ) cos (−𝜋) 0 −1 4. Tentukan bayangan atau peta dari titik P(-2, 5) oleh rotasi dengan pusat di O(0, 0) sejauh 𝜋 2 radian. Penyelesaian : Matriks yang bersesuaian dengan rotasi terhadap O(0, 0) sejauh 𝜋 2 152 𝜋 0 1 radian atau rotasi [O, 2 ] adalah : ( −1 ) 0 Misalkan titik P(-2, 5) dipetakan ke P'(x', y'), dengan x' dan y' ditentukan 0 1 𝑥′ melalui perkalian matriks berikut : (𝑦′ )=( −1 −2 ) ( 5 ) = (−5 ) −2 0 Jadi bayangan atau peta dari titik P(-2, 5) oleh rotasi dengan pusat di O(0, 0) sejauh 𝜋 2 radian adalah P'(-5, -2). 5. Titik P(a, b) dilatasi dengan titik pusat di O(0, 0) sehingga diperoleh bayangan titik P'(a', b'). Tentukan koordinat titik bayangan P'(a', b') jika rotasinya -180ᵒ adalah ... Penyelesaian : Bayangan dari P(a, b) oleh rotasi [O, -180ᵒ] [𝑂,−180ᵒ P(a, b) → P' (a cos (-180ᵒ) - b sin (-180ᵒ), a sin (-180ᵒ) + b cos (-180ᵒ) = P'(-a, -b) Jadi bayangan dari P(a, b) oleh rotasi [O, -180ᵒ] adalah P'(-a, -b). 153 D. DILATASI 1. Tentukan koordinat titik bayangan dari titik P(4, 5) oleh dilatasi-dilatasi [O, 2] . Penyelesaian : Bayangan dari titik P(4, 5) oleh dilatasi [O, 2] : [𝑂,2] P(4, 5) → P'(8, 10) 2. Tentukan koordinat titik bayangan dari titik P(12, 20) oleh dilatasi-dilatasi [O, 2] . Penyelesaian : Bayangan dari titik P(12, 20) oleh dilatasi [O, 2] : [𝑂,2] P(12, 20) → P'(24, 40) 3. Diketahui titik P(5, 4) dan titik M(1, 2). Tentukan bayangan dari titik P oleh 1 dilatasi-dilatasi [M, 2] Penyelesaian : 1 Bayangan dari titik P(5, 4) oleh dilatasi [M(1,2), 2] : [𝑀(1,2), P(5,4) → 1 ] 2 P'(1 + 1 2 (5 – 1), 2 + 1 2 (4 – 2) = P'(3, 3) 4. Dengan menggunakan matriks dilatasi yang bersesuaian, tentukan koordinat bayangan titik P(-4, -9) oleh dilatasi-dilatasi [O, 3] Penyelesaian : Matriks yang bersesuaian dengan dilatasi [O, 3] adalah ( 3 0 0 ) 3 Misalkan titik P(-4, -9) dipetakan ke P'(x', y'), dengan x' dan y' ditentukan melalui persamaan matriks berikut : 3 0 −4 ) (−9) = (−12 ) −27 0 3 𝑥′ (𝑦′ )=( Jadi bayangan atau peta dari titik P(-4, -9) oleh dilatasi [O, 3] 154 adalah P'(-12, -27). 5. ABCD adalah sebuah persegi dengan koordinat titik-titik sudut A(1, 1), B(2, 1), C(2, 2) dan D(1, 2). Tentukan peta atau bayangan dari titik-titik suut persegi itu oleh dilatasi [O, 2] Penyelesaian : Matriks yang bersesuaian dengan dilatasi [O, 2] adalah ( 2 2 0 ) 2 Peta dan bayangan dari titik-titik sudut persegi A(1, 1), B(2, 1), C(2, 2), dan D(1, 2) ditentukan secara serentak melalui perkalianbmatriks berikut : A B C ↓ ↓ ↓ ↓ 2 0 1 2 )( 0 2 1 1 ( D A' B' C' D' ↓ ↓ ↓ ↓ 2 1 2 4 )= ( 2 2 2 2 4 2 ) 4 4 Jadi peta dari titik-titik sudut persegi ABCD adalah titik-titik A', B', C', dan D'. 