Apa yang di sebut ngarai

峡谷

1,325 juta pentutur

cañón

570 juta pentutur

canyon

510 juta pentutur

घाटी

380 juta pentutur

واد ضيق

280 juta pentutur

каньон

278 juta pentutur

desfiladeiro

270 juta pentutur

গভীর খাদ

260 juta pentutur

canyon

220 juta pentutur

ngarai

190 juta pentutur

Schlucht

180 juta pentutur

canyon

85 juta pentutur

hẻm núi

80 juta pentutur

பள்ளத்தாக்குகள்

75 juta pentutur

कॅन्यन

75 juta pentutur

kanyon

70 juta pentutur

canyon

65 juta pentutur

kanion

50 juta pentutur

каньйон

40 juta pentutur

canion

30 juta pentutur

φαράγγι

15 juta pentutur

canyon

14 juta pentutur

kanjon

10 juta pentutur

Ngarai Lembah Arau di kabupaten Limapuluh Koto, Sumatera Barat

Ngarai atau dikata sbg canyon dalam bahasa Inggris Amerika atau cañon dari bahasa Spanyol, merupakan sebuah lembah dalam bersisi terjal yang terbentuk dampak erosi saluran cairan sungai.

Ngarai-ngarai terbesar termasuk:

Page 2

Ngarai Lembah Arau di kabupaten Limapuluh Koto, Sumatera Barat

Ngarai atau dikata sbg canyon dalam bahasa Inggris Amerika atau cañon dari bahasa Spanyol, merupakan sebuah lembah dalam bersisi terjal yang terbentuk dampak erosi saluran cairan sungai.

Ngarai-ngarai terbesar termasuk:

Page 3

Ngarai Lembah Arau di kabupaten Limapuluh Koto, Sumatera Barat

Ngarai atau dikata sbg canyon dalam bahasa Inggris Amerika atau cañon dari bahasa Spanyol, merupakan sebuah lembah dalam bersisi terjal yang terbentuk dampak erosi saluran cairan sungai.

Ngarai-ngarai terbesar termasuk:

Page 4

Ngarai Lembah Arau di kabupaten Limapuluh Koto, Sumatera Barat

Ngarai atau dikata sbg canyon dalam bahasa Inggris Amerika atau cañon dari bahasa Spanyol, merupakan sebuah lembah dalam bersisi terjal yang terbentuk dampak erosi saluran cairan sungai.

Ngarai-ngarai terbesar termasuk:

Page 5

Ngarai Lembah Arau di kabupaten Limapuluh Koto, Sumatera Barat

Ngarai atau dikata sbg canyon dalam bahasa Inggris Amerika atau cañon dari bahasa Spanyol, merupakan sebuah lembah dalam bersisi terjal yang terbentuk dampak erosi saluran cairan sungai.

Ngarai-ngarai terbesar termasuk:

Page 6

Tags (tagged): nibung, unkris, arecaceae, genus oncosperma, spesies, o tigillarium nama, hingga kalimantan, tumbuhan, berupa pohon bentuk, berwarna hitam, daunnya, tersusun majemuk menyirip, tunggal, sisa, penyangga rumah dari, kayu atas, tanah, center of studies, kuna delta, sabak, ditemukan diakses 4, juni 28

Page 7

Tags (tagged): nibung, unkris, arecaceae, genus oncosperma, spesies, o tigillarium nama, hingga kalimantan, tumbuhan, berupa pohon bentuk, berwarna hitam, daunnya, tersusun majemuk menyirip, tunggal, sisa, penyangga rumah dari, kayu atas, tanah, center of studies, kuna delta, sabak, ditemukan diakses 4, juni 28

Page 8

Tags (tagged): nibung, unkris, arecaceae, genus oncosperma, spesies, o tigillarium nama, hingga kalimantan, tumbuhan, berupa pohon bentuk, berwarna hitam, daunnya, tersusun majemuk menyirip, tunggal, sisa, penyangga rumah dari, kayu atas, tanah, pusat ilmu pengetahuan, kuna delta, sabak, ditemukan diakses 4, juni 28

Page 9

Tags (tagged): nibung, unkris, arecaceae, genus oncosperma, spesies, o tigillarium nama, hingga kalimantan, tumbuhan, berupa pohon bentuk, berwarna hitam, daunnya, tersusun majemuk menyirip, tunggal, sisa, penyangga rumah dari, kayu atas, tanah, pusat ilmu pengetahuan, kuna delta, sabak, ditemukan diakses 4, juni 28

Page 10

Tags (tagged): sinonim, unkris, bentuk, berbeda, namun, memiliki, arti, besar, bahasa, indonesia, 2, catatan, kaki, 3, lihat, pula, 4, mirip, sama, lain, muradif, contoh, mati, wafat, hulubalang, komandan, aku, saya, melihat, melirik, pusat, ilmu, pengetahuan, homograf, akronim, berulang, antonim, homonim, pranala, luar, program, kuliah, pegawai, kelas, weekend, eksekutif, ensiklopedi, ensiklopedia

Page 11

Tags (tagged): sinonim, unkris, bentuk, berbeda, namun, memiliki, arti, besar, bahasa, indonesia, 2, catatan, kaki, 3, lihat, pula, 4, mirip, sama, lain, muradif, contoh, mati, wafat, hulubalang, komandan, aku, saya, melihat, melirik, pusat, ilmu, pengetahuan, homograf, akronim, berulang, antonim, homonim, pranala, luar, program, kuliah, pegawai, kelas, weekend, eksekutif, ensiklopedi, ensiklopedia

Page 12

Tags (tagged): synonym, unkris, bentuk, berbeda, namun, memiliki, arti, besar, bahasa, indonesia, 2, catatan, kaki, 3, lihat, pula, 4, mirip, sama, lain, muradif, contoh, mati, wafat, hulubalang, komandan, aku, saya, melihat, melirik, center, of, studies, homograf, akronim, berulang, antonim, homonim, pranala, luar, program, kuliah, pegawai, kelas, weekend, eksekutif, indonesian, encyclopedia

Page 13

Tags (tagged): synonym, unkris, bentuk, berbeda, namun, memiliki, arti, besar, bahasa, indonesia, 2, catatan, kaki, 3, lihat, pula, 4, mirip, sama, lain, muradif, contoh, mati, wafat, hulubalang, komandan, aku, saya, melihat, melirik, center, of, studies, homograf, akronim, berulang, antonim, homonim, pranala, luar, program, kuliah, pegawai, kelas, weekend, eksekutif, indonesian, encyclopedia

Page 14

Tags (tagged): center of studies, sine, unkris, inggris, sine dalam matematika, perbandingan sisi, catatan, bahwa segitiga itu, segitiga siku, siku, kanan berdasarkan definisi, sinus atas, nilai, sinus, kuadran iii, iv hubungan, kosekan nilai, center, of studies, sekan, kosekan kotangen rumus, berhubungan sine

Page 15

Tags (tagged): center of studies, sine, unkris, inggris, sine dalam matematika, perbandingan sisi, catatan, bahwa segitiga itu, segitiga siku, siku, kanan berdasarkan definisi, sinus atas, nilai, sinus, kuadran iii, iv hubungan, kosekan nilai, center, of studies, sekan, kosekan kotangen rumus, berhubungan sine

Page 16

Tags (tagged): pusat ilmu pengetahuan, sinus, unkris, inggris, sine dalam matematika, perbandingan sisi, catatan, bahwa segitiga itu, segitiga siku, siku, kanan berdasarkan definisi, sinus atas, nilai, kuadran iii, iv hubungan, kosekan nilai, pusat, ilmu pengetahuan, sekan, kosekan kotangen rumus, berhubungan sinus

Page 17

Tags (tagged): pusat ilmu pengetahuan, sinus, unkris, inggris, sine dalam matematika, perbandingan sisi, catatan, bahwa segitiga itu, segitiga siku, siku, kanan berdasarkan definisi, sinus atas, nilai, kuadran iii, iv hubungan, kosekan nilai, pusat, ilmu pengetahuan, sekan, kosekan kotangen rumus, berhubungan sinus

Page 18

Tags (tagged): kotangen, unkris, cotan bahasa, inggris, cotangent dalam matematika, sisi segitiga, terletak, depan sudut, salah, satu sudut, segitiga, itu 90 o, perhatikan, nilai, hubungan kotangen tangen, pusat ilmu, pengetahuan, kosekan rumus berhubungan, trigonometri kotangen

Page 19

Tags (tagged): kotangen, unkris, cotan bahasa, inggris, cotangent dalam matematika, sisi segitiga, terletak, depan sudut, salah, satu sudut, segitiga, itu 90 o, perhatikan, nilai, hubungan kotangen tangen, pusat ilmu, pengetahuan, kosekan rumus berhubungan, trigonometri kotangen

Page 20

Tags (tagged): cotangent, unkris, cotan bahasa, inggris, cotangent dalam matematika, sisi segitiga, terletak, depan sudut, salah, satu sudut, segitiga, itu 90 o, perhatikan, nilai, kotangen, hubungan kotangen tangen, center of, studies, kosekan rumus berhubungan, trigonometri cotangent

Page 21

Tags (tagged): cotangent, unkris, cotan bahasa, inggris, cotangent dalam matematika, sisi segitiga, terletak, depan sudut, salah, satu sudut, segitiga, itu 90 o, perhatikan, nilai, kotangen, hubungan kotangen tangen, center of, studies, kosekan rumus berhubungan, trigonometri cotangent

Page 22

Matematika (dari bahasa Yunani: μαθηματικά - mathēmatiká) adalah studi besaran, struktur, ruang, dan perubahan. Para matematikawan mencari berbagai pola,[2][3] merumuskan konjektur baru, dan membangun kebenaran melewati cara deduksi yang kaku dari aksioma-aksioma dan definisi-definisi yang bersesuaian.[4]

Terdapat perselisihan tentang apakah objek-objek matematika seperti bilangan dan titik hadir secara alami, atau hanyalah buatan manusia. Seorang matematikawan Benjamin Peirce menyebut matematika sbg "ilmu yang menggambarkan simpulan-simpulan yang penting".[5] Di pihak lain, Albert Einstein mencetuskan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."[6]

Melewati penggunaan penalaran logika dan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukuran, dan pengkajian sistematis terhadap bentuk dan pergerakan benda-benda fisika. Matematika praktis telah menjadi cara manusia sejak hadirnya rekaman tertulis. Argumentasi kaku pertama muncul di dalam Matematika Yunani, terutama di dalam karya Euklides, Elemen.

Matematika selalu berkembang, misalnya di Cina pada tahun 300 SM, di India pada tahun 100 M, dan di Arab pada tahun 800 M, hingga seratus tahun Renaisans, ketika temuan baru matematika berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru yang mengarah pada peningkatan yang cepat di dalam laju penemuan matematika yang berlanjut hingga sekarang.[7]

Kini, matematika dipergunakan di seluruh dunia sbg alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu dunia, teknik, kedokteran/medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi, dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan.

Para matematikawan juga bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri, tanpa hadirnya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.[8]

Etimologi

Kata "matematika" berasal dari bahasa Yunani Kuno μάθημα (máthēma), yang berfaedah pengkajian, pembelajaran, ilmu yang ruang lingkupnya menyempit, dan guna teknisnya menjadi "pengkajian matematika", bahkan demikian juga pada seratus tahun kuno. Kata sifatnya adalah μαθηματικός (mathēmatikós), berkaitan dengan pengkajian, atau tekun berupaya bisa, yang semakin jauhnya berfaedah matematis. Secara khusus, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), di dalam bahasa Latin ars mathematica, berfaedah seni matematika.

Wujud jamak sering dipakai di dalam bahasa Inggris, seperti juga di dalam bahasa Perancis les mathématiques (dan jarang dipergunakan sbg turunan wujud tunggal la mathématique), merujuk pada wujud jamak bahasa Latin yang cenderung netral mathematica (Cicero), berlandaskan wujud jamak bahasa Yunani τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), yang dipakai Aristoteles, yang terjemahan kasarnya berfaedah "segala hal yang matematis".[9] Tetapi, di dalam bahasa Inggris, kata benda mathematics mengambil wujud tunggal bila dipakai sbg kata kerja. Di dalam ragam dialog, matematika kerap kali disingkat sbg math di Amerika Utara dan maths di tempat lain.

Sejarah

Sebuah quipu, yang dipakai oleh Inca untuk mencatatkan bilangan.

Evolusi matematika dapat dipandang sbg sederetan abstraksi yang selalu banyakan, atau perkataan lainnya perluasan pokok masalah. Abstraksi mula-mula, yang juga berlangsung pada banyak binatang[10], adalah tentang bilangan: pernyataan bahwa dua apel dan dua jeruk (sebagai contoh) hadir banyak yang sama.

Selain mengetahui cara mencacah objek-objek fisika, manusia prasejarah juga mengenali cara mencacah besaran tidak berbentuk, seperti saat — hari, musim, tahun. Aritmetika dasar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian) mengikuti secara alami.

Langkah berikutnya memerlukan penulisan atau sistem lain untuk mencatatkan bilangan, semisal tali atau dawai bersimpul yang disebut quipu dipakai oleh bangsa Inca untuk menyimpan data numerik. Sistem bilangan hadir banyak dan berjenis-jenis, bilangan tertulis yang pertama diketahui hadir di dalam naskah warisan Mesir Kuno di Kerajaan Tengah Mesir, Lembaran Matematika Rhind.

Sistem bilangan Maya

Penggunaan terkuno matematika adalah di dalam perdagangan, pengukuran tanah, pelukisan, dan pola-pola penenunan dan pencatatan saat dan tidak pernah berkembang luas hingga tahun 3000 SM ke muka ketika orang Babilonia dan Mesir Kuno mulai menggunakan aritmetika, aljabar, dan geometri untuk penghitungan pajak dan urusan keuangan lainnya, bangunan dan konstruksi, dan astronomi.[11] Pengkajian matematika yang sistematis di dalam kebenarannya sendiri dimulai pada seratus tahun Yunani Kuno selang tahun 600 dan 300 SM.

Matematika sejak saat itu segera berkembang luas, dan terdapat interaksi bermanfaat selang matematika dan sains, menguntungkan kedua belah pihak. Penemuan-penemuan matematika dibuat sepanjang sejarah dan berlanjut hingga sekarang. Menurut Mikhail B. Sevryuk, pada Januari 2006 terbitan Bulletin of the American Mathematical Society, "Banyaknya makalah dan buku yang dilibatkan di dalam basis data Mathematical Reviews sejak 1940 (tahun pertama beroperasinya MR) sekarang melebihi 1,9 juta, dan melebihi 75 ribu artikel ditambahkan ke dalam basis data itu tiap tahun. Sebagian mulia karya di samudera ini hadir intinya teorema matematika baru beserta bukti-buktinya."[12]

Ilham, matematika murni dan terapan, dan estetika

Sir Isaac Newton (1643-1727), seorang penemu kalkulus infinitesimal.

Matematika muncul pada saat dihadapinya masalah-masalah yang melilit yang melibatkan kuantitas, struktur, ruang, atau perubahan. Mulanya masalah-masalah itu dijumpai di dalam perdagangan, pengukuran tanah, dan akhir astronomi; sekarang, seluruh ilmu pengetahuan menganjurkan masalah-masalah yang dikaji oleh para matematikawan, dan banyak masalah yang muncul di dalam matematika itu sendiri. Misalnya, seorang fisikawan Richard Feynman menemukan rumus integral lintasan mekanika kuantum menggunakan paduan nalar matematika dan wawasan fisika, dan teori dawai masa sekarang, teori ilmiah yang masih berkembang yang berupaya membersatukan empat gaya dasar alami, terus saja mengilhami matematika baru.[13]

Beberapa matematika hanya bersesuaian di dalam wilayah yang mengilhaminya, dan diterapkan untuk memecahkan masalah lanjutan di wilayah itu. Tetapi seringkali matematika diilhami oleh bukti-bukti di satu wilayah ternyata bermanfaat juga di banyak wilayah lainnya, dan menggabungkan persediaan umum konsep-konsep matematika. Fakta yang menakjubkan bahwa matematika "paling murni" sering berubah menjadi hadir terapan praktis adalah apa yang Eugene Wigner memanggilnya sbg "Ketidakefektifan Matematika tak ternalar di dalam Ilmu Pengetahuan Alam".[14]

Seperti di sebagian mulia wilayah pengkajian, ledakan pengetahuan di seratus tahun ilmiah telah mengarah pada pengkhususan di dalam matematika. Satu perbedaan utama adalah di selang matematika murni dan matematika terapan: sebagian mulia matematikawan memusatkan penelitian mereka hanya pada satu wilayah ini, dan kadang-kadang pilihan ini dibuat sedini perkuliahan program sarjana mereka. Beberapa wilayah matematika terapan telah digabungkan dengan tradisi-tradisi yang bersesuaian di luar matematika dan menjadi disiplin yang hadir hak tersendiri, termasuk statistika, riset operasi, dan ilmu komputer.

Mereka yang berminat kepada matematika seringkali menjumpai suatu aspek estetika tertentu di banyak matematika. Banyak matematikawan berkata tentang keanggunan matematika, estetika yang tersirat, dan keindahan dari dalamnya. Kesederhanaan dan keumumannya dihargai. Terdapat keindahan di dalam kesederhanaan dan keanggunan bukti yang diberikan, semisal bukti Euclid yakni bahwa terdapat tak-terhingga banyaknya bilangan prima, dan di dalam cara numerik yang anggun bahwa perhitungan laju, yakni transformasi Fourier cepat. G. H. Hardy di dalam A Mathematician's Apology mengungkapkan keyakinan bahwa penganggapan estetika ini, di dalamnya sendiri, cukup untuk mendukung pengkajian matematika murni.[15]

Para matematikawan sering bekerja keras menemukan bukti teorema yang anggun secara khusus, pencarian Paul Erdős sering berkutat pada sejenis pencarian akar dari "Alkitab" di mana Tuhan telah menuliskan bukti-bukti kesukaannya.[16][17] Kepopularan matematika rekreasi adalah isyarat lain bahwa kegembiraan banyak dijumpai ketika seseorang mampu memecahkan soal-soal matematika.

Notasi, bahasa, dan kekakuan

Leonhard Euler. Mungkin seorang matematikawan yang terbanyak menghasilkan temuan sepanjang masa

Sebagian mulia notasi matematika yang dipergunakan saat ini tidaklah ditemukan hingga seratus tahun ke-16.[18] Pada seratus tahun ke-18, Euler bertanggung jawab atas banyak notasi yang dipergunakan saat ini. Notasi modern membuat matematika semakin remeh bagi para profesional, tetapi para pemula sering menemukannya sbg sesuatu yang mengerikan. Terjadi pemadatan yang amat sangat: sedikit lambang hadir intinya informasi yang kaya. Seperti notasi musik, notasi matematika modern hadir kelola kalimat yang kaku dan menyandikan informasi yang barangkali sukar bila dituliskan menurut cara lain.

Bahasa matematika dapat juga terkesan sukar bagi para pemula. Kata-kata seperti atau dan hanya hadir guna yang semakin presisi daripada di dalam dialog sehari-hari. Selain itu, kata-kata semisal membuka dan lapangan memberikan guna khusus matematika. Jargon matematika termasuk istilah-istilah teknis semisal homomorfisme dan terintegralkan. Tetapi hadir argumen untuk notasi khusus dan jargon teknis ini: matematika memerlukan presisi yang semakin dari sekadar dialog sehari-hari. Para matematikawan menyebut presisi bahasa dan logika ini sbg "kaku" (rigor).

Lambang ketakhinggaan ∞ di dalam beberapa gaya sajian.

Kaku secara mendasar adalah tentang bukti matematika. Para matematikawan ingin teorema mereka mengikuti aksioma-aksioma dengan maksud penalaran yang sistematik. Ini untuk mencegah "teorema" yang salah angkat, didasarkan pada praduga kegagalan, di mana banyak contoh pernah muncul di dalam sejarah subjek ini.[19] Tingkat kekakuan diharapkan di dalam matematika selalu berganti-ganti sepanjang waktu: bangsa Yunani menginginkan dalil yang terperinci, namun pada saat itu cara yang dipergunakan Isaac Newton kuranglah kaku. Masalah yang melekat pada definisi-definisi yang dipergunakan Newton akan mengarah kepada munculnya analisis saksama dan bukti formal pada seratus tahun ke-19. Kini, para matematikawan masih terus beradu argumentasi tentang bukti berbantuan-komputer. Karena perhitungan mulia sangatlah sukar diperiksa, bukti-bukti itu mungkin saja tidak cukup kaku.[20]

Aksioma menurut pemikiran tradisional adalah "kebenaran yang menjadi bukti dengan sendirinya", tetapi pemikiran ini memicu persoalan. Pada angkatan formal, sebuah aksioma hanyalah seutas dawai lambang, yang hanya hadir ruang lingkup tersirat di dalam konteks seluruh rumus yang terturunkan dari suatu sistem aksioma. Inilah tujuan program Hilbert untuk meletak seluruh matematika pada sebuah basis aksioma yang kokoh, tetapi menurut Teorema ketaklengkapan Gödel tiap-tiap sistem aksioma (yang cukup kuat) hadir rumus-rumus yang tidak dapat ditentukan; dan oleh karena itulah suatu aksiomatisasi terakhir di dalam matematika adalah absurd. Meski demikian, matematika sering dibayangkan (di dalam konteks formal) tidak lain kecuali teori himpunan di beberapa aksiomatisasi, dengan pengertian bahwa tiap-tiap pernyataan atau bukti matematika dapat dikemas ke dalam rumus-rumus teori himpunan.[21]

Matematika sbg ilmu pengetahuan

Carl Friedrich Gauss, menganggap dirinya sbg "pangerannya para matematikawan", dan menyebut matematika sbg "Ratunya Ilmu Pengetahuan".