155 15. SENDY SONYA REFLEKSI (Pencerminan) 1. Bayangan titik A(x,y) kerena refleksi terhadap garis x = -2. Dilanjutkan refleksi 𝜋 terhadap garis y = 3, dan rotasi terhadap pusat O dengan sudut 2 radian adalah (4, 6). Koordinat titik A adalah ... Penyelsaian: 𝑥 = −2  (x,y) → 𝑦=3 (-4 – x,y) → (-4 – x,6 – y) 𝑅[𝑂,90] (-4 – x,6 – y) → (-(6 –y), -4 – x) = (-4,6) Sehingga -( 6 – y) = -4  y = 2 -4 – x = 6  x = -10 Jadi, A (x,y) = (-10, 2) 2. Persamaan bayangan garis 2x –y + 6 = 0 oleh rotasi dengan pusat O(0,0) sejauh 1 π di lanjutkan dengan refleksi terhadap garis y = -x adalah ... 2 Penyelesaian: Dari persamaan garis 2x –y + 6 = 0 diambil sembarang dua titik, misal:  Bayangan titik A: 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑠𝑖(𝑂,90) A(0,6) → A(-6,0) 𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑘𝑠𝑖 𝑦= −𝑥  → Bayangan titik B: 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑠𝑖(𝑂,90) B(-3,0) → 𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑘𝑠𝑖 𝑦= −𝑥 → A"(0,6) B(0,-3) B"(3,0) Persamaan garis bayangannya adalah garis yang melalui titik A"(0,6) dan B"(3,0), yaitu: 6x + 3y = 18 2x + y = 6 2x + y – 6 = 0 3. Jika titik (a, b) dicerminkan terhadap sumbu Y kemudian dilanjutkan dengan −2 1 transformasi sesuai dengan matriks [ ] menghasikan titik (1, -8) maka nilai 1 2 a + b = ... Penyelesaian: 156 −2 1 −1 0 2 1 ) ( )=( ) 0 1 1 2 −1 2 Titik (a, b) jika ditransformasikan terhadap 𝑇2 𝑇2 menghasilkan (1, -8) maka: 1 2 1 𝑎 2𝑎 𝑏 ( )=( ) ( )=( ) −8 −1 2 𝑏 −𝑎 2𝑏 𝑇2 𝑇2 = ( Diperoleh: 2𝑎 + −𝑎 + 𝑏 = 2𝑏 = 1 𝑥2 4𝑎 + | | −8 𝑥1 −𝑎 + 5a A 2𝑏 = 2 2𝑏 = −8 = 10 =2 Sehingga, b = -3 Jadi, nilai dari a + b = 2 – 3 = -1. 4. Pencerminan terhadap garis x = 3 dilanjutkan pencerminan terhadap garis x = 5, bayangan titik (3, 2) adalah ... Penyelesaian: Titik (3, 2) 𝑦=3 → 𝑦=5 → (2(3) – 3, 2) = (3, 2) (2(5) – 3, 2) = (7, 2) Catatan: 𝑦=𝑝 Titik (a, b) → 𝑦=𝑞 Titik (a, b) → 5. ((2p – a), b)) (a(2q – b)) Bayangan garis x + 3y + 2 = 0 oleh transformasi yang berkaitan dengan matriks 1 2 2 3 ( ) dilanjutkan matriks ( ) adalah ... 