Carl Friedrich Gauss menyebut matematika sbg "Ratunya Ilmu Pengetahuan".[22] Di dalam bahasa aslinya, Latin Regina Scientiarum, juga di dalam bahasa Jerman Königin der Wissenschaften, kata yang bersesuaian dengan ilmu pengetahuan berfaedah (lapangan) pengetahuan. Jelas, inipun guna asli di dalam bahasa Inggris, dan tiada keraguan bahwa matematika di dalam konteks ini adalah sebuah ilmu pengetahuan. Pengkhususan yang mempersempit ruang lingkup menjadi ilmu pengetahuan dunia adalah di masa terkemudian. Bila seseorang memandang ilmu pengetahuan hanya terbatas pada dunia fisika, maka matematika, atau sekurang-kurangnya matematika murni, bukanlah ilmu pengetahuan.

Albert Einstein mencetuskan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, maka mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."[6]

Banyak filsuf yakin bahwa matematika tidaklah terpalsukan berlandaskan percobaan, dan dengan demikian bukanlah ilmu pengetahuan per ciri utama Karl Popper.[23] Tetapi, di dalam karya penting tahun 1930-an tentang logika matematika menunjukkan bahwa matematika tidak bisa direduksi menjadi logika, dan Karl Popper menyimpulkan bahwa "sebagian mulia teori matematika, seperti halnya fisika dan biologi, adalah hipotetis-deduktif: oleh karena itu matematika menjadi semakin tidak jauh ke ilmu pengetahuan dunia yang hipotesis-hipotesisnya adalah konjektur (dugaan), semakin daripada sbg hal yang baru."[24] Para mahir bestari lainnya, sebut saja Imre Lakatos, telah menerapkan satu versi pemalsuan kepada matematika itu sendiri.

Sebuah tinjauan alternatif adalah bahwa lapangan-lapangan ilmiah tertentu (misalnya fisika teoretis) adalah matematika dengan aksioma-aksioma yang ditujukan sedemikian sehingga bersesuaian dengan kenyataan. Faktanya, seorang fisikawan teoretis, J. M. Ziman, mengajukan gagasan bahwa ilmu pengetahuan adalah pengetahuan umum dan dengan demikian matematika termasuk di dalamnya.[25] Di beberapa kasus, matematika banyak saling berbagi dengan ilmu pengetahuan fisika, sebut saja penggalian dampak-dampak logis dari beberapa anggapan. Intuisi dan percobaan juga berperan penting di dalam perumusan konjektur-konjektur, baik itu di matematika, maupun di ilmu-ilmu pengetahuan (lainnya).

Matematika percobaan terus bertumbuh kembang, mengingat kepentingannya di dalam matematika, akhir komputasi dan simulasi memperagakan peran yang semakin menguat, baik itu di ilmu pengetahuan, maupun di matematika, melemahkan objeksi yang mana matematika tidak menggunakan cara ilmiah. Di dalam bukunya yang diterbitkan pada 2002 A New Kind of Science, Stephen Wolfram berdalil bahwa matematika komputasi pantas untuk digali secara empirik sbg lapangan ilmiah di dalam haknya/kebenarannya sendiri.

Pendapat-pendapat para matematikawan terhadap hal ini adalah beraneka jenis. Banyak matematikawan merasa bahwa untuk menyebut wilayah mereka sbg ilmu pengetahuan sama saja dengan menurunkan kadar kepentingan sisi estetikanya, dan sejarahnya di dalam tujuh seni liberal tradisional; lainnyanya merasa bahwa pengabaian pranala ini terhadap ilmu pengetahuan sama saja dengan memutar-mutar mata yang buta terhadap fakta bahwa antarmuka selang matematika dan penerapannya di dalam ilmu pengetahuan dan rekayasa telah mengemudikan banyak pengembangan di dalam matematika.

Satu jalan yang dilakukan oleh perbedaan sudut pandang ini adalah di dalam perbincangan filsafat apakah matematika diciptakan (seperti di dalam seni) atau ditemukan (seperti di dalam ilmu pengetahuan). Adalah wajar bagi universitas bila dibagi ke dalam bagian-bagian yang menyertakan departemen Ilmu Pengetahuan dan Matematika, ini menunjukkan bahwa lapangan-lapangan itu dipandang bersekutu tetapi mereka tidak seperti dua sisi keping uang logam. Pada tataran praktisnya, para matematikawan kebanyakan dikelompokkan bersama-sama para ilmuwan pada angkatan kasar, tetapi dipisahkan pada angkatan kesudahan. Ini adalah salah satu dari banyak perkara yang diperhatikan di dalam filsafat matematika.

Penghargaan matematika umumnya dipelihara supaya tetap terpisah dari kesetaraannya dengan ilmu pengetahuan. Penghargaan yang adiluhung di dalam matematika adalah Fields Medal (medali lapangan),[26][27] dimulakan pada 1936 dan sekarang diselenggarakan tiap empat tahunan. Penghargaan ini sering dianggap setara dengan Hadiah Nobel ilmu pengetahuan.

Wolf Prize in Mathematics, dilembagakan pada 1978, mengakui masa prestasi, dan penghargaan internasional utama lainnya, Hadiah Abel, diperkenalkan pada 2003. Ini dianugerahkan bagi ruas khusus karya, dapat berupa pembaharuan, atau penyelesaian masalah yang terkemuka di dalam lapangan yang mapan.

Sebuah daftar terkenal berisikan 23 masalah membuka, yang disebut "masalah Hilbert", dihimpun pada 1900 oleh matematikawan Jerman David Hilbert. Daftar ini meraih persulangan yang mulia di selang para matematikawan, dan paling sedikit sembilan dari masalah-masalah itu sekarang terpecahkan.

Sebuah daftar baru hadir intinya tujuh masalah penting, berjudul "Masalah Hadiah Milenium", diterbitkan pada 2000. Pemecahan tiap-tiap masalah ini berhadiah US$ 1 juta, dan hanya satu (hipotesis Riemann) yang merasakan penggandaan di dalam masalah-masalah Hilbert.

Bidang-bidang matematika

Sebuah sempoa, alat hitung sederhana yang dipakai sejak seratus tahun kuno.

Disiplin-disiplin utama di dalam matematika pertama muncul karena kebutuhan akan perhitungan di dalam perdagangan, untuk memahami hubungan antarbilangan, untuk mengukur tanah, dan untuk meramal peristiwa astronomi. Empat kebutuhan ini secara kasar dapat dikaitkan dengan pembagian-pembagian kasar matematika ke dalam pengkajian besaran, struktur, ruang, dan perubahan (yakni aritmetika, aljabar, geometri, dan analisis). Selain pokok bahasan itu, juga terdapat pembagian-pembagian yang dipersembahkan untuk pranala-pranala penggalian dari jantung matematika ke lapangan-lapangan lain: ke logika, ke teori himpunan (dasar), ke matematika empirik dari aneka jenis ilmu pengetahuan (matematika terapan), dan yang semakin baru adalah ke pengkajian kaku akan ketakpastian.

Besaran

Pengkajian besaran dimulakan dengan bilangan, pertama bilangan asli dan bilangan bulat ("semua bilangan") dan operasi aritmetika di ruang bilangan itu, yang dipersifatkan di dalam aritmetika. Sifat-sifat yang semakin dalam dari bilangan bulat dikaji di dalam teori bilangan, dari mana datangnya hasil-hasil popular seperti Teorema Terakhir Fermat. Teori bilangan juga memegang dua masalah tak terpecahkan: konjektur prima kembar dan konjektur Goldbach.

Karena sistem bilangan dikembangkan semakin jauh, bilangan bulat diakui sbg himpunan bagian dari bilangan rasional ("pecahan"). Sementara bilangan pecahan berada di dalam bilangan real, yang dipakai untuk menyajikan besaran-besaran kontinu. Bilangan real diperumum menjadi bilangan kompleks. Inilah langkah pertama dari jenjang bilangan yang beranjak menyertakan kuarternion dan oktonion. Perhatian terhadap bilangan asli juga mengarah pada bilangan transfinit, yang memformalkan pemikiran pencacahan ketakhinggaan. Wilayah lain pengkajian ini adalah ukuran, yang mengarah pada bilangan kardinal dan akhir pada konsepsi ketakhinggaan lainnya: bilangan aleph, yang memungkinkan perbandingan bermakna tentang ukuran himpunan-himpunan mulia ketakhinggaan.

Ruang

Pengkajian ruang bermula dengan geometri – khususnya, geometri euclid. Trigonometri memadukan ruang dan bilangan, dan mencakupi Teorema pitagoras yang terkenal. Pengkajian modern tentang ruang memperumum gagasan-gagasan ini untuk menyertakan geometri berdimensi semakin tinggi, geometri tak-euclid (yang berperan penting di dalam relativitas umum) dan topologi. Besaran dan ruang berperan penting di dalam geometri analitik, geometri diferensial, dan geometri aljabar. Di dalam geometri diferensial terdapat konsep-konsep buntelan serat dan kalkulus lipatan.

Di dalam geometri aljabar terdapat penjelasan objek-objek geometri sbg himpunan penyelesaian persamaan polinom, memadukan konsep-konsep besaran dan ruang, dan juga pengkajian grup topologi, yang memadukan struktur dan ruang. Grup lie biasa dipakai untuk mengkaji ruang, struktur, dan perubahan. Topologi di dalam banyak percabangannya mungkin menjadi wilayah pertumbuhan terbesar di dalam matematika seratus tahun ke-20, dan menyertakan konjektur poincaré yang telah lama hadir dan teorema empat warna, yang hanya "berhasil" dibuktikan dengan komputer, dan belum pernah dibuktikan oleh manusia secara manual.

Perubahan

Memahami dan menjelaskan perubahan adalah tema biasa di dalam ilmu pengetahuan dunia, dan kalkulus telah berkembang sbg alat yang penuh-daya untuk menyeledikinya. Fungsi-fungsi muncul di sini, sbg pemikiran penting untuk menjelaskan besaran yang berubah. Pengkajian kaku tentang bilangan real dan fungsi-fungsi berpeubah real dikenal sbg analisis real, dengan analisis kompleks lapangan yang setara untuk bilangan kompleks.

Hipotesis Riemann, salah satu masalah membuka yang paling mendasar di dalam matematika, dilukiskan dari analisis kompleks. Analisis fungsional memusatkan perhatian pada ruang fungsi (biasanya berdimensi tak-hingga). Satu dari banyak terapan analisis fungsional adalah mekanika kuantum.

Banyak masalah secara alami mengarah pada hubungan selang besaran dan laju perubahannya, dan ini dikaji sbg persamaan diferensial. Banyak gejala di dunia dapat diterangkan menggunakan sistem dinamika; teori kekacauan mempertepat jalan-jalan di mana banyak sistem ini memamerkan perilaku deterministik yang masih saja belum terdugakan.