3 4 1 2 Penyelesaian: 𝑥 1 ( )=( 𝑦 3 2 2 3 𝑥 4 )( ) (𝑦) = ( 4 1 2 10 𝑥 1 17 (𝑦) = 68−70 ( −10 1 𝑥 − (17𝑥 (𝑦) = ( 2 5𝑥 7 𝑥 )( ) 17 𝑦 −7 𝑥 )( ) 𝑦 4 −7𝑦 − 2𝑦 ) 157 Bayangan garis x + 3y + 2 = 0 adalah: 1 -( )(17x - 7y) + 3(5x - 2y) + 2 = 0 2 (17x - 7y) + 6(5x - 2y) - 4 = 0 (17x - 7y) + 30x + 12y- 4 = 0 -13x + 5y- 4 = 0 13x - 5y- 4 = 0 Jadi, persamaan bayangan 13 x – 5y + 4 = 0 158 ROTASI (Perputaran) 1. M adalah pencerminan terhadap garis x + y = 0 R adalah perputaran 90 searah jarum jam dengan pusat O(0, 0). Matriks transformasi yang bersesuaian dengan (R M) adalah ... Penyelesaian: 𝑀𝑥+𝑦=0 = 𝑀𝑦= −𝑥 = ( 0 −1 ) −1 0 0 1 ) −1 0 𝑅−90 = ( 𝑅(−90)  𝑀𝑦= −𝑥 = ( 2. 0 −1 0 −1 −1 0 )( )=( ) −1 0 −1 0 0 1 Sebuah lingkaran berpusat di P(3, 2) dengan jari-jari 5 satuan dirotasikan R(O, 90) kemudian terhadap sumbu x. Persamaan bayanggannya adalah ... Penyelesaian: Koordinat pusat lingkaran 𝑅(𝑂,90) 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑋 P(3, -1) → P(-2, 3) → P"(-2, -3) Bayangan lingkaran dengan pusat P"(-2, -3) dan jari-jari 5 adalah: (x –(−2))2 + (y – (−3))2 = 52 (x + 2)2 + (y + 3)2 = 25 𝑥 2 + 4x + 4 + 𝑦 2 + 6y +9 = 25 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4x + 6y - 12 = 0 Jadi, persamaan bayangannya adalah 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4x + 6y - 12 = 0 3. Titik B(5, -1) dirotasikan terhadap titik P(2, 3) sejauh 90 searah putaran jarum jam. Tentukanlah bayangan titik B tersebut. Penyelesaian: 𝑥− 𝑎 𝑥 𝑎 0 1 ( )=( ) . (𝑦 − 𝑏 ) + ( ) 𝑦 𝑏 −1 0 𝑥 0 1 2 5− 2 ( ) = ( ).( )+( ) 𝑦 −1 0 3 −1 − 3 𝑥 0 1 2 3 ( ) = ( ).( )+( ) 𝑦 −1 0 3 −4 𝑥 −4 2 ( ) = ( ) + ( ) 𝑦 −3 3 𝑥 −2 ( ) = ( ) 𝑦 0 Dengan demikian, x = -2 dan y = 0 159 Jadi, koordinat bayangan titik B(5, -1) oleh rotasi terhadap titik P(2, 3) sejauh 90 searah puaran jarum jam adalah B(-3, 0). 4. Garis dengan persamaan y =2x + 3 dicerminkan terhadap sumbu x kemudian diputar dengan R(O, 90). Persamaan bayangan adalah ... Penyelesaian: 0 −1 1 0 0 1 𝑇2 𝑇2 = ( ) ( )=( ) 1 0 0 −1 1 0 Sehingga: 𝑥 𝑥 0 1 𝑥 ( )=( ) (𝑦) = (𝑦) 𝑦 1 0 Diperoleh, x = y dan y = x Jadi, bayangan dari garis y = 2x + 3 adalah x = 2y + 3 atau x – 2y – 3 = 0. 5. Diketahui jajargenjang ABCD dengan titik-titik sudutnya adalah A(2, 0), B(4,0), 1 dan koordinat titik potong kedua diagonalnya adalah E(32, 2) . jika jajargenjang itu diputar dengan pusat A sejauh 90 searah putaran jarum jam maka dihasilkan bayangan segiempat ABCD. Dengan demikian ... Penyelesaian: (1) Titik B adalah: 𝑥 − 2 0 1 4− 2 ( )=( )( ) 𝑦 − 0 −1 0 0 − 0 ( 𝑥 − 𝑦 − 2 0 ) =( ) 0 −2  x = 2 dan y = -2 Jadi, titik B(2, -2) (2) Titik C adalah: 𝑥 − 𝑦 − 2 0 1 5− 2 )=( )( ) 0 −1 0 4 − 0 𝑥 − 𝑦 − 2 4 ) =( ) 0 3 ( (  x = 6 dan y = -3 Jadi, titik C(6, -3) (3) Titik D adalah: 160 𝑥 − 𝑦 − 2 0 1 3− 2 )=( )( ) 0 −1 0 4 − 0 𝑥 − 𝑦 − 2 4 ) =( ) 0 −1 ( (  x = 6 dan y = 1 Jadi, titik D(6, 1) (4) Luas ABCD = luas ABCD = 2 x 4 = 8 Sehingga, semua pernyataan benar. 161 DILATASI (Perubahan Skala) 1. 2. Tentukanlah bayangan titik P(5, 6) jika di dilatasikan oleh (O, 3)! Penyelesaian: 𝑥 𝑘 0 𝑥 ( )=( )( ) 𝑦 0 𝑘 𝑦 3 0 5 =( )( ) 0 3 6 15 =( ) 18 Jadi, bayangan titik P(5, 6)yang di dilatasikan oleh (O, 3) adalah P(15, 18) Bayangan titik P(1, 3) dilatasi terhadap titik pusat O(0, 0) dengan faktor skala 2 adalah ... Penyelesaian: 𝑥 𝑘 0 𝑥 ( )=( )( ) 𝑦 0 𝑘 𝑦 𝑥 2 0 1 2 ( )=( )( ) = ( ) 𝑦 0 2 3 6 Jadi, bayangan titik P(1, 3) dilatasi terhadap titik pusat O(0, 0) dengan faktor skala 2 adalah P(2, 6) 3. Tentukan bayangan titik (9, 3) oleh dilatasi (O, 3)! 1 Penyelesaian: 𝑥 𝑥 ( ) = k (𝑦) 𝑦 𝑥 1 9 ( ) =3( ) 𝑦 3 3 =( ) 1 Jadi, bayangan (3, 1) 4. Segitiga ABC dengan A(2, 1), B(8, 3) dan C(6, 5) di dilatasi terhadap pusat O dengan faktor skala 2. Luas bangun hasil dilatasinya adalah? Penyelesaian: ABC segitiga siku-siku di C Luas ABC = 1 2 (AC)(BC) |AC| = 4√2 |BC| = 2√2 Luas ABC = 8 Dilatasi (O, 2) 162 2 0 ) det D = 4 0 2 Maka, luas ABC det D x luas ABC = 4(8) = 32 Matriks D ( 5. Jika titik A(2, -6) di dilatasikan pada titik pusat dilatasi O(0,0) dengan fakor dilatasi k = 2, maka koordinat bayangannya adalah ... Penyelesaian: D(O, 2)x = xk x = 2.2 = 4 y = yk y = 2(-6) y = -12 A = (4, -12) 163 TRANSLASI (Pergeseran) 1. Titik A(5, -2) ditranslasi oleh T(-3, 1). Tentukan koordinat bayangan titik A tersebut! Penyelesaian: 𝑥 5 + −3 −3 2 5 ( )=( )+( )=( )=( ) 𝑦 1 −2 + 1 −1 −2 2. Tentukan bayangan garis y = 3x – 5 oleh translasi T(-2, 1)! Penyelesaian: y - 1 = 3(x + 2) – 5 y - 1 = 3x + 6- 5 y = 3x + 2 3. Jika diketahui jari-jari lingkaran 5 cm. Maka tentukanlah persamaan lingkaran 3 yang berpusat di titik asal ditranslasikan terhadap T( ) maka tentukan 4 persamaan bayangannya! Penyelesaian: 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 𝑥 2 + 𝑦 2 = 52 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di titik 0 dan berjari-jari 5 cm adalah 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 4. 5. 3 Koordinat bayangan titik P(5, -4) oleh translasi ( ) adalah P(x,y). −1 Nilai x + y adalah ... Penyelesaian: P(5,-4) T(3, -1) P(5 + 3, --4 +(-1)) P(8, 5) Dan untuk nilai x + y = 8 +(-5) = 3 Bayangan titik A oleh translasi T =(3, 5) adalah A(-2, 1). Koordinat titik A adalah ... Penyelesaian: Misal titik A(x, y) A(x, y) ditranslasikan oleh T(3, 5), bayangannya adalah 164 A(x + 3, y + 5) = A(-2, 1) x + 3 = -2 x = -2 – 3 x = -5 