Struktur

Banyak objek matematika, semisal himpunan bilangan dan fungsi, memamerkan struktur bagian dalam. Sifat-sifat struktural objek-objek ini diselidiki di dalam pengkajian grup, gelanggang, lapangan dan sistem tidak berbentuk lainnya, yang mereka sendiri adalah objek juga. Ini adalah lapangan aljabar tidak berbentuk. Sebuah pemikiran penting di sini yakni vektor, diperumum menjadi ruang vektor, dan dikaji di dalam aljabar linear. Pengkajian vektor memadukan tiga wilayah dasar matematika: besaran, struktur, dan ruang. Kalkulus vektor menambah luas lapangan itu ke dalam wilayah dasar keempat, yakni perubahan. Kalkulus tensor mengkaji kesetangkupan dan perilaku vektor yang dirotasi. Sejumlah masalah kuno tentang Kompas dan konstruksi garis lurus kesudahannya terpecahkan oleh Teori galois.

Dasar dan filsafat

Untuk memeriksa dasar-dasar matematika, lapangan logika matematika dan teori himpunan dikembangkan, juga teori kategori yang masih dikembangkan. Kata majemuk "krisis dasar" mejelaskan pencarian dasar kaku untuk matematika yang mengambil tempat pada dasawarsa 1900-an sampai 1930-an.[28] Beberapa ketaksetujuan tentang dasar-dasar matematika berlanjut hingga sekarang. Krisis dasar dipicu oleh sejumlah silang sengketa pada masa itu, termasuk kontroversi teori himpunan Cantor dan kontroversi Brouwer-Hilbert.

Logika matematika diperhatikan dengan meletak matematika pada sebuah kerangka kerja aksiomatis yang kaku, dan mengkaji hasil-hasil kerangka kerja itu. Logika matematika adalah rumah bagi Teori ketaklengkapan kedua Gödel, mungkin hasil yang paling dirayakan di dunia logika, yang (secara informal) hadir akhir suatu peristiwa bahwa suatu sistem formal yang hadir intinya aritmetika dasar, jika suara (maksudnya seluruh teorema yang dapat dibuktikan adalah benar), maka tak-lengkap (maksudnya terdapat teorema sejati yang tidak dapat dibuktikan di dalam sistem itu).

Gödel menunjukkan cara mengonstruksi, sembarang kumpulan aksioma bilangan teoretis yang diberikan, sebuah pernyataan formal di dalam logika yaitu sebuah bilangan sejati-suatu fakta teoretik, tetapi tidak mengikuti aksioma-aksioma itu. Oleh karena itu, tiada sistem formal yang merupakan aksiomatisasi sejati teori bilangan sepenuhnya. Logika modern dibagi ke dalam teori rekursi, teori model, dan teori pembuktian, dan terpaut tidak jauh dengan ilmu komputer teoretis.

Matematika diskret

Matematika diskret adalah nama lazim untuk lapangan matematika yang paling bermanfaat di dalam ilmu komputer teoretis. Ini menyertakan teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasional, dan teori informasi. Teori komputabilitas memeriksa batasan-batasan berbagai model teoretis komputer, termasuk model yang dikenal paling berkemampuan - Mesin turing.

Teori kompleksitas adalah pengkajian traktabilitas oleh komputer; beberapa masalah, meski secara teoretis terselesaikan oleh komputer, tetapi cukup mahal menurut konteks saat dan ruang, tidak dapat dikerjakan secara praktis, bahkan dengan cepatnya kemajuan perangkat keras komputer. Pamungkas, teori informasi memusatkan perhatian pada banyaknya data yang dapat disimpan pada media yang diberikan, dan oleh karenanya berkomunikasi dengan konsep-konsep semisal pemadatan dan entropi.

Sbg lapangan yang relatif baru, matematika diskret hadir sejumlah masalah membuka yang mendasar. Yang paling terkenal adalah masalah "P=NP?", salah satu Masalah Hadiah Milenium.[29]

Matematika terapan

Matematika terapan berkomunikasi dengan penggunaan alat matematika tidak berbentuk guna memecahkan masalah-masalah konkret di dalam ilmu pengetahuan, bidang usaha, dan wilayah lainnya. Sebuah lapangan penting di dalam matematika terapan adalah statistika, yang menggunakan teori peluang sbg alat dan membolehkan penjelasan, analisis, dan peramalan gejala di mana peluang berperan penting. Sebagian mulia percobaan, survey, dan pengkajian pengamatan memerlukan statistika. (Tetapi banyak statistikawan, tidak menganggap mereka sendiri sbg matematikawan, melainkan sbg golongan sekutu.)

Analisis numerik menyelidiki cara komputasional untuk memecahkan masalah-masalah matematika secara efisien yang kebanyakan terlalu luas bagi kapasitas numerik manusia, analisis numerik melibatkan pengkajian galat pemotongan atau sumber-sumber galat lain di dalam komputasi.

Lihat pula

Catatan

1. ^ Absen perupaan atau penjelasan tentang wujud fisik Euklides yang dibuat selama masa hidupnya yang masih bertahan sbg kekunoan. Oleh karena itu, penggambaran Euklides di dalam karya seni bergantung pada kekuatan khayal seorang seniman (lihat Euklides).
2. ^ Lynn Steen (29 April 1988). The Science of Patterns Jurnal Science, 240: 611–616. dan diikhtisarkan di Association for Supervision and Curriculum Development., ascd.org
3. ^ Keith Devlin, Mathematics: The Science of Patterns: The Search for Order in Life, Mind and the Universe (Scientific American Paperback Library) 1996, ISBN 978-0-7167-5047-5
4. ^ Jourdain.
5. ^ Peirce, p.97
6. ^ a b Einstein, p. 28. Kutipan ini adalah jawaban Einstein terhadap pertanyaan: "betapa mungkin bahwa matematika, di samping lainnya tentunya, menjadi ciptaan pemikiran manusia yang terbebas dari pengalaman, begitu luar biasa bersesuaian dengan objek-objek kenyataan?" Dia juga memperhatikan Keefektifan tak ternalar Matematika di dalam Ilmu Pengetahuan Dunia.
7. ^ Eves
8. ^ Peterson
9. ^ The Oxford Dictionary of English Etymology, Oxford English Dictionary
10. ^ S. Dehaene, G. Dehaene-Lambertz and L. Cohen, Abstract representations of numbers in the animal and human brain, Trends in Neuroscience, Vol. 21 (8), Aug 1998, 355-361. //dx.doi.org/10.1016/S0166-2236(98)01263-6.
11. ^ Kline 1990, Chapter 1.
12. ^ Sevryuk
13. ^ Johnson, Gerald W.; Lapidus, Michel L. (2002). The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus. Oxford University Press. 
14. ^ Eugene Wigner, 1960, "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences," Komunikasi pada Matematika Murni dan Terapan 13(1): 1–14.
15. ^ Hardy, G. H. (1940). A Mathematician's Apology. Cambridge University Press. 
16. ^ Gold, Bonnie; Simons, Rogers A. (2008). Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy. MAA. 
17. ^ Aigner, Martin; Ziegler, Gunter M. (2001). Proofs from the Book. Springer. 
18. ^ Penggunaan Aneka Lambang Matematika Terdini (memuat banyak referensi yang semakin jauh)
19. ^ Lihatlah bukti palsu untuk contoh sederhana dari hal-hal yang bisa salah di dalam bukti formal. sejarah Teorema Empat Warna hadir intinya contoh-contoh bukti-bukti salah yang tanpa sengaja diterima oleh para matematikawan lainnya pada saat itu.
20. ^ Ivars Peterson, Wisatawan Matematika, Freeman, 1988, ISBN 0-7167-1953-3. p. 4 "Sedikit keluhan akan ketidakmampuan program komputer memeriksa secara wajar," (merujuk kepada bukti Haken-Apple terhadap Teorema Empat Warna).
21. ^ Patrick Suppes, Axiomatic Set Theory, Dover, 1972, ISBN 0-486-61630-4. p. 1, "Di selang banyak cabang matematika modern, teori himpunan menempati tempat yang unik: dengan sedikit pengecualian, entitas-entitas yang dikaji dan dianalisis di dalam matematika dapat dipandang sbg himpunan khusus atau kelas-kelas objek tertentu."
22. ^ Waltershausen
23. ^ Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. (1998). Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists. Springer. p. 228. 
24. ^ Popper 1995, p. 56
25. ^ Ziman
26. ^ "Fields Medal sekarang disepakati paling dikenal dan paling berpengaruh di dalam matematika." Monastyrsky
27. ^ Riehm
28. ^ Luke Howard Hodgkin & Luke Hodgkin, A History of Mathematics, Oxford University Press, 2005.
29. ^ Clay Mathematics Institute P=NP

Referensi

• Benson, Donald C., The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies, Oxford University Press, USA; New Ed edition (December 14, 2000). ISBN 0-19-513919-4.
• Boyer, Carl B., A History of Mathematics, Wiley; 2 edition (March 6, 1991). ISBN 0-471-54397-7. — A concise history of mathematics from the Concept of Number to contemporary Mathematics.
• Courant, R. and H. Robbins, What Is Mathematics? : An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press, USA; 2 edition (July 18, 1996). ISBN 0-19-510519-2.
• Davis, Philip J. and Hersh, Reuben, The Mathematical Experience. Mariner Books; Reprint edition (January 14, 1999). ISBN 0-395-92968-7. — A gentle introduction to the world of mathematics.
• Einstein, Albert (1923). Sidelights on Relativity (Geometry and Experience). P. Dutton., Co. 
• Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Sixth Edition, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0.
• Gullberg, Jan, Mathematics — From the Birth of Numbers. W. W. Norton & Company; 1st edition (October 1997). ISBN 0-393-04002-X. — An encyclopedic overview of mathematics presented in clear, simple language.
• Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers 2000. — A translated and expanded version of a Soviet mathematics encyclopedia, in ten (expensive) volumes, the most complete and authoritative work available. Also in paperback and on CD-ROM, and online [1].
• Jourdain, Philip E. B., The Nature of Mathematics, in The World of Mathematics, James R. Newman, editor, Dover, 2003, ISBN 0-486-43268-8.
• Kline, Morris, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, USA; Paperback edition (March 1, 1990). ISBN 0-19-506135-7.
• Monastyrsky, Michael. "Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal" (PDF). Canadian Mathematical Society. Diakses pada 28 Juli 2006.
• Oxford English Dictionary, second edition, ed. John Simpson and Edmund Weiner, Clarendon Press, 1989, ISBN 0-19-861186-2.
• The Oxford Dictionary of English Etymology, 1983 reprint. ISBN 0-19-861112-9.
• Pappas, Theoni, The Joy Of Mathematics, Wide World Publishing; Revised edition (June 1989). ISBN 0-933174-65-9.
• Peirce, Benjamin. "Linear Associative Algebra". American Journal of Mathematics (Vol. 4, No. 1/4. (1881).  JSTOR.
• Peterson, Ivars, Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics, Owl Books, 2001, ISBN 0-8050-7159-8.
• Paulos, John Allen (1996). A Mathematician Reads the Newspaper. Anchor. ISBN 0-385-48254-X. 
• Popper, Karl R. (1995). "On knowledge". In Search of a Better World: Lectures and Essays from Thirty Years. Routledge. ISBN 0-415-13548-6. 
• Riehm, Carl (August 2002). "The Early History of the Fields Medal" (PDF). Notices of the AMS (AMS) 49 (7): 778–782. 
• Sevryuk, Mikhail B. (January 2006). "Book Reviews" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society 43 (1): 101–109. doi:10.1090/S0273-0979-05-01069-4. Retrieved 2006-06-24. 
• Waltershausen, Wolfgang Sartorius von (1856, repr. 1965). Gauss zum Gedächtniss. Sändig Reprint Verlag H. R. Wohlwend. ASIN B0000BN5SQ ASIN: B0000BN5SQ. ISBN 3-253-01702-8. 
• Ziman, J.M., F.R.S.. "Public Knowledge:An essay concerning the social dimension of science".