y + 5 = 1 y=1–5 y = -4 jadi koordinat titik A(x,y) adalah A(-5, -4) 165 14. ANNISA DEWANTARA Translasi 1. Bayangan dari titik A(2, -5) jika ditranslasikan oleh T(3, 1) adalah ... Jawab : A'(2 + 3, -5 + 1) A'(5, -4) 2. Bayangan dari titik B(9, -2) jika ditranslasikan oleh T(a, b) adalah B'(-4, 3). Nilai dari 2a + b adalah .... Jawab : B'(9 + a, -2 + b) = B'(-4, 3) 9 + a = -4 ⇒ a = -4 - 9 = -13 -2 + b = 3 ⇒ b = 3 + 2 = 5 Jadi nilai 2a + b adalah = 2(-13) + 5 = -26 + 5 = -21 3. Bayangan dari titik C oleh translasi T(-1, -4) adalah C'(4, -1). Koordinat dari titik C adalah ... Jawab : C'(x - 1, y - 4) = C'(4, -1) x-1=4⇒x=4+1=5 y - 4 = -1 ⇒ y = -1 + 4 = 3 Jadi koordinat titik C adalah C(5, 3) 4. Bayangan dari y = x² + 2x - 1 jika ditranslasi (2, -1) adalah ... Jawab : Substitusikan ke y = x² + 2x - 1 (y' + 1) = (x' - 2)² + 2(x' - 2) - 1 y' + 1 = x'² - 4x' + 4 + 2x' - 4 - 1 y' = x'² - 2x' - 2 Jadi bayangan dari y = x² + 2x - 1 adalah y = x² - 2x – 2 166 5. Bayangan dari garis 2x - 3y + 5 = 0 oleh translasi (-3, 1) adalah .... Jawab : (x - 3, y + 1) = (x', y') x - 3 = x' ⇒ x = x' + 3 y + 1 = y' ⇒ y = y' - 1 Substitusikan ke 2x - 3y + 5 = 0 2(x' + 3) - 3(y' - 1) + 5 = 0 2x' + 6 - 3y' + 3 + 5 = 0 2x' - 3y' + 14 = 0 Jadi bayangan dari 2x - 3y + 5 = 0 adalah 2x - 3y + 14 = 0 167 REFLEKSI 1. Titik D(-2, 6) jika dicerminkan terhadap garis y = -x memiliki bayangan di titik .... Jawab : D'(-y, -x) = D'(-6, -(-2)) = D'(-6, 2) 2. Bayangan dari titik E(-6, 7) jika dicerminkan terhadap sumbu y adalah ... Jawab : E'(-x, y) = E'(-(-6), 7) = E'(6, 7) 3. Bayangan dari titik F(3, 8) jika dicerminkan terhadap garis y = 3 adalah ... Jawab : F'(x, 2b - y) = F'(3, 2(3) - 8) = F'(3, 6 - 8) = F'(3, -2) 4. Bayangan dari kurva y = x² - 5 jika dicerminkan terhadap sumbu x adalah ... Jawab : (x, -y) = (x', y') x = x' -y = y' ⇒ y = -y' Substitusikan ke y = x² - 5 -y' = x'² - 5 y' = 5 - x'² Jadi bayangan dari y = x² - 5 adalah y = 5 - x² 168 5. Bayangan dari garis y = 3x + 7 jika dicerminkan terhadap garis x = 4 adalah ... Jawab : (2a - x, y) = (x', y') (2(4) - x, y) = (x', y') (8 - x, y) = (x', y') 8 - x = x' ⇒ x = 8 - x' y = y' Substitusikan ke y = 3x + 7 y' = 3(8 - x') + 7 y' = 24 - 3x' + 7 y' = 31 - 3x' Jadi bayangan dari garis y = 3x + 7 adalah garis y = 31 - 3x 169 DILATASI 1. Tentukanla bayangan titik P(-6,3) oleh dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan faktor skala -1/2. Jawab : Dengan demikian, x' = 3 dan y' = -3/2. Jadi, bayangan titik P(-6,3) oleh dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan faktor skala -1/2 adalah P'(3 , -3/2). 