Pranala luar

• Preceptorial Kumpulan materi dan soal matematika SD, SMP, SMA
• Sejarah Matematika
• Buku-buku matematika tidak terikat Kumpulan buku matematika tidak terikat.
• Penerapan Aljabar SMA
• Encyclopaedia of Mathematics ensiklopedia online dari Springer, Karya referensi pascasarjana dengan semakin dari 8.000 judul, mencerahkan nyaris 50.000 gagasan di dalam matematika.
• Situs HyperMath di Georgia State University
• Perpustakaan FreeScience Bagian matematika dari perpustakaan FreeScience
• Rusin, Dave: The Mathematical Atlas. Panduan wisata melewati aneka jenis matematika modern. (Juga dapat ditemukan di sini.)
• Polyanin, Andrei: EqWorld: The World of Mathematical Equations. Sebuah sumber online yang memusatkan perhatian pada fisika matematika aljabar, diferensial biasa, diferensial parsial, integral, dan persamaan-persamaan matematika lainnya.
• Cain, George: Buku teks Matematika Online tersedia online secara tidak terikat.
• Matematika dan Logika: Searah matematika formal, gagasan-gagasan logis, linguistik, dan metodologis. Di dalam Kamus Sejarah Gagasan.
• Riwayat Hidup Matematikawan. Arsip Sejarah Matematika MacTutor sejarah ekstensif dan kutipan dari matematikawan termasyhur.
• Metamath. Sebuah situs dan sebuah bahasa, yang memformalkan matematika dari dasar-dasarnya.
• Nrich, sebuah situs peraih hadiah bagi para siswa berusia sejak lima tahun dari Universitas Cambridge
• Taman Masalah Terbuka, sebuah wiki dari masalah matematika membuka
• Planet Math. Sebuah ensiklopedia matematika online yang masih didirikan, memusatkan perhatian pada matematika modern. Menggunakan GFDL, memungkinkan pertukaran artikel dengan Wikipedia. Menggunakan pemrograman TeX.
• Beberapa aplet matematika, di MIT
• Weisstein, Eric et al.: MathWorld: World of Mathematics. Sebuah ensiklopedia online matematika.
• Patrick Jones' Tutorial Video tentang Matematika

Page 23

Matematika (dari bahasa Yunani: μαθηματικά - mathēmatiká) adalah studi besaran, struktur, ruang, dan perubahan. Para matematikawan mencari berbagai pola,[2][3] merumuskan konjektur baru, dan membangun kebenaran melewati cara deduksi yang kaku dari aksioma-aksioma dan definisi-definisi yang bersesuaian.[4]

Terdapat perselisihan tentang apakah objek-objek matematika seperti bilangan dan titik hadir secara alami, atau hanyalah buatan manusia. Seorang matematikawan Benjamin Peirce menyebut matematika sbg "ilmu yang menggambarkan simpulan-simpulan yang penting".[5] Di pihak lain, Albert Einstein mencetuskan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."[6]

Melewati penggunaan penalaran logika dan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukuran, dan pengkajian sistematis terhadap bentuk dan pergerakan benda-benda fisika. Matematika praktis telah menjadi cara manusia sejak hadirnya rekaman tertulis. Argumentasi kaku pertama muncul di dalam Matematika Yunani, terutama di dalam karya Euklides, Elemen.

Matematika selalu berkembang, misalnya di Cina pada tahun 300 SM, di India pada tahun 100 M, dan di Arab pada tahun 800 M, hingga seratus tahun Renaisans, ketika temuan baru matematika berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru yang mengarah pada peningkatan yang cepat di dalam laju penemuan matematika yang berlanjut hingga sekarang.[7]

Kini, matematika dipergunakan di seluruh dunia sbg alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu dunia, teknik, kedokteran/medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi, dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan.

Para matematikawan juga bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri, tanpa hadirnya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.[8]

Etimologi

Kata "matematika" berasal dari bahasa Yunani Kuno μάθημα (máthēma), yang berfaedah pengkajian, pembelajaran, ilmu yang ruang lingkupnya menyempit, dan guna teknisnya menjadi "pengkajian matematika", bahkan demikian juga pada seratus tahun kuno. Kata sifatnya adalah μαθηματικός (mathēmatikós), berkaitan dengan pengkajian, atau tekun berupaya bisa, yang semakin jauhnya berfaedah matematis. Secara khusus, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), di dalam bahasa Latin ars mathematica, berfaedah seni matematika.

Wujud jamak sering dipakai di dalam bahasa Inggris, seperti juga di dalam bahasa Perancis les mathématiques (dan jarang dipergunakan sbg turunan wujud tunggal la mathématique), merujuk pada wujud jamak bahasa Latin yang cenderung netral mathematica (Cicero), berlandaskan wujud jamak bahasa Yunani τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), yang dipakai Aristoteles, yang terjemahan kasarnya berfaedah "segala hal yang matematis".[9] Tetapi, di dalam bahasa Inggris, kata benda mathematics mengambil wujud tunggal bila dipakai sbg kata kerja. Di dalam ragam dialog, matematika kerap kali disingkat sbg math di Amerika Utara dan maths di tempat lain.

Sejarah

Sebuah quipu, yang dipakai oleh Inca untuk mencatatkan bilangan.

Evolusi matematika dapat dipandang sbg sederetan abstraksi yang selalu banyakan, atau perkataan lainnya perluasan pokok masalah. Abstraksi mula-mula, yang juga berlangsung pada banyak binatang[10], adalah tentang bilangan: pernyataan bahwa dua apel dan dua jeruk (sebagai contoh) hadir banyak yang sama.

Selain mengetahui cara mencacah objek-objek fisika, manusia prasejarah juga mengenali cara mencacah besaran tidak berbentuk, seperti saat — hari, musim, tahun. Aritmetika dasar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian) mengikuti secara alami.

Langkah selanjutnya memerlukan penulisan atau sistem lain untuk mencatatkan bilangan, semisal tali atau dawai bersimpul yang disebut quipu dipakai oleh bangsa Inca untuk menyimpan data numerik. Sistem bilangan hadir banyak dan berjenis-jenis, bilangan tertulis yang pertama diketahui hadir di dalam naskah warisan Mesir Kuno di Kerajaan Tengah Mesir, Lembaran Matematika Rhind.

Sistem bilangan Maya

Penggunaan terkuno matematika adalah di dalam perdagangan, pengukuran tanah, pelukisan, dan pola-pola penenunan dan pencatatan saat dan tidak pernah berkembang luas hingga tahun 3000 SM ke muka ketika orang Babilonia dan Mesir Kuno mulai menggunakan aritmetika, aljabar, dan geometri untuk penghitungan pajak dan urusan keuangan lainnya, bangunan dan konstruksi, dan astronomi.[11] Pengkajian matematika yang sistematis di dalam kebenarannya sendiri dimulai pada seratus tahun Yunani Kuno selang tahun 600 dan 300 SM.

Matematika sejak saat itu segera berkembang luas, dan terdapat interaksi bermanfaat selang matematika dan sains, menguntungkan kedua belah pihak. Penemuan-penemuan matematika diproduksi sepanjang sejarah dan berlanjut hingga sekarang. Menurut Mikhail B. Sevryuk, pada Januari 2006 terbitan Bulletin of the American Mathematical Society, "Banyaknya makalah dan buku yang dilibatkan di dalam basis data Mathematical Reviews sejak 1940 (tahun pertama beroperasinya MR) sekarang melebihi 1,9 juta, dan melebihi 75 ribu artikel ditambahkan ke dalam basis data itu tiap tahun. Sebagian mulia karya di samudera ini hadir intinya teorema matematika baru beserta bukti-buktinya."[12]

Ilham, matematika murni dan terapan, dan estetika

Sir Isaac Newton (1643-1727), seorang penemu kalkulus infinitesimal.

Matematika muncul pada saat dihadapinya masalah-masalah yang melilit yang melibatkan kuantitas, struktur, ruang, atau perubahan. Mulanya masalah-masalah itu dijumpai di dalam perdagangan, pengukuran tanah, dan akhir astronomi; sekarang, seluruh ilmu pengetahuan menganjurkan masalah-masalah yang dikaji oleh para matematikawan, dan banyak masalah yang muncul di dalam matematika itu sendiri. Misalnya, seorang fisikawan Richard Feynman menemukan rumus integral lintasan mekanika kuantum menggunakan paduan nalar matematika dan wawasan fisika, dan teori dawai masa sekarang, teori ilmiah yang masih berkembang yang berupaya membersatukan empat gaya dasar alami, terus saja mengilhami matematika baru.[13]

Beberapa matematika hanya bersesuaian di dalam wilayah yang mengilhaminya, dan diterapkan untuk memecahkan masalah lanjutan di wilayah itu. Tetapi seringkali matematika diilhami oleh bukti-bukti di satu wilayah ternyata bermanfaat juga di banyak wilayah lainnya, dan menggabungkan persediaan umum konsep-konsep matematika. Fakta yang menakjubkan bahwa matematika "paling murni" sering berpindah menjadi hadir terapan praktis adalah apa yang Eugene Wigner memanggilnya sbg "Ketidakefektifan Matematika tak ternalar di dalam Ilmu Pengetahuan Alam".[14]

Seperti di sebagian mulia wilayah pengkajian, ledakan pengetahuan di seratus tahun ilmiah telah mengarah pada pengkhususan di dalam matematika. Satu perbedaan utama adalah di selang matematika murni dan matematika terapan: sebagian mulia matematikawan memusatkan penelitian mereka hanya pada satu wilayah ini, dan kadang-kadang pilihan ini diproduksi sedini perkuliahan program sarjana mereka. Beberapa wilayah matematika terapan telah digabungkan dengan tradisi-tradisi yang bersesuaian di luar matematika dan menjadi disiplin yang hadir hak tersendiri, termasuk statistika, riset operasi, dan ilmu komputer.

Mereka yang berminat kepada matematika seringkali menjumpai suatu aspek estetika tertentu di banyak matematika. Banyak matematikawan berkata tentang keanggunan matematika, estetika yang tersirat, dan keindahan dari dalamnya. Kesederhanaan dan keumumannya dihargai. Terdapat keindahan di dalam kesederhanaan dan keanggunan bukti yang diberikan, semisal bukti Euclid yakni bahwa terdapat tak-terhingga banyaknya bilangan prima, dan di dalam cara numerik yang anggun bahwa perhitungan laju, yakni transformasi Fourier cepat. G. H. Hardy di dalam A Mathematician's Apology mengungkapkan keyakinan bahwa penganggapan estetika ini, di dalamnya sendiri, cukup untuk mendukung pengkajian matematika murni.[15]

Para matematikawan sering bekerja keras menemukan bukti teorema yang anggun secara khusus, pencarian Paul Erdős sering berkutat pada sejenis pencarian akar dari "Alkitab" di mana Tuhan telah menuliskan bukti-bukti kesukaannya.[16][17] Kepopularan matematika rekreasi adalah isyarat lain bahwa kegembiraan banyak dijumpai ketika seseorang mampu memecahkan soal-soal matematika.

Notasi, bahasa, dan kekakuan

Leonhard Euler. Mungkin seorang matematikawan yang terbanyak menghasilkan temuan sepanjang masa

Sebagian mulia notasi matematika yang dipergunakan saat ini tidaklah ditemukan hingga seratus tahun ke-16.[18] Pada seratus tahun ke-18, Euler bertanggung jawab atas banyak notasi yang dipergunakan saat ini. Notasi modern membuat matematika semakin remeh bagi para profesional, tetapi para pemula sering menemukannya sbg sesuatu yang mengerikan. Terjadi pemadatan yang amat sangat: sedikit lambang hadir intinya informasi yang kaya. Seperti notasi musik, notasi matematika modern hadir kelola kalimat yang kaku dan menyandikan informasi yang barangkali sukar bila dituliskan menurut cara lain.

Bahasa matematika dapat juga terkesan sukar bagi para pemula. Kata-kata seperti atau dan hanya hadir guna yang semakin presisi daripada di dalam dialog sehari-hari. Selain itu, kata-kata semisal membuka dan lapangan memberikan guna khusus matematika. Jargon matematika termasuk istilah-istilah teknis semisal homomorfisme dan terintegralkan. Tetapi hadir argumen untuk notasi khusus dan jargon teknis ini: matematika memerlukan presisi yang semakin dari sekadar dialog sehari-hari. Para matematikawan menyebut presisi bahasa dan logika ini sbg "kaku" (rigor).

Lambang ketakhinggaan ∞ di dalam beberapa gaya sajian.

Kaku secara mendasar adalah tentang bukti matematika. Para matematikawan ingin teorema mereka mengikuti aksioma-aksioma dengan maksud penalaran yang sistematik. Ini untuk mencegah "teorema" yang salah angkat, didasarkan pada praduga kegagalan, di mana banyak contoh pernah muncul di dalam sejarah subjek ini.[19] Tingkat kekakuan diharapkan di dalam matematika selalu berganti-ganti sepanjang waktu: bangsa Yunani menginginkan dalil yang terperinci, namun pada saat itu cara yang dipergunakan Isaac Newton kuranglah kaku. Masalah yang melekat pada definisi-definisi yang dipergunakan Newton akan mengarah kepada munculnya analisis saksama dan bukti formal pada seratus tahun ke-19. Kini, para matematikawan masih terus beradu argumentasi tentang bukti berbantuan-komputer. Karena perhitungan mulia sangatlah sukar diperiksa, bukti-bukti itu mungkin saja tidak cukup kaku.[20]

Aksioma menurut pemikiran tradisional adalah "kebenaran yang menjadi bukti dengan sendirinya", tetapi pemikiran ini memicu persoalan. Pada angkatan formal, sebuah aksioma hanyalah seutas dawai lambang, yang hanya hadir ruang lingkup tersirat di dalam konteks seluruh rumus yang terturunkan dari suatu sistem aksioma. Inilah tujuan program Hilbert untuk meletak seluruh matematika pada sebuah basis aksioma yang kokoh, tetapi menurut Teorema ketaklengkapan Gödel tiap-tiap sistem aksioma (yang cukup kuat) hadir rumus-rumus yang tidak dapat ditentukan; dan oleh karena itulah suatu aksiomatisasi terakhir di dalam matematika adalah absurd. Meski demikian, matematika sering dibayangkan (di dalam konteks formal) tidak lain kecuali teori himpunan di beberapa aksiomatisasi, dengan pengertian bahwa tiap-tiap pernyataan atau bukti matematika dapat dikemas ke dalam rumus-rumus teori himpunan.[21]

Matematika sbg ilmu pengetahuan

Carl Friedrich Gauss, menganggap dirinya sbg "pangerannya para matematikawan", dan menyebut matematika sbg "Ratunya Ilmu Pengetahuan".

Carl Friedrich Gauss menyebut matematika sbg "Ratunya Ilmu Pengetahuan".[22] Di dalam bahasa aslinya, Latin Regina Scientiarum, juga di dalam bahasa Jerman Königin der Wissenschaften, kata yang bersesuaian dengan ilmu pengetahuan berfaedah (lapangan) pengetahuan. Jelas, inipun guna asli di dalam bahasa Inggris, dan tiada keraguan bahwa matematika di dalam konteks ini adalah sebuah ilmu pengetahuan. Pengkhususan yang mempersempit ruang lingkup menjadi ilmu pengetahuan dunia adalah di masa terkemudian. Bila seseorang memandang ilmu pengetahuan hanya terbatas pada dunia fisika, maka matematika, atau sekurang-kurangnya matematika murni, bukanlah ilmu pengetahuan.

Albert Einstein mencetuskan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, maka mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."[6]

Banyak filsuf yakin bahwa matematika tidaklah terpalsukan berlandaskan percobaan, dan dengan demikian bukanlah ilmu pengetahuan per ciri utama Karl Popper.[23] Tetapi, di dalam karya penting tahun 1930-an tentang logika matematika menunjukkan bahwa matematika tidak bisa direduksi menjadi logika, dan Karl Popper menyimpulkan bahwa "sebagian mulia teori matematika, seperti halnya fisika dan biologi, adalah hipotetis-deduktif: oleh karena itu matematika menjadi semakin tidak jauh ke ilmu pengetahuan dunia yang hipotesis-hipotesisnya adalah konjektur (dugaan), semakin daripada sbg hal yang baru."[24] Para mahir bestari lainnya, sebut saja Imre Lakatos, telah menerapkan satu versi pemalsuan kepada matematika itu sendiri.

Sebuah tinjauan alternatif adalah bahwa lapangan-lapangan ilmiah tertentu (misalnya fisika teoretis) adalah matematika dengan aksioma-aksioma yang ditujukan sedemikian sehingga bersesuaian dengan kenyataan. Faktanya, seorang fisikawan teoretis, J. M. Ziman, mengajukan gagasan bahwa ilmu pengetahuan adalah pengetahuan umum dan dengan demikian matematika termasuk di dalamnya.[25] Di beberapa kasus, matematika banyak saling berbagi dengan ilmu pengetahuan fisika, sebut saja penggalian dampak-dampak logis dari beberapa anggapan. Intuisi dan percobaan juga memerankan penting di dalam perumusan konjektur-konjektur, baik itu di matematika, maupun di ilmu-ilmu pengetahuan (lainnya).

Matematika percobaan terus bertumbuh kembang, mengingat kepentingannya di dalam matematika, akhir komputasi dan simulasi memperagakan peran yang semakin menguat, baik itu di ilmu pengetahuan, maupun di matematika, melemahkan objeksi yang mana matematika tidak menggunakan cara ilmiah. Di dalam bukunya yang diterbitkan pada 2002 A New Kind of Science, Stephen Wolfram berdalil bahwa matematika komputasi pantas untuk digali secara empirik sbg lapangan ilmiah di dalam haknya/kebenarannya sendiri.

Pendapat-pendapat para matematikawan terhadap hal ini adalah beraneka jenis. Banyak matematikawan merasa bahwa untuk menyebut wilayah mereka sbg ilmu pengetahuan sama saja dengan menurunkan kadar kepentingan sisi estetikanya, dan sejarahnya di dalam tujuh seni liberal tradisional; lainnyanya merasa bahwa pengabaian pranala ini terhadap ilmu pengetahuan sama saja dengan memutar-mutar mata yang buta terhadap fakta bahwa antarmuka selang matematika dan penerapannya di dalam ilmu pengetahuan dan rekayasa telah mengemudikan banyak pengembangan di dalam matematika.

Satu jalan yang dilakukan oleh perbedaan sudut pandang ini adalah di dalam perbincangan filsafat apakah matematika diciptakan (seperti di dalam seni) atau ditemukan (seperti di dalam ilmu pengetahuan). Adalah wajar bagi universitas bila dibagi ke dalam bagian-bagian yang menyertakan departemen Ilmu Pengetahuan dan Matematika, ini menunjukkan bahwa lapangan-lapangan itu dipandang bersekutu tetapi mereka tidak seperti dua sisi keping uang logam. Pada tataran praktisnya, para matematikawan kebanyakan dikelompokkan bersama-sama para ilmuwan pada angkatan kasar, tetapi dipisahkan pada angkatan kesudahan. Ini adalah salah satu dari banyak perkara yang diperhatikan di dalam filsafat matematika.

Penghargaan matematika umumnya dipelihara supaya tetap terpisah dari kesetaraannya dengan ilmu pengetahuan. Penghargaan yang adiluhung di dalam matematika adalah Fields Medal (medali lapangan),[26][27] dimulakan pada 1936 dan sekarang diselenggarakan tiap empat tahunan. Penghargaan ini sering dianggap setara dengan Hadiah Nobel ilmu pengetahuan.

Wolf Prize in Mathematics, dilembagakan pada 1978, mengakui masa prestasi, dan penghargaan internasional utama lainnya, Hadiah Abel, diperkenalkan pada 2003. Ini dianugerahkan bagi ruas khusus karya, dapat berupa pembaharuan, atau penyelesaian masalah yang terkemuka di dalam lapangan yang mapan.

Sebuah daftar terkenal berisikan 23 masalah membuka, yang disebut "masalah Hilbert", dihimpun pada 1900 oleh matematikawan Jerman David Hilbert. Daftar ini meraih persulangan yang mulia di selang para matematikawan, dan paling sedikit sembilan dari masalah-masalah itu sekarang terpecahkan.

Sebuah daftar baru hadir intinya tujuh masalah penting, berjudul "Masalah Hadiah Milenium", diterbitkan pada 2000. Pemecahan tiap-tiap masalah ini berhadiah US$ 1 juta, dan hanya satu (hipotesis Riemann) yang merasakan penggandaan di dalam masalah-masalah Hilbert.

Bidang-bidang matematika

Sebuah sempoa, alat hitung sederhana yang dipakai sejak seratus tahun kuno.