2. Tentukanlah bayangan titik P(2,-1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A(3,4) dengan faktor skala -3. Jawab : (x′y′)=(k00k).(x−ay−b)+(ab) ⟺ (x′y′)=(−300−3).(2−3−1−4)+(34) ⟺ (x′y′)=(−300−3).(−1−5)+(34) ⟺ (x′y′)=(315)+(34) ⟺ (x′y′)=(619) Dengan demikian x' = 6 dan y' = 19. Jadi, bayangan titik P(2,-1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A(3,4) adalah P'(6,19). 3. Tentukan bayangan titik (9, 3) oleh dilatasi [O, 1/3]! Jawaban : 4. Tentukan bayangan garis 3x + 4y – 5 = 0 oleh dilatasi dengan pusat (-2, 1) dan faktor skala 2! 170 Jawaban : 5. Titik A(3,-5) dicerminkan terhadap sumbu x. Tentukan koordinat bayangan titik A. Jawab : Mx : P(3,-5) => P'(x',y') Dengan menggunakan persamaan matriks untuk menentukan x' dan y', maka: (x′y′)=(100−1)=(3−5) ⟺ (x′y′)=(100−1)=(3−5) ⟺ (x′y′)=(1.3+0(−5)0.3+(−1)(−5))=(35) Jadi, bayangan titik A(3,-5) oleh pencerminan terhadap sumbu x adalah A'(3,5). 171 ROTASI 1. Tentukan bayangan titik (-2, 8) oleh rotasi R(O, 135)! Jawaban : 2. Tentukan bayangan titik (5, -3) oleh rotasi R(P, 90) dengan koordinat titik P(1, 2)! Jawaban : 3. Titik A dirotasikan terhada titik O(0,0) sejauh 90o berlawanan dengan arah putaran jam. Tentukanlah bayangan titik A ! Jawaban : (x′y′)=(01−10).(xy) (x′y′)=(01−10).(21) (x′y′)=(−12) Dengan demikian x' = -1 dan y' = 2. Jadi, bayangan titik A(2,1) oleh rotasi terhadap titik O(0,0) sejauh 90⁰ berlawanan arah putaran jam adalah A'(-1,2). 4. Bayangan titik A oleh rotasi R(0,45⁰) adalah (-√2,√2). Tentukanlah koordinat titik A. Jawaban : (x′ y′) = (cosθ sinθ – sinθ cosθ) . (x y) 172 Karena θ = 45⁰, maka: (x′ y′) = (cos45⁰ sin45⁰ − sin45⁰ cos45⁰) . (x y) (−√2 √2) = (½√2 ½√2 − ½√2 ½√2) . (x y) (−√2 √2) = (½√2x − ½√2y ½√2x + ½√2y) Dengan demikian: ½√2x - ½√2y = -√2 ...........(1) ½√2x + ½√2y = √2 ...........(2) Dengan menyelesaikan persamaan (1) dan (2) di atas, maka diperoleh x = 0 dan y = 2. Jadi, koordinat titik A adalah (0,2). 5. Titik B(5,-1) dirotasikan terhadap titik P(2,3) sejauh 90⁰ searah putaran jam. Tentukanlah bayangan titik B tersebut. Jawaban : (x ′y′) = (0 − 110) . (x – ay − b) + (a b) (x′ y′) = (0 − 110) . (5 − 2 − 1 − 3) + (23) (x′ y′) = (0 − 110) . (3 – 4) + (23) (x′ y′) = (−4 −3) + (23) (x′ y′) = (−20) Dengan demikian, x' = -2 dan y' = 0. Jadi, koordinat bayangan titik B(5,-1) oleh rotasi terhadap titik P(2,3) sejauh 90⁰ searah putaran jam adalah B'(-3,0).

173