Disiplin-disiplin utama di dalam matematika pertama muncul karena kebutuhan akan perhitungan di dalam perdagangan, untuk memahami hubungan antarbilangan, untuk mengukur tanah, dan untuk meramal peristiwa astronomi. Empat kebutuhan ini secara kasar dapat dikaitkan dengan pembagian-pembagian kasar matematika ke dalam pengkajian besaran, struktur, ruang, dan perubahan (yakni aritmetika, aljabar, geometri, dan analisis). Selain pokok bahasan itu, juga terdapat pembagian-pembagian yang dipersembahkan untuk pranala-pranala penggalian dari jantung matematika ke lapangan-lapangan lain: ke logika, ke teori himpunan (dasar), ke matematika empirik dari aneka jenis ilmu pengetahuan (matematika terapan), dan yang semakin baru adalah ke pengkajian kaku akan ketakpastian.

Besaran

Pengkajian besaran dimulakan dengan bilangan, pertama bilangan asli dan bilangan bulat ("semua bilangan") dan operasi aritmetika di ruang bilangan itu, yang dipersifatkan di dalam aritmetika. Sifat-sifat yang semakin dalam dari bilangan bulat dikaji di dalam teori bilangan, dari mana datangnya hasil-hasil popular seperti Teorema Terakhir Fermat. Teori bilangan juga memegang dua masalah tak terpecahkan: konjektur prima kembar dan konjektur Goldbach.

Karena sistem bilangan dikembangkan semakin jauh, bilangan bulat diakui sbg himpunan bagian dari bilangan rasional ("pecahan"). Sementara bilangan pecahan berada di dalam bilangan real, yang dipakai untuk menyajikan besaran-besaran kontinu. Bilangan real diperumum menjadi bilangan kompleks. Inilah langkah pertama dari jenjang bilangan yang berangkat menyertakan kuarternion dan oktonion. Perhatian terhadap bilangan asli juga mengarah pada bilangan transfinit, yang memformalkan pemikiran pencacahan ketakhinggaan. Wilayah lain pengkajian ini adalah ukuran, yang mengarah pada bilangan kardinal dan akhir pada konsepsi ketakhinggaan lainnya: bilangan aleph, yang memungkinkan perbandingan bermakna tentang ukuran himpunan-himpunan mulia ketakhinggaan.

Ruang

Pengkajian ruang bermula dengan geometri – khususnya, geometri euclid. Trigonometri memadukan ruang dan bilangan, dan mencakupi Teorema pitagoras yang terkenal. Pengkajian modern tentang ruang memperumum gagasan-gagasan ini untuk menyertakan geometri berdimensi semakin tinggi, geometri tak-euclid (yang memerankan penting di dalam relativitas umum) dan topologi. Besaran dan ruang memerankan penting di dalam geometri analitik, geometri diferensial, dan geometri aljabar. Di dalam geometri diferensial terdapat konsep-konsep buntelan serat dan kalkulus lipatan.

Di dalam geometri aljabar terdapat penjelasan objek-objek geometri sbg himpunan penyelesaian persamaan polinom, memadukan konsep-konsep besaran dan ruang, dan juga pengkajian grup topologi, yang memadukan struktur dan ruang. Grup lie biasa dipakai untuk mengkaji ruang, struktur, dan perubahan. Topologi di dalam banyak percabangannya mungkin menjadi wilayah pertumbuhan terbesar di dalam matematika seratus tahun ke-20, dan menyertakan konjektur poincaré yang telah lama hadir dan teorema empat warna, yang hanya "berhasil" dibuktikan dengan komputer, dan belum pernah dibuktikan oleh manusia secara manual.

Perubahan

Memahami dan menjelaskan perubahan adalah tema biasa di dalam ilmu pengetahuan dunia, dan kalkulus telah berkembang sbg alat yang penuh-daya untuk menyeledikinya. Fungsi-fungsi muncul di sini, sbg pemikiran penting untuk menjelaskan besaran yang berubah. Pengkajian kaku tentang bilangan real dan fungsi-fungsi berpeubah real dikenal sbg analisis real, dengan analisis kompleks lapangan yang setara untuk bilangan kompleks.

Hipotesis Riemann, salah satu masalah membuka yang paling mendasar di dalam matematika, dilukiskan dari analisis kompleks. Analisis fungsional memusatkan perhatian pada ruang fungsi (biasanya berdimensi tak-hingga). Satu dari banyak terapan analisis fungsional adalah mekanika kuantum.

Banyak masalah secara alami mengarah pada hubungan selang besaran dan laju perubahannya, dan ini dikaji sbg persamaan diferensial. Banyak gejala di dunia dapat diterangkan menggunakan sistem dinamika; teori kekacauan mempertepat jalan-jalan di mana banyak sistem ini memamerkan perilaku deterministik yang masih saja belum terdugakan.

Struktur

Banyak objek matematika, semisal himpunan bilangan dan fungsi, memamerkan struktur bagian dalam. Sifat-sifat struktural objek-objek ini diselidiki di dalam pengkajian grup, gelanggang, lapangan dan sistem tidak berbentuk lainnya, yang mereka sendiri adalah objek juga. Ini adalah lapangan aljabar tidak berbentuk. Sebuah pemikiran penting di sini yakni vektor, diperumum menjadi ruang vektor, dan dikaji di dalam aljabar linear. Pengkajian vektor memadukan tiga wilayah dasar matematika: besaran, struktur, dan ruang. Kalkulus vektor menambah luas lapangan itu ke dalam wilayah dasar keempat, yakni perubahan. Kalkulus tensor mengkaji kesetangkupan dan perilaku vektor yang dirotasi. Sejumlah masalah kuno tentang Kompas dan konstruksi garis lurus kesudahannya terpecahkan oleh Teori galois.

Dasar dan filsafat

Untuk memeriksa dasar-dasar matematika, lapangan logika matematika dan teori himpunan dikembangkan, juga teori kategori yang masih dikembangkan. Kata majemuk "krisis dasar" mejelaskan pencarian dasar kaku untuk matematika yang mengambil tempat pada dasawarsa 1900-an sampai 1930-an.[28] Beberapa ketaksetujuan tentang dasar-dasar matematika berlanjut hingga sekarang. Krisis dasar dipicu oleh sejumlah silang sengketa pada masa itu, termasuk kontroversi teori himpunan Cantor dan kontroversi Brouwer-Hilbert.

Logika matematika diperhatikan dengan meletak matematika pada sebuah kerangka kerja aksiomatis yang kaku, dan mengkaji hasil-hasil kerangka kerja itu. Logika matematika adalah rumah bagi Teori ketaklengkapan kedua Gödel, mungkin hasil yang paling dirayakan di dunia logika, yang (secara informal) berakibat bahwa suatu sistem formal yang hadir intinya aritmetika dasar, jika suara (maksudnya seluruh teorema yang dapat dibuktikan adalah benar), maka tak-lengkap (maksudnya terdapat teorema sejati yang tidak dapat dibuktikan di dalam sistem itu).

Gödel menunjukkan cara mengonstruksi, sembarang kumpulan aksioma bilangan teoretis yang diberikan, sebuah pernyataan formal di dalam logika yaitu sebuah bilangan sejati-suatu fakta teoretik, tetapi tidak mengikuti aksioma-aksioma itu. Oleh karena itu, tiada sistem formal yang merupakan aksiomatisasi sejati teori bilangan sepenuhnya. Logika modern dibagi ke dalam teori rekursi, teori model, dan teori pembuktian, dan terpaut tidak jauh dengan ilmu komputer teoretis.

Matematika diskret

Matematika diskret adalah nama lazim untuk lapangan matematika yang paling bermanfaat di dalam ilmu komputer teoretis. Ini menyertakan teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasional, dan teori informasi. Teori komputabilitas memeriksa batasan-batasan berbagai model teoretis komputer, termasuk model yang dikenal paling berkemampuan - Mesin turing.

Teori kompleksitas adalah pengkajian traktabilitas oleh komputer; beberapa masalah, meski secara teoretis terselesaikan oleh komputer, tetapi cukup mahal menurut konteks saat dan ruang, tidak dapat dikerjakan secara praktis, bahkan dengan cepatnya kemajuan perangkat keras komputer. Pamungkas, teori informasi memusatkan perhatian pada banyaknya data yang dapat disimpan pada media yang diberikan, dan oleh karenanya berkomunikasi dengan konsep-konsep semisal pemadatan dan entropi.

Sbg lapangan yang relatif baru, matematika diskret hadir sejumlah masalah membuka yang mendasar. Yang paling terkenal adalah masalah "P=NP?", salah satu Masalah Hadiah Milenium.[29]

Matematika terapan

Matematika terapan berkomunikasi dengan penggunaan alat matematika tidak berbentuk guna memecahkan masalah-masalah konkret di dalam ilmu pengetahuan, bidang usaha, dan wilayah lainnya. Sebuah lapangan penting di dalam matematika terapan adalah statistika, yang menggunakan teori peluang sbg alat dan membolehkan penjelasan, analisis, dan peramalan gejala di mana peluang memerankan penting. Sebagian mulia percobaan, survey, dan pengkajian pengamatan memerlukan statistika. (Tetapi banyak statistikawan, tidak menganggap mereka sendiri sbg matematikawan, melainkan sbg golongan sekutu.)

Analisis numerik menyelidiki cara komputasional untuk memecahkan masalah-masalah matematika secara efisien yang kebanyakan terlalu luas bagi kapasitas numerik manusia, analisis numerik melibatkan pengkajian galat pemotongan atau sumber-sumber galat lain di dalam komputasi.

Lihat pula

Catatan

1. ^ Absen perupaan atau penjelasan tentang wujud fisik Euklides yang diproduksi selama masa hidupnya yang masih bertahan sbg kekunoan. Oleh karena itu, penggambaran Euklides di dalam karya seni bergantung pada kekuatan khayal seorang seniman (lihat Euklides).
2. ^ Lynn Steen (29 April 1988). The Science of Patterns Jurnal Science, 240: 611–616. dan diikhtisarkan di Association for Supervision and Curriculum Development., ascd.org
3. ^ Keith Devlin, Mathematics: The Science of Patterns: The Search for Order in Life, Mind and the Universe (Scientific American Paperback Library) 1996, ISBN 978-0-7167-5047-5
4. ^ Jourdain.
5. ^ Peirce, p.97
6. ^ a b Einstein, p. 28. Kutipan ini adalah jawaban Einstein terhadap pertanyaan: "betapa mungkin bahwa matematika, di samping lainnya tentunya, menjadi ciptaan pemikiran manusia yang terbebas dari pengalaman, begitu luar biasa bersesuaian dengan objek-objek kenyataan?" Dia juga memperhatikan Keefektifan tak ternalar Matematika di dalam Ilmu Pengetahuan Dunia.
7. ^ Eves
8. ^ Peterson
9. ^ The Oxford Dictionary of English Etymology, Oxford English Dictionary
10. ^ S. Dehaene, G. Dehaene-Lambertz and L. Cohen, Abstract representations of numbers in the animal and human brain, Trends in Neuroscience, Vol. 21 (8), Aug 1998, 355-361. //dx.doi.org/10.1016/S0166-2236(98)01263-6.
11. ^ Kline 1990, Chapter 1.
12. ^ Sevryuk
13. ^ Johnson, Gerald W.; Lapidus, Michel L. (2002). The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus. Oxford University Press. 
14. ^ Eugene Wigner, 1960, "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences," Komunikasi pada Matematika Murni dan Terapan 13(1): 1–14.
15. ^ Hardy, G. H. (1940). A Mathematician's Apology. Cambridge University Press. 
16. ^ Gold, Bonnie; Simons, Rogers A. (2008). Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy. MAA. 
17. ^ Aigner, Martin; Ziegler, Gunter M. (2001). Proofs from the Book. Springer. 
18. ^ Penggunaan Aneka Lambang Matematika Terdini (memuat banyak referensi yang semakin jauh)
19. ^ Lihatlah bukti palsu untuk contoh sederhana dari hal-hal yang bisa salah di dalam bukti formal. sejarah Teorema Empat Warna hadir intinya contoh-contoh bukti-bukti salah yang tanpa sengaja diterima oleh para matematikawan lainnya pada saat itu.
20. ^ Ivars Peterson, Wisatawan Matematika, Freeman, 1988, ISBN 0-7167-1953-3. p. 4 "Sedikit keluhan akan ketidakmampuan program komputer memeriksa secara wajar," (merujuk kepada bukti Haken-Apple terhadap Teorema Empat Warna).
21. ^ Patrick Suppes, Axiomatic Set Theory, Dover, 1972, ISBN 0-486-61630-4. p. 1, "Di selang banyak cabang matematika modern, teori himpunan menempati tempat yang unik: dengan sedikit pengecualian, entitas-entitas yang dikaji dan dianalisis di dalam matematika dapat dipandang sbg himpunan khusus atau kelas-kelas objek tertentu."
22. ^ Waltershausen
23. ^ Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. (1998). Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists. Springer. p. 228. 
24. ^ Popper 1995, p. 56
25. ^ Ziman
26. ^ "Fields Medal sekarang disepakati paling dikenal dan paling berpengaruh di dalam matematika." Monastyrsky
27. ^ Riehm
28. ^ Luke Howard Hodgkin & Luke Hodgkin, A History of Mathematics, Oxford University Press, 2005.
29. ^ Clay Mathematics Institute P=NP

Referensi

• Benson, Donald C., The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies, Oxford University Press, USA; New Ed edition (December 14, 2000). ISBN 0-19-513919-4.
• Boyer, Carl B., A History of Mathematics, Wiley; 2 edition (March 6, 1991). ISBN 0-471-54397-7. — A concise history of mathematics from the Concept of Number to contemporary Mathematics.
• Courant, R. and H. Robbins, What Is Mathematics? : An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press, USA; 2 edition (July 18, 1996). ISBN 0-19-510519-2.
• Davis, Philip J. and Hersh, Reuben, The Mathematical Experience. Mariner Books; Reprint edition (January 14, 1999). ISBN 0-395-92968-7. — A gentle introduction to the world of mathematics.
• Einstein, Albert (1923). Sidelights on Relativity (Geometry and Experience). P. Dutton., Co. 
• Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Sixth Edition, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0.
• Gullberg, Jan, Mathematics — From the Birth of Numbers. W. W. Norton & Company; 1st edition (October 1997). ISBN 0-393-04002-X. — An encyclopedic overview of mathematics presented in clear, simple language.
• Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers 2000. — A translated and expanded version of a Soviet mathematics encyclopedia, in ten (expensive) volumes, the most complete and authoritative work available. Also in paperback and on CD-ROM, and online [1].
• Jourdain, Philip E. B., The Nature of Mathematics, in The World of Mathematics, James R. Newman, editor, Dover, 2003, ISBN 0-486-43268-8.
• Kline, Morris, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, USA; Paperback edition (March 1, 1990). ISBN 0-19-506135-7.
• Monastyrsky, Michael. "Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal" (PDF). Canadian Mathematical Society. Diakses pada 28 Juli 2006.
• Oxford English Dictionary, second edition, ed. John Simpson and Edmund Weiner, Clarendon Press, 1989, ISBN 0-19-861186-2.
• The Oxford Dictionary of English Etymology, 1983 reprint. ISBN 0-19-861112-9.
• Pappas, Theoni, The Joy Of Mathematics, Wide World Publishing; Revised edition (June 1989). ISBN 0-933174-65-9.
• Peirce, Benjamin. "Linear Associative Algebra". American Journal of Mathematics (Vol. 4, No. 1/4. (1881).  JSTOR.
• Peterson, Ivars, Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics, Owl Books, 2001, ISBN 0-8050-7159-8.
• Paulos, John Allen (1996). A Mathematician Reads the Newspaper. Anchor. ISBN 0-385-48254-X. 
• Popper, Karl R. (1995). "On knowledge". In Search of a Better World: Lectures and Essays from Thirty Years. Routledge. ISBN 0-415-13548-6. 
• Riehm, Carl (August 2002). "The Early History of the Fields Medal" (PDF). Notices of the AMS (AMS) 49 (7): 778–782. 
• Sevryuk, Mikhail B. (January 2006). "Book Reviews" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society 43 (1): 101–109. doi:10.1090/S0273-0979-05-01069-4. Retrieved 2006-06-24. 
• Waltershausen, Wolfgang Sartorius von (1856, repr. 1965). Gauss zum Gedächtniss. Sändig Reprint Verlag H. R. Wohlwend. ASIN B0000BN5SQ ASIN: B0000BN5SQ. ISBN 3-253-01702-8. 
• Ziman, J.M., F.R.S... "Public Knowledge:An essay concerning the social dimension of science".

Pranala luar

• Preceptorial Kumpulan materi dan soal matematika SD, SMP, SMA
• Sejarah Matematika
• Buku-buku matematika tidak terikat Kumpulan buku matematika tidak terikat.
• Penerapan Aljabar SMA
• Encyclopaedia of Mathematics ensiklopedia online dari Springer, Karya referensi pascasarjana dengan semakin dari 8.000 judul, mencerahkan nyaris 50.000 gagasan di dalam matematika.
• Situs HyperMath di Georgia State University
• Perpustakaan FreeScience Bagian matematika dari perpustakaan FreeScience
• Rusin, Dave: The Mathematical Atlas. Panduan wisata melewati aneka jenis matematika modern. (Juga dapat ditemukan di sini.)
• Polyanin, Andrei: EqWorld: The World of Mathematical Equations. Sebuah sumber online yang memusatkan perhatian pada fisika matematika aljabar, diferensial biasa, diferensial parsial, integral, dan persamaan-persamaan matematika lainnya.
• Cain, George: Buku teks Matematika Online tersedia online secara tidak terikat.
• Matematika dan Logika: Searah matematika formal, gagasan-gagasan logis, linguistik, dan metodologis. Di dalam Kamus Sejarah Gagasan.
• Riwayat Hidup Matematikawan. Arsip Sejarah Matematika MacTutor sejarah ekstensif dan kutipan dari matematikawan termasyhur.
• Metamath. Sebuah situs dan sebuah bahasa, yang memformalkan matematika dari dasar-dasarnya.
• Nrich, sebuah situs peraih hadiah bagi para siswa berusia sejak lima tahun dari Universitas Cambridge
• Taman Masalah Terbuka, sebuah wiki dari masalah matematika membuka
• Planet Math. Sebuah ensiklopedia matematika online yang masih dibangun, memusatkan perhatian pada matematika modern. Menggunakan GFDL, memungkinkan pertukaran artikel dengan Wikipedia. Menggunakan pemrograman TeX.
• Beberapa aplet matematika, di MIT
• Weisstein, Eric et al.: MathWorld: World of Mathematics. Sebuah ensiklopedia online matematika.
• Patrick Jones' Tutorial Video tentang Matematika

Page 24

Molekul DNA sebagai contoh materi yang tersusun dari atom dan molekul.

Materi yaitu setiap objek atau bahan yang membutuhkan ruang, yang banyaknya diukur oleh suatu sifat yang disebut massa.[1] Secara umum materi dapat juga dirumuskan sebagai sesuatu yang mempunyai massa dan menempati volume[2].

Materi tersusun atas molekul-molekul, dan molekul pun tersusun atas atom-atom[3]. Materi umumnya dapat dijumpai dalam empat fase berlainan, yaitu padat, air, gas, dan plasma (wujud zat). Namun demikian, terdapat pula fase materi lainnya, seperti kondensat Bose-Einstein.

Referensi

1. ^ Petrucci, R.H. (1987). Kimia Dasar. Prinsip dan Terapan Modern. diterjemahkan oleh S. Achmadi (Edisi ke-4, Jilid 1 ed.). Jakarta: Erlangga. 
2. ^ Mongillo, John, (2007), Nanotechnology 101, Greenwood Publishing Group, ISBN 978-0-313-33880-9.
3. ^ Davies, Paul, (1992), The new physics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43831-5.

Page 25

Molekul DNA sebagai contoh materi yang tersusun dari atom dan molekul.

Materi yaitu setiap objek atau bahan yang membutuhkan ruang, yang banyaknya diukur oleh suatu sifat yang disebut massa.[1] Secara umum materi dapat juga dirumuskan sebagai sesuatu yang mempunyai massa dan menempati volume[2].

Materi tersusun atas molekul-molekul, dan molekul pun tersusun atas atom-atom[3]. Materi umumnya dapat dijumpai dalam empat fase berlainan, yaitu padat, air, gas, dan plasma (wujud zat). Namun demikian, terdapat pula fase materi lainnya, seperti kondensat Bose-Einstein.

Referensi

1. ^ Petrucci, R.H. (1987). Kimia Dasar. Prinsip dan Terapan Modern. diterjemahkan oleh S. Achmadi (Edisi ke-4, Jilid 1 ed.). Jakarta: Erlangga. 
2. ^ Mongillo, John, (2007), Nanotechnology 101, Greenwood Publishing Group, ISBN 978-0-313-33880-9.
3. ^ Davies, Paul, (1992), The new physics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43831-5.

Page 26

Molekul DNA sebagai contoh materi yang tersusun dari atom dan molekul.

Materi yaitu setiap objek atau bahan yang membutuhkan ruang, yang banyaknya diukur oleh suatu sifat yang disebut massa.[1] Secara umum materi dapat juga dirumuskan sebagai sesuatu yang mempunyai massa dan menempati volume[2].

Materi tersusun atas molekul-molekul, dan molekul pun tersusun atas atom-atom[3]. Materi umumnya dapat dijumpai dalam empat fase berlainan, yaitu padat, air, gas, dan plasma (wujud zat). Namun demikian, terdapat pula fase materi lainnya, seperti kondensat Bose-Einstein.

Referensi

1. ^ Petrucci, R.H. (1987). Kimia Dasar. Prinsip dan Terapan Modern. diterjemahkan oleh S. Achmadi (Edisi ke-4, Jilid 1 ed.). Jakarta: Erlangga. 
2. ^ Mongillo, John, (2007), Nanotechnology 101, Greenwood Publishing Group, ISBN 978-0-313-33880-9.
3. ^ Davies, Paul, (1992), The new physics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43